13.3   子集和问题

13.3.1   无重复元素的情况

Question

给定一个正整数数组 nums 和一个目标正整数 target ，请找出所有可能的组合，使得组合中的元素和等于 target 。给定数组无重复元素，每个元素可以被选取多次。请以列表形式返回这些组合，列表中不应包含重复组合。

例如，输入集合 \(\{3, 4, 5\}\) 和目标整数 \(9\) ，解为 \(\{3, 3, 3\}, \{4, 5\}\) 。需要注意以下两点。

• 输入集合中的元素可以被无限次重复选取。
• 子集不区分元素顺序，比如 \(\{4, 5\}\) 和 \(\{5, 4\}\) 是同一个子集。

1.   参考全排列解法

类似于全排列问题，我们可以把子集的生成过程想象成一系列选择的结果，并在选择过程中实时更新“元素和”，当元素和等于 target 时，就将子集记录至结果列表。

而与全排列问题不同的是，本题集合中的元素可以被无限次选取，因此无须借助 selected 布尔列表来记录元素是否已被选择。我们可以对全排列代码进行小幅修改，初步得到解题代码：

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCZig

subset_sum_i_naive.py

def backtrack(
    state: list[int],
    target: int,
    total: int,
    choices: list[int],
    res: list[list[int]],
):
    """回溯算法：子集和 I"""
    # 子集和等于 target 时，记录解
    if total == target:
        res.append(list(state))
        return
    # 遍历所有选择
    for i in range(len(choices)):
        # 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择
        if total + choices[i] > target:
            continue
        # 尝试：做出选择，更新元素和 total
        state.append(choices[i])
        # 进行下一轮选择
        backtrack(state, target, total + choices[i], choices, res)
        # 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        state.pop()

def subset_sum_i_naive(nums: list[int], target: int) -> list[list[int]]:
    """求解子集和 I（包含重复子集）"""
    state = []  # 状态（子集）
    total = 0  # 子集和
    res = []  # 结果列表（子集列表）
    backtrack(state, target, total, nums, res)
    return res

subset_sum_i_naive.cpp

/* 回溯算法：子集和 I */
void backtrack(vector<int> &state, int target, int total, vector<int> &choices, vector<vector<int>> &res) {
    // 子集和等于 target 时，记录解
    if (total == target) {
        res.push_back(state);
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    for (size_t i = 0; i < choices.size(); i++) {
        // 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择
        if (total + choices[i] > target) {
            continue;
        }
        // 尝试：做出选择，更新元素和 total
        state.push_back(choices[i]);
        // 进行下一轮选择
        backtrack(state, target, total + choices[i], choices, res);
        // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        state.pop_back();
    }
}

/* 求解子集和 I（包含重复子集） */
vector<vector<int>> subsetSumINaive(vector<int> &nums, int target) {
    vector<int> state;       // 状态（子集）
    int total = 0;           // 子集和
    vector<vector<int>> res; // 结果列表（子集列表）
    backtrack(state, target, total, nums, res);
    return res;
}

subset_sum_i_naive.java

/* 回溯算法：子集和 I */
void backtrack(List<Integer> state, int target, int total, int[] choices, List<List<Integer>> res) {
    // 子集和等于 target 时，记录解
    if (total == target) {
        res.add(new ArrayList<>(state));
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
        // 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择
        if (total + choices[i] > target) {
            continue;
        }
        // 尝试：做出选择，更新元素和 total
        state.add(choices[i]);
        // 进行下一轮选择
        backtrack(state, target, total + choices[i], choices, res);
        // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        state.remove(state.size() - 1);
    }
}

/* 求解子集和 I（包含重复子集） */
List<List<Integer>> subsetSumINaive(int[] nums, int target) {
    List<Integer> state = new ArrayList<>(); // 状态（子集）
    int total = 0; // 子集和
    List<List<Integer>> res = new ArrayList<>(); // 结果列表（子集列表）
    backtrack(state, target, total, nums, res);
    return res;
}

subset_sum_i_naive.cs

/* 回溯算法：子集和 I */
void Backtrack(List<int> state, int target, int total, int[] choices, List<List<int>> res) {
    // 子集和等于 target 时，记录解
    if (total == target) {
        res.Add(new List<int>(state));
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    for (int i = 0; i < choices.Length; i++) {
        // 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择
        if (total + choices[i] > target) {
            continue;
        }
        // 尝试：做出选择，更新元素和 total
        state.Add(choices[i]);
        // 进行下一轮选择
        Backtrack(state, target, total + choices[i], choices, res);
        // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        state.RemoveAt(state.Count - 1);
    }
}

