9.2.   图基础操作

图的基础操作可分为对「边」的操作和对「顶点」的操作。在「邻接矩阵」和「邻接表」两种表示方法下，实现方式有所不同。

9.2.1.   基于邻接矩阵的实现

给定一个顶点数量为 \(n\) 的无向图，则有：

• 添加或删除边：直接在邻接矩阵中修改指定的边即可，使用 \(O(1)\) 时间。而由于是无向图，因此需要同时更新两个方向的边。
• 添加顶点：在邻接矩阵的尾部添加一行一列，并全部填 \(0\) 即可，使用 \(O(n)\) 时间。
• 删除顶点：在邻接矩阵中删除一行一列。当删除首行首列时达到最差情况，需要将 \((n-1)^2\) 个元素“向左上移动”，从而使用 \(O(n^2)\) 时间。
• 初始化：传入 \(n\) 个顶点，初始化长度为 \(n\) 的顶点列表 vertices ，使用 \(O(n)\) 时间；初始化 \(n \times n\) 大小的邻接矩阵 adjMat ，使用 \(O(n^2)\) 时间。

初始化邻接矩阵添加边删除边添加顶点删除顶点

以下是基于邻接矩阵表示图的实现代码。

JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig

graph_adjacency_matrix.java

/* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */
class GraphAdjMat {
    List<Integer> vertices; // 顶点列表，元素代表“顶点值”，索引代表“顶点索引”
    List<List<Integer>> adjMat; // 邻接矩阵，行列索引对应“顶点索引”

    /* 构造方法 */
    public GraphAdjMat(int[] vertices, int[][] edges) {
        this.vertices = new ArrayList<>();
        this.adjMat = new ArrayList<>();
        // 添加顶点
        for (int val : vertices) {
            addVertex(val);
        }
        // 添加边
        // 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引
        for (int[] e : edges) {
            addEdge(e[0], e[1]);
        }
    }

    /* 获取顶点数量 */
    public int size() {
        return vertices.size();
    }

    /* 添加顶点 */
    public void addVertex(int val) {
        int n = size();
        // 向顶点列表中添加新顶点的值
        vertices.add(val);
        // 在邻接矩阵中添加一行
        List<Integer> newRow = new ArrayList<>(n);
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            newRow.add(0);
        }
        adjMat.add(newRow);
        // 在邻接矩阵中添加一列
        for (List<Integer> row : adjMat) {
            row.add(0);
        }
    }

    /* 删除顶点 */
    public void removeVertex(int index) {
        if (index >= size())
            throw new IndexOutOfBoundsException();
        // 在顶点列表中移除索引 index 的顶点
        vertices.remove(index);
        // 在邻接矩阵中删除索引 index 的行
        adjMat.remove(index);
        // 在邻接矩阵中删除索引 index 的列
        for (List<Integer> row : adjMat) {
            row.remove(index);
        }
    }

    /* 添加边 */
    // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
    public void addEdge(int i, int j) {
        // 索引越界与相等处理
        if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j)
            throw new IndexOutOfBoundsException();
        // 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
        adjMat.get(i).set(j, 1);
        adjMat.get(j).set(i, 1);
    }

    /* 删除边 */
    // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
    public void removeEdge(int i, int j) {
        // 索引越界与相等处理
        if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j)
            throw new IndexOutOfBoundsException();
        adjMat.get(i).set(j, 0);
        adjMat.get(j).set(i, 0);
    }

    /* 打印邻接矩阵 */
    public void print() {
        System.out.print("顶点列表 = ");
        System.out.println(vertices);
        System.out.println("邻接矩阵 =");
        PrintUtil.printMatrix(adjMat);
    }
}

graph_adjacency_matrix.cpp

/* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */
class GraphAdjMat {
    vector<int> vertices;       // 顶点列表，元素代表“顶点值”，索引代表“顶点索引”
    vector<vector<int>> adjMat; // 邻接矩阵，行列索引对应“顶点索引”

  public:
    /* 构造方法 */
    GraphAdjMat(const vector<int> &vertices, const vector<vector<int>> &edges) {
        // 添加顶点
        for (int val : vertices) {
            addVertex(val);
        }
        // 添加边
        // 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引
        for (const vector<int> &edge : edges) {
            addEdge(edge[0], edge[1]);
        }
    }

    /* 获取顶点数量 */
    int size() const {
        return vertices.size();
    }

    /* 添加顶点 */
    void addVertex(int val) {
        int n = size();
        // 向顶点列表中添加新顶点的值
        vertices.push_back(val);
        // 在邻接矩阵中添加一行
        adjMat.emplace_back(n, 0);
        // 在邻接矩阵中添加一列
        for (vector<int> &row : adjMat) {
            row.push_back(0);
        }
    }

    /* 删除顶点 */
    void removeVertex(int index) {
        if (index >= size()) {
            throw out_of_range("顶点不存在");
        }
        // 在顶点列表中移除索引 index 的顶点
        vertices.erase(vertices.begin() + index);
        // 在邻接矩阵中删除索引 index 的行
        adjMat.erase(adjMat.begin() + index);
        // 在邻接矩阵中删除索引 index 的列
        for (vector<int> &row : adjMat) {
            row.erase(row.begin() + index);
        }
    }

    /* 添加边 */
    // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
    void addEdge(int i, int j) {
        // 索引越界与相等处理
        if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j) {
            throw out_of_range("顶点不存在");
        }
        // 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
        adjMat[i][j] = 1;
        adjMat[j][i] = 1;
    }

