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comments: true
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# 14.1 初探動態規劃
動態規劃（dynamic programming）是一個重要的演算法範式，它將一個問題分解為一系列更小的子問題，並透過儲存子問題的解來避免重複計算，從而大幅提升時間效率。
在本節中，我們從一個經典例題入手，先給出它的暴力回溯解法，觀察其中包含的重疊子問題，再逐步導出更高效的動態規劃解法。
!!! question "爬樓梯"
給定一個共有 $n$ 階的樓梯，你每步可以上 $1$ 階或者 $2$ 階，請問有多少種方案可以爬到樓頂？
如圖 14-1 所示，對於一個 $3$ 階樓梯，共有 $3$ 種方案可以爬到樓頂。
{ class="animation-figure" }
圖 14-1 爬到第 3 階的方案數量
本題的目標是求解方案數量，**我們可以考慮透過回溯來窮舉所有可能性**。具體來說，將爬樓梯想象為一個多輪選擇的過程：從地面出發，每輪選擇上 $1$ 階或 $2$ 階，每當到達樓梯頂部時就將方案數量加 $1$ ，當越過樓梯頂部時就將其剪枝。程式碼如下所示：
=== "Python"
```python title="climbing_stairs_backtrack.py"
def backtrack(choices: list[int], state: int, n: int, res: list[int]) -> int:
"""回溯"""
# 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
if state == n:
res[0] += 1
# 走訪所有選擇
for choice in choices:
# 剪枝：不允許越過第 n 階
if state + choice > n:
continue
# 嘗試：做出選擇，更新狀態
backtrack(choices, state + choice, n, res)
# 回退
def climbing_stairs_backtrack(n: int) -> int:
"""爬樓梯：回溯"""
choices = [1, 2] # 可選擇向上爬 1 階或 2 階
state = 0 # 從第 0 階開始爬
res = [0] # 使用 res[0] 記錄方案數量
backtrack(choices, state, n, res)
return res[0]
```
=== "C++"
```cpp title="climbing_stairs_backtrack.cpp"
/* 回溯 */
void backtrack(vector &choices, int state, int n, vector &res) {
// 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
if (state == n)
res[0]++;
// 走訪所有選擇
for (auto &choice : choices) {
// 剪枝：不允許越過第 n 階
if (state + choice > n)
continue;
// 嘗試：做出選擇，更新狀態
backtrack(choices, state + choice, n, res);
// 回退
}
}
/* 爬樓梯：回溯 */
int climbingStairsBacktrack(int n) {
vector choices = {1, 2}; // 可選擇向上爬 1 階或 2 階
int state = 0; // 從第 0 階開始爬
vector res = {0}; // 使用 res[0] 記錄方案數量
backtrack(choices, state, n, res);
return res[0];
}
```
=== "Java"
```java title="climbing_stairs_backtrack.java"
/* 回溯 */
void backtrack(List choices, int state, int n, List res) {
// 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
if (state == n)
res.set(0, res.get(0) + 1);
// 走訪所有選擇
for (Integer choice : choices) {
// 剪枝：不允許越過第 n 階
if (state + choice > n)
continue;
// 嘗試：做出選擇，更新狀態
backtrack(choices, state + choice, n, res);
// 回退
}
}
/* 爬樓梯：回溯 */
int climbingStairsBacktrack(int n) {
List choices = Arrays.asList(1, 2); // 可選擇向上爬 1 階或 2 階
int state = 0; // 從第 0 階開始爬
List res = new ArrayList<>();
res.add(0); // 使用 res[0] 記錄方案數量
backtrack(choices, state, n, res);
return res.get(0);
}
```
=== "C#"
```csharp title="climbing_stairs_backtrack.cs"
/* 回溯 */
void Backtrack(List choices, int state, int n, List res) {
// 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
if (state == n)
res[0]++;
// 走訪所有選擇
foreach (int choice in choices) {
// 剪枝：不允許越過第 n 階
if (state + choice > n)
continue;
// 嘗試：做出選擇，更新狀態
Backtrack(choices, state + choice, n, res);
// 回退
}
}
/* 爬樓梯：回溯 */
int ClimbingStairsBacktrack(int n) {
List choices = [1, 2]; // 可選擇向上爬 1 階或 2 階
int state = 0; // 從第 0 階開始爬
List res = [0]; // 使用 res[0] 記錄方案數量
Backtrack(choices, state, n, res);
return res[0];
}
```
=== "Go"
```go title="climbing_stairs_backtrack.go"
/* 回溯 */
func backtrack(choices []int, state, n int, res []int) {
// 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
if state == n {
res[0] = res[0] + 1
}
// 走訪所有選擇
for _, choice := range choices {
// 剪枝：不允許越過第 n 階
if state+choice > n {
continue
}
// 嘗試：做出選擇，更新狀態
backtrack(choices, state+choice, n, res)
// 回退
}
}
/* 爬樓梯：回溯 */
func climbingStairsBacktrack(n int) int {
// 可選擇向上爬 1 階或 2 階
choices := []int{1, 2}
// 從第 0 階開始爬
state := 0
res := make([]int, 1)
// 使用 res[0] 記錄方案數量
res[0] = 0
backtrack(choices, state, n, res)
return res[0]
}
```
=== "Swift"
```swift title="climbing_stairs_backtrack.swift"
/* 回溯 */
func backtrack(choices: [Int], state: Int, n: Int, res: inout [Int]) {
// 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
if state == n {
res[0] += 1
}
// 走訪所有選擇
for choice in choices {
// 剪枝：不允許越過第 n 階
if state + choice > n {
continue
}
backtrack(choices: choices, state: state + choice, n: n, res: &res)
}
}
/* 爬樓梯：回溯 */
func climbingStairsBacktrack(n: Int) -> Int {
let choices = [1, 2] // 可選擇向上爬 1 階或 2 階
let state = 0 // 從第 0 階開始爬
var res: [Int] = []
res.append(0) // 使用 res[0] 記錄方案數量
