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14.1   初探動態規劃

動態規劃（dynamic programming）是一個重要的演算法範式，它將一個問題分解為一系列更小的子問題，並透過儲存子問題的解來避免重複計算，從而大幅提升時間效率。

在本節中，我們從一個經典例題入手，先給出它的暴力回溯解法，觀察其中包含的重疊子問題，再逐步導出更高效的動態規劃解法。

爬樓梯

給定一個共有 \(n\) 階的樓梯，你每步可以上 \(1\) 階或者 \(2\) 階，請問有多少種方案可以爬到樓頂？

如圖 14-1 所示，對於一個 \(3\) 階樓梯，共有 \(3\) 種方案可以爬到樓頂。

爬到第 3 階的方案數量

圖 14-1   爬到第 3 階的方案數量

本題的目標是求解方案數量，我們可以考慮透過回溯來窮舉所有可能性。具體來說，將爬樓梯想象為一個多輪選擇的過程：從地面出發，每輪選擇上 \(1\) 階或 \(2\) 階，每當到達樓梯頂部時就將方案數量加 \(1\) ，當越過樓梯頂部時就將其剪枝。程式碼如下所示：

climbing_stairs_backtrack.py
def backtrack(choices: list[int], state: int, n: int, res: list[int]) -> int:
    """回溯"""
    # 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
    if state == n:
        res[0] += 1
    # 走訪所有選擇
    for choice in choices:
        # 剪枝：不允許越過第 n 階
        if state + choice > n:
            continue
        # 嘗試：做出選擇，更新狀態
        backtrack(choices, state + choice, n, res)
        # 回退

def climbing_stairs_backtrack(n: int) -> int:
    """爬樓梯：回溯"""
    choices = [1, 2]  # 可選擇向上爬 1 階或 2 階
    state = 0  # 從第 0 階開始爬
    res = [0]  # 使用 res[0] 記錄方案數量
    backtrack(choices, state, n, res)
    return res[0]
climbing_stairs_backtrack.cpp
/* 回溯 */
void backtrack(vector<int> &choices, int state, int n, vector<int> &res) {
    // 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
    if (state == n)
        res[0]++;
    // 走訪所有選擇
    for (auto &choice : choices) {
        // 剪枝：不允許越過第 n 階
        if (state + choice > n)
            continue;
        // 嘗試：做出選擇，更新狀態
        backtrack(choices, state + choice, n, res);
        // 回退
    }
}

/* 爬樓梯：回溯 */
int climbingStairsBacktrack(int n) {
    vector<int> choices = {1, 2}; // 可選擇向上爬 1 階或 2 階
    int state = 0;                // 從第 0 階開始爬
    vector<int> res = {0};        // 使用 res[0] 記錄方案數量
    backtrack(choices, state, n, res);
    return res[0];
}
climbing_stairs_backtrack.java
/* 回溯 */
void backtrack(List<Integer> choices, int state, int n, List<Integer> res) {
    // 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
    if (state == n)
        res.set(0, res.get(0) + 1);
    // 走訪所有選擇
    for (Integer choice : choices) {
        // 剪枝：不允許越過第 n 階
        if (state + choice > n)
            continue;
        // 嘗試：做出選擇，更新狀態
        backtrack(choices, state + choice, n, res);
        // 回退
    }
}

/* 爬樓梯：回溯 */
int climbingStairsBacktrack(int n) {
    List<Integer> choices = Arrays.asList(1, 2); // 可選擇向上爬 1 階或 2 階
    int state = 0; // 從第 0 階開始爬
    List<Integer> res = new ArrayList<>();
    res.add(0); // 使用 res[0] 記錄方案數量
    backtrack(choices, state, n, res);
    return res.get(0);
}
climbing_stairs_backtrack.cs
/* 回溯 */
void Backtrack(List<int> choices, int state, int n, List<int> res) {
    // 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
    if (state == n)
        res[0]++;
    // 走訪所有選擇
    foreach (int choice in choices) {
        // 剪枝：不允許越過第 n 階
        if (state + choice > n)
            continue;
        // 嘗試：做出選擇，更新狀態
        Backtrack(choices, state + choice, n, res);
        // 回退
    }
}

/* 爬樓梯：回溯 */
int ClimbingStairsBacktrack(int n) {
    List<int> choices = [1, 2]; // 可選擇向上爬 1 階或 2 階
    int state = 0; // 從第 0 階開始爬
    List<int> res = [0]; // 使用 res[0] 記錄方案數量
    Backtrack(choices, state, n, res);
    return res[0];
}
climbing_stairs_backtrack.go
/* 回溯 */
func backtrack(choices []int, state, n int, res []int) {
    // 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
    if state == n {
        res[0] = res[0] + 1
    }
    // 走訪所有選擇
    for _, choice := range choices {
        // 剪枝：不允許越過第 n 階
        if state+choice > n {
            continue
        }
        // 嘗試：做出選擇，更新狀態
        backtrack(choices, state+choice, n, res)
        // 回退
    }
}