    /* 删除边 */
    // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
    void removeEdge(int i, int j) {
        // 索引越界与相等处理
        if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j) {
            throw out_of_range("顶点不存在");
        }
        adjMat[i][j] = 0;
        adjMat[j][i] = 0;
    }

    /* 打印邻接矩阵 */
    void print() {
        cout << "顶点列表 = ";
        printVector(vertices);
        cout << "邻接矩阵 =" << endl;
        printVectorMatrix(adjMat);
    }
};

graph_adjacency_matrix.py

class GraphAdjMat:
    """基于邻接矩阵实现的无向图类"""

    # 顶点列表，元素代表“顶点值”，索引代表“顶点索引”
    vertices: list[int] = []
    # 邻接矩阵，行列索引对应“顶点索引”
    adj_mat: list[list[int]] = []

    def __init__(self, vertices: list[int], edges: list[list[int]]) -> None:
        """构造方法"""
        self.vertices: list[int] = []
        self.adj_mat: list[list[int]] = []
        # 添加顶点
        for val in vertices:
            self.add_vertex(val)
        # 添加边
        # 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引
        for e in edges:
            self.add_edge(e[0], e[1])

    def size(self) -> int:
        """获取顶点数量"""
        return len(self.vertices)

    def add_vertex(self, val: int) -> None:
        """添加顶点"""
        n = self.size()
        # 向顶点列表中添加新顶点的值
        self.vertices.append(val)
        # 在邻接矩阵中添加一行
        new_row = [0] * n
        self.adj_mat.append(new_row)
        # 在邻接矩阵中添加一列
        for row in self.adj_mat:
            row.append(0)

    def remove_vertex(self, index: int) -> None:
        """删除顶点"""
        if index >= self.size():
            raise IndexError()
        # 在顶点列表中移除索引 index 的顶点
        self.vertices.pop(index)
        # 在邻接矩阵中删除索引 index 的行
        self.adj_mat.pop(index)
        # 在邻接矩阵中删除索引 index 的列
        for row in self.adj_mat:
            row.pop(index)

    def add_edge(self, i: int, j: int) -> None:
        """添加边"""
        # 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
        # 索引越界与相等处理
        if i < 0 or j < 0 or i >= self.size() or j >= self.size() or i == j:
            raise IndexError()
        # 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
        self.adj_mat[i][j] = 1
        self.adj_mat[j][i] = 1

    def remove_edge(self, i: int, j: int) -> None:
        """删除边"""
        # 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
        # 索引越界与相等处理
        if i < 0 or j < 0 or i >= self.size() or j >= self.size() or i == j:
            raise IndexError()
        self.adj_mat[i][j] = 0
        self.adj_mat[j][i] = 0

    def print(self) -> None:
        """打印邻接矩阵"""
        print("顶点列表 =", self.vertices)
        print("邻接矩阵 =")
        print_matrix(self.adj_mat)

graph_adjacency_matrix.go

/* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */
type graphAdjMat struct {
    // 顶点列表，元素代表“顶点值”，索引代表“顶点索引”
    vertices []int
    // 邻接矩阵，行列索引对应“顶点索引”
    adjMat [][]int
}

/* 构造方法 */
func newGraphAdjMat(vertices []int, edges [][]int) *graphAdjMat {
    // 添加顶点
    n := len(vertices)
    adjMat := make([][]int, n)
    for i := range adjMat {
        adjMat[i] = make([]int, n)
    }
    // 初始化图
    g := &graphAdjMat{
        vertices: vertices,
        adjMat:   adjMat,
    }
    // 添加边
    // 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引
    for i := range edges {
        g.addEdge(edges[i][0], edges[i][1])
    }
    return g
}

/* 获取顶点数量 */
func (g *graphAdjMat) size() int {
    return len(g.vertices)
}

/* 添加顶点 */
func (g *graphAdjMat) addVertex(val int) {
    n := g.size()
    // 向顶点列表中添加新顶点的值
    g.vertices = append(g.vertices, val)
    // 在邻接矩阵中添加一行
    newRow := make([]int, n)
    g.adjMat = append(g.adjMat, newRow)
    // 在邻接矩阵中添加一列
    for i := range g.adjMat {
        g.adjMat[i] = append(g.adjMat[i], 0)
    }
}

/* 删除顶点 */
func (g *graphAdjMat) removeVertex(index int) {
    if index >= g.size() {
        return
    }
    // 在顶点列表中移除索引 index 的顶点
    g.vertices = append(g.vertices[:index], g.vertices[index+1:]...)
    // 在邻接矩阵中删除索引 index 的行
    g.adjMat = append(g.adjMat[:index], g.adjMat[index+1:]...)
    // 在邻接矩阵中删除索引 index 的列
    for i := range g.adjMat {
        g.adjMat[i] = append(g.adjMat[i][:index], g.adjMat[i][index+1:]...)
    }
}

/* 添加边 */
// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
func (g *graphAdjMat) addEdge(i, j int) {
    // 索引越界与相等处理
    if i < 0 || j < 0 || i >= g.size() || j >= g.size() || i == j {
        fmt.Errorf("%s", "Index Out Of Bounds Exception")
    }
    // 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
    g.adjMat[i][j] = 1
    g.adjMat[j][i] = 1
}