backtrack(choices: choices, state: state, n: n, res: &res)
return res[0]
}
```
=== "JS"
```javascript title="climbing_stairs_backtrack.js"
/* 回溯 */
function backtrack(choices, state, n, res) {
// 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
if (state === n) res.set(0, res.get(0) + 1);
// 走訪所有選擇
for (const choice of choices) {
// 剪枝：不允許越過第 n 階
if (state + choice > n) continue;
// 嘗試：做出選擇，更新狀態
backtrack(choices, state + choice, n, res);
// 回退
}
}
/* 爬樓梯：回溯 */
function climbingStairsBacktrack(n) {
const choices = [1, 2]; // 可選擇向上爬 1 階或 2 階
const state = 0; // 從第 0 階開始爬
const res = new Map();
res.set(0, 0); // 使用 res[0] 記錄方案數量
backtrack(choices, state, n, res);
return res.get(0);
}
```
=== "TS"
```typescript title="climbing_stairs_backtrack.ts"
/* 回溯 */
function backtrack(
choices: number[],
state: number,
n: number,
res: Map<0, any>
): void {
// 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
if (state === n) res.set(0, res.get(0) + 1);
// 走訪所有選擇
for (const choice of choices) {
// 剪枝：不允許越過第 n 階
if (state + choice > n) continue;
// 嘗試：做出選擇，更新狀態
backtrack(choices, state + choice, n, res);
// 回退
}
}
/* 爬樓梯：回溯 */
function climbingStairsBacktrack(n: number): number {
const choices = [1, 2]; // 可選擇向上爬 1 階或 2 階
const state = 0; // 從第 0 階開始爬
const res = new Map();
res.set(0, 0); // 使用 res[0] 記錄方案數量
backtrack(choices, state, n, res);
return res.get(0);
}
```
=== "Dart"
```dart title="climbing_stairs_backtrack.dart"
/* 回溯 */
void backtrack(List choices, int state, int n, List res) {
// 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
if (state == n) {
res[0]++;
}
// 走訪所有選擇
for (int choice in choices) {
// 剪枝：不允許越過第 n 階
if (state + choice > n) continue;
// 嘗試：做出選擇，更新狀態
backtrack(choices, state + choice, n, res);
// 回退
}
}
/* 爬樓梯：回溯 */
int climbingStairsBacktrack(int n) {
List choices = [1, 2]; // 可選擇向上爬 1 階或 2 階
int state = 0; // 從第 0 階開始爬
List res = [];
res.add(0); // 使用 res[0] 記錄方案數量
backtrack(choices, state, n, res);
return res[0];
}
```
=== "Rust"
```rust title="climbing_stairs_backtrack.rs"
/* 回溯 */
fn backtrack(choices: &[i32], state: i32, n: i32, res: &mut [i32]) {
// 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
if state == n {
res[0] = res[0] + 1;
}
// 走訪所有選擇
for &choice in choices {
// 剪枝：不允許越過第 n 階
if state + choice > n {
continue;
}
// 嘗試：做出選擇，更新狀態
backtrack(choices, state + choice, n, res);
// 回退
}
}
/* 爬樓梯：回溯 */
fn climbing_stairs_backtrack(n: usize) -> i32 {
let choices = vec![1, 2]; // 可選擇向上爬 1 階或 2 階
let state = 0; // 從第 0 階開始爬
let mut res = Vec::new();
res.push(0); // 使用 res[0] 記錄方案數量
backtrack(&choices, state, n as i32, &mut res);
res[0]
}
```
=== "C"
```c title="climbing_stairs_backtrack.c"
/* 回溯 */
void backtrack(int *choices, int state, int n, int *res, int len) {
// 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
if (state == n)
res[0]++;
// 走訪所有選擇
for (int i = 0; i < len; i++) {
int choice = choices[i];
// 剪枝：不允許越過第 n 階
if (state + choice > n)
continue;
// 嘗試：做出選擇，更新狀態
backtrack(choices, state + choice, n, res, len);
// 回退
}
}
/* 爬樓梯：回溯 */
int climbingStairsBacktrack(int n) {
int choices[2] = {1, 2}; // 可選擇向上爬 1 階或 2 階
int state = 0; // 從第 0 階開始爬
int *res = (int *)malloc(sizeof(int));
*res = 0; // 使用 res[0] 記錄方案數量
int len = sizeof(choices) / sizeof(int);
backtrack(choices, state, n, res, len);
int result = *res;
free(res);
return result;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="climbing_stairs_backtrack.kt"
/* 回溯 */
fun backtrack(
choices: MutableList,
state: Int,
n: Int,
res: MutableList
) {
// 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
if (state == n)
res[0] = res[0] + 1
// 走訪所有選擇
for (choice in choices) {
// 剪枝：不允許越過第 n 階
if (state + choice > n) continue
// 嘗試：做出選擇，更新狀態
backtrack(choices, state + choice, n, res)
// 回退
}
}
/* 爬樓梯：回溯 */
fun climbingStairsBacktrack(n: Int): Int {
val choices = mutableListOf(1, 2) // 可選擇向上爬 1 階或 2 階
val state = 0 // 從第 0 階開始爬
val res = mutableListOf()
res.add(0) // 使用 res[0] 記錄方案數量
backtrack(choices, state, n, res)
return res[0]
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="climbing_stairs_backtrack.rb"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{climbing_stairs_backtrack}
```
