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6.1.   二分查找

「二分查找 Binary Search」利用数据的有序性，通过每轮减少一半搜索范围来定位目标元素。

给定一个长度为 \(n\) 的有序数组 nums ，元素按从小到大的顺序排列。数组索引的取值范围为：

\[ 0, 1, 2, \cdots, n-1 \]

我们通常使用以下两种方法来表示这个取值范围：

  1. 双闭区间 \([0, n-1]\) ，即两个边界都包含自身；在此方法下，区间 \([i, i]\) 仍包含 \(1\) 个元素；
  2. 左闭右开 \([0, n)\) ，即左边界包含自身、右边界不包含自身；在此方法下，区间 \([i, i)\) 不包含元素；

6.1.1.   双闭区间实现

首先，我们采用“双闭区间”表示法，在数组 nums 中查找目标元素 target 的对应索引。

二分查找步骤

binary_search_step2

binary_search_step3

binary_search_step4

binary_search_step5

binary_search_step6

binary_search_step7

二分查找在“双闭区间”表示下的代码如下所示。

binary_search.java
/* 二分查找（双闭区间） */
int binarySearch(int[] nums, int target) {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    int i = 0, j = nums.length - 1;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
    while (i <= j) {
        int m = (i + j) / 2;       // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)      // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1;
        else                       // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}
binary_search.cpp
/* 二分查找（双闭区间） */
int binarySearch(vector<int> &nums, int target) {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    int i = 0, j = nums.size() - 1;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
    while (i <= j) {
        int m = (i + j) / 2;  // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1;
        else // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}
binary_search.py
def binary_search(nums: list[int], target: int) -> int:
    """二分查找（双闭区间）"""
    # 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    i, j = 0, len(nums) - 1
    while i <= j:
        m = (i + j) // 2  # 计算中点索引 m
        if nums[m] < target:  # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1
        elif nums[m] > target:  # 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1
        else:
            return m  # 找到目标元素，返回其索引
    return -1  # 未找到目标元素，返回 -1
binary_search.go
/* 二分查找（双闭区间） */
func binarySearch(nums []int, target int) int {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    i, j := 0, len(nums)-1
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
    for i <= j {
        m := (i + j) / 2      // 计算中点索引 m
        if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1
        } else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1
        } else { // 找到目标元素，返回其索引
            return m
        }
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1
}
binary_search.js
/* 二分查找（双闭区间） */
function binarySearch(nums, target) {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    let i = 0,
        j = nums.length - 1;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
    while (i <= j) {
        // 计算中点索引 m ，使用 parseInt() 向下取整
        const m = parseInt((i + j) / 2);
        if (nums[m] < target)
            // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target)
            // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1;
        else return m; // 找到目标元素，返回其索引
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}
binary_search.ts
/* 二分查找（双闭区间） */
function binarySearch(nums: number[], target: number): number {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    let i = 0,
        j = nums.length - 1;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
    while (i <= j) {
        // 计算中点索引 m
        const m = Math.floor((i + j) / 2);
        if (nums[m] < target) {
            // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1;
        } else if (nums[m] > target) {
            // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1;
        } else {
            // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
        }
    }
    return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
}
binary_search.c
/* 二分查找（双闭区间） */
int binarySearch(int *nums, int len, int target) {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    int i = 0, j = len - 1;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
    while (i <= j) {
        int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)       // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1;
        else // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}
binary_search.cs
/* 二分查找（双闭区间） */
int binarySearch(int[] nums, int target) {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    int i = 0, j = nums.Length - 1;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
    while (i <= j) {
        int m = (i + j) / 2;       // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)      // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1;
        else                       // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}
binary_search.swift
/* 二分查找（双闭区间） */
func binarySearch(nums: [Int], target: Int) -> Int {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    var i = 0
    var j = nums.count - 1
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
    while i <= j {
        let m = (i + j) / 2 // 计算中点索引 m
        if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1
        } else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1
        } else { // 找到目标元素，返回其索引
            return m
        }
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1
}
binary_search.zig
// 二分查找（双闭区间）
fn binarySearch(comptime T: type, nums: std.ArrayList(T), target: T) T {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    var i: usize = 0;
    var j: usize = nums.items.len - 1;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
    while (i <= j) {
        var m = (i + j) / 2;                    // 计算中点索引 m
        if (nums.items[m] < target) {           // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1;
        } else if (nums.items[m] > target) {    // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1;
        } else {                                // 找到目标元素，返回其索引
            return @intCast(T, m);
        }
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}