/* 求解子集和 I（包含重复子集） */
List<List<int>> SubsetSumINaive(int[] nums, int target) {
    List<int> state = []; // 状态（子集）
    int total = 0; // 子集和
    List<List<int>> res = []; // 结果列表（子集列表）
    Backtrack(state, target, total, nums, res);
    return res;
}

subset_sum_i_naive.go

/* 回溯算法：子集和 I */
func backtrackSubsetSumINaive(total, target int, state, choices *[]int, res *[][]int) {
    // 子集和等于 target 时，记录解
    if target == total {
        newState := append([]int{}, *state...)
        *res = append(*res, newState)
        return
    }
    // 遍历所有选择
    for i := 0; i < len(*choices); i++ {
        // 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择
        if total+(*choices)[i] > target {
            continue
        }
        // 尝试：做出选择，更新元素和 total
        *state = append(*state, (*choices)[i])
        // 进行下一轮选择
        backtrackSubsetSumINaive(total+(*choices)[i], target, state, choices, res)
        // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        *state = (*state)[:len(*state)-1]
    }
}

/* 求解子集和 I（包含重复子集） */
func subsetSumINaive(nums []int, target int) [][]int {
    state := make([]int, 0) // 状态（子集）
    total := 0              // 子集和
    res := make([][]int, 0) // 结果列表（子集列表）
    backtrackSubsetSumINaive(total, target, &state, &nums, &res)
    return res
}

subset_sum_i_naive.swift

/* 回溯算法：子集和 I */
func backtrack(state: inout [Int], target: Int, total: Int, choices: [Int], res: inout [[Int]]) {
    // 子集和等于 target 时，记录解
    if total == target {
        res.append(state)
        return
    }
    // 遍历所有选择
    for i in stride(from: 0, to: choices.count, by: 1) {
        // 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择
        if total + choices[i] > target {
            continue
        }
        // 尝试：做出选择，更新元素和 total
        state.append(choices[i])
        // 进行下一轮选择
        backtrack(state: &state, target: target, total: total + choices[i], choices: choices, res: &res)
        // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        state.removeLast()
    }
}

/* 求解子集和 I（包含重复子集） */
func subsetSumINaive(nums: [Int], target: Int) -> [[Int]] {
    var state: [Int] = [] // 状态（子集）
    let total = 0 // 子集和
    var res: [[Int]] = [] // 结果列表（子集列表）
    backtrack(state: &state, target: target, total: total, choices: nums, res: &res)
    return res
}

subset_sum_i_naive.js

/* 回溯算法：子集和 I */
function backtrack(state, target, total, choices, res) {
    // 子集和等于 target 时，记录解
    if (total === target) {
        res.push([...state]);
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    for (let i = 0; i < choices.length; i++) {
        // 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择
        if (total + choices[i] > target) {
            continue;
        }
        // 尝试：做出选择，更新元素和 total
        state.push(choices[i]);
        // 进行下一轮选择
        backtrack(state, target, total + choices[i], choices, res);
        // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        state.pop();
    }
}

/* 求解子集和 I（包含重复子集） */
function subsetSumINaive(nums, target) {
    const state = []; // 状态（子集）
    const total = 0; // 子集和
    const res = []; // 结果列表（子集列表）
    backtrack(state, target, total, nums, res);
    return res;
}

subset_sum_i_naive.ts

/* 回溯算法：子集和 I */
function backtrack(
    state: number[],
    target: number,
    total: number,
    choices: number[],
    res: number[][]
): void {
    // 子集和等于 target 时，记录解
    if (total === target) {
        res.push([...state]);
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    for (let i = 0; i < choices.length; i++) {
        // 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择
        if (total + choices[i] > target) {
            continue;
        }
        // 尝试：做出选择，更新元素和 total
        state.push(choices[i]);
        // 进行下一轮选择
        backtrack(state, target, total + choices[i], choices, res);
        // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        state.pop();
    }
}

/* 求解子集和 I（包含重复子集） */
function subsetSumINaive(nums: number[], target: number): number[][] {
    const state = []; // 状态（子集）
    const total = 0; // 子集和
    const res = []; // 结果列表（子集列表）
    backtrack(state, target, total, nums, res);
    return res;
}

subset_sum_i_naive.dart

/* 回溯算法：子集和 I */
void backtrack(
  List<int> state,
  int target,
  int total,
  List<int> choices,
  List<List<int>> res,
) {
  // 子集和等于 target 时，记录解
  if (total == target) {
    res.add(List.from(state));
    return;
  }
  // 遍历所有选择
  for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
    // 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择
    if (total + choices[i] > target) {
      continue;
    }
    // 尝试：做出选择，更新元素和 total
    state.add(choices[i]);
    // 进行下一轮选择
    backtrack(state, target, total + choices[i], choices, res);
    // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
    state.removeLast();
  }
}

/* 求解子集和 I（包含重复子集） */
List<List<int>> subsetSumINaive(List<int> nums, int target) {
  List<int> state = []; // 状态（子集）
  int total = 0; // 元素和
  List<List<int>> res = []; // 结果列表（子集列表）
  backtrack(state, target, total, nums, res);
  return res;
}

subset_sum_i_naive.rs

/* 回溯算法：子集和 I */
fn backtrack(mut state: Vec<i32>, target: i32, total: i32, choices: &[i32], res: &mut Vec<Vec<i32>>) {
    // 子集和等于 target 时，记录解
    if total == target {
        res.push(state);
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    for i in 0..choices.len() {
        // 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择
        if total + choices[i] > target {
            continue;
        }
        // 尝试：做出选择，更新元素和 total
        state.push(choices[i]);
        // 进行下一轮选择
        backtrack(state.clone(), target, total + choices[i], choices, res);
        // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        state.pop();
    }
}