=== "Zig"
```zig title="climbing_stairs_backtrack.zig"
// 回溯
fn backtrack(choices: []i32, state: i32, n: i32, res: std.ArrayList(i32)) void {
// 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
if (state == n) {
res.items[0] = res.items[0] + 1;
}
// 走訪所有選擇
for (choices) |choice| {
// 剪枝：不允許越過第 n 階
if (state + choice > n) {
continue;
}
// 嘗試：做出選擇，更新狀態
backtrack(choices, state + choice, n, res);
// 回退
}
}
// 爬樓梯：回溯
fn climbingStairsBacktrack(n: usize) !i32 {
var choices = [_]i32{ 1, 2 }; // 可選擇向上爬 1 階或 2 階
var state: i32 = 0; // 從第 0 階開始爬
var res = std.ArrayList(i32).init(std.heap.page_allocator);
defer res.deinit();
try res.append(0); // 使用 res[0] 記錄方案數量
backtrack(&choices, state, @intCast(n), res);
return res.items[0];
}
```
??? pythontutor "視覺化執行"
## 14.1.1 方法一：暴力搜尋
回溯演算法通常並不顯式地對問題進行拆解，而是將求解問題看作一系列決策步驟，透過試探和剪枝，搜尋所有可能的解。
我們可以嘗試從問題分解的角度分析這道題。設爬到第 $i$ 階共有 $dp[i]$ 種方案，那麼 $dp[i]$ 就是原問題，其子問題包括：
$$
dp[i-1], dp[i-2], \dots, dp[2], dp[1]
$$
由於每輪只能上 $1$ 階或 $2$ 階，因此當我們站在第 $i$ 階樓梯上時，上一輪只可能站在第 $i - 1$ 階或第 $i - 2$ 階上。換句話說，我們只能從第 $i -1$ 階或第 $i - 2$ 階邁向第 $i$ 階。
由此便可得出一個重要推論：**爬到第 $i - 1$ 階的方案數加上爬到第 $i - 2$ 階的方案數就等於爬到第 $i$ 階的方案數**。公式如下：
$$
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
$$
這意味著在爬樓梯問題中，各個子問題之間存在遞推關係，**原問題的解可以由子問題的解構建得來**。圖 14-2 展示了該遞推關係。
{ class="animation-figure" }
圖 14-2 方案數量遞推關係
我們可以根據遞推公式得到暴力搜尋解法。以 $dp[n]$ 為起始點，**遞迴地將一個較大問題拆解為兩個較小問題的和**，直至到達最小子問題 $dp[1]$ 和 $dp[2]$ 時返回。其中，最小子問題的解是已知的，即 $dp[1] = 1$、$dp[2] = 2$ ，表示爬到第 $1$、$2$ 階分別有 $1$、$2$ 種方案。
觀察以下程式碼，它和標準回溯程式碼都屬於深度優先搜尋，但更加簡潔：
=== "Python"
```python title="climbing_stairs_dfs.py"
def dfs(i: int) -> int:
"""搜尋"""
# 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if i == 1 or i == 2:
return i
# dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2)
return count
def climbing_stairs_dfs(n: int) -> int:
"""爬樓梯：搜尋"""
return dfs(n)
```
=== "C++"
```cpp title="climbing_stairs_dfs.cpp"
/* 搜尋 */
int dfs(int i) {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if (i == 1 || i == 2)
return i;
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
int count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
return count;
}
/* 爬樓梯：搜尋 */
int climbingStairsDFS(int n) {
return dfs(n);
}
```
=== "Java"
```java title="climbing_stairs_dfs.java"
/* 搜尋 */
int dfs(int i) {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if (i == 1 || i == 2)
return i;
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
int count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
return count;
}
/* 爬樓梯：搜尋 */
int climbingStairsDFS(int n) {
return dfs(n);
}
```
=== "C#"
```csharp title="climbing_stairs_dfs.cs"
/* 搜尋 */
int DFS(int i) {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if (i == 1 || i == 2)
return i;
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
int count = DFS(i - 1) + DFS(i - 2);
return count;
}
/* 爬樓梯：搜尋 */
int ClimbingStairsDFS(int n) {
return DFS(n);
}
```
=== "Go"
```go title="climbing_stairs_dfs.go"
/* 搜尋 */
func dfs(i int) int {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if i == 1 || i == 2 {
return i
}
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
count := dfs(i-1) + dfs(i-2)
return count
}
/* 爬樓梯：搜尋 */
func climbingStairsDFS(n int) int {
return dfs(n)
}
```
=== "Swift"
```swift title="climbing_stairs_dfs.swift"
/* 搜尋 */
func dfs(i: Int) -> Int {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if i == 1 || i == 2 {
return i
}
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
let count = dfs(i: i - 1) + dfs(i: i - 2)
return count
}
/* 爬樓梯：搜尋 */
func climbingStairsDFS(n: Int) -> Int {
dfs(i: n)
}
```
=== "JS"
```javascript title="climbing_stairs_dfs.js"
/* 搜尋 */
function dfs(i) {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if (i === 1 || i === 2) return i;
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
const count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
return count;
}
/* 爬樓梯：搜尋 */
function climbingStairsDFS(n) {
return dfs(n);
}
```
=== "TS"
```typescript title="climbing_stairs_dfs.ts"
/* 搜尋 */
function dfs(i: number): number {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if (i === 1 || i === 2) return i;
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
