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# 11.4 插入排序
「插入排序 insertion sort」是一种简单的排序算法，它的工作原理与手动整理一副牌的过程非常相似。
具体来说，我们在未排序区间选择一个基准元素，将该元素与其左侧已排序区间的元素逐一比较大小，并将该元素插入到正确的位置。
图 11-6 展示了数组插入元素的操作流程。设基准元素为 `base` ，我们需要将从目标索引到 `base` 之间的所有元素向右移动一位，然后将 `base` 赋值给目标索引。
{ class="animation-figure" }
图 11-6 单次插入操作
## 11.4.1 算法流程
插入排序的整体流程如图 11-7 所示。
1. 初始状态下，数组的第 1 个元素已完成排序。
2. 选取数组的第 2 个元素作为 `base` ，将其插入到正确位置后，**数组的前 2 个元素已排序**。
3. 选取第 3 个元素作为 `base` ，将其插入到正确位置后，**数组的前 3 个元素已排序**。
4. 以此类推，在最后一轮中，选取最后一个元素作为 `base` ，将其插入到正确位置后，**所有元素均已排序**。
{ class="animation-figure" }
图 11-7 插入排序流程
示例代码如下：
=== "Python"
```python title="insertion_sort.py"
def insertion_sort(nums: list[int]):
"""插入排序"""
# 外循环：已排序区间为 [0, i-1]
for i in range(1, len(nums)):
base = nums[i]
j = i - 1
# 内循环：将 base 插入到已排序区间 [0, i-1] 中的正确位置
while j >= 0 and nums[j] > base:
nums[j + 1] = nums[j] # 将 nums[j] 向右移动一位
j -= 1
nums[j + 1] = base # 将 base 赋值到正确位置
```
=== "C++"
```cpp title="insertion_sort.cpp"
/* 插入排序 */
void insertionSort(vector &nums) {
// 外循环：已排序区间为 [0, i-1]
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
int base = nums[i], j = i - 1;
// 内循环：将 base 插入到已排序区间 [0, i-1] 中的正确位置
while (j >= 0 && nums[j] > base) {
nums[j + 1] = nums[j]; // 将 nums[j] 向右移动一位
j--;
}
nums[j + 1] = base; // 将 base 赋值到正确位置
}
}
```
=== "Java"
```java title="insertion_sort.java"
/* 插入排序 */
void insertionSort(int[] nums) {
// 外循环：已排序区间为 [0, i-1]
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
int base = nums[i], j = i - 1;
// 内循环：将 base 插入到已排序区间 [0, i-1] 中的正确位置
while (j >= 0 && nums[j] > base) {
nums[j + 1] = nums[j]; // 将 nums[j] 向右移动一位
j--;
}
nums[j + 1] = base; // 将 base 赋值到正确位置
}
}
```
=== "C#"
```csharp title="insertion_sort.cs"
/* 插入排序 */
void InsertionSort(int[] nums) {
// 外循环：已排序区间为 [0, i-1]
for (int i = 1; i < nums.Length; i++) {
int bas = nums[i], j = i - 1;
// 内循环：将 base 插入到已排序区间 [0, i-1] 中的正确位置
while (j >= 0 && nums[j] > bas) {
nums[j + 1] = nums[j]; // 将 nums[j] 向右移动一位
j--;
}
nums[j + 1] = bas; // 将 base 赋值到正确位置
}
}
```
=== "Go"
```go title="insertion_sort.go"
/* 插入排序 */
func insertionSort(nums []int) {
// 外循环：已排序区间为 [0, i-1]
for i := 1; i < len(nums); i++ {
base := nums[i]
j := i - 1
// 内循环：将 base 插入到已排序区间 [0, i-1] 中的正确位置
for j >= 0 && nums[j] > base {
nums[j+1] = nums[j] // 将 nums[j] 向右移动一位
j--
}
nums[j+1] = base // 将 base 赋值到正确位置
}
}
```
=== "Swift"
```swift title="insertion_sort.swift"
/* 插入排序 */
func insertionSort(nums: inout [Int]) {
// 外循环：已排序区间为 [0, i-1]
for i in nums.indices.dropFirst() {
let base = nums[i]
var j = i - 1
// 内循环：将 base 插入到已排序区间 [0, i-1] 中的正确位置
while j >= 0, nums[j] > base {
nums[j + 1] = nums[j] // 将 nums[j] 向右移动一位
j -= 1
}
nums[j + 1] = base // 将 base 赋值到正确位置
}
}
```
=== "JS"
```javascript title="insertion_sort.js"
/* 插入排序 */
function insertionSort(nums) {
// 外循环：已排序区间为 [0, i-1]
for (let i = 1; i < nums.length; i++) {
let base = nums[i],
j = i - 1;
// 内循环：将 base 插入到已排序区间 [0, i-1] 中的正确位置
while (j >= 0 && nums[j] > base) {
nums[j + 1] = nums[j]; // 将 nums[j] 向右移动一位
j--;
}
nums[j + 1] = base; // 将 base 赋值到正确位置
}
}
```
=== "TS"
```typescript title="insertion_sort.ts"
/* 插入排序 */