/* 求解子集和 I（包含重复子集） */
fn subset_sum_i_naive(nums: &[i32], target: i32) -> Vec<Vec<i32>> {
    let state = Vec::new(); // 状态（子集）
    let total = 0; // 子集和
    let mut res = Vec::new(); // 结果列表（子集列表）
    backtrack(state, target, total, nums, &mut res);
    res
}

subset_sum_i_naive.c

/* 回溯算法：子集和 I */
void backtrack(int target, int total, int *choices, int choicesSize) {
    // 子集和等于 target 时，记录解
    if (total == target) {
        for (int i = 0; i < stateSize; i++) {
            res[resSize][i] = state[i];
        }
        resColSizes[resSize++] = stateSize;
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    for (int i = 0; i < choicesSize; i++) {
        // 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择
        if (total + choices[i] > target) {
            continue;
        }
        // 尝试：做出选择，更新元素和 total
        state[stateSize++] = choices[i];
        // 进行下一轮选择
        backtrack(target, total + choices[i], choices, choicesSize);
        // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        stateSize--;
    }
}

/* 求解子集和 I（包含重复子集） */
void subsetSumINaive(int *nums, int numsSize, int target) {
    resSize = 0; // 初始化解的数量为0
    backtrack(target, 0, nums, numsSize);
}

subset_sum_i_naive.zig

[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{subsetSumINaive}

向以上代码输入数组 \([3, 4, 5]\) 和目标元素 \(9\) ，输出结果为 \([3, 3, 3], [4, 5], [5, 4]\) 。虽然成功找出了所有和为 \(9\) 的子集，但其中存在重复的子集 \([4, 5]\) 和 \([5, 4]\) 。

这是因为搜索过程是区分选择顺序的，然而子集不区分选择顺序。如图 13-10 所示，先选 \(4\) 后选 \(5\) 与先选 \(5\) 后选 \(4\) 是不同的分支，但对应同一个子集。

图 13-10   子集搜索与越界剪枝

为了去除重复子集，一种直接的思路是对结果列表进行去重。但这个方法效率很低，有两方面原因。

• 当数组元素较多，尤其是当 target 较大时，搜索过程会产生大量的重复子集。
• 比较子集（数组）的异同非常耗时，需要先排序数组，再比较数组中每个元素的异同。

2.   重复子集剪枝

我们考虑在搜索过程中通过剪枝进行去重。观察图 13-11 ，重复子集是在以不同顺序选择数组元素时产生的，例如以下情况。

1. 当第一轮和第二轮分别选择 \(3\) 和 \(4\) 时，会生成包含这两个元素的所有子集，记为 \([3, 4, \dots]\) 。
2. 之后，当第一轮选择 \(4\) 时，则第二轮应该跳过 \(3\) ，因为该选择产生的子集 \([4, 3, \dots]\) 和第 1. 步中生成的子集完全重复。

在搜索过程中，每一层的选择都是从左到右被逐个尝试的，因此越靠右的分支被剪掉的越多。

1. 前两轮选择 \(3\) 和 \(5\) ，生成子集 \([3, 5, \dots]\) 。
2. 前两轮选择 \(4\) 和 \(5\) ，生成子集 \([4, 5, \dots]\) 。
3. 若第一轮选择 \(5\) ，则第二轮应该跳过 \(3\) 和 \(4\) ，因为子集 \([5, 3, \dots]\) 和 \([5, 4, \dots]\) 与第 1. 步和第 2. 步中描述的子集完全重复。

图 13-11   不同选择顺序导致的重复子集

总结来看，给定输入数组 \([x_1, x_2, \dots, x_n]\) ，设搜索过程中的选择序列为 \([x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_m}]\) ，则该选择序列需要满足 \(i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m\) ，不满足该条件的选择序列都会造成重复，应当剪枝。

3.   代码实现

为实现该剪枝，我们初始化变量 start ，用于指示遍历起始点。当做出选择 \(x_{i}\) 后，设定下一轮从索引 \(i\) 开始遍历。这样做就可以让选择序列满足 \(i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m\) ，从而保证子集唯一。

除此之外，我们还对代码进行了以下两项优化。

• 在开启搜索前，先将数组 nums 排序。在遍历所有选择时，当子集和超过 target 时直接结束循环，因为后边的元素更大，其子集和一定超过 target 。
• 省去元素和变量 total ，通过在 target 上执行减法来统计元素和，当 target 等于 \(0\) 时记录解。