const count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
return count;
}
/* 爬樓梯：搜尋 */
function climbingStairsDFS(n: number): number {
return dfs(n);
}
```
=== "Dart"
```dart title="climbing_stairs_dfs.dart"
/* 搜尋 */
int dfs(int i) {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if (i == 1 || i == 2) return i;
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
int count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
return count;
}
/* 爬樓梯：搜尋 */
int climbingStairsDFS(int n) {
return dfs(n);
}
```
=== "Rust"
```rust title="climbing_stairs_dfs.rs"
/* 搜尋 */
fn dfs(i: usize) -> i32 {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if i == 1 || i == 2 {
return i as i32;
}
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
let count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
count
}
/* 爬樓梯：搜尋 */
fn climbing_stairs_dfs(n: usize) -> i32 {
dfs(n)
}
```
=== "C"
```c title="climbing_stairs_dfs.c"
/* 搜尋 */
int dfs(int i) {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if (i == 1 || i == 2)
return i;
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
int count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
return count;
}
/* 爬樓梯：搜尋 */
int climbingStairsDFS(int n) {
return dfs(n);
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="climbing_stairs_dfs.kt"
/* 搜尋 */
fun dfs(i: Int): Int {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if (i == 1 || i == 2) return i
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
val count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2)
return count
}
/* 爬樓梯：搜尋 */
fun climbingStairsDFS(n: Int): Int {
return dfs(n)
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="climbing_stairs_dfs.rb"
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{climbing_stairs_dfs}
```
=== "Zig"
```zig title="climbing_stairs_dfs.zig"
// 搜尋
fn dfs(i: usize) i32 {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if (i == 1 or i == 2) {
return @intCast(i);
}
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
var count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
return count;
}
// 爬樓梯：搜尋
fn climbingStairsDFS(comptime n: usize) i32 {
return dfs(n);
}
```
??? pythontutor "視覺化執行"
圖 14-3 展示了暴力搜尋形成的遞迴樹。對於問題 $dp[n]$ ，其遞迴樹的深度為 $n$ ，時間複雜度為 $O(2^n)$ 。指數階屬於爆炸式增長，如果我們輸入一個比較大的 $n$ ，則會陷入漫長的等待之中。
{ class="animation-figure" }
圖 14-3 爬樓梯對應遞迴樹
觀察圖 14-3 ，**指數階的時間複雜度是“重疊子問題”導致的**。例如 $dp[9]$ 被分解為 $dp[8]$ 和 $dp[7]$ ，$dp[8]$ 被分解為 $dp[7]$ 和 $dp[6]$ ，兩者都包含子問題 $dp[7]$ 。
以此類推，子問題中包含更小的重疊子問題，子子孫孫無窮盡也。絕大部分計算資源都浪費在這些重疊的子問題上。
## 14.1.2 方法二：記憶化搜尋
為了提升演算法效率，**我們希望所有的重疊子問題都只被計算一次**。為此，我們宣告一個陣列 `mem` 來記錄每個子問題的解，並在搜尋過程中將重疊子問題剪枝。
1. 當首次計算 $dp[i]$ 時，我們將其記錄至 `mem[i]` ，以便之後使用。
2. 當再次需要計算 $dp[i]$ 時，我們便可直接從 `mem[i]` 中獲取結果，從而避免重複計算該子問題。
程式碼如下所示：
=== "Python"
```python title="climbing_stairs_dfs_mem.py"
def dfs(i: int, mem: list[int]) -> int:
"""記憶化搜尋"""
# 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if i == 1 or i == 2:
return i
# 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
if mem[i] != -1:
return mem[i]
# dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem)
# 記錄 dp[i]
mem[i] = count
return count
def climbing_stairs_dfs_mem(n: int) -> int:
"""爬樓梯：記憶化搜尋"""
# mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
mem = [-1] * (n + 1)
return dfs(n, mem)
```
=== "C++"
```cpp title="climbing_stairs_dfs_mem.cpp"
/* 記憶化搜尋 */
int dfs(int i, vector &mem) {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if (i == 1 || i == 2)
return i;
// 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
if (mem[i] != -1)
return mem[i];
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
int count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
// 記錄 dp[i]
mem[i] = count;
return count;
}
/* 爬樓梯：記憶化搜尋 */
int climbingStairsDFSMem(int n) {
// mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
vector mem(n + 1, -1);
return dfs(n, mem);
}
```
=== "Java"
```java title="climbing_stairs_dfs_mem.java"
/* 記憶化搜尋 */
int dfs(int i, int[] mem) {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if (i == 1 || i == 2)
return i;
// 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
if (mem[i] != -1)
return mem[i];