/* 删除边 */
// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
func (g *graphAdjMat) removeEdge(i, j int) {
    // 索引越界与相等处理
    if i < 0 || j < 0 || i >= g.size() || j >= g.size() || i == j {
        fmt.Errorf("%s", "Index Out Of Bounds Exception")
    }
    g.adjMat[i][j] = 0
    g.adjMat[j][i] = 0
}

/* 打印邻接矩阵 */
func (g *graphAdjMat) print() {
    fmt.Printf("\t顶点列表 = %v\n", g.vertices)
    fmt.Printf("\t邻接矩阵 = \n")
    for i := range g.adjMat {
        fmt.Printf("\t\t\t%v\n", g.adjMat[i])
    }
}

graph_adjacency_matrix.js

/* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */
class GraphAdjMat {
    vertices;   // 顶点列表，元素代表“顶点值”，索引代表“顶点索引”
    adjMat;     // 邻接矩阵，行列索引对应“顶点索引”

    /* 构造函数 */
    constructor(vertices, edges) {
        this.vertices = [];
        this.adjMat = [];
        // 添加顶点
        for (const val of vertices) {
            this.addVertex(val);
        }
        // 添加边
        // 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引
        for (const e of edges) {
            this.addEdge(e[0], e[1]);
        }
    }

    /* 获取顶点数量 */
    size() {
        return this.vertices.length;
    }

    /* 添加顶点 */
    addVertex(val) {
        const n = this.size();
        // 向顶点列表中添加新顶点的值
        this.vertices.push(val);
        // 在邻接矩阵中添加一行
        const newRow = [];
        for (let j = 0; j < n; j++) {
            newRow.push(0);
        }
        this.adjMat.push(newRow);
        // 在邻接矩阵中添加一列
        for (const row of this.adjMat) {
            row.push(0);
        }
    }

    /* 删除顶点 */
    removeVertex(index) {
        if (index >= this.size()) {
            throw new RangeError("Index Out Of Bounds Exception");
        }
        // 在顶点列表中移除索引 index 的顶点
        this.vertices.splice(index, 1);

        // 在邻接矩阵中删除索引 index 的行
        this.adjMat.splice(index, 1);
        // 在邻接矩阵中删除索引 index 的列
        for (const row of this.adjMat) {
            row.splice(index, 1);
        }
    }

    /* 添加边 */
    // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
    addEdge(i, j) {
        // 索引越界与相等处理
        if (i < 0 || j < 0 || i >= this.size() || j >= this.size() || i === j) {
            throw new RangeError("Index Out Of Bounds Exception");
        }
        // 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
        this.adjMat[i][j] = 1;
        this.adjMat[j][i] = 1;
    }

    /* 删除边 */
    // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
    removeEdge(i, j) {
        // 索引越界与相等处理
        if (i < 0 || j < 0 || i >= this.size() || j >= this.size() || i === j) {
            throw new RangeError("Index Out Of Bounds Exception");
        }
        this.adjMat[i][j] = 0;
        this.adjMat[j][i] = 0;
    }

    /* 打印邻接矩阵 */
    print() {
        console.log("顶点列表 = ", this.vertices);
        console.log("邻接矩阵 =", this.adjMat);
    }
}

graph_adjacency_matrix.ts

/* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */
class GraphAdjMat {
    vertices: number[];     // 顶点列表，元素代表“顶点值”，索引代表“顶点索引”
    adjMat: number[][];     // 邻接矩阵，行列索引对应“顶点索引”

    /* 构造函数 */
    constructor(vertices: number[], edges: number[][]) {
        this.vertices = [];
        this.adjMat = [];
        // 添加顶点
        for (const val of vertices) {
            this.addVertex(val);
        }
        // 添加边
        // 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引
        for (const e of edges) {
            this.addEdge(e[0], e[1]);
        }
    }

    /* 获取顶点数量 */
    size(): number {
        return this.vertices.length;
    }

    /* 添加顶点 */
    addVertex(val: number): void {
        const n: number = this.size();
        // 向顶点列表中添加新顶点的值
        this.vertices.push(val);
        // 在邻接矩阵中添加一行
        const newRow: number[] = [];
        for (let j: number = 0; j < n; j++) {
            newRow.push(0);
        }
        this.adjMat.push(newRow);
        // 在邻接矩阵中添加一列
        for (const row of this.adjMat) {
            row.push(0);
        }
    }

    /* 删除顶点 */
    removeVertex(index: number): void {
        if (index >= this.size()) {
            throw new RangeError("Index Out Of Bounds Exception");
        }
        // 在顶点列表中移除索引 index 的顶点
        this.vertices.splice(index, 1);

        // 在邻接矩阵中删除索引 index 的行
        this.adjMat.splice(index, 1);
        // 在邻接矩阵中删除索引 index 的列
        for (const row of this.adjMat) {
            row.splice(index, 1);
        }
    }

    /* 添加边 */
    // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
    addEdge(i: number, j: number): void {
        // 索引越界与相等处理
        if (i < 0 || j < 0 || i >= this.size() || j >= this.size() || i === j) {
            throw new RangeError("Index Out Of Bounds Exception");
        }
        // 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
        this.adjMat[i][j] = 1;
        this.adjMat[j][i] = 1;
    }

    /* 删除边 */
    // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
    removeEdge(i: number, j: number): void {
        // 索引越界与相等处理
        if (i < 0 || j < 0 || i >= this.size() || j >= this.size() || i === j) {
            throw new RangeError("Index Out Of Bounds Exception");
        }
        this.adjMat[i][j] = 0;
        this.adjMat[j][i] = 0;
    }