/* 爬樓梯：回溯 */
func climbingStairsBacktrack(n int) int {
    // 可選擇向上爬 1 階或 2 階
    choices := []int{1, 2}
    // 從第 0 階開始爬
    state := 0
    res := make([]int, 1)
    // 使用 res[0] 記錄方案數量
    res[0] = 0
    backtrack(choices, state, n, res)
    return res[0]
}
climbing_stairs_backtrack.swift
/* 回溯 */
func backtrack(choices: [Int], state: Int, n: Int, res: inout [Int]) {
    // 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
    if state == n {
        res[0] += 1
    }
    // 走訪所有選擇
    for choice in choices {
        // 剪枝：不允許越過第 n 階
        if state + choice > n {
            continue
        }
        // 嘗試：做出選擇，更新狀態
        backtrack(choices: choices, state: state + choice, n: n, res: &res)
        // 回退
    }
}

/* 爬樓梯：回溯 */
func climbingStairsBacktrack(n: Int) -> Int {
    let choices = [1, 2] // 可選擇向上爬 1 階或 2 階
    let state = 0 // 從第 0 階開始爬
    var res: [Int] = []
    res.append(0) // 使用 res[0] 記錄方案數量
    backtrack(choices: choices, state: state, n: n, res: &res)
    return res[0]
}
climbing_stairs_backtrack.js
/* 回溯 */
function backtrack(choices, state, n, res) {
    // 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
    if (state === n) res.set(0, res.get(0) + 1);
    // 走訪所有選擇
    for (const choice of choices) {
        // 剪枝：不允許越過第 n 階
        if (state + choice > n) continue;
        // 嘗試：做出選擇，更新狀態
        backtrack(choices, state + choice, n, res);
        // 回退
    }
}

/* 爬樓梯：回溯 */
function climbingStairsBacktrack(n) {
    const choices = [1, 2]; // 可選擇向上爬 1 階或 2 階
    const state = 0; // 從第 0 階開始爬
    const res = new Map();
    res.set(0, 0); // 使用 res[0] 記錄方案數量
    backtrack(choices, state, n, res);
    return res.get(0);
}
climbing_stairs_backtrack.ts
/* 回溯 */
function backtrack(
    choices: number[],
    state: number,
    n: number,
    res: Map<0, any>
): void {
    // 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
    if (state === n) res.set(0, res.get(0) + 1);
    // 走訪所有選擇
    for (const choice of choices) {
        // 剪枝：不允許越過第 n 階
        if (state + choice > n) continue;
        // 嘗試：做出選擇，更新狀態
        backtrack(choices, state + choice, n, res);
        // 回退
    }
}

/* 爬樓梯：回溯 */
function climbingStairsBacktrack(n: number): number {
    const choices = [1, 2]; // 可選擇向上爬 1 階或 2 階
    const state = 0; // 從第 0 階開始爬
    const res = new Map();
    res.set(0, 0); // 使用 res[0] 記錄方案數量
    backtrack(choices, state, n, res);
    return res.get(0);
}
climbing_stairs_backtrack.dart
/* 回溯 */
void backtrack(List<int> choices, int state, int n, List<int> res) {
  // 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
  if (state == n) {
    res[0]++;
  }
  // 走訪所有選擇
  for (int choice in choices) {
    // 剪枝：不允許越過第 n 階
    if (state + choice > n) continue;
    // 嘗試：做出選擇，更新狀態
    backtrack(choices, state + choice, n, res);
    // 回退
  }
}

/* 爬樓梯：回溯 */
int climbingStairsBacktrack(int n) {
  List<int> choices = [1, 2]; // 可選擇向上爬 1 階或 2 階
  int state = 0; // 從第 0 階開始爬
  List<int> res = [];
  res.add(0); // 使用 res[0] 記錄方案數量
  backtrack(choices, state, n, res);
  return res[0];
}
climbing_stairs_backtrack.rs
/* 回溯 */
fn backtrack(choices: &[i32], state: i32, n: i32, res: &mut [i32]) {
    // 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
    if state == n {
        res[0] = res[0] + 1;
    }
    // 走訪所有選擇
    for &choice in choices {
        // 剪枝：不允許越過第 n 階
        if state + choice > n {
            continue;
        }
        // 嘗試：做出選擇，更新狀態
        backtrack(choices, state + choice, n, res);
        // 回退
    }
}