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
int count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
// 記錄 dp[i]
mem[i] = count;
return count;
}
/* 爬樓梯：記憶化搜尋 */
int climbingStairsDFSMem(int n) {
// mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
int[] mem = new int[n + 1];
Arrays.fill(mem, -1);
return dfs(n, mem);
}
```
=== "C#"
```csharp title="climbing_stairs_dfs_mem.cs"
/* 記憶化搜尋 */
int DFS(int i, int[] mem) {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if (i == 1 || i == 2)
return i;
// 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
if (mem[i] != -1)
return mem[i];
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
int count = DFS(i - 1, mem) + DFS(i - 2, mem);
// 記錄 dp[i]
mem[i] = count;
return count;
}
/* 爬樓梯：記憶化搜尋 */
int ClimbingStairsDFSMem(int n) {
// mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
int[] mem = new int[n + 1];
Array.Fill(mem, -1);
return DFS(n, mem);
}
```
=== "Go"
```go title="climbing_stairs_dfs_mem.go"
/* 記憶化搜尋 */
func dfsMem(i int, mem []int) int {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if i == 1 || i == 2 {
return i
}
// 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
if mem[i] != -1 {
return mem[i]
}
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
count := dfsMem(i-1, mem) + dfsMem(i-2, mem)
// 記錄 dp[i]
mem[i] = count
return count
}
/* 爬樓梯：記憶化搜尋 */
func climbingStairsDFSMem(n int) int {
// mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
mem := make([]int, n+1)
for i := range mem {
mem[i] = -1
}
return dfsMem(n, mem)
}
```
=== "Swift"
```swift title="climbing_stairs_dfs_mem.swift"
/* 記憶化搜尋 */
func dfs(i: Int, mem: inout [Int]) -> Int {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if i == 1 || i == 2 {
return i
}
// 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
if mem[i] != -1 {
return mem[i]
}
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
let count = dfs(i: i - 1, mem: &mem) + dfs(i: i - 2, mem: &mem)
// 記錄 dp[i]
mem[i] = count
return count
}
/* 爬樓梯：記憶化搜尋 */
func climbingStairsDFSMem(n: Int) -> Int {
// mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
var mem = Array(repeating: -1, count: n + 1)
return dfs(i: n, mem: &mem)
}
```
=== "JS"
```javascript title="climbing_stairs_dfs_mem.js"
/* 記憶化搜尋 */
function dfs(i, mem) {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if (i === 1 || i === 2) return i;
// 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
if (mem[i] != -1) return mem[i];
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
const count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
// 記錄 dp[i]
mem[i] = count;
return count;
}
/* 爬樓梯：記憶化搜尋 */
function climbingStairsDFSMem(n) {
// mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
const mem = new Array(n + 1).fill(-1);
return dfs(n, mem);
}
```
=== "TS"
```typescript title="climbing_stairs_dfs_mem.ts"
/* 記憶化搜尋 */
function dfs(i: number, mem: number[]): number {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if (i === 1 || i === 2) return i;
// 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
if (mem[i] != -1) return mem[i];
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
const count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
// 記錄 dp[i]
mem[i] = count;
return count;
}
/* 爬樓梯：記憶化搜尋 */
function climbingStairsDFSMem(n: number): number {
// mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
const mem = new Array(n + 1).fill(-1);
return dfs(n, mem);
}
```
=== "Dart"
```dart title="climbing_stairs_dfs_mem.dart"
/* 記憶化搜尋 */
int dfs(int i, List mem) {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if (i == 1 || i == 2) return i;
// 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
if (mem[i] != -1) return mem[i];
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
int count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
// 記錄 dp[i]
mem[i] = count;
return count;
}
/* 爬樓梯：記憶化搜尋 */
int climbingStairsDFSMem(int n) {
// mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
List mem = List.filled(n + 1, -1);
return dfs(n, mem);
}
```
=== "Rust"
```rust title="climbing_stairs_dfs_mem.rs"
/* 記憶化搜尋 */