    /* 打印邻接矩阵 */
    print(): void {
        console.log("顶点列表 = ", this.vertices);
        console.log("邻接矩阵 =", this.adjMat);
    }
}

graph_adjacency_matrix.c

[class]{graphAdjMat}-[func]{}

graph_adjacency_matrix.cs

/* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */
class GraphAdjMat
{
    List<int> vertices;     // 顶点列表，元素代表“顶点值”，索引代表“顶点索引”
    List<List<int>> adjMat; // 邻接矩阵，行列索引对应“顶点索引”

    /* 构造函数 */
    public GraphAdjMat(int[] vertices, int[][] edges)
    {
        this.vertices = new List<int>();
        this.adjMat = new List<List<int>>();
        // 添加顶点
        foreach (int val in vertices)
        {
            addVertex(val);
        }
        // 添加边
        // 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引
        foreach (int[] e in edges)
        {
            addEdge(e[0], e[1]);
        }
    }

    /* 获取顶点数量 */
    public int size()
    {
        return vertices.Count;
    }

    /* 添加顶点 */
    public void addVertex(int val)
    {
        int n = size();
        // 向顶点列表中添加新顶点的值
        vertices.Add(val);
        // 在邻接矩阵中添加一行
        List<int> newRow = new List<int>(n);
        for (int j = 0; j < n; j++)
        {
            newRow.Add(0);
        }
        adjMat.Add(newRow);
        // 在邻接矩阵中添加一列
        foreach (List<int> row in adjMat)
        {
            row.Add(0);
        }
    }

    /* 删除顶点 */
    public void removeVertex(int index)
    {
        if (index >= size())
            throw new IndexOutOfRangeException();
        // 在顶点列表中移除索引 index 的顶点
        vertices.RemoveAt(index);
        // 在邻接矩阵中删除索引 index 的行
        adjMat.RemoveAt(index);
        // 在邻接矩阵中删除索引 index 的列
        foreach (List<int> row in adjMat)
        {
            row.RemoveAt(index);
        }
    }

    /* 添加边 */
    // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
    public void addEdge(int i, int j)
    {
        // 索引越界与相等处理
        if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j)
            throw new IndexOutOfRangeException();
        // 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
        adjMat[i][j] = 1;
        adjMat[j][i] = 1;
    }

    /* 删除边 */
    // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
    public void removeEdge(int i, int j)
    {
        // 索引越界与相等处理
        if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j)
            throw new IndexOutOfRangeException();
        adjMat[i][j] = 0;
        adjMat[j][i] = 0;
    }

    /* 打印邻接矩阵 */
    public void print()
    {
        Console.Write("顶点列表 = ");
        PrintUtil.PrintList(vertices);
        Console.WriteLine("邻接矩阵 =");
        PrintUtil.printMatrix(adjMat);
    }
}

graph_adjacency_matrix.swift

/* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */
class GraphAdjMat {
    private var vertices: [Int] // 顶点列表，元素代表“顶点值”，索引代表“顶点索引”
    private var adjMat: [[Int]] // 邻接矩阵，行列索引对应“顶点索引”

    /* 构造方法 */
    init(vertices: [Int], edges: [[Int]]) {
        self.vertices = []
        adjMat = []
        // 添加顶点
        for val in vertices {
            addVertex(val: val)
        }
        // 添加边
        // 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引
        for e in edges {
            addEdge(i: e[0], j: e[1])
        }
    }

    /* 获取顶点数量 */
    func size() -> Int {
        vertices.count
    }

    /* 添加顶点 */
    func addVertex(val: Int) {
        let n = size()
        // 向顶点列表中添加新顶点的值
        vertices.append(val)
        // 在邻接矩阵中添加一行
        let newRow = Array(repeating: 0, count: n)
        adjMat.append(newRow)
        // 在邻接矩阵中添加一列
        for i in adjMat.indices {
            adjMat[i].append(0)
        }
    }

    /* 删除顶点 */
    func removeVertex(index: Int) {
        if index >= size() {
            fatalError("越界")
        }
        // 在顶点列表中移除索引 index 的顶点
        vertices.remove(at: index)
        // 在邻接矩阵中删除索引 index 的行
        adjMat.remove(at: index)
        // 在邻接矩阵中删除索引 index 的列
        for i in adjMat.indices {
            adjMat[i].remove(at: index)
        }
    }

    /* 添加边 */
    // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
    func addEdge(i: Int, j: Int) {
        // 索引越界与相等处理
        if i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j {
            fatalError("越界")
        }
        // 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
        adjMat[i][j] = 1
        adjMat[j][i] = 1
    }

    /* 删除边 */
    // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
    func removeEdge(i: Int, j: Int) {
        // 索引越界与相等处理
        if i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j {
            fatalError("越界")
        }
        adjMat[i][j] = 0
        adjMat[j][i] = 0
    }