需要注意的是，当数组长度非常大时，加法 \(i + j\) 的结果可能会超出 int 类型的取值范围。在这种情况下，我们需要采用一种更安全的计算中点的方法。

// (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
int m = (i + j) / 2;
// 更换为此写法则不会越界
int m = i + (j - i) / 2;

// (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
int m = (i + j) / 2;
// 更换为此写法则不会越界
int m = i + (j - i) / 2;

# Python 中的数字理论上可以无限大（取决于内存大小）
# 因此无需考虑大数越界问题

// (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
m := (i + j) / 2
// 更换为此写法则不会越界
m := i + (j - i) / 2

// (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
let m = parseInt((i + j) / 2);
// 更换为此写法则不会越界
let m = parseInt(i + (j - i) / 2);

// (i + j) 有可能超出 Number 的取值范围
let m = Math.floor((i + j) / 2);
// 更换为此写法则不会越界
let m = Math.floor(i + (j - i) / 2);

// (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
int m = (i + j) / 2;
// 更换为此写法则不会越界
int m = i + (j - i) / 2;

// (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
int m = (i + j) / 2;
// 更换为此写法则不会越界
int m = i + (j - i) / 2;

// (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
let m = (i + j) / 2
// 更换为此写法则不会越界
let m = i + (j - 1) / 2

6.1.2.   左闭右开实现

我们可以采用“左闭右开”的表示法，编写具有相同功能的二分查找代码。

binary_search.java
/* 二分查找（左闭右开） */
int binarySearchLCRO(int[] nums, int target) {
    // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
    int i = 0, j = nums.length;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
    while (i < j) {
        int m = (i + j) / 2;       // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)      // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
            j = m;
        else                       // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}
binary_search.cpp
/* 二分查找（左闭右开） */
int binarySearchLCRO(vector<int> &nums, int target) {
    // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
    int i = 0, j = nums.size();
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
    while (i < j) {
        int m = (i + j) / 2;  // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
            j = m;
        else // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}
binary_search.py
def binary_search_lcro(nums: list[int], target: int) -> int:
    """二分查找（左闭右开）"""
    # 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
    i, j = 0, len(nums)
    # 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
    while i < j:
        m = (i + j) // 2  # 计算中点索引 m
        if nums[m] < target:  # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
            i = m + 1
        elif nums[m] > target:  # 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
            j = m
        else:  # 找到目标元素，返回其索引
            return m
    return -1  # 未找到目标元素，返回 -1
binary_search.go
/* 二分查找（左闭右开） */
func binarySearchLCRO(nums []int, target int) int {
    // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
    i, j := 0, len(nums)
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
    for i < j {
        m := (i + j) / 2      // 计算中点索引 m
        if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
            i = m + 1
        } else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
            j = m
        } else { // 找到目标元素，返回其索引
            return m
        }
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1
}
binary_search.js
/* 二分查找（左闭右开） */
function binarySearchLCRO(nums, target) {
    // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
    let i = 0,
        j = nums.length;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
    while (i < j) {
        // 计算中点索引 m ，使用 parseInt() 向下取整
        const m = parseInt((i + j) / 2);
        if (nums[m] < target)
            // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target)
            // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
            j = m;
        // 找到目标元素，返回其索引
        else return m;
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}
binary_search.ts
/* 二分查找（左闭右开） */
function binarySearchLCRO(nums: number[], target: number): number {
    // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
    let i = 0,
        j = nums.length;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
    while (i < j) {
        // 计算中点索引 m
        const m = Math.floor((i + j) / 2);
        if (nums[m] < target) {
            // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
            i = m + 1;
        } else if (nums[m] > target) {
            // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
            j = m;
        } else {
            // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
        }
    }
    return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
}
binary_search.c
/* 二分查找（左闭右开） */
int binarySearchLCRO(int *nums, int len, int target) {
    // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
    int i = 0, j = len;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
    while (i < j) {
        int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)       // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
            j = m;
        else // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}
binary_search.cs
/* 二分查找（左闭右开） */
int binarySearchLCRO(int[] nums, int target) {
    // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
    int i = 0, j = nums.Length;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
    while (i < j) {
        int m = (i + j) / 2;       // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)      // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
            j = m;
        else                       // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}
binary_search.swift
/* 二分查找（左闭右开） */
func binarySearchLCRO(nums: [Int], target: Int) -> Int {
    // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
    var i = 0
    var j = nums.count
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
    while i < j {
        let m = (i + j) / 2 // 计算中点索引 m
        if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
            i = m + 1
        } else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
            j = m
        } else { // 找到目标元素，返回其索引
            return m
        }
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1
}
binary_search.zig
// 二分查找（左闭右开）
fn binarySearchLCRO(comptime T: type, nums: std.ArrayList(T), target: T) T {
    // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
    var i: usize = 0;
    var j: usize = nums.items.len;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
    while (i <= j) {
        var m = (i + j) / 2;                    // 计算中点索引 m
        if (nums.items[m] < target) {           // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
            i = m + 1;
        } else if (nums.items[m] > target) {    // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
            j = m;
        } else {                                // 找到目标元素，返回其索引
            return @intCast(T, m);
        }
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}