fn dfs(i: usize, mem: &mut [i32]) -> i32 {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if i == 1 || i == 2 {
return i as i32;
}
// 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
if mem[i] != -1 {
return mem[i];
}
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
let count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
// 記錄 dp[i]
mem[i] = count;
count
}
/* 爬樓梯：記憶化搜尋 */
fn climbing_stairs_dfs_mem(n: usize) -> i32 {
// mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
let mut mem = vec![-1; n + 1];
dfs(n, &mut mem)
}
```
=== "C"
```c title="climbing_stairs_dfs_mem.c"
/* 記憶化搜尋 */
int dfs(int i, int *mem) {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if (i == 1 || i == 2)
return i;
// 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
if (mem[i] != -1)
return mem[i];
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
int count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
// 記錄 dp[i]
mem[i] = count;
return count;
}
/* 爬樓梯：記憶化搜尋 */
int climbingStairsDFSMem(int n) {
// mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
int *mem = (int *)malloc((n + 1) * sizeof(int));
for (int i = 0; i <= n; i++) {
mem[i] = -1;
}
int result = dfs(n, mem);
free(mem);
return result;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="climbing_stairs_dfs_mem.kt"
/* 記憶化搜尋 */
fun dfs(i: Int, mem: IntArray): Int {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if (i == 1 || i == 2) return i
// 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
if (mem[i] != -1) return mem[i]
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
val count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem)
// 記錄 dp[i]
mem[i] = count
return count
}
/* 爬樓梯：記憶化搜尋 */
fun climbingStairsDFSMem(n: Int): Int {
// mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
val mem = IntArray(n + 1)
mem.fill(-1)
return dfs(n, mem)
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="climbing_stairs_dfs_mem.rb"
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{climbing_stairs_dfs_mem}
```
=== "Zig"
```zig title="climbing_stairs_dfs_mem.zig"
// 記憶化搜尋
fn dfs(i: usize, mem: []i32) i32 {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if (i == 1 or i == 2) {
return @intCast(i);
}
// 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
if (mem[i] != -1) {
return mem[i];
}
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
var count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
// 記錄 dp[i]
mem[i] = count;
return count;
}
// 爬樓梯：記憶化搜尋
fn climbingStairsDFSMem(comptime n: usize) i32 {
// mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
var mem = [_]i32{ -1 } ** (n + 1);
return dfs(n, &mem);
}
```
??? pythontutor "視覺化執行"
觀察圖 14-4 ，**經過記憶化處理後，所有重疊子問題都只需計算一次，時間複雜度最佳化至 $O(n)$** ，這是一個巨大的飛躍。
{ class="animation-figure" }
圖 14-4 記憶化搜尋對應遞迴樹
## 14.1.3 方法三：動態規劃
**記憶化搜尋是一種“從頂至底”的方法**：我們從原問題（根節點）開始，遞迴地將較大子問題分解為較小子問題，直至解已知的最小子問題（葉節點）。之後，透過回溯逐層收集子問題的解，構建出原問題的解。
與之相反，**動態規劃是一種“從底至頂”的方法**：從最小子問題的解開始，迭代地構建更大子問題的解，直至得到原問題的解。
由於動態規劃不包含回溯過程，因此只需使用迴圈迭代實現，無須使用遞迴。在以下程式碼中，我們初始化一個陣列 `dp` 來儲存子問題的解，它起到了與記憶化搜尋中陣列 `mem` 相同的記錄作用：
=== "Python"
```python title="climbing_stairs_dp.py"
def climbing_stairs_dp(n: int) -> int:
"""爬樓梯：動態規劃"""
if n == 1 or n == 2:
return n
# 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
dp = [0] * (n + 1)
# 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1], dp[2] = 1, 2
# 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for i in range(3, n + 1):
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
return dp[n]
```
=== "C++"
```cpp title="climbing_stairs_dp.cpp"
/* 爬樓梯：動態規劃 */
int climbingStairsDP(int n) {
if (n == 1 || n == 2)
return n;
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
vector dp(n + 1);
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}
```
=== "Java"
```java title="climbing_stairs_dp.java"
/* 爬樓梯：動態規劃 */
int climbingStairsDP(int n) {
if (n == 1 || n == 2)
return n;
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
int[] dp = new int[n + 1];
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}
```
=== "C#"
```csharp title="climbing_stairs_dp.cs"
/* 爬樓梯：動態規劃 */
int ClimbingStairsDP(int n) {
if (n == 1 || n == 2)
return n;