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCZig

subset_sum_i.py

def backtrack(
    state: list[int], target: int, choices: list[int], start: int, res: list[list[int]]
):
    """回溯算法：子集和 I"""
    # 子集和等于 target 时，记录解
    if target == 0:
        res.append(list(state))
        return
    # 遍历所有选择
    # 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
    for i in range(start, len(choices)):
        # 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
        # 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
        if target - choices[i] < 0:
            break
        # 尝试：做出选择，更新 target, start
        state.append(choices[i])
        # 进行下一轮选择
        backtrack(state, target - choices[i], choices, i, res)
        # 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        state.pop()

def subset_sum_i(nums: list[int], target: int) -> list[list[int]]:
    """求解子集和 I"""
    state = []  # 状态（子集）
    nums.sort()  # 对 nums 进行排序
    start = 0  # 遍历起始点
    res = []  # 结果列表（子集列表）
    backtrack(state, target, nums, start, res)
    return res

subset_sum_i.cpp

/* 回溯算法：子集和 I */
void backtrack(vector<int> &state, int target, vector<int> &choices, int start, vector<vector<int>> &res) {
    // 子集和等于 target 时，记录解
    if (target == 0) {
        res.push_back(state);
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
    for (int i = start; i < choices.size(); i++) {
        // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
        // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
        if (target - choices[i] < 0) {
            break;
        }
        // 尝试：做出选择，更新 target, start
        state.push_back(choices[i]);
        // 进行下一轮选择
        backtrack(state, target - choices[i], choices, i, res);
        // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        state.pop_back();
    }
}

/* 求解子集和 I */
vector<vector<int>> subsetSumI(vector<int> &nums, int target) {
    vector<int> state;              // 状态（子集）
    sort(nums.begin(), nums.end()); // 对 nums 进行排序
    int start = 0;                  // 遍历起始点
    vector<vector<int>> res;        // 结果列表（子集列表）
    backtrack(state, target, nums, start, res);
    return res;
}

subset_sum_i.java

/* 回溯算法：子集和 I */
void backtrack(List<Integer> state, int target, int[] choices, int start, List<List<Integer>> res) {
    // 子集和等于 target 时，记录解
    if (target == 0) {
        res.add(new ArrayList<>(state));
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
    for (int i = start; i < choices.length; i++) {
        // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
        // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
        if (target - choices[i] < 0) {
            break;
        }
        // 尝试：做出选择，更新 target, start
        state.add(choices[i]);
        // 进行下一轮选择
        backtrack(state, target - choices[i], choices, i, res);
        // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        state.remove(state.size() - 1);
    }
}

/* 求解子集和 I */
List<List<Integer>> subsetSumI(int[] nums, int target) {
    List<Integer> state = new ArrayList<>(); // 状态（子集）
    Arrays.sort(nums); // 对 nums 进行排序
    int start = 0; // 遍历起始点
    List<List<Integer>> res = new ArrayList<>(); // 结果列表（子集列表）
    backtrack(state, target, nums, start, res);
    return res;
}

subset_sum_i.cs

/* 回溯算法：子集和 I */
void Backtrack(List<int> state, int target, int[] choices, int start, List<List<int>> res) {
    // 子集和等于 target 时，记录解
    if (target == 0) {
        res.Add(new List<int>(state));
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
    for (int i = start; i < choices.Length; i++) {
        // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
        // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
        if (target - choices[i] < 0) {
            break;
        }
        // 尝试：做出选择，更新 target, start
        state.Add(choices[i]);
        // 进行下一轮选择
        Backtrack(state, target - choices[i], choices, i, res);
        // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        state.RemoveAt(state.Count - 1);
    }
}

/* 求解子集和 I */
List<List<int>> SubsetSumI(int[] nums, int target) {
    List<int> state = []; // 状态（子集）
    Array.Sort(nums); // 对 nums 进行排序
    int start = 0; // 遍历起始点
    List<List<int>> res = []; // 结果列表（子集列表）
    Backtrack(state, target, nums, start, res);
    return res;
}

subset_sum_i.go

/* 回溯算法：子集和 I */
func backtrackSubsetSumI(start, target int, state, choices *[]int, res *[][]int) {
    // 子集和等于 target 时，记录解
    if target == 0 {
        newState := append([]int{}, *state...)
        *res = append(*res, newState)
        return
    }
    // 遍历所有选择
    // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
    for i := start; i < len(*choices); i++ {
        // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
        // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
        if target-(*choices)[i] < 0 {
            break
        }
        // 尝试：做出选择，更新 target, start
        *state = append(*state, (*choices)[i])
        // 进行下一轮选择
        backtrackSubsetSumI(i, target-(*choices)[i], state, choices, res)
        // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        *state = (*state)[:len(*state)-1]
    }
}

/* 求解子集和 I */
func subsetSumI(nums []int, target int) [][]int {
    state := make([]int, 0) // 状态（子集）
    sort.Ints(nums)         // 对 nums 进行排序
    start := 0              // 遍历起始点
    res := make([][]int, 0) // 结果列表（子集列表）
    backtrackSubsetSumI(start, target, &state, &nums, &res)
    return res
}

subset_sum_i.swift

/* 回溯算法：子集和 I */
func backtrack(state: inout [Int], target: Int, choices: [Int], start: Int, res: inout [[Int]]) {
    // 子集和等于 target 时，记录解
    if target == 0 {
        res.append(state)
        return
    }
    // 遍历所有选择
    // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
    for i in stride(from: start, to: choices.count, by: 1) {
        // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
        // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
        if target - choices[i] < 0 {
            break
        }
        // 尝试：做出选择，更新 target, start
        state.append(choices[i])
        // 进行下一轮选择
        backtrack(state: &state, target: target - choices[i], choices: choices, start: i, res: &res)
        // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        state.removeLast()
    }
}