/* 爬樓梯：回溯 */
fn climbing_stairs_backtrack(n: usize) -> i32 {
    let choices = vec![1, 2]; // 可選擇向上爬 1 階或 2 階
    let state = 0; // 從第 0 階開始爬
    let mut res = Vec::new();
    res.push(0); // 使用 res[0] 記錄方案數量
    backtrack(&choices, state, n as i32, &mut res);
    res[0]
}
climbing_stairs_backtrack.c
/* 回溯 */
void backtrack(int *choices, int state, int n, int *res, int len) {
    // 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
    if (state == n)
        res[0]++;
    // 走訪所有選擇
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        int choice = choices[i];
        // 剪枝：不允許越過第 n 階
        if (state + choice > n)
            continue;
        // 嘗試：做出選擇，更新狀態
        backtrack(choices, state + choice, n, res, len);
        // 回退
    }
}

/* 爬樓梯：回溯 */
int climbingStairsBacktrack(int n) {
    int choices[2] = {1, 2}; // 可選擇向上爬 1 階或 2 階
    int state = 0;           // 從第 0 階開始爬
    int *res = (int *)malloc(sizeof(int));
    *res = 0; // 使用 res[0] 記錄方案數量
    int len = sizeof(choices) / sizeof(int);
    backtrack(choices, state, n, res, len);
    int result = *res;
    free(res);
    return result;
}
climbing_stairs_backtrack.kt
/* 回溯 */
fun backtrack(
    choices: MutableList<Int>,
    state: Int,
    n: Int,
    res: MutableList<Int>
) {
    // 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
    if (state == n)
        res[0] = res[0] + 1
    // 走訪所有選擇
    for (choice in choices) {
        // 剪枝：不允許越過第 n 階
        if (state + choice > n) continue
        // 嘗試：做出選擇，更新狀態
        backtrack(choices, state + choice, n, res)
        // 回退
    }
}

/* 爬樓梯：回溯 */
fun climbingStairsBacktrack(n: Int): Int {
    val choices = mutableListOf(1, 2) // 可選擇向上爬 1 階或 2 階
    val state = 0 // 從第 0 階開始爬
    val res = mutableListOf<Int>()
    res.add(0) // 使用 res[0] 記錄方案數量
    backtrack(choices, state, n, res)
    return res[0]
}
climbing_stairs_backtrack.rb
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{climbing_stairs_backtrack}
climbing_stairs_backtrack.zig
// 回溯
fn backtrack(choices: []i32, state: i32, n: i32, res: std.ArrayList(i32)) void {
    // 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
    if (state == n) {
        res.items[0] = res.items[0] + 1;
    }
    // 走訪所有選擇
    for (choices) |choice| {
        // 剪枝：不允許越過第 n 階
        if (state + choice > n) {
            continue;
        }
        // 嘗試：做出選擇，更新狀態
        backtrack(choices, state + choice, n, res);
        // 回退
    }
}

// 爬樓梯：回溯
fn climbingStairsBacktrack(n: usize) !i32 {
    var choices = [_]i32{ 1, 2 }; // 可選擇向上爬 1 階或 2 階
    var state: i32 = 0; // 從第 0 階開始爬
    var res = std.ArrayList(i32).init(std.heap.page_allocator);
    defer res.deinit();
    try res.append(0); // 使用 res[0] 記錄方案數量
    backtrack(&choices, state, @intCast(n), res);
    return res.items[0];
}
視覺化執行

14.1.1   方法一：暴力搜尋

回溯演算法通常並不顯式地對問題進行拆解，而是將求解問題看作一系列決策步驟，透過試探和剪枝，搜尋所有可能的解。

我們可以嘗試從問題分解的角度分析這道題。設爬到第 \(i\) 階共有 \(dp[i]\) 種方案，那麼 \(dp[i]\) 就是原問題，其子問題包括：

\[ dp[i-1], dp[i-2], \dots, dp[2], dp[1] \]

由於每輪只能上 \(1\) 階或 \(2\) 階，因此當我們站在第 \(i\) 階樓梯上時，上一輪只可能站在第 \(i - 1\) 階或第 \(i - 2\) 階上。換句話說，我們只能從第 \(i -1\) 階或第 \(i - 2\) 階邁向第 \(i\) 階。

由此便可得出一個重要推論：爬到第 \(i - 1\) 階的方案數加上爬到第 \(i - 2\) 階的方案數就等於爬到第 \(i\) 階的方案數。公式如下：

\[ dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] \]

這意味著在爬樓梯問題中，各個子問題之間存在遞推關係，原問題的解可以由子問題的解構建得來。圖 14-2 展示了該遞推關係。

方案數量遞推關係

圖 14-2   方案數量遞推關係

我們可以根據遞推公式得到暴力搜尋解法。以 \(dp[n]\) 為起始點，遞迴地將一個較大問題拆解為兩個較小問題的和，直至到達最小子問題 \(dp[1]\) 和 \(dp[2]\) 時返回。其中，最小子問題的解是已知的，即 \(dp[1] = 1\)、\(dp[2] = 2\) ，表示爬到第 \(1\)、\(2\) 階分別有 \(1\)、\(2\) 種方案。