function insertionSort(nums: number[]): void {
// 外循环：已排序区间为 [0, i-1]
for (let i = 1; i < nums.length; i++) {
const base = nums[i];
let j = i - 1;
// 内循环：将 base 插入到已排序区间 [0, i-1] 中的正确位置
while (j >= 0 && nums[j] > base) {
nums[j + 1] = nums[j]; // 将 nums[j] 向右移动一位
j--;
}
nums[j + 1] = base; // 将 base 赋值到正确位置
}
}
```
=== "Dart"
```dart title="insertion_sort.dart"
/* 插入排序 */
void insertionSort(List nums) {
// 外循环：已排序区间为 [0, i-1]
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
int base = nums[i], j = i - 1;
// 内循环：将 base 插入到已排序区间 [0, i-1] 中的正确位置
while (j >= 0 && nums[j] > base) {
nums[j + 1] = nums[j]; // 将 nums[j] 向右移动一位
j--;
}
nums[j + 1] = base; // 将 base 赋值到正确位置
}
}
```
=== "Rust"
```rust title="insertion_sort.rs"
/* 插入排序 */
fn insertion_sort(nums: &mut [i32]) {
// 外循环：已排序区间为 [0, i-1]
for i in 1..nums.len() {
let (base, mut j) = (nums[i], (i - 1) as i32);
// 内循环：将 base 插入到已排序区间 [0, i-1] 中的正确位置
while j >= 0 && nums[j as usize] > base {
nums[(j + 1) as usize] = nums[j as usize]; // 将 nums[j] 向右移动一位
j -= 1;
}
nums[(j + 1) as usize] = base; // 将 base 赋值到正确位置
}
}
```
=== "C"
```c title="insertion_sort.c"
/* 插入排序 */
void insertionSort(int nums[], int size) {
// 外循环：已排序区间为 [0, i-1]
for (int i = 1; i < size; i++) {
int base = nums[i], j = i - 1;
// 内循环：将 base 插入到已排序区间 [0, i-1] 中的正确位置
while (j >= 0 && nums[j] > base) {
// 将 nums[j] 向右移动一位
nums[j + 1] = nums[j];
j--;
}
// 将 base 赋值到正确位置
nums[j + 1] = base;
}
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="insertion_sort.kt"
/* 插入排序 */
fun insertionSort(nums: IntArray) {
//外循环: 已排序元素为 1, 2, ..., n
for (i in nums.indices) {
val base = nums[i]
var j = i - 1
// 内循环: 将 base 插入到已排序部分的正确位置
while (j >= 0 && nums[j] > base) {
nums[j + 1] = nums[j] // 将 nums[j] 向右移动一位
j--
}
nums[j + 1] = base // 将 base 赋值到正确位置
}
}
```
=== "Zig"
```zig title="insertion_sort.zig"
// 插入排序
fn insertionSort(nums: []i32) void {
// 外循环：已排序区间为 [0, i-1]
var i: usize = 1;
while (i < nums.len) : (i += 1) {
var base = nums[i];
var j: usize = i;
// 内循环：将 base 插入到已排序区间 [0, i-1] 中的正确位置
while (j >= 1 and nums[j - 1] > base) : (j -= 1) {
nums[j] = nums[j - 1]; // 将 nums[j] 向右移动一位
}
nums[j] = base; // 将 base 赋值到正确位置
}
}
```
??? pythontutor "可视化运行"
## 11.4.2 算法特性
- **时间复杂度为 $O(n^2)$、自适应排序**：在最差情况下，每次插入操作分别需要循环 $n - 1$、$n-2$、$\dots$、$2$、$1$ 次，求和得到 $(n - 1) n / 2$ ，因此时间复杂度为 $O(n^2)$ 。在遇到有序数据时，插入操作会提前终止。当输入数组完全有序时，插入排序达到最佳时间复杂度 $O(n)$ 。
- **空间复杂度为 $O(1)$、原地排序**：指针 $i$ 和 $j$ 使用常数大小的额外空间。
- **稳定排序**：在插入操作过程中，我们会将元素插入到相等元素的右侧，不会改变它们的顺序。
## 11.4.3 插入排序的优势
插入排序的时间复杂度为 $O(n^2)$ ，而我们即将学习的快速排序的时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。尽管插入排序的时间复杂度更高，**但在数据量较小的情况下，插入排序通常更快**。
这个结论与线性查找和二分查找的适用情况的结论类似。快速排序这类 $O(n \log n)$ 的算法属于基于分治策略的排序算法，往往包含更多单元计算操作。而在数据量较小时，$n^2$ 和 $n \log n$ 的数值比较接近，复杂度不占主导地位，每轮中的单元操作数量起到决定性作用。
实际上，许多编程语言（例如 Java）的内置排序函数采用了插入排序，大致思路为：对于长数组，采用基于分治策略的排序算法，例如快速排序；对于短数组，直接使用插入排序。
虽然冒泡排序、选择排序和插入排序的时间复杂度都为 $O(n^2)$ ，但在实际情况中，**插入排序的使用频率显著高于冒泡排序和选择排序**，主要有以下原因。
- 冒泡排序基于元素交换实现，需要借助一个临时变量，共涉及 3 个单元操作；插入排序基于元素赋值实现，仅需 1 个单元操作。因此，**冒泡排序的计算开销通常比插入排序更高**。
- 选择排序在任何情况下的时间复杂度都为 $O(n^2)$ 。**如果给定一组部分有序的数据，插入排序通常比选择排序效率更高**。
- 选择排序不稳定，无法应用于多级排序。