/* 求解子集和 I */
func subsetSumI(nums: [Int], target: Int) -> [[Int]] {
    var state: [Int] = [] // 状态（子集）
    let nums = nums.sorted() // 对 nums 进行排序
    let start = 0 // 遍历起始点
    var res: [[Int]] = [] // 结果列表（子集列表）
    backtrack(state: &state, target: target, choices: nums, start: start, res: &res)
    return res
}

subset_sum_i.js

/* 回溯算法：子集和 I */
function backtrack(state, target, choices, start, res) {
    // 子集和等于 target 时，记录解
    if (target === 0) {
        res.push([...state]);
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
    for (let i = start; i < choices.length; i++) {
        // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
        // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
        if (target - choices[i] < 0) {
            break;
        }
        // 尝试：做出选择，更新 target, start
        state.push(choices[i]);
        // 进行下一轮选择
        backtrack(state, target - choices[i], choices, i, res);
        // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        state.pop();
    }
}

/* 求解子集和 I */
function subsetSumI(nums, target) {
    const state = []; // 状态（子集）
    nums.sort((a, b) => a - b); // 对 nums 进行排序
    const start = 0; // 遍历起始点
    const res = []; // 结果列表（子集列表）
    backtrack(state, target, nums, start, res);
    return res;
}

subset_sum_i.ts

/* 回溯算法：子集和 I */
function backtrack(
    state: number[],
    target: number,
    choices: number[],
    start: number,
    res: number[][]
): void {
    // 子集和等于 target 时，记录解
    if (target === 0) {
        res.push([...state]);
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
    for (let i = start; i < choices.length; i++) {
        // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
        // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
        if (target - choices[i] < 0) {
            break;
        }
        // 尝试：做出选择，更新 target, start
        state.push(choices[i]);
        // 进行下一轮选择
        backtrack(state, target - choices[i], choices, i, res);
        // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        state.pop();
    }
}

/* 求解子集和 I */
function subsetSumI(nums: number[], target: number): number[][] {
    const state = []; // 状态（子集）
    nums.sort((a, b) => a - b); // 对 nums 进行排序
    const start = 0; // 遍历起始点
    const res = []; // 结果列表（子集列表）
    backtrack(state, target, nums, start, res);
    return res;
}

subset_sum_i.dart

/* 回溯算法：子集和 I */
void backtrack(
  List<int> state,
  int target,
  List<int> choices,
  int start,
  List<List<int>> res,
) {
  // 子集和等于 target 时，记录解
  if (target == 0) {
    res.add(List.from(state));
    return;
  }
  // 遍历所有选择
  // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
  for (int i = start; i < choices.length; i++) {
    // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
    // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
    if (target - choices[i] < 0) {
      break;
    }
    // 尝试：做出选择，更新 target, start
    state.add(choices[i]);
    // 进行下一轮选择
    backtrack(state, target - choices[i], choices, i, res);
    // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
    state.removeLast();
  }
}

/* 求解子集和 I */
List<List<int>> subsetSumI(List<int> nums, int target) {
  List<int> state = []; // 状态（子集）
  nums.sort(); // 对 nums 进行排序
  int start = 0; // 遍历起始点
  List<List<int>> res = []; // 结果列表（子集列表）
  backtrack(state, target, nums, start, res);
  return res;
}

subset_sum_i.rs

/* 回溯算法：子集和 I */
fn backtrack(mut state: Vec<i32>, target: i32, choices: &[i32], start: usize, res: &mut Vec<Vec<i32>>) {
    // 子集和等于 target 时，记录解
    if target == 0 {
        res.push(state);
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
    for i in start..choices.len() {
        // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
        // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
        if target - choices[i] < 0 {
            break;
        }
        // 尝试：做出选择，更新 target, start
        state.push(choices[i]);
        // 进行下一轮选择
        backtrack(state.clone(), target - choices[i], choices, i, res);
        // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        state.pop();
    }
}

/* 求解子集和 I */
fn subset_sum_i(nums: &mut [i32], target: i32) -> Vec<Vec<i32>> {
    let state = Vec::new(); // 状态（子集）
    nums.sort(); // 对 nums 进行排序
    let start = 0; // 遍历起始点
    let mut res = Vec::new(); // 结果列表（子集列表）
    backtrack(state, target, nums, start, &mut res);
    res
}

subset_sum_i.c

/* 回溯算法：子集和 I */
void backtrack(int target, int *choices, int choicesSize, int start) {
    // 子集和等于 target 时，记录解
    if (target == 0) {
        for (int i = 0; i < stateSize; ++i) {
            res[resSize][i] = state[i];
        }
        resColSizes[resSize++] = stateSize;
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
    for (int i = start; i < choicesSize; i++) {
        // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
        // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
        if (target - choices[i] < 0) {
            break;
        }
        // 尝试：做出选择，更新 target, start
        state[stateSize] = choices[i];
        stateSize++;
        // 进行下一轮选择
        backtrack(target - choices[i], choices, choicesSize, i);
        // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        stateSize--;
    }
}