觀察以下程式碼，它和標準回溯程式碼都屬於深度優先搜尋，但更加簡潔：

climbing_stairs_dfs.py
def dfs(i: int) -> int:
    """搜尋"""
    # 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if i == 1 or i == 2:
        return i
    # dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2)
    return count

def climbing_stairs_dfs(n: int) -> int:
    """爬樓梯：搜尋"""
    return dfs(n)
climbing_stairs_dfs.cpp
/* 搜尋 */
int dfs(int i) {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i == 1 || i == 2)
        return i;
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    int count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
    return count;
}

/* 爬樓梯：搜尋 */
int climbingStairsDFS(int n) {
    return dfs(n);
}
climbing_stairs_dfs.java
/* 搜尋 */
int dfs(int i) {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i == 1 || i == 2)
        return i;
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    int count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
    return count;
}

/* 爬樓梯：搜尋 */
int climbingStairsDFS(int n) {
    return dfs(n);
}
climbing_stairs_dfs.cs
/* 搜尋 */
int DFS(int i) {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i == 1 || i == 2)
        return i;
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    int count = DFS(i - 1) + DFS(i - 2);
    return count;
}

/* 爬樓梯：搜尋 */
int ClimbingStairsDFS(int n) {
    return DFS(n);
}
climbing_stairs_dfs.go
/* 搜尋 */
func dfs(i int) int {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if i == 1 || i == 2 {
        return i
    }
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    count := dfs(i-1) + dfs(i-2)
    return count
}

/* 爬樓梯：搜尋 */
func climbingStairsDFS(n int) int {
    return dfs(n)
}
climbing_stairs_dfs.swift
/* 搜尋 */
func dfs(i: Int) -> Int {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if i == 1 || i == 2 {
        return i
    }
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    let count = dfs(i: i - 1) + dfs(i: i - 2)
    return count
}

/* 爬樓梯：搜尋 */
func climbingStairsDFS(n: Int) -> Int {
    dfs(i: n)
}
climbing_stairs_dfs.js
/* 搜尋 */
function dfs(i) {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i === 1 || i === 2) return i;
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    const count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
    return count;
}

/* 爬樓梯：搜尋 */
function climbingStairsDFS(n) {
    return dfs(n);
}
climbing_stairs_dfs.ts
/* 搜尋 */
function dfs(i: number): number {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i === 1 || i === 2) return i;
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    const count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
    return count;
}

/* 爬樓梯：搜尋 */
function climbingStairsDFS(n: number): number {
    return dfs(n);
}
climbing_stairs_dfs.dart
/* 搜尋 */
int dfs(int i) {
  // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
  if (i == 1 || i == 2) return i;
  // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
  int count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
  return count;
}

/* 爬樓梯：搜尋 */
int climbingStairsDFS(int n) {
  return dfs(n);
}
climbing_stairs_dfs.rs
/* 搜尋 */
fn dfs(i: usize) -> i32 {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if i == 1 || i == 2 {
        return i as i32;
    }
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    let count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
    count
}

/* 爬樓梯：搜尋 */
fn climbing_stairs_dfs(n: usize) -> i32 {
    dfs(n)
}
climbing_stairs_dfs.c
/* 搜尋 */
int dfs(int i) {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i == 1 || i == 2)
        return i;
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    int count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
    return count;
}

/* 爬樓梯：搜尋 */
int climbingStairsDFS(int n) {
    return dfs(n);
}
climbing_stairs_dfs.kt
/* 搜尋 */
fun dfs(i: Int): Int {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i == 1 || i == 2) return i
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    val count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2)
    return count
}

/* 爬樓梯：搜尋 */
fun climbingStairsDFS(n: Int): Int {
    return dfs(n)
}
climbing_stairs_dfs.rb
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{climbing_stairs_dfs}
climbing_stairs_dfs.zig
// 搜尋
fn dfs(i: usize) i32 {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i == 1 or i == 2) {
        return @intCast(i);
    }
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    var count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
    return count;
}

// 爬樓梯：搜尋
fn climbingStairsDFS(comptime n: usize) i32 {
    return dfs(n);
}
視覺化執行

圖 14-3 展示了暴力搜尋形成的遞迴樹。對於問題 \(dp[n]\) ，其遞迴樹的深度為 \(n\) ，時間複雜度為 \(O(2^n)\) 。指數階屬於爆炸式增長，如果我們輸入一個比較大的 \(n\) ，則會陷入漫長的等待之中。

