15.4 最大切分乘积问题¶
Question
给定一个正整数 \(n\) ，将其切分为至少两个正整数的和，求切分后所有整数的乘积最大是多少。
图 15-13 最大切分乘积的问题定义
假设我们将 \(n\) 切分为 \(m\) 个整数因子，其中第 \(i\) 个因子记为 \(n_i\) ，即
\[
n = \sum_{i=1}^{m}n_i
\]
本题目标是求得所有整数因子的最大乘积，即
\[
\max(\prod_{i=1}^{m}n_i)
\]
我们需要思考的是：切分数量 \(m\) 应该多大，每个 \(n_i\) 应该是多少？
1. 贪心策略确定¶
根据经验，两个整数的乘积往往比它们的加和更大。假设从 \(n\) 中分出一个因子 \(2\) ，则它们的乘积为 \(2(n-2)\) 。我们将该乘积与 \(n\) 作比较：
\[
\begin{aligned}
2(n-2) & \geq n \newline
2n - n - 4 & \geq 0 \newline
n & \geq 4
\end{aligned}
\]
如图 15-14 所示，当 \(n \geq 4\) 时，切分出一个 \(2\) 后乘积会变大，这说明大于等于 \(4\) 的整数都应该被切分。
贪心策略一：如果切分方案中包含 \(\geq 4\) 的因子，那么它就应该被继续切分。最终的切分方案只应出现 \(1\)、\(2\)、\(3\) 这三种因子。
图 15-14 切分导致乘积变大
接下来思考哪个因子是最优的。在 \(1\)、\(2\)、\(3\) 这三个因子中，显然 \(1\) 是最差的，因为 \(1 \times (n-1) < n\) 恒成立，即切分出 \(1\) 反而会导致乘积减小。
如图 15-15 所示，当 \(n = 6\) 时，有 \(3 \times 3 > 2 \times 2 \times 2\) 。这意味着切分出 \(3\) 比切分出 \(2\) 更优。
贪心策略二：在切分方案中，最多只应存在两个 \(2\) 。因为三个 \(2\) 总是可以被替换为两个 \(3\) ，从而获得更大乘积。
图 15-15 最优切分因子
总结以上，可推出以下贪心策略。
- 输入整数 \(n\) ，从其不断地切分出因子 \(3\) ，直至余数为 \(0\)、\(1\)、\(2\) 。
- 当余数为 \(0\) 时，代表 \(n\) 是 \(3\) 的倍数，因此不做任何处理。
- 当余数为 \(2\) 时，不继续划分，保留之。
- 当余数为 \(1\) 时，由于 \(2 \times 2 > 1 \times 3\) ，因此应将最后一个 \(3\) 替换为 \(2\) 。
2. 代码实现¶
如图 15-16 所示，我们无须通过循环来切分整数，而可以利用向下整除运算得到 \(3\) 的个数 \(a\) ，用取模运算得到余数 \(b\) ，此时有：
\[
n = 3 a + b
\]
请注意，对于 \(n \leq 3\) 的边界情况，必须拆分出一个 \(1\) ，乘积为 \(1 \times (n - 1)\) 。
max_product_cutting.java
/* 最大切分乘积：贪心 */
int maxProductCutting(int n) {
// 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
if (n <= 3) {
return 1 * (n - 1);
}
// 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
int a = n / 3;
int b = n % 3;
if (b == 1) {
// 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
return (int) Math.pow(3, a - 1) * 2 * 2;
}
if (b == 2) {
// 当余数为 2 时，不做处理
return (int) Math.pow(3, a) * 2;
}
// 当余数为 0 时，不做处理
return (int) Math.pow(3, a);
}
max_product_cutting.cpp
/* 最大切分乘积：贪心 */
int maxProductCutting(int n) {
// 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
if (n <= 3) {
return 1 * (n - 1);
}
// 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
int a = n / 3;
int b = n % 3;
if (b == 1) {
// 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
return (int)pow(3, a - 1) * 2 * 2;
}
if (b == 2) {
// 当余数为 2 时，不做处理
return (int)pow(3, a) * 2;
}
// 当余数为 0 时，不做处理
return (int)pow(3, a);
}
max_product_cutting.py
def max_product_cutting(n: int) -> int:
"""最大切分乘积：贪心"""
# 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
if n <= 3:
return 1 * (n - 1)
# 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
a, b = n // 3, n % 3
if b == 1:
# 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
return int(math.pow(3, a - 1)) * 2 * 2
if b == 2:
# 当余数为 2 时，不做处理
return int(math.pow(3, a)) * 2
# 当余数为 0 时，不做处理
return int(math.pow(3, a))
max_product_cutting.go
/* 最大切分乘积：贪心 */
func maxProductCutting(n int) int {
// 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
if n <= 3 {
return 1 * (n - 1)
}
// 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
a := n / 3
b := n % 3
if b == 1 {
// 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
return int(math.Pow(3, float64(a-1))) * 2 * 2