    /* 打印邻接矩阵 */
    func print() {
        Swift.print("顶点列表 = ", terminator: "")
        Swift.print(vertices)
        Swift.print("邻接矩阵 =")
        PrintUtil.printMatrix(matrix: adjMat)
    }
}

graph_adjacency_matrix.zig

9.2.2.   基于邻接表的实现

设无向图的顶点总数为 \(n\) 、边总数为 \(m\) ，则有：

• 添加边：在顶点对应链表的末尾添加边即可，使用 \(O(1)\) 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。
• 删除边：在顶点对应链表中查找并删除指定边，使用 \(O(m)\) 时间。在无向图中，需要同时删除两个方向的边。
• 添加顶点：在邻接表中添加一个链表，并将新增顶点作为链表头节点，使用 \(O(1)\) 时间。
• 删除顶点：需遍历整个邻接表，删除包含指定顶点的所有边，使用 \(O(1)\) 时间。
• 初始化：在邻接表中创建 \(n\) 个顶点和 \(2m\) 条边，使用 \(O(n + m)\) 时间。

初始化邻接表添加边删除边添加顶点删除顶点

以下是基于邻接表实现图的代码示例。细心的同学可能注意到，我们在邻接表中使用 Vertex 节点类来表示顶点，这样做的原因有：

• 如果我们选择通过顶点值来区分不同顶点，那么值重复的顶点将无法被区分。
• 如果类似邻接矩阵那样，使用顶点列表索引来区分不同顶点。那么，假设我们想要删除索引为 \(i\) 的顶点，则需要遍历整个邻接表，将其中 \(> i\) 的索引全部减 \(1\) ，这样操作效率较低。
• 因此我们考虑引入顶点类 Vertex ，使得每个顶点都是唯一的对象，此时删除顶点时就无需改动其余顶点了。

JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig

graph_adjacency_list.java

/* 基于邻接表实现的无向图类 */
class GraphAdjList {
    // 邻接表，key: 顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
    Map<Vertex, List<Vertex>> adjList;

    /* 构造方法 */
    public GraphAdjList(Vertex[][] edges) {
        this.adjList = new HashMap<>();
        // 添加所有顶点和边
        for (Vertex[] edge : edges) {
            addVertex(edge[0]);
            addVertex(edge[1]);
            addEdge(edge[0], edge[1]);
        }
    }

    /* 获取顶点数量 */
    public int size() {
        return adjList.size();
    }

    /* 添加边 */
    public void addEdge(Vertex vet1, Vertex vet2) {
        if (!adjList.containsKey(vet1) || !adjList.containsKey(vet2) || vet1 == vet2)
            throw new IllegalArgumentException();
        // 添加边 vet1 - vet2
        adjList.get(vet1).add(vet2);
        adjList.get(vet2).add(vet1);
    }

    /* 删除边 */
    public void removeEdge(Vertex vet1, Vertex vet2) {
        if (!adjList.containsKey(vet1) || !adjList.containsKey(vet2) || vet1 == vet2)
            throw new IllegalArgumentException();
        // 删除边 vet1 - vet2
        adjList.get(vet1).remove(vet2);
        adjList.get(vet2).remove(vet1);
    }

    /* 添加顶点 */
    public void addVertex(Vertex vet) {
        if (adjList.containsKey(vet))
            return;
        // 在邻接表中添加一个新链表
        adjList.put(vet, new ArrayList<>());
    }

    /* 删除顶点 */
    public void removeVertex(Vertex vet) {
        if (!adjList.containsKey(vet))
            throw new IllegalArgumentException();
        // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
        adjList.remove(vet);
        // 遍历其他顶点的链表，删除所有包含 vet 的边
        for (List<Vertex> list : adjList.values()) {
            list.remove(vet);
        }
    }

    /* 打印邻接表 */
    public void print() {
        System.out.println("邻接表 =");
        for (Map.Entry<Vertex, List<Vertex>> entry : adjList.entrySet()) {
            List<Integer> tmp = new ArrayList<>();
            for (Vertex vertex : entry.getValue())
                tmp.add(vertex.val);
            System.out.println(entry.getKey().val + ": " + tmp + ",");
        }
    }
}

graph_adjacency_list.cpp

/* 基于邻接表实现的无向图类 */
class GraphAdjList {
  public:
    // 邻接表，key: 顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
    unordered_map<Vertex *, vector<Vertex *>> adjList;

    /* 在 vector 中删除指定节点 */
    void remove(vector<Vertex *> &vec, Vertex *vet) {
        for (int i = 0; i < vec.size(); i++) {
            if (vec[i] == vet) {
                vec.erase(vec.begin() + i);
                break;
            }
        }
    }

    /* 构造方法 */
    GraphAdjList(const vector<vector<Vertex *>> &edges) {
        // 添加所有顶点和边
        for (const vector<Vertex *> &edge : edges) {
            addVertex(edge[0]);
            addVertex(edge[1]);
            addEdge(edge[0], edge[1]);
        }
    }

    /* 获取顶点数量 */
    int size() {
        return adjList.size();
    }

    /* 添加边 */
    void addEdge(Vertex *vet1, Vertex *vet2) {
        if (!adjList.count(vet1) || !adjList.count(vet2) || vet1 == vet2)
            throw invalid_argument("不存在顶点");
        // 添加边 vet1 - vet2
        adjList[vet1].push_back(vet2);
        adjList[vet2].push_back(vet1);
    }

    /* 删除边 */
    void removeEdge(Vertex *vet1, Vertex *vet2) {
        if (!adjList.count(vet1) || !adjList.count(vet2) || vet1 == vet2)
            throw invalid_argument("不存在顶点");
        // 删除边 vet1 - vet2
        remove(adjList[vet1], vet2);
        remove(adjList[vet2], vet1);
    }

    /* 添加顶点 */
    void addVertex(Vertex *vet) {
        if (adjList.count(vet))
            return;
        // 在邻接表中添加一个新链表
        adjList[vet] = vector<Vertex *>();
    }