爬樓梯對應遞迴樹

圖 14-3   爬樓梯對應遞迴樹

觀察圖 14-3 ，指數階的時間複雜度是“重疊子問題”導致的。例如 \(dp[9]\) 被分解為 \(dp[8]\) 和 \(dp[7]\) ，\(dp[8]\) 被分解為 \(dp[7]\) 和 \(dp[6]\) ，兩者都包含子問題 \(dp[7]\) 。

以此類推，子問題中包含更小的重疊子問題，子子孫孫無窮盡也。絕大部分計算資源都浪費在這些重疊的子問題上。

14.1.2   方法二：記憶化搜尋

為了提升演算法效率，我們希望所有的重疊子問題都只被計算一次。為此，我們宣告一個陣列 mem 來記錄每個子問題的解，並在搜尋過程中將重疊子問題剪枝。

  1. 當首次計算 \(dp[i]\) 時，我們將其記錄至 mem[i] ，以便之後使用。
  2. 當再次需要計算 \(dp[i]\) 時，我們便可直接從 mem[i] 中獲取結果，從而避免重複計算該子問題。

程式碼如下所示：

climbing_stairs_dfs_mem.py
def dfs(i: int, mem: list[int]) -> int:
    """記憶化搜尋"""
    # 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if i == 1 or i == 2:
        return i
    # 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
    if mem[i] != -1:
        return mem[i]
    # dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem)
    # 記錄 dp[i]
    mem[i] = count
    return count

def climbing_stairs_dfs_mem(n: int) -> int:
    """爬樓梯：記憶化搜尋"""
    # mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
    mem = [-1] * (n + 1)
    return dfs(n, mem)
climbing_stairs_dfs_mem.cpp
/* 記憶化搜尋 */
int dfs(int i, vector<int> &mem) {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i == 1 || i == 2)
        return i;
    // 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
    if (mem[i] != -1)
        return mem[i];
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    int count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
    // 記錄 dp[i]
    mem[i] = count;
    return count;
}

/* 爬樓梯：記憶化搜尋 */
int climbingStairsDFSMem(int n) {
    // mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
    vector<int> mem(n + 1, -1);
    return dfs(n, mem);
}
climbing_stairs_dfs_mem.java
/* 記憶化搜尋 */
int dfs(int i, int[] mem) {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i == 1 || i == 2)
        return i;
    // 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
    if (mem[i] != -1)
        return mem[i];
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    int count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
    // 記錄 dp[i]
    mem[i] = count;
    return count;
}

/* 爬樓梯：記憶化搜尋 */
int climbingStairsDFSMem(int n) {
    // mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
    int[] mem = new int[n + 1];
    Arrays.fill(mem, -1);
    return dfs(n, mem);
}
climbing_stairs_dfs_mem.cs
/* 記憶化搜尋 */
int DFS(int i, int[] mem) {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i == 1 || i == 2)
        return i;
    // 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
    if (mem[i] != -1)
        return mem[i];
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    int count = DFS(i - 1, mem) + DFS(i - 2, mem);
    // 記錄 dp[i]
    mem[i] = count;
    return count;
}

/* 爬樓梯：記憶化搜尋 */
int ClimbingStairsDFSMem(int n) {
    // mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
    int[] mem = new int[n + 1];
    Array.Fill(mem, -1);
    return DFS(n, mem);
}
climbing_stairs_dfs_mem.go
/* 記憶化搜尋 */
func dfsMem(i int, mem []int) int {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if i == 1 || i == 2 {
        return i
    }
    // 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
    if mem[i] != -1 {
        return mem[i]
    }
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    count := dfsMem(i-1, mem) + dfsMem(i-2, mem)
    // 記錄 dp[i]
    mem[i] = count
    return count
}

/* 爬樓梯：記憶化搜尋 */
func climbingStairsDFSMem(n int) int {
    // mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
    mem := make([]int, n+1)
    for i := range mem {
        mem[i] = -1
    }
    return dfsMem(n, mem)
}
climbing_stairs_dfs_mem.swift
/* 記憶化搜尋 */
func dfs(i: Int, mem: inout [Int]) -> Int {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if i == 1 || i == 2 {
        return i
    }
    // 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
    if mem[i] != -1 {
        return mem[i]
    }
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    let count = dfs(i: i - 1, mem: &mem) + dfs(i: i - 2, mem: &mem)
    // 記錄 dp[i]
    mem[i] = count
    return count
}

/* 爬樓梯：記憶化搜尋 */
func climbingStairsDFSMem(n: Int) -> Int {
    // mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
    var mem = Array(repeating: -1, count: n + 1)
    return dfs(i: n, mem: &mem)
}
climbing_stairs_dfs_mem.js
/* 記憶化搜尋 */
function dfs(i, mem) {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i === 1 || i === 2) return i;
    // 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
    if (mem[i] != -1) return mem[i];
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    const count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
    // 記錄 dp[i]
    mem[i] = count;
    return count;
}