对比这两种代码写法，我们可以发现以下不同点：

表示方法 初始化指针 缩小区间 循环终止条件
双闭区间 \([0, n-1]\) \(i = 0\) , \(j = n-1\) \(i = m + 1\) , \(j = m - 1\) \(i > j\)
左闭右开 \([0, n)\) \(i = 0\) , \(j = n\) \(i = m + 1\) , \(j = m\) \(i = j\)

在“双闭区间”表示法中，由于对左右两边界的定义相同，因此缩小区间的 \(i\) 和 \(j\) 的处理方法也是对称的，这样更不容易出错。因此，建议采用“双闭区间”的写法。

6.1.3.   复杂度分析

时间复杂度 \(O(\log n)\) ：其中 \(n\) 为数组长度；每轮排除一半的区间，因此循环轮数为 \(\log_2 n\) ，使用 \(O(\log n)\) 时间。

空间复杂度 \(O(1)\) ：指针 i , j 使用常数大小空间。

6.1.4.   优点与局限性

二分查找效率很高，主要体现在：

  • 二分查找的时间复杂度较低。对数阶在大数据量情况下具有显著优势。例如，当数据大小 \(n = 2^{20}\) 时，线性查找需要 \(2^{20} = 1048576\) 轮循环，而二分查找仅需 \(\log_2 2^{20} = 20\) 轮循环。
  • 二分查找无需额外空间。与哈希查找相比，二分查找更加节省空间。

然而，并非所有情况下都可使用二分查找，原因如下：

  • 二分查找仅适用于有序数据。若输入数据无序，为了使用二分查找而专门进行排序，得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 \(O(n \log n)\) ，比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景，为保持数组有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 \(O(n)\) ，也是非常昂贵的。
  • 二分查找仅适用于数组。二分查找需要跳跃式（非连续地）访问元素，而在链表中执行跳跃式访问的效率较低，因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。
  • 小数据量下，线性查找性能更佳。在线性查找中，每轮只需要 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，当数据量 \(n\) 较小时，线性查找反而比二分查找更快。

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