    /* 删除顶点 */
    void removeVertex(Vertex *vet) {
        if (!adjList.count(vet))
            throw invalid_argument("不存在顶点");
        // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
        adjList.erase(vet);
        // 遍历其他顶点的链表，删除所有包含 vet 的边
        for (auto &adj : adjList) {
            remove(adj.second, vet);
        }
    }

    /* 打印邻接表 */
    void print() {
        cout << "邻接表 =" << endl;
        for (auto &adj : adjList) {
            const auto &key = adj.first;
            const auto &vec = adj.second;
            cout << key->val << ": ";
            printVector(vetsToVals(vec));
        }
    }
};

graph_adjacency_list.py

class GraphAdjList:
    """基于邻接表实现的无向图类"""

    def __init__(self, edges: list[list[Vertex]]) -> None:
        """构造方法"""
        # 邻接表，key: 顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
        self.adj_list = dict[Vertex, Vertex]()
        # 添加所有顶点和边
        for edge in edges:
            self.add_vertex(edge[0])
            self.add_vertex(edge[1])
            self.add_edge(edge[0], edge[1])

    def size(self) -> int:
        """获取顶点数量"""
        return len(self.adj_list)

    def add_edge(self, vet1: Vertex, vet2: Vertex) -> None:
        """添加边"""
        if vet1 not in self.adj_list or vet2 not in self.adj_list or vet1 == vet2:
            raise ValueError
        # 添加边 vet1 - vet2
        self.adj_list[vet1].append(vet2)
        self.adj_list[vet2].append(vet1)

    def remove_edge(self, vet1: Vertex, vet2: Vertex) -> None:
        """删除边"""
        if vet1 not in self.adj_list or vet2 not in self.adj_list or vet1 == vet2:
            raise ValueError
        # 删除边 vet1 - vet2
        self.adj_list[vet1].remove(vet2)
        self.adj_list[vet2].remove(vet1)

    def add_vertex(self, vet: Vertex) -> None:
        """添加顶点"""
        if vet in self.adj_list:
            return
        # 在邻接表中添加一个新链表
        self.adj_list[vet] = []

    def remove_vertex(self, vet: Vertex) -> None:
        """删除顶点"""
        if vet not in self.adj_list:
            raise ValueError
        # 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
        self.adj_list.pop(vet)
        # 遍历其他顶点的链表，删除所有包含 vet 的边
        for vertex in self.adj_list:
            if vet in self.adj_list[vertex]:
                self.adj_list[vertex].remove(vet)

    def print(self) -> None:
        """打印邻接表"""
        print("邻接表 =")
        for vertex in self.adj_list:
            tmp = [v.val for v in self.adj_list[vertex]]
            print(f"{vertex.val}: {tmp},")

graph_adjacency_list.go

/* 基于邻接表实现的无向图类 */
type graphAdjList struct {
    // 邻接表，key: 顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
    adjList map[Vertex][]Vertex
}

/* 构造方法 */
func newGraphAdjList(edges [][]Vertex) *graphAdjList {
    g := &graphAdjList{
        adjList: make(map[Vertex][]Vertex),
    }
    // 添加所有顶点和边
    for _, edge := range edges {
        g.addVertex(edge[0])
        g.addVertex(edge[1])
        g.addEdge(edge[0], edge[1])
    }
    return g
}

/* 获取顶点数量 */
func (g *graphAdjList) size() int {
    return len(g.adjList)
}

/* 添加边 */
func (g *graphAdjList) addEdge(vet1 Vertex, vet2 Vertex) {
    _, ok1 := g.adjList[vet1]
    _, ok2 := g.adjList[vet2]
    if !ok1 || !ok2 || vet1 == vet2 {
        panic("error")
    }
    // 添加边 vet1 - vet2, 添加匿名 struct{},
    g.adjList[vet1] = append(g.adjList[vet1], vet2)
    g.adjList[vet2] = append(g.adjList[vet2], vet1)
}

/* 删除边 */
func (g *graphAdjList) removeEdge(vet1 Vertex, vet2 Vertex) {
    _, ok1 := g.adjList[vet1]
    _, ok2 := g.adjList[vet2]
    if !ok1 || !ok2 || vet1 == vet2 {
        panic("error")
    }
    // 删除边 vet1 - vet2
    DeleteSliceElms(g.adjList[vet1], vet2)
    DeleteSliceElms(g.adjList[vet2], vet1)
}

/* 添加顶点 */
func (g *graphAdjList) addVertex(vet Vertex) {
    _, ok := g.adjList[vet]
    if ok {
        return
    }
    // 在邻接表中添加一个新链表
    g.adjList[vet] = make([]Vertex, 0)
}

/* 删除顶点 */
func (g *graphAdjList) removeVertex(vet Vertex) {
    _, ok := g.adjList[vet]
    if !ok {
        panic("error")
    }
    // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
    delete(g.adjList, vet)
    // 遍历其他顶点的链表，删除所有包含 vet 的边
    for _, list := range g.adjList {
        DeleteSliceElms(list, vet)
    }
}

/* 打印邻接表 */
func (g *graphAdjList) print() {
    var builder strings.Builder
    fmt.Printf("邻接表 = \n")
    for k, v := range g.adjList {
        builder.WriteString("\t\t" + strconv.Itoa(k.Val) + ": ")
        for _, vet := range v {
            builder.WriteString(strconv.Itoa(vet.Val) + " ")
        }
        fmt.Println(builder.String())
        builder.Reset()
    }
}

graph_adjacency_list.js

/* 基于邻接表实现的无向图类 */
class GraphAdjList {
    // 邻接表，key: 顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
    adjList;