/* 爬樓梯：記憶化搜尋 */
function climbingStairsDFSMem(n) {
    // mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
    const mem = new Array(n + 1).fill(-1);
    return dfs(n, mem);
}
climbing_stairs_dfs_mem.ts
/* 記憶化搜尋 */
function dfs(i: number, mem: number[]): number {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i === 1 || i === 2) return i;
    // 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
    if (mem[i] != -1) return mem[i];
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    const count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
    // 記錄 dp[i]
    mem[i] = count;
    return count;
}

/* 爬樓梯：記憶化搜尋 */
function climbingStairsDFSMem(n: number): number {
    // mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
    const mem = new Array(n + 1).fill(-1);
    return dfs(n, mem);
}
climbing_stairs_dfs_mem.dart
/* 記憶化搜尋 */
int dfs(int i, List<int> mem) {
  // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
  if (i == 1 || i == 2) return i;
  // 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
  if (mem[i] != -1) return mem[i];
  // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
  int count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
  // 記錄 dp[i]
  mem[i] = count;
  return count;
}

/* 爬樓梯：記憶化搜尋 */
int climbingStairsDFSMem(int n) {
  // mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
  List<int> mem = List.filled(n + 1, -1);
  return dfs(n, mem);
}
climbing_stairs_dfs_mem.rs
/* 記憶化搜尋 */
fn dfs(i: usize, mem: &mut [i32]) -> i32 {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if i == 1 || i == 2 {
        return i as i32;
    }
    // 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
    if mem[i] != -1 {
        return mem[i];
    }
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    let count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
    // 記錄 dp[i]
    mem[i] = count;
    count
}

/* 爬樓梯：記憶化搜尋 */
fn climbing_stairs_dfs_mem(n: usize) -> i32 {
    // mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
    let mut mem = vec![-1; n + 1];
    dfs(n, &mut mem)
}
climbing_stairs_dfs_mem.c
/* 記憶化搜尋 */
int dfs(int i, int *mem) {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i == 1 || i == 2)
        return i;
    // 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
    if (mem[i] != -1)
        return mem[i];
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    int count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
    // 記錄 dp[i]
    mem[i] = count;
    return count;
}

/* 爬樓梯：記憶化搜尋 */
int climbingStairsDFSMem(int n) {
    // mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
    int *mem = (int *)malloc((n + 1) * sizeof(int));
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        mem[i] = -1;
    }
    int result = dfs(n, mem);
    free(mem);
    return result;
}
climbing_stairs_dfs_mem.kt
/* 記憶化搜尋 */
fun dfs(i: Int, mem: IntArray): Int {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i == 1 || i == 2) return i
    // 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
    if (mem[i] != -1) return mem[i]
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    val count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem)
    // 記錄 dp[i]
    mem[i] = count
    return count
}

/* 爬樓梯：記憶化搜尋 */
fun climbingStairsDFSMem(n: Int): Int {
    // mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
    val mem = IntArray(n + 1)
    mem.fill(-1)
    return dfs(n, mem)
}
climbing_stairs_dfs_mem.rb
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{climbing_stairs_dfs_mem}
climbing_stairs_dfs_mem.zig
// 記憶化搜尋
fn dfs(i: usize, mem: []i32) i32 {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i == 1 or i == 2) {
        return @intCast(i);
    }
    // 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
    if (mem[i] != -1) {
        return mem[i];
    }
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    var count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
    // 記錄 dp[i]
    mem[i] = count;
    return count;
}

// 爬樓梯：記憶化搜尋
fn climbingStairsDFSMem(comptime n: usize) i32 {
    // mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
    var mem = [_]i32{ -1 } ** (n + 1);
    return dfs(n, &mem);
}
視覺化執行

觀察圖 14-4 ，經過記憶化處理後，所有重疊子問題都只需計算一次，時間複雜度最佳化至 \(O(n)\) ，這是一個巨大的飛躍。

記憶化搜尋對應遞迴樹

圖 14-4   記憶化搜尋對應遞迴樹

14.1.3   方法三：動態規劃

記憶化搜尋是一種“從頂至底”的方法：我們從原問題（根節點）開始，遞迴地將較大子問題分解為較小子問題，直至解已知的最小子問題（葉節點）。之後，透過回溯逐層收集子問題的解，構建出原問題的解。