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
int[] dp = new int[n + 1];
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}
```
=== "Go"
```go title="climbing_stairs_dp.go"
/* 爬樓梯：動態規劃 */
func climbingStairsDP(n int) int {
if n == 1 || n == 2 {
return n
}
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
dp := make([]int, n+1)
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1] = 1
dp[2] = 2
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for i := 3; i <= n; i++ {
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
}
return dp[n]
}
```
=== "Swift"
```swift title="climbing_stairs_dp.swift"
/* 爬樓梯：動態規劃 */
func climbingStairsDP(n: Int) -> Int {
if n == 1 || n == 2 {
return n
}
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
var dp = Array(repeating: 0, count: n + 1)
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1] = 1
dp[2] = 2
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for i in 3 ... n {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
}
return dp[n]
}
```
=== "JS"
```javascript title="climbing_stairs_dp.js"
/* 爬樓梯：動態規劃 */
function climbingStairsDP(n) {
if (n === 1 || n === 2) return n;
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
const dp = new Array(n + 1).fill(-1);
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for (let i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}
```
=== "TS"
```typescript title="climbing_stairs_dp.ts"
/* 爬樓梯：動態規劃 */
function climbingStairsDP(n: number): number {
if (n === 1 || n === 2) return n;
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
const dp = new Array(n + 1).fill(-1);
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for (let i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}
```
=== "Dart"
```dart title="climbing_stairs_dp.dart"
/* 爬樓梯：動態規劃 */
int climbingStairsDP(int n) {
if (n == 1 || n == 2) return n;
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
List dp = List.filled(n + 1, 0);
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}
```
=== "Rust"
```rust title="climbing_stairs_dp.rs"
/* 爬樓梯：動態規劃 */
fn climbing_stairs_dp(n: usize) -> i32 {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if n == 1 || n == 2 {
return n as i32;
}
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
let mut dp = vec![-1; n + 1];
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for i in 3..=n {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
dp[n]
}
```
=== "C"
```c title="climbing_stairs_dp.c"
/* 爬樓梯：動態規劃 */
int climbingStairsDP(int n) {
if (n == 1 || n == 2)
return n;
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
int *dp = (int *)malloc((n + 1) * sizeof(int));
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
int result = dp[n];
free(dp);
return result;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="climbing_stairs_dp.kt"
/* 爬樓梯：動態規劃 */
fun climbingStairsDP(n: Int): Int {
if (n == 1 || n == 2) return n
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
val dp = IntArray(n + 1)
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1] = 1
dp[2] = 2
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for (i in 3..n) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
}
return dp[n]
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="climbing_stairs_dp.rb"
[class]{}-[func]{climbing_stairs_dp}
```
=== "Zig"
```zig title="climbing_stairs_dp.zig"
// 爬樓梯：動態規劃
fn climbingStairsDP(comptime n: usize) i32 {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if (n == 1 or n == 2) {
return @intCast(n);
}
// 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
var dp = [_]i32{-1} ** (n + 1);
// 初始狀態：預設最小子問題的解
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for (3..n + 1) |i| {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}
```
??? pythontutor "視覺化執行"
圖 14-5 模擬了以上程式碼的執行過程。
{ class="animation-figure" }
圖 14-5 爬樓梯的動態規劃過程
與回溯演算法一樣，動態規劃也使用“狀態”概念來表示問題求解的特定階段，每個狀態都對應一個子問題以及相應的區域性最優解。例如，爬樓梯問題的狀態定義為當前所在樓梯階數 $i$ 。
根據以上內容，我們可以總結出動態規劃的常用術語。
- 將陣列 `dp` 稱為 dp 表，$dp[i]$ 表示狀態 $i$ 對應子問題的解。
- 將最小子問題對應的狀態（第 $1$ 階和第 $2$ 階樓梯）稱為初始狀態。
- 將遞推公式 $dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]$ 稱為狀態轉移方程。
