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8.3   Top-k 问题

Question

给定一个长度为 \(n\) 的无序数组 nums ，请返回数组中最大的 \(k\) 个元素。

对于该问题，我们先介绍两种思路比较直接的解法，再介绍效率更高的堆解法。

8.3.1   方法一：遍历选择

我们可以进行图 8-6 所示的 \(k\) 轮遍历，分别在每轮中提取第 \(1\)、\(2\)、\(\dots\)、\(k\) 大的元素，时间复杂度为 \(O(nk)\) 。

此方法只适用于 \(k \ll n\) 的情况，因为当 \(k\) 与 \(n\) 比较接近时，其时间复杂度趋向于 \(O(n^2)\) ，非常耗时。

遍历寻找最大的 k 个元素

图 8-6   遍历寻找最大的 k 个元素

Tip

当 \(k = n\) 时，我们可以得到完整的有序序列，此时等价于“选择排序”算法。

8.3.2   方法二：排序

如图 8-7 所示，我们可以先对数组 nums 进行排序，再返回最右边的 \(k\) 个元素，时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。

显然，该方法“超额”完成任务了，因为我们只需找出最大的 \(k\) 个元素即可，而不需要排序其他元素。

排序寻找最大的 k 个元素

图 8-7   排序寻找最大的 k 个元素

8.3.3   方法三：堆

我们可以基于堆更加高效地解决 Top-k 问题，流程如图 8-8 所示。

  1. 初始化一个小顶堆，其堆顶元素最小。
  2. 先将数组的前 \(k\) 个元素依次入堆。
  3. 从第 \(k + 1\) 个元素开始，若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆，并将当前元素入堆。
  4. 遍历完成后，堆中保存的就是最大的 \(k\) 个元素。

基于堆寻找最大的 k 个元素

top_k_heap_step2

top_k_heap_step3

top_k_heap_step4

top_k_heap_step5

top_k_heap_step6

top_k_heap_step7

top_k_heap_step8

top_k_heap_step9

图 8-8   基于堆寻找最大的 k 个元素

示例代码如下：

top_k.py
def top_k_heap(nums: list[int], k: int) -> list[int]:
    """基于堆查找数组中最大的 k 个元素"""
    # 初始化小顶堆
    heap = []
    # 将数组的前 k 个元素入堆
    for i in range(k):
        heapq.heappush(heap, nums[i])
    # 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
    for i in range(k, len(nums)):
        # 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
        if nums[i] > heap[0]:
            heapq.heappop(heap)
            heapq.heappush(heap, nums[i])
    return heap
top_k.cpp
/* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> topKHeap(vector<int> &nums, int k) {
    // 初始化小顶堆
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;
    // 将数组的前 k 个元素入堆
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        heap.push(nums[i]);
    }
    // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
    for (int i = k; i < nums.size(); i++) {
        // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
        if (nums[i] > heap.top()) {
            heap.pop();
            heap.push(nums[i]);
        }
    }
    return heap;
}
top_k.java
/* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
Queue<Integer> topKHeap(int[] nums, int k) {
    // 初始化小顶堆
    Queue<Integer> heap = new PriorityQueue<Integer>();
    // 将数组的前 k 个元素入堆
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        heap.offer(nums[i]);
    }
    // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
    for (int i = k; i < nums.length; i++) {
        // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
        if (nums[i] > heap.peek()) {
            heap.poll();
            heap.offer(nums[i]);
        }
    }
    return heap;
}
top_k.cs
/* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
PriorityQueue<int, int> TopKHeap(int[] nums, int k) {
    // 初始化小顶堆
    PriorityQueue<int, int> heap = new();
    // 将数组的前 k 个元素入堆
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        heap.Enqueue(nums[i], nums[i]);
    }
    // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
    for (int i = k; i < nums.Length; i++) {
        // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
        if (nums[i] > heap.Peek()) {
            heap.Dequeue();
            heap.Enqueue(nums[i], nums[i]);
        }
    }
    return heap;
}
top_k.go
/* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
func topKHeap(nums []int, k int) *minHeap {
    // 初始化小顶堆
    h := &minHeap{}
    heap.Init(h)
    // 将数组的前 k 个元素入堆
    for i := 0; i < k; i++ {
        heap.Push(h, nums[i])
    }
    // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
    for i := k; i < len(nums); i++ {
        // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
        if nums[i] > h.Top().(int) {
            heap.Pop(h)
            heap.Push(h, nums[i])
        }
    }
    return h
}
top_k.swift
/* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
func topKHeap(nums: [Int], k: Int) -> [Int] {
    // 初始化一个小顶堆，并将前 k 个元素建堆
    var heap = Heap(nums.prefix(k))
    // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
    for i in stride(from: k, to: nums.count, by: 1) {
        // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
        if nums[i] > heap.min()! {
            _ = heap.removeMin()
            heap.insert(nums[i])
        }
    }
    return heap.unordered
}
top_k.js
/* 元素入堆 */
function pushMinHeap(maxHeap, val) {
    // 元素取反
    maxHeap.push(-val);
}

/* 元素出堆 */
function popMinHeap(maxHeap) {
    // 元素取反
    return -maxHeap.pop();
}

/* 访问堆顶元素 */
function peekMinHeap(maxHeap) {
    // 元素取反
    return -maxHeap.peek();
}

/* 取出堆中元素 */
function getMinHeap(maxHeap) {
    // 元素取反
    return maxHeap.getMaxHeap().map((num) => -num);
}

/* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
function topKHeap(nums, k) {
    // 初始化小顶堆
    // 请注意：我们将堆中所有元素取反，从而用大顶堆来模拟小顶堆
    const maxHeap = new MaxHeap([]);
    // 将数组的前 k 个元素入堆
    for (let i = 0; i < k; i++) {
        pushMinHeap(maxHeap, nums[i]);
    }
    // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
    for (let i = k; i < nums.length; i++) {
        // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
        if (nums[i] > peekMinHeap(maxHeap)) {
            popMinHeap(maxHeap);
            pushMinHeap(maxHeap, nums[i]);
        }
    }
    // 返回堆中元素
    return getMinHeap(maxHeap);
}
top_k.ts
/* 元素入堆 */
function pushMinHeap(maxHeap: MaxHeap, val: number): void {
    // 元素取反
    maxHeap.push(-val);
}

/* 元素出堆 */
function popMinHeap(maxHeap: MaxHeap): number {
    // 元素取反
    return -maxHeap.pop();
}

/* 访问堆顶元素 */
function peekMinHeap(maxHeap: MaxHeap): number {
    // 元素取反
    return -maxHeap.peek();
}

/* 取出堆中元素 */
function getMinHeap(maxHeap: MaxHeap): number[] {
    // 元素取反
    return maxHeap.getMaxHeap().map((num: number) => -num);
}

/* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
function topKHeap(nums: number[], k: number): number[] {
    // 初始化小顶堆
    // 请注意：我们将堆中所有元素取反，从而用大顶堆来模拟小顶堆
    const maxHeap = new MaxHeap([]);
    // 将数组的前 k 个元素入堆
    for (let i = 0; i < k; i++) {
        pushMinHeap(maxHeap, nums[i]);
    }
    // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
    for (let i = k; i < nums.length; i++) {
        // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
        if (nums[i] > peekMinHeap(maxHeap)) {
            popMinHeap(maxHeap);
            pushMinHeap(maxHeap, nums[i]);
        }
    }
    // 返回堆中元素
    return getMinHeap(maxHeap);
}
top_k.dart
/* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
MinHeap topKHeap(List<int> nums, int k) {
  // 初始化小顶堆，将数组的前 k 个元素入堆
  MinHeap heap = MinHeap(nums.sublist(0, k));
  // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
  for (int i = k; i < nums.length; i++) {
    // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
    if (nums[i] > heap.peek()) {
      heap.pop();
      heap.push(nums[i]);
    }
  }
  return heap;
}
top_k.rs
/* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
fn top_k_heap(nums: Vec<i32>, k: usize) -> BinaryHeap<Reverse<i32>> {
    // BinaryHeap 是大顶堆，使用 Reverse 将元素取反，从而实现小顶堆
    let mut heap = BinaryHeap::<Reverse<i32>>::new();
    // 将数组的前 k 个元素入堆
    for &num in nums.iter().take(k) {
        heap.push(Reverse(num));
    }
    // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
    for &num in nums.iter().skip(k) {
        // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
        if num > heap.peek().unwrap().0 {
            heap.pop();
            heap.push(Reverse(num));
        }
    }
    heap
}
top_k.c
/* 元素入堆 */
void pushMinHeap(MaxHeap *maxHeap, int val) {
    // 元素取反
    push(maxHeap, -val);
}

/* 元素出堆 */
int popMinHeap(MaxHeap *maxHeap) {
    // 元素取反
    return -pop(maxHeap);
}

/* 访问堆顶元素 */
int peekMinHeap(MaxHeap *maxHeap) {
    // 元素取反
    return -peek(maxHeap);
}

/* 取出堆中元素 */
int *getMinHeap(MaxHeap *maxHeap) {
    // 将堆中所有元素取反并存入 res 数组
    int *res = (int *)malloc(maxHeap->size * sizeof(int));
    for (int i = 0; i < maxHeap->size; i++) {
        res[i] = -maxHeap->data[i];
    }
    return res;
}

/* 取出堆中元素 */
int *getMinHeap(MaxHeap *maxHeap) {
    // 将堆中所有元素取反并存入 res 数组
    int *res = (int *)malloc(maxHeap->size * sizeof(int));
    for (int i = 0; i < maxHeap->size; i++) {
        res[i] = -maxHeap->data[i];
    }
    return res;
}

// 基于堆查找数组中最大的 k 个元素的函数
int *topKHeap(int *nums, int sizeNums, int k) {
    // 初始化小顶堆
    // 请注意：我们将堆中所有元素取反，从而用大顶堆来模拟小顶堆
    int *empty = (int *)malloc(0);
    MaxHeap *maxHeap = newMaxHeap(empty, 0);
    // 将数组的前 k 个元素入堆
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        pushMinHeap(maxHeap, nums[i]);
    }
    // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
    for (int i = k; i < sizeNums; i++) {
        // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
        if (nums[i] > peekMinHeap(maxHeap)) {
            popMinHeap(maxHeap);
            pushMinHeap(maxHeap, nums[i]);
        }
    }
    int *res = getMinHeap(maxHeap);
    // 释放内存
    delMaxHeap(maxHeap);
    return res;
}
top_k.zig
[class]{}-[func]{topKHeap}

总共执行了 \(n\) 轮入堆和出堆，堆的最大长度为 \(k\) ，因此时间复杂度为 \(O(n \log k)\) 。该方法的效率很高，当 \(k\) 较小时，时间复杂度趋向 \(O(n)\) ；当 \(k\) 较大时，时间复杂度不会超过 \(O(n \log n)\) 。

另外，该方法适用于动态数据流的使用场景。在不断加入数据时，我们可以持续维护堆内的元素，从而实现最大的 \(k\) 个元素的动态更新。

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