與之相反，動態規劃是一種“從底至頂”的方法：從最小子問題的解開始，迭代地構建更大子問題的解，直至得到原問題的解。

由於動態規劃不包含回溯過程，因此只需使用迴圈迭代實現，無須使用遞迴。在以下程式碼中，我們初始化一個陣列 dp 來儲存子問題的解，它起到了與記憶化搜尋中陣列 mem 相同的記錄作用：

climbing_stairs_dp.py
def climbing_stairs_dp(n: int) -> int:
    """爬樓梯：動態規劃"""
    if n == 1 or n == 2:
        return n
    # 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    dp = [0] * (n + 1)
    # 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1], dp[2] = 1, 2
    # 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for i in range(3, n + 1):
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
    return dp[n]
climbing_stairs_dp.cpp
/* 爬樓梯：動態規劃 */
int climbingStairsDP(int n) {
    if (n == 1 || n == 2)
        return n;
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    vector<int> dp(n + 1);
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}
climbing_stairs_dp.java
/* 爬樓梯：動態規劃 */
int climbingStairsDP(int n) {
    if (n == 1 || n == 2)
        return n;
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    int[] dp = new int[n + 1];
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}
climbing_stairs_dp.cs
/* 爬樓梯：動態規劃 */
int ClimbingStairsDP(int n) {
    if (n == 1 || n == 2)
        return n;
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    int[] dp = new int[n + 1];
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}
climbing_stairs_dp.go
/* 爬樓梯：動態規劃 */
func climbingStairsDP(n int) int {
    if n == 1 || n == 2 {
        return n
    }
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    dp := make([]int, n+1)
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1] = 1
    dp[2] = 2
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for i := 3; i <= n; i++ {
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    }
    return dp[n]
}
climbing_stairs_dp.swift
/* 爬樓梯：動態規劃 */
func climbingStairsDP(n: Int) -> Int {
    if n == 1 || n == 2 {
        return n
    }
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    var dp = Array(repeating: 0, count: n + 1)
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1] = 1
    dp[2] = 2
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for i in 3 ... n {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
    }
    return dp[n]
}
climbing_stairs_dp.js
/* 爬樓梯：動態規劃 */
function climbingStairsDP(n) {
    if (n === 1 || n === 2) return n;
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    const dp = new Array(n + 1).fill(-1);
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}
climbing_stairs_dp.ts
/* 爬樓梯：動態規劃 */
function climbingStairsDP(n: number): number {
    if (n === 1 || n === 2) return n;
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    const dp = new Array(n + 1).fill(-1);
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}
climbing_stairs_dp.dart
/* 爬樓梯：動態規劃 */
int climbingStairsDP(int n) {
  if (n == 1 || n == 2) return n;
  // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
  List<int> dp = List.filled(n + 1, 0);
  // 初始狀態：預設最小子問題的解
  dp[1] = 1;
  dp[2] = 2;
  // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
  for (int i = 3; i <= n; i++) {
    dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
  }
  return dp[n];
}
climbing_stairs_dp.rs
/* 爬樓梯：動態規劃 */
fn climbing_stairs_dp(n: usize) -> i32 {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if n == 1 || n == 2 {
        return n as i32;
    }
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    let mut dp = vec![-1; n + 1];
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for i in 3..=n {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    dp[n]
}
climbing_stairs_dp.c
/* 爬樓梯：動態規劃 */
int climbingStairsDP(int n) {
    if (n == 1 || n == 2)
        return n;
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    int *dp = (int *)malloc((n + 1) * sizeof(int));
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    int result = dp[n];
    free(dp);
    return result;
}
climbing_stairs_dp.kt
/* 爬樓梯：動態規劃 */
fun climbingStairsDP(n: Int): Int {
    if (n == 1 || n == 2) return n
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    val dp = IntArray(n + 1)
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1] = 1
    dp[2] = 2
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for (i in 3..n) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
    }
    return dp[n]
}
climbing_stairs_dp.rb
[class]{}-[func]{climbing_stairs_dp}
climbing_stairs_dp.zig
// 爬樓梯：動態規劃
fn climbingStairsDP(comptime n: usize) i32 {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (n == 1 or n == 2) {
        return @intCast(n);
    }
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    var dp = [_]i32{-1} ** (n + 1);
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for (3..n + 1) |i| {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}
視覺化執行

圖 14-5 模擬了以上程式碼的執行過程。

爬樓梯的動態規劃過程

圖 14-5   爬樓梯的動態規劃過程

與回溯演算法一樣，動態規劃也使用“狀態”概念來表示問題求解的特定階段，每個狀態都對應一個子問題以及相應的區域性最優解。例如，爬樓梯問題的狀態定義為當前所在樓梯階數 \(i\) 。

根據以上內容，我們可以總結出動態規劃的常用術語。

  • 將陣列 dp 稱為 dp 表，\(dp[i]\) 表示狀態 \(i\) 對應子問題的解。
  • 將最小子問題對應的狀態（第 \(1\) 階和第 \(2\) 階樓梯）稱為初始狀態。
  • 將遞推公式 \(dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]\) 稱為狀態轉移方程。