}
if b == 2 {
// 当余数为 2 时，不做处理
return int(math.Pow(3, float64(a))) * 2
}
// 当余数为 0 时，不做处理
return int(math.Pow(3, float64(a)))
}
max_product_cutting.js
/* 最大切分乘积：贪心 */
function maxProductCutting(n) {
// 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
if (n <= 3) {
return 1 * (n - 1);
}
// 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
let a = Math.floor(n / 3);
let b = n % 3;
if (b === 1) {
// 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
return Math.pow(3, a - 1) * 2 * 2;
}
if (b === 2) {
// 当余数为 2 时，不做处理
return Math.pow(3, a) * 2;
}
// 当余数为 0 时，不做处理
return Math.pow(3, a);
}
max_product_cutting.ts
/* 最大切分乘积：贪心 */
function maxProductCutting(n: number): number {
// 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
if (n <= 3) {
return 1 * (n - 1);
}
// 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
let a: number = Math.floor(n / 3);
let b: number = n % 3;
if (b === 1) {
// 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
return Math.pow(3, a - 1) * 2 * 2;
}
if (b === 2) {
// 当余数为 2 时，不做处理
return Math.pow(3, a) * 2;
}
// 当余数为 0 时，不做处理
return Math.pow(3, a);
}
max_product_cutting.cs
/* 最大切分乘积：贪心 */
int maxProductCutting(int n) {
// 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
if (n <= 3) {
return 1 * (n - 1);
}
// 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
int a = n / 3;
int b = n % 3;
if (b == 1) {
// 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
return (int)Math.Pow(3, a - 1) * 2 * 2;
}
if (b == 2) {
// 当余数为 2 时，不做处理
return (int)Math.Pow(3, a) * 2;
}
// 当余数为 0 时，不做处理
return (int)Math.Pow(3, a);
}
max_product_cutting.dart
/* 最大切分乘积：贪心 */
int maxProductCutting(int n) {
// 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
if (n <= 3) {
return 1 * (n - 1);
}
// 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
int a = n ~/ 3;
int b = n % 3;
if (b == 1) {
// 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
return (pow(3, a - 1) * 2 * 2).toInt();
}
if (b == 2) {
// 当余数为 2 时，不做处理
return (pow(3, a) * 2).toInt();
}
// 当余数为 0 时，不做处理
return pow(3, a).toInt();
}
max_product_cutting.rs
/* 最大切分乘积：贪心 */
fn max_product_cutting(n: i32) -> i32 {
// 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
if n <= 3 {
return 1 * (n - 1);
}
// 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
let a = n / 3;
let b = n % 3;
if b == 1 {
// 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
3_i32.pow(a as u32 - 1) * 2 * 2
} else if b == 2 {
// 当余数为 2 时，不做处理
3_i32.pow(a as u32) * 2
} else {
// 当余数为 0 时，不做处理
3_i32.pow(a as u32)
}
}
图 15-16 最大切分乘积的计算方法
时间复杂度取决于编程语言的幂运算的实现方法。以 Python 为例，常用的幂计算函数有三种。
- 运算符
**和函数pow()的时间复杂度均为 \(O(\log a)\) 。 - 函数
math.pow()内部调用 C 语言库的pow()函数，其执行浮点取幂，时间复杂度为 \(O(1)\) 。
变量 \(a\) 和 \(b\) 使用常数大小的额外空间，因此空间复杂度为 \(O(1)\) 。
3. 正确性证明¶
使用反证法，只分析 \(n \geq 3\) 的情况。
- 所有因子 \(\leq 3\) ：假设最优切分方案中存在 \(\geq 4\) 的因子 \(x\) ，那么一定可以将其继续划分为 \(2(x-2)\) ，从而获得更大的乘积。这与假设矛盾。
- 切分方案不包含 \(1\) ：假设最优切分方案中存在一个因子 \(1\) ，那么它一定可以合并入另外一个因子中，以获取更大乘积。这与假设矛盾。
- 切分方案最多包含两个 \(2\) ：假设最优切分方案中包含三个 \(2\) ，那么一定可以替换为两个 \(3\) ，乘积更大。这与假设矛盾。