/* 求解子集和 I */
void subsetSumI(int *nums, int numsSize, int target) {
    qsort(nums, numsSize, sizeof(int), cmp); // 对 nums 进行排序
    int start = 0;                           // 遍历起始点
    backtrack(target, nums, numsSize, start);
}

subset_sum_i.zig

[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{subsetSumI}

图 13-12 所示为将数组 \([3, 4, 5]\) 和目标元素 \(9\) 输入以上代码后的整体回溯过程。

图 13-12   子集和 I 回溯过程

13.3.2   考虑重复元素的情况

Question

给定一个正整数数组 nums 和一个目标正整数 target ，请找出所有可能的组合，使得组合中的元素和等于 target 。给定数组可能包含重复元素，每个元素只可被选择一次。请以列表形式返回这些组合，列表中不应包含重复组合。

相比于上题，本题的输入数组可能包含重复元素，这引入了新的问题。例如，给定数组 \([4, \hat{4}, 5]\) 和目标元素 \(9\) ，则现有代码的输出结果为 \([4, 5], [\hat{4}, 5]\) ，出现了重复子集。

造成这种重复的原因是相等元素在某轮中被多次选择。在图 13-13 中，第一轮共有三个选择，其中两个都为 \(4\) ，会产生两个重复的搜索分支，从而输出重复子集；同理，第二轮的两个 \(4\) 也会产生重复子集。

图 13-13   相等元素导致的重复子集

1.   相等元素剪枝

为解决此问题，我们需要限制相等元素在每一轮中只能被选择一次。实现方式比较巧妙：由于数组是已排序的，因此相等元素都是相邻的。这意味着在某轮选择中，若当前元素与其左边元素相等，则说明它已经被选择过，因此直接跳过当前元素。

与此同时，本题规定每个数组元素只能被选择一次。幸运的是，我们也可以利用变量 start 来满足该约束：当做出选择 \(x_{i}\) 后，设定下一轮从索引 \(i + 1\) 开始向后遍历。这样既能去除重复子集，也能避免重复选择元素。

2.   代码实现

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCZig

subset_sum_ii.py

def backtrack(
    state: list[int], target: int, choices: list[int], start: int, res: list[list[int]]
):
    """回溯算法：子集和 II"""
    # 子集和等于 target 时，记录解
    if target == 0:
        res.append(list(state))
        return
    # 遍历所有选择
    # 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
    # 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
    for i in range(start, len(choices)):
        # 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
        # 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
        if target - choices[i] < 0:
            break
        # 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
        if i > start and choices[i] == choices[i - 1]:
            continue
        # 尝试：做出选择，更新 target, start
        state.append(choices[i])
        # 进行下一轮选择
        backtrack(state, target - choices[i], choices, i + 1, res)
        # 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        state.pop()

def subset_sum_ii(nums: list[int], target: int) -> list[list[int]]:
    """求解子集和 II"""
    state = []  # 状态（子集）
    nums.sort()  # 对 nums 进行排序
    start = 0  # 遍历起始点
    res = []  # 结果列表（子集列表）
    backtrack(state, target, nums, start, res)
    return res

subset_sum_ii.cpp

/* 回溯算法：子集和 II */
void backtrack(vector<int> &state, int target, vector<int> &choices, int start, vector<vector<int>> &res) {
    // 子集和等于 target 时，记录解
    if (target == 0) {
        res.push_back(state);
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
    // 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
    for (int i = start; i < choices.size(); i++) {
        // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
        // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
        if (target - choices[i] < 0) {
            break;
        }
        // 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
        if (i > start && choices[i] == choices[i - 1]) {
            continue;
        }
        // 尝试：做出选择，更新 target, start
        state.push_back(choices[i]);
        // 进行下一轮选择
        backtrack(state, target - choices[i], choices, i + 1, res);
        // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        state.pop_back();
    }
}

/* 求解子集和 II */
vector<vector<int>> subsetSumII(vector<int> &nums, int target) {
    vector<int> state;              // 状态（子集）
    sort(nums.begin(), nums.end()); // 对 nums 进行排序
    int start = 0;                  // 遍历起始点
    vector<vector<int>> res;        // 结果列表（子集列表）
    backtrack(state, target, nums, start, res);
    return res;
}

subset_sum_ii.java

/* 回溯算法：子集和 II */
void backtrack(List<Integer> state, int target, int[] choices, int start, List<List<Integer>> res) {
    // 子集和等于 target 时，记录解
    if (target == 0) {
        res.add(new ArrayList<>(state));
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
    // 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
    for (int i = start; i < choices.length; i++) {
        // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
        // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
        if (target - choices[i] < 0) {
            break;
        }
        // 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
        if (i > start && choices[i] == choices[i - 1]) {
            continue;
        }
        // 尝试：做出选择，更新 target, start
        state.add(choices[i]);
        // 进行下一轮选择
        backtrack(state, target - choices[i], choices, i + 1, res);
        // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        state.remove(state.size() - 1);
    }
}