    /* 构造方法 */
    constructor(edges) {
        this.adjList = new Map();
        // 添加所有顶点和边
        for (const edge of edges) {
            this.addVertex(edge[0]);
            this.addVertex(edge[1]);
            this.addEdge(edge[0], edge[1]);
        }
    }

    /* 获取顶点数量 */
    size() {
        return this.adjList.size;
    }

    /* 添加边 */
    addEdge(vet1, vet2) {
        if (!this.adjList.has(vet1) || !this.adjList.has(vet2) || vet1 === vet2) {
            throw new Error("Illegal Argument Exception");
        }
        // 添加边 vet1 - vet2
        this.adjList.get(vet1).push(vet2);
        this.adjList.get(vet2).push(vet1);
    }

    /* 删除边 */
    removeEdge(vet1, vet2) {
        if (!this.adjList.has(vet1) || !this.adjList.has(vet2) || vet1 === vet2) {
            throw new Error("Illegal Argument Exception");
        }
        // 删除边 vet1 - vet2
        this.adjList.get(vet1).splice(this.adjList.get(vet1).indexOf(vet2), 1);
        this.adjList.get(vet2).splice(this.adjList.get(vet2).indexOf(vet1), 1);
    }

    /* 添加顶点 */
    addVertex(vet) {
        if (this.adjList.has(vet)) return;
        // 在邻接表中添加一个新链表
        this.adjList.set(vet, []);
    }

    /* 删除顶点 */
    removeVertex(vet) {
        if (!this.adjList.has(vet)) {
            throw new Error("Illegal Argument Exception");
        }
        // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
        this.adjList.delete(vet);
        // 遍历其他顶点的链表，删除所有包含 vet 的边
        for (let set of this.adjList.values()) {
            const index = set.indexOf(vet);
            if (index > -1) {
                set.splice(index, 1);
            }
        }
    }

    /* 打印邻接表 */
    print() {
        console.log("邻接表 =");
        for (const [key, value] of this.adjList) {
            const tmp = [];
            for (const vertex of value) {
                tmp.push(vertex.val);
            }
            console.log(key.val + ": " + tmp.join());
        }
    }
}

graph_adjacency_list.ts

/* 基于邻接表实现的无向图类 */
class GraphAdjList {
    // 邻接表，key: 顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
    adjList: Map<Vertex, Vertex[]>;

    /* 构造方法 */
    constructor(edges: Vertex[][]) {
        this.adjList = new Map();
        // 添加所有顶点和边
        for (const edge of edges) {
            this.addVertex(edge[0]);
            this.addVertex(edge[1]);
            this.addEdge(edge[0], edge[1]);
        }
    }

    /* 获取顶点数量 */
    size(): number {
        return this.adjList.size;
    }

    /* 添加边 */
    addEdge(vet1: Vertex, vet2: Vertex): void {
        if (!this.adjList.has(vet1) || !this.adjList.has(vet2) || vet1 === vet2) {
            throw new Error('Illegal Argument Exception');
        }
        // 添加边 vet1 - vet2
        this.adjList.get(vet1).push(vet2);
        this.adjList.get(vet2).push(vet1);
    }

    /* 删除边 */
    removeEdge(vet1: Vertex, vet2: Vertex): void {
        if (!this.adjList.has(vet1) || !this.adjList.has(vet2) || vet1 === vet2) {
            throw new Error('Illegal Argument Exception');
        }
        // 删除边 vet1 - vet2
        this.adjList.get(vet1).splice(this.adjList.get(vet1).indexOf(vet2), 1);
        this.adjList.get(vet2).splice(this.adjList.get(vet2).indexOf(vet1), 1);
    }

    /* 添加顶点 */
    addVertex(vet: Vertex): void {
        if (this.adjList.has(vet)) return;
        // 在邻接表中添加一个新链表
        this.adjList.set(vet, []);
    }

    /* 删除顶点 */
    removeVertex(vet: Vertex): void {
        if (!this.adjList.has(vet)) {
            throw new Error('Illegal Argument Exception');
        }
        // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
        this.adjList.delete(vet);
        // 遍历其他顶点的链表，删除所有包含 vet 的边
        for (let set of this.adjList.values()) {
            const index: number = set.indexOf(vet);
            if (index > -1) {
                set.splice(index, 1);
            }
        }
    }

    /* 打印邻接表 */
    print(): void {
        console.log('邻接表 =');
        for (const [key, value] of this.adjList.entries()) {
            const tmp = [];
            for (const vertex of value) {
                tmp.push(vertex.val);
            }
            console.log(key.val + ': ' + tmp.join());
        }
    }
}

graph_adjacency_list.c

[class]{graphAdjList}-[func]{}

graph_adjacency_list.cs

/* 基于邻接表实现的无向图类 */
class GraphAdjList
{
    // 邻接表，key: 顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
    public Dictionary<Vertex, List<Vertex>> adjList;

    /* 构造函数 */
    public GraphAdjList(Vertex[][] edges)
    {
        this.adjList = new Dictionary<Vertex, List<Vertex>>();
        // 添加所有顶点和边
        foreach (Vertex[] edge in edges)
        {
            addVertex(edge[0]);
            addVertex(edge[1]);
            addEdge(edge[0], edge[1]);
        }
    }