## 14.1.4 空間最佳化
細心的讀者可能發現了，**由於 $dp[i]$ 只與 $dp[i-1]$ 和 $dp[i-2]$ 有關，因此我們無須使用一個陣列 `dp` 來儲存所有子問題的解**，而只需兩個變數滾動前進即可。程式碼如下所示：
=== "Python"
```python title="climbing_stairs_dp.py"
def climbing_stairs_dp_comp(n: int) -> int:
"""爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃"""
if n == 1 or n == 2:
return n
a, b = 1, 2
for _ in range(3, n + 1):
a, b = b, a + b
return b
```
=== "C++"
```cpp title="climbing_stairs_dp.cpp"
/* 爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃 */
int climbingStairsDPComp(int n) {
if (n == 1 || n == 2)
return n;
int a = 1, b = 2;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
int tmp = b;
b = a + b;
a = tmp;
}
return b;
}
```
=== "Java"
```java title="climbing_stairs_dp.java"
/* 爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃 */
int climbingStairsDPComp(int n) {
if (n == 1 || n == 2)
return n;
int a = 1, b = 2;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
int tmp = b;
b = a + b;
a = tmp;
}
return b;
}
```
=== "C#"
```csharp title="climbing_stairs_dp.cs"
/* 爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃 */
int ClimbingStairsDPComp(int n) {
if (n == 1 || n == 2)
return n;
int a = 1, b = 2;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
int tmp = b;
b = a + b;
a = tmp;
}
return b;
}
```
=== "Go"
```go title="climbing_stairs_dp.go"
/* 爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃 */
func climbingStairsDPComp(n int) int {
if n == 1 || n == 2 {
return n
}
a, b := 1, 2
// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
for i := 3; i <= n; i++ {
a, b = b, a+b
}
return b
}
```
=== "Swift"
```swift title="climbing_stairs_dp.swift"
/* 爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃 */
func climbingStairsDPComp(n: Int) -> Int {
if n == 1 || n == 2 {
return n
}
var a = 1
var b = 2
for _ in 3 ... n {
(a, b) = (b, a + b)
}
return b
}
```
=== "JS"
```javascript title="climbing_stairs_dp.js"
/* 爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃 */
function climbingStairsDPComp(n) {
if (n === 1 || n === 2) return n;
let a = 1,
b = 2;
for (let i = 3; i <= n; i++) {
const tmp = b;
b = a + b;
a = tmp;
}
return b;
}
```
=== "TS"
```typescript title="climbing_stairs_dp.ts"
/* 爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃 */
function climbingStairsDPComp(n: number): number {
if (n === 1 || n === 2) return n;
let a = 1,
b = 2;
for (let i = 3; i <= n; i++) {
const tmp = b;
b = a + b;
a = tmp;
}
return b;
}
```
=== "Dart"
```dart title="climbing_stairs_dp.dart"
/* 爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃 */
int climbingStairsDPComp(int n) {
if (n == 1 || n == 2) return n;
int a = 1, b = 2;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
int tmp = b;
b = a + b;
a = tmp;
}
return b;
}
```
=== "Rust"
```rust title="climbing_stairs_dp.rs"
/* 爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃 */
fn climbing_stairs_dp_comp(n: usize) -> i32 {
if n == 1 || n == 2 {
return n as i32;
}
let (mut a, mut b) = (1, 2);
for _ in 3..=n {
let tmp = b;
b = a + b;
a = tmp;
}
b
}
```
=== "C"
```c title="climbing_stairs_dp.c"
/* 爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃 */
int climbingStairsDPComp(int n) {
if (n == 1 || n == 2)
return n;
int a = 1, b = 2;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
int tmp = b;
b = a + b;
a = tmp;
}
return b;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="climbing_stairs_dp.kt"
/* 爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃 */
fun climbingStairsDPComp(n: Int): Int {
if (n == 1 || n == 2) return n
var a = 1
var b = 2
for (i in 3..n) {
b += a.also { a = b }
}
return b
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="climbing_stairs_dp.rb"
[class]{}-[func]{climbing_stairs_dp_comp}
```
=== "Zig"
```zig title="climbing_stairs_dp.zig"
// 爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃
fn climbingStairsDPComp(comptime n: usize) i32 {
if (n == 1 or n == 2) {
return @intCast(n);
}
var a: i32 = 1;
var b: i32 = 2;
for (3..n + 1) |_| {
var tmp = b;
b = a + b;
a = tmp;
}
return b;
}
```
??? pythontutor "視覺化執行"
觀察以上程式碼，由於省去了陣列 `dp` 佔用的空間，因此空間複雜度從 $O(n)$ 降至 $O(1)$ 。
在動態規劃問題中，當前狀態往往僅與前面有限個狀態有關，這時我們可以只保留必要的狀態，透過“降維”來節省記憶體空間。**這種空間最佳化技巧被稱為“滾動變數”或“滾動陣列”**。