15.3 最大容量问题¶
Question
输入一个数组 \(ht\) ,数组中的每个元素代表一个垂直隔板的高度。数组中的任意两个隔板,以及它们之间的空间可以组成一个容器。
容器的容量等于高度和宽度的乘积(即面积),其中高度由较短的隔板决定,宽度是两个隔板的数组索引之差。
请在数组中选择两个隔板,使得组成的容器的容量最大,返回最大容量。
图:最大容量问题的示例数据
容器由任意两个隔板围成,因此本题的状态为两个隔板的索引,记为 \([i, j]\) 。
根据题意,容量等于高度乘以宽度,其中高度由短板决定,宽度是两隔板的索引之差。设容量为 \(cap[i, j]\) ,则可得计算公式:
设数组长度为 \(n\) ,两个隔板的组合数量(即状态总数)为 \(C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2}\) 个。最直接地,我们可以穷举所有状态,从而求得最大容量,时间复杂度为 \(O(n^2)\) 。
1. 贪心策略确定¶
这道题还有更高效率的解法。如下图所示,现选取一个状态 \([i, j]\) ,其满足索引 \(i < j\) 且高度 \(ht[i] < ht[j]\) ,即 \(i\) 为短板、 \(j\) 为长板。
图:初始状态
如下图所示,若此时将长板 \(j\) 向短板 \(i\) 靠近,则容量一定变小。这是因为在移动长板 \(j\) 后:
- 宽度 \(j-i\) 肯定变小。
- 高度由短板决定,因此高度只可能不变( \(i\) 仍为短板)或变小(移动后的 \(j\) 成为短板)。
图:向内移动长板后的状态
反向思考,我们只有向内收缩短板 \(i\) ,才有可能使容量变大。因为虽然宽度一定变小,但高度可能会变大(移动后的短板 \(i\) 可能会变长)。例如在下图中,移动短板后面积变大。
图:向内移动短板后的状态
由此便可推出本题的贪心策略:初始化两指针分裂容器两端,每轮向内收缩短板对应的指针,直至两指针相遇。
下图展示了贪心策略的执行过程。
- 初始状态下,指针 \(i\) , \(j\) 分列与数组两端。
- 计算当前状态的容量 \(cap[i, j]\) ,并更新最大容量。
- 比较板 \(i\) 和 板 \(j\) 的高度,并将短板向内移动一格。
- 循环执行第
2.
,3.
步,直至 \(i\) 和 \(j\) 相遇时结束。
图:最大容量问题的贪心过程
2. 代码实现¶
代码循环最多 \(n\) 轮,因此时间复杂度为 \(O(n)\) 。
变量 \(i\) , \(j\) , \(res\) 使用常数大小额外空间,因此空间复杂度为 \(O(1)\) 。
/* 最大容量:贪心 */
int maxCapacity(int[] ht) {
// 初始化 i, j 分列数组两端
int i = 0, j = ht.length - 1;
// 初始最大容量为 0
int res = 0;
// 循环贪心选择,直至两板相遇
while (i < j) {
// 更新最大容量
int cap = Math.min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
res = Math.max(res, cap);
// 向内移动短板
if (ht[i] < ht[j]) {
i++;
} else {
j--;
}
}
return res;
}
/* 最大容量:贪心 */
int maxCapacity(vector<int> &ht) {
// 初始化 i, j 分列数组两端
int i = 0, j = ht.size() - 1;
// 初始最大容量为 0
int res = 0;
// 循环贪心选择,直至两板相遇
while (i < j) {
// 更新最大容量
int cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
res = max(res, cap);
// 向内移动短板
if (ht[i] < ht[j]) {
i++;
} else {
j--;
}
}
return res;
}
/* 最大容量:贪心 */
func maxCapacity(ht []int) int {
// 初始化 i, j 分列数组两端
i, j := 0, len(ht)-1
// 初始最大容量为 0
res := 0
// 循环贪心选择,直至两板相遇
for i < j {
// 更新最大容量
capacity := int(math.Min(float64(ht[i]), float64(ht[j]))) * (j - i)
res = int(math.Max(float64(res), float64(capacity)))
// 向内移动短板
if ht[i] < ht[j] {
i++
} else {
j--
}
}
return res
}
/* 最大容量:贪心 */
int maxCapacity(int[] ht) {
// 初始化 i, j 分列数组两端
int i = 0, j = ht.Length - 1;
// 初始最大容量为 0
int res = 0;
// 循环贪心选择,直至两板相遇
while (i < j) {
// 更新最大容量
int cap = Math.Min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
res = Math.Max(res, cap);
// 向内移动短板
if (ht[i] < ht[j]) {
i++;
} else {
j--;
}
}
return res;
}
/* 最大容量:贪心 */
int maxCapacity(List<int> ht) {
// 初始化 i, j 分列数组两端
int i = 0, j = ht.length - 1;
// 初始最大容量为 0
int res = 0;
// 循环贪心选择,直至两板相遇
while (i < j) {
// 更新最大容量
int cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
res = max(res, cap);
// 向内移动短板
if (ht[i] < ht[j]) {
i++;
} else {
j--;
}
}
return res;
}
/* 最大容量:贪心 */
fn max_capacity(ht: &[i32]) -> i32 {
// 初始化 i, j 分列数组两端
let mut i = 0;
let mut j = ht.len() - 1;
// 初始最大容量为 0
let mut res = 0;
// 循环贪心选择,直至两板相遇
while i < j {
// 更新最大容量
let cap = std::cmp::min(ht[i], ht[j]) * (j - i) as i32;
res = std::cmp::max(res, cap);
// 向内移动短板
if ht[i] < ht[j] {
i += 1;
} else {
j -= 1;
}
}
res
}
3. 正确性证明¶
之所以贪心比穷举更快,是因为每轮的贪心选择都会“跳过”一些状态。
比如在状态 \(cap[i, j]\) 下,\(i\) 为短板、\(j\) 为长板。若贪心地将短板 \(i\) 向内移动一格,会导致下图所示的状态被“跳过”。这意味着之后无法验证这些状态的容量大小。
图:移动短板导致被跳过的状态
观察发现,这些被跳过的状态实际上就是将长板 \(j\) 向内移动的所有状态。而在第二步中,我们已经证明内移长板一定会导致容量变小。也就是说,被跳过的状态都不可能是最优解,跳过它们不会导致错过最优解。
以上的分析说明,移动短板的操作是“安全”的,贪心策略是有效的。