    /* 获取顶点数量 */
    public int size()
    {
        return adjList.Count;
    }

    /* 添加边 */
    public void addEdge(Vertex vet1, Vertex vet2)
    {
        if (!adjList.ContainsKey(vet1) || !adjList.ContainsKey(vet2) || vet1 == vet2)
            throw new InvalidOperationException();
        // 添加边 vet1 - vet2
        adjList[vet1].Add(vet2);
        adjList[vet2].Add(vet1);
    }

    /* 删除边 */
    public void removeEdge(Vertex vet1, Vertex vet2)
    {
        if (!adjList.ContainsKey(vet1) || !adjList.ContainsKey(vet2) || vet1 == vet2)
            throw new InvalidOperationException();
        // 删除边 vet1 - vet2
        adjList[vet1].Remove(vet2);
        adjList[vet2].Remove(vet1);
    }

    /* 添加顶点 */
    public void addVertex(Vertex vet)
    {
        if (adjList.ContainsKey(vet))
            return;
        // 在邻接表中添加一个新链表
        adjList.Add(vet, new List<Vertex>());
    }

    /* 删除顶点 */
    public void removeVertex(Vertex vet)
    {
        if (!adjList.ContainsKey(vet))
            throw new InvalidOperationException();
        // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
        adjList.Remove(vet);
        // 遍历其他顶点的链表，删除所有包含 vet 的边
        foreach (List<Vertex> list in adjList.Values)
        {
            list.Remove(vet);
        }
    }

    /* 打印邻接表 */
    public void print()
    {
        Console.WriteLine("邻接表 =");
        foreach (KeyValuePair<Vertex, List<Vertex>> entry in adjList)
        {
            List<int> tmp = new List<int>();
            foreach (Vertex vertex in entry.Value)
                tmp.Add(vertex.Val);
            Console.WriteLine(entry.Key.Val + ": [" + string.Join(", ", tmp) + "],");
        }
    }
}

graph_adjacency_list.swift

/* 基于邻接表实现的无向图类 */
class GraphAdjList {
    // 邻接表，key: 顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
    public private(set) var adjList: [Vertex: [Vertex]]

    /* 构造方法 */
    public init(edges: [[Vertex]]) {
        adjList = [:]
        // 添加所有顶点和边
        for edge in edges {
            addVertex(vet: edge[0])
            addVertex(vet: edge[1])
            addEdge(vet1: edge[0], vet2: edge[1])
        }
    }

    /* 获取顶点数量 */
    public func size() -> Int {
        adjList.count
    }

    /* 添加边 */
    public func addEdge(vet1: Vertex, vet2: Vertex) {
        if adjList[vet1] == nil || adjList[vet2] == nil || vet1 == vet2 {
            fatalError("参数错误")
        }
        // 添加边 vet1 - vet2
        adjList[vet1]?.append(vet2)
        adjList[vet2]?.append(vet1)
    }

    /* 删除边 */
    public func removeEdge(vet1: Vertex, vet2: Vertex) {
        if adjList[vet1] == nil || adjList[vet2] == nil || vet1 == vet2 {
            fatalError("参数错误")
        }
        // 删除边 vet1 - vet2
        adjList[vet1]?.removeAll(where: { $0 == vet2 })
        adjList[vet2]?.removeAll(where: { $0 == vet1 })
    }

    /* 添加顶点 */
    public func addVertex(vet: Vertex) {
        if adjList[vet] != nil {
            return
        }
        // 在邻接表中添加一个新链表
        adjList[vet] = []
    }

    /* 删除顶点 */
    public func removeVertex(vet: Vertex) {
        if adjList[vet] == nil {
            fatalError("参数错误")
        }
        // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
        adjList.removeValue(forKey: vet)
        // 遍历其他顶点的链表，删除所有包含 vet 的边
        for key in adjList.keys {
            adjList[key]?.removeAll(where: { $0 == vet })
        }
    }

    /* 打印邻接表 */
    public func print() {
        Swift.print("邻接表 =")
        for entry in adjList {
            var tmp: [Int] = []
            for vertex in entry.value {
                tmp.append(vertex.val)
            }
            Swift.print("\(entry.key.val): \(tmp),")
        }
    }
}

graph_adjacency_list.zig

[class]{GraphAdjList}-[func]{}

9.2.3.   效率对比

设图中共有 \(n\) 个顶点和 \(m\) 条边，下表为邻接矩阵和邻接表的时间和空间效率对比。

	邻接矩阵	邻接表（链表）	邻接表（哈希表）
判断是否邻接	\(O(1)\)	\(O(m)\)	\(O(1)\)
添加边	\(O(1)\)	\(O(1)\)	\(O(1)\)
删除边	\(O(1)\)	\(O(m)\)	\(O(1)\)
添加顶点	\(O(n)\)	\(O(1)\)	\(O(1)\)
删除顶点	\(O(n^2)\)	\(O(n + m)\)	\(O(n)\)
内存空间占用	\(O(n^2)\)	\(O(n + m)\)	\(O(n + m)\)

观察上表，似乎邻接表（哈希表）的时间与空间效率最优。但实际上，在邻接矩阵中操作边的效率更高，只需要一次数组访问或赋值操作即可。综合来看，邻接矩阵体现了“以空间换时间”的原则，而邻接表体现了“以时间换空间”的原则。

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