/* 求解子集和 II */
List<List<Integer>> subsetSumII(int[] nums, int target) {
    List<Integer> state = new ArrayList<>(); // 状态（子集）
    Arrays.sort(nums); // 对 nums 进行排序
    int start = 0; // 遍历起始点
    List<List<Integer>> res = new ArrayList<>(); // 结果列表（子集列表）
    backtrack(state, target, nums, start, res);
    return res;
}

subset_sum_ii.cs

/* 回溯算法：子集和 II */
void Backtrack(List<int> state, int target, int[] choices, int start, List<List<int>> res) {
    // 子集和等于 target 时，记录解
    if (target == 0) {
        res.Add(new List<int>(state));
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
    // 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
    for (int i = start; i < choices.Length; i++) {
        // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
        // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
        if (target - choices[i] < 0) {
            break;
        }
        // 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
        if (i > start && choices[i] == choices[i - 1]) {
            continue;
        }
        // 尝试：做出选择，更新 target, start
        state.Add(choices[i]);
        // 进行下一轮选择
        Backtrack(state, target - choices[i], choices, i + 1, res);
        // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        state.RemoveAt(state.Count - 1);
    }
}

/* 求解子集和 II */
List<List<int>> SubsetSumII(int[] nums, int target) {
    List<int> state = []; // 状态（子集）
    Array.Sort(nums); // 对 nums 进行排序
    int start = 0; // 遍历起始点
    List<List<int>> res = []; // 结果列表（子集列表）
    Backtrack(state, target, nums, start, res);
    return res;
}

subset_sum_ii.go

/* 回溯算法：子集和 II */
func backtrackSubsetSumII(start, target int, state, choices *[]int, res *[][]int) {
    // 子集和等于 target 时，记录解
    if target == 0 {
        newState := append([]int{}, *state...)
        *res = append(*res, newState)
        return
    }
    // 遍历所有选择
    // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
    // 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
    for i := start; i < len(*choices); i++ {
        // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
        // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
        if target-(*choices)[i] < 0 {
            break
        }
        // 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
        if i > start && (*choices)[i] == (*choices)[i-1] {
            continue
        }
        // 尝试：做出选择，更新 target, start
        *state = append(*state, (*choices)[i])
        // 进行下一轮选择
        backtrackSubsetSumII(i+1, target-(*choices)[i], state, choices, res)
        // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        *state = (*state)[:len(*state)-1]
    }
}

/* 求解子集和 II */
func subsetSumII(nums []int, target int) [][]int {
    state := make([]int, 0) // 状态（子集）
    sort.Ints(nums)         // 对 nums 进行排序
    start := 0              // 遍历起始点
    res := make([][]int, 0) // 结果列表（子集列表）
    backtrackSubsetSumII(start, target, &state, &nums, &res)
    return res
}

subset_sum_ii.swift

/* 回溯算法：子集和 II */
func backtrack(state: inout [Int], target: Int, choices: [Int], start: Int, res: inout [[Int]]) {
    // 子集和等于 target 时，记录解
    if target == 0 {
        res.append(state)
        return
    }
    // 遍历所有选择
    // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
    // 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
    for i in stride(from: start, to: choices.count, by: 1) {
        // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
        // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
        if target - choices[i] < 0 {
            break
        }
        // 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
        if i > start, choices[i] == choices[i - 1] {
            continue
        }
        // 尝试：做出选择，更新 target, start
        state.append(choices[i])
        // 进行下一轮选择
        backtrack(state: &state, target: target - choices[i], choices: choices, start: i + 1, res: &res)
        // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        state.removeLast()
    }
}

/* 求解子集和 II */
func subsetSumII(nums: [Int], target: Int) -> [[Int]] {
    var state: [Int] = [] // 状态（子集）
    let nums = nums.sorted() // 对 nums 进行排序
    let start = 0 // 遍历起始点
    var res: [[Int]] = [] // 结果列表（子集列表）
    backtrack(state: &state, target: target, choices: nums, start: start, res: &res)
    return res
}

subset_sum_ii.js

/* 回溯算法：子集和 II */
function backtrack(state, target, choices, start, res) {
    // 子集和等于 target 时，记录解
    if (target === 0) {
        res.push([...state]);
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
    // 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
    for (let i = start; i < choices.length; i++) {
        // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
        // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
        if (target - choices[i] < 0) {
            break;
        }
        // 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
        if (i > start && choices[i] === choices[i - 1]) {
            continue;
        }
        // 尝试：做出选择，更新 target, start
        state.push(choices[i]);
        // 进行下一轮选择
        backtrack(state, target - choices[i], choices, i + 1, res);
        // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        state.pop();
    }
}