14.1.4   空間最佳化

細心的讀者可能發現了，由於 \(dp[i]\) 只與 \(dp[i-1]\) 和 \(dp[i-2]\) 有關，因此我們無須使用一個陣列 dp 來儲存所有子問題的解，而只需兩個變數滾動前進即可。程式碼如下所示：

climbing_stairs_dp.py
def climbing_stairs_dp_comp(n: int) -> int:
    """爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃"""
    if n == 1 or n == 2:
        return n
    a, b = 1, 2
    for _ in range(3, n + 1):
        a, b = b, a + b
    return b
climbing_stairs_dp.cpp
/* 爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃 */
int climbingStairsDPComp(int n) {
    if (n == 1 || n == 2)
        return n;
    int a = 1, b = 2;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        int tmp = b;
        b = a + b;
        a = tmp;
    }
    return b;
}
climbing_stairs_dp.java
/* 爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃 */
int climbingStairsDPComp(int n) {
    if (n == 1 || n == 2)
        return n;
    int a = 1, b = 2;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        int tmp = b;
        b = a + b;
        a = tmp;
    }
    return b;
}
climbing_stairs_dp.cs
/* 爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃 */
int ClimbingStairsDPComp(int n) {
    if (n == 1 || n == 2)
        return n;
    int a = 1, b = 2;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        int tmp = b;
        b = a + b;
        a = tmp;
    }
    return b;
}
climbing_stairs_dp.go
/* 爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃 */
func climbingStairsDPComp(n int) int {
    if n == 1 || n == 2 {
        return n
    }
    a, b := 1, 2
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for i := 3; i <= n; i++ {
        a, b = b, a+b
    }
    return b
}
climbing_stairs_dp.swift
/* 爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃 */
func climbingStairsDPComp(n: Int) -> Int {
    if n == 1 || n == 2 {
        return n
    }
    var a = 1
    var b = 2
    for _ in 3 ... n {
        (a, b) = (b, a + b)
    }
    return b
}
climbing_stairs_dp.js
/* 爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃 */
function climbingStairsDPComp(n) {
    if (n === 1 || n === 2) return n;
    let a = 1,
        b = 2;
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        const tmp = b;
        b = a + b;
        a = tmp;
    }
    return b;
}
climbing_stairs_dp.ts
/* 爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃 */
function climbingStairsDPComp(n: number): number {
    if (n === 1 || n === 2) return n;
    let a = 1,
        b = 2;
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        const tmp = b;
        b = a + b;
        a = tmp;
    }
    return b;
}
climbing_stairs_dp.dart
/* 爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃 */
int climbingStairsDPComp(int n) {
  if (n == 1 || n == 2) return n;
  int a = 1, b = 2;
  for (int i = 3; i <= n; i++) {
    int tmp = b;
    b = a + b;
    a = tmp;
  }
  return b;
}
climbing_stairs_dp.rs
/* 爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃 */
fn climbing_stairs_dp_comp(n: usize) -> i32 {
    if n == 1 || n == 2 {
        return n as i32;
    }
    let (mut a, mut b) = (1, 2);
    for _ in 3..=n {
        let tmp = b;
        b = a + b;
        a = tmp;
    }
    b
}
climbing_stairs_dp.c
/* 爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃 */
int climbingStairsDPComp(int n) {
    if (n == 1 || n == 2)
        return n;
    int a = 1, b = 2;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        int tmp = b;
        b = a + b;
        a = tmp;
    }
    return b;
}
climbing_stairs_dp.kt
/* 爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃 */
fun climbingStairsDPComp(n: Int): Int {
    if (n == 1 || n == 2) return n
    var a = 1
    var b = 2
    for (i in 3..n) {
        val temp = b
        b += a
        a = temp
    }
    return b
}
climbing_stairs_dp.rb
[class]{}-[func]{climbing_stairs_dp_comp}
climbing_stairs_dp.zig
// 爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃
fn climbingStairsDPComp(comptime n: usize) i32 {
    if (n == 1 or n == 2) {
        return @intCast(n);
    }
    var a: i32 = 1;
    var b: i32 = 2;
    for (3..n + 1) |_| {
        var tmp = b;
        b = a + b;
        a = tmp;
    }
    return b;
}
視覺化執行

觀察以上程式碼，由於省去了陣列 dp 佔用的空間，因此空間複雜度從 \(O(n)\) 降至 \(O(1)\) 。

在動態規劃問題中，當前狀態往往僅與前面有限個狀態有關，這時我們可以只保留必要的狀態，透過“降維”來節省記憶體空間。這種空間最佳化技巧被稱為“滾動變數”或“滾動陣列”。