/* 求解子集和 II */
function subsetSumII(nums, target) {
    const state = []; // 状态（子集）
    nums.sort((a, b) => a - b); // 对 nums 进行排序
    const start = 0; // 遍历起始点
    const res = []; // 结果列表（子集列表）
    backtrack(state, target, nums, start, res);
    return res;
}

subset_sum_ii.ts

/* 回溯算法：子集和 II */
function backtrack(
    state: number[],
    target: number,
    choices: number[],
    start: number,
    res: number[][]
): void {
    // 子集和等于 target 时，记录解
    if (target === 0) {
        res.push([...state]);
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
    // 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
    for (let i = start; i < choices.length; i++) {
        // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
        // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
        if (target - choices[i] < 0) {
            break;
        }
        // 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
        if (i > start && choices[i] === choices[i - 1]) {
            continue;
        }
        // 尝试：做出选择，更新 target, start
        state.push(choices[i]);
        // 进行下一轮选择
        backtrack(state, target - choices[i], choices, i + 1, res);
        // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        state.pop();
    }
}

/* 求解子集和 II */
function subsetSumII(nums: number[], target: number): number[][] {
    const state = []; // 状态（子集）
    nums.sort((a, b) => a - b); // 对 nums 进行排序
    const start = 0; // 遍历起始点
    const res = []; // 结果列表（子集列表）
    backtrack(state, target, nums, start, res);
    return res;
}

subset_sum_ii.dart

/* 回溯算法：子集和 II */
void backtrack(
  List<int> state,
  int target,
  List<int> choices,
  int start,
  List<List<int>> res,
) {
  // 子集和等于 target 时，记录解
  if (target == 0) {
    res.add(List.from(state));
    return;
  }
  // 遍历所有选择
  // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
  // 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
  for (int i = start; i < choices.length; i++) {
    // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
    // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
    if (target - choices[i] < 0) {
      break;
    }
    // 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
    if (i > start && choices[i] == choices[i - 1]) {
      continue;
    }
    // 尝试：做出选择，更新 target, start
    state.add(choices[i]);
    // 进行下一轮选择
    backtrack(state, target - choices[i], choices, i + 1, res);
    // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
    state.removeLast();
  }
}

/* 求解子集和 II */
List<List<int>> subsetSumII(List<int> nums, int target) {
  List<int> state = []; // 状态（子集）
  nums.sort(); // 对 nums 进行排序
  int start = 0; // 遍历起始点
  List<List<int>> res = []; // 结果列表（子集列表）
  backtrack(state, target, nums, start, res);
  return res;
}

subset_sum_ii.rs

/* 回溯算法：子集和 II */
fn backtrack(mut state: Vec<i32>, target: i32, choices: &[i32], start: usize, res: &mut Vec<Vec<i32>>) {
    // 子集和等于 target 时，记录解
    if target == 0 {
        res.push(state);
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
    // 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
    for i in start..choices.len() {
        // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
        // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
        if target - choices[i] < 0 {
            break;
        }
        // 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
        if i > start && choices[i] == choices[i - 1] {
            continue;
        }
        // 尝试：做出选择，更新 target, start
        state.push(choices[i]);
        // 进行下一轮选择
        backtrack(state.clone(), target - choices[i], choices, i, res);
        // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        state.pop();
    }
}

/* 求解子集和 II */
fn subset_sum_ii(nums: &mut [i32], target: i32) -> Vec<Vec<i32>> {
    let state = Vec::new(); // 状态（子集）
    nums.sort(); // 对 nums 进行排序
    let start = 0; // 遍历起始点
    let mut res = Vec::new(); // 结果列表（子集列表）
    backtrack(state, target, nums, start, &mut res);
    res
}

subset_sum_ii.c

/* 回溯算法：子集和 II */
void backtrack(int target, int *choices, int choicesSize, int start) {
    // 子集和等于 target 时，记录解
    if (target == 0) {
        for (int i = 0; i < stateSize; i++) {
            res[resSize][i] = state[i];
        }
        resColSizes[resSize++] = stateSize;
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
    // 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
    for (int i = start; i < choicesSize; i++) {
        // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接跳过
        if (target - choices[i] < 0) {
            continue;
        }
        // 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
        if (i > start && choices[i] == choices[i - 1]) {
            continue;
        }
        // 尝试：做出选择，更新 target, start
        state[stateSize] = choices[i];
        stateSize++;
        // 进行下一轮选择
        backtrack(target - choices[i], choices, choicesSize, i + 1);
        // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        stateSize--;
    }
}

/* 求解子集和 II */
void subsetSumII(int *nums, int numsSize, int target) {
    // 对 nums 进行排序
    qsort(nums, numsSize, sizeof(int), cmp);
    // 开始回溯
    backtrack(target, nums, numsSize, 0);
}

subset_sum_ii.zig

[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{subsetSumII}

图 13-14 展示了数组 \([4, 4, 5]\) 和目标元素 \(9\) 的回溯过程，共包含四种剪枝操作。请你将图示与代码注释相结合，理解整个搜索过程，以及每种剪枝操作是如何工作的。

图 13-14   子集和 II 回溯过程

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