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10.2   二分查找插入点

二分查找不仅可用于搜索目标元素，还具有许多变种问题，比如搜索目标元素的插入位置。

10.2.1   无重复元素的情况

Question

给定一个长度为 \(n\) 的有序数组 nums 和一个元素 target ，数组不存在重复元素。现将 target 插入到数组 nums 中，并保持其有序性。若数组中已存在元素 target ，则插入到其左方。请返回插入后 target 在数组中的索引。

二分查找插入点示例数据

图 10-4   二分查找插入点示例数据

如果想要复用上节的二分查找代码，则需要回答以下两个问题。

问题一：当数组中包含 target 时，插入点的索引是否是该元素的索引？

题目要求将 target 插入到相等元素的左边，这意味着新插入的 target 替换了原来 target 的位置。也就是说，当数组包含 target 时，插入点的索引就是该 target 的索引。

问题二：当数组中不存在 target 时，插入点是哪个元素的索引？

进一步思考二分查找过程：当 nums[m] < target 时 \(i\) 移动，这意味着指针 \(i\) 在向大于等于 target 的元素靠近。同理，指针 \(j\) 始终在向小于等于 target 的元素靠近。

因此二分结束时一定有：\(i\) 指向首个大于 target 的元素，\(j\) 指向首个小于 target 的元素。易得当数组不包含 target 时，插入索引为 \(i\) 。

binary_search_insertion.py
def binary_search_insertion_simple(nums: list[int], target: int) -> int:
    """二分查找插入点（无重复元素）"""
    i, j = 0, len(nums) - 1  # 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while i <= j:
        m = (i + j) // 2  # 计算中点索引 m
        if nums[m] < target:
            i = m + 1  # target 在区间 [m+1, j] 中
        elif nums[m] > target:
            j = m - 1  # target 在区间 [i, m-1] 中
        else:
            return m  # 找到 target ，返回插入点 m
    # 未找到 target ，返回插入点 i
    return i
binary_search_insertion.cpp
/* 二分查找插入点（无重复元素） */
int binarySearchInsertionSimple(vector<int> &nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            return m; // 找到 target ，返回插入点 m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入点 i
    return i;
}
binary_search_insertion.java
/* 二分查找插入点（无重复元素） */
int binarySearchInsertionSimple(int[] nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            return m; // 找到 target ，返回插入点 m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入点 i
    return i;
}
binary_search_insertion.cs
/* 二分查找插入点（无重复元素） */
int binarySearchInsertionSimple(int[] nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.Length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            return m; // 找到 target ，返回插入点 m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入点 i
    return i;
}
binary_search_insertion.go
/* 二分查找插入点（无重复元素） */
func binarySearchInsertionSimple(nums []int, target int) int {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    i, j := 0, len(nums)-1
    for i <= j {
        // 计算中点索引 m
        m := i + (j-i)/2
        if nums[m] < target {
            // target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1
        } else if nums[m] > target {
            // target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1
        } else {
            // 找到 target ，返回插入点 m
            return m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入点 i
    return i
}
binary_search_insertion.swift
/* 二分查找插入点（无重复元素） */
func binarySearchInsertionSimple(nums: [Int], target: Int) -> Int {
    var i = 0, j = nums.count - 1 // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while i <= j {
        let m = i + (j - i) / 2 // 计算中点索引 m
        if nums[m] < target {
            i = m + 1 // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if nums[m] > target {
            j = m - 1 // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            return m // 找到 target ，返回插入点 m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入点 i
    return i
}
binary_search_insertion.js
/* 二分查找插入点（无重复元素） */
function binarySearchInsertionSimple(nums, target) {
    let i = 0,
        j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        const m = Math.floor(i + (j - i) / 2); // 计算中点索引 m, 使用 Math.floor() 向下取整
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            return m; // 找到 target ，返回插入点 m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入点 i
    return i;
}
binary_search_insertion.ts
/* 二分查找插入点（无重复元素） */
function binarySearchInsertionSimple(
    nums: Array<number>,
    target: number
): number {
    let i = 0,
        j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        const m = Math.floor(i + (j - i) / 2); // 计算中点索引 m, 使用 Math.floor() 向下取整
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            return m; // 找到 target ，返回插入点 m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入点 i
    return i;
}
binary_search_insertion.dart
/* 二分查找插入点（无重复元素） */
int binarySearchInsertionSimple(List<int> nums, int target) {
  int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
  while (i <= j) {
    int m = i + (j - i) ~/ 2; // 计算中点索引 m
    if (nums[m] < target) {
      i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
    } else if (nums[m] > target) {
      j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
    } else {
      return m; // 找到 target ，返回插入点 m
    }
  }
  // 未找到 target ，返回插入点 i
  return i;
}
binary_search_insertion.rs
/* 二分查找插入点（存在重复元素） */
pub fn binary_search_insertion(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
    let (mut i, mut j) = (0, nums.len() as i32 - 1);    // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while i <= j {
        let m = i + (j - i) / 2;    // 计算中点索引 m
        if nums[m as usize] < target {
            i = m + 1;  // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if nums[m as usize] > target {
            j = m - 1;  // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            j = m - 1;  // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
        }
    }
    // 返回插入点 i
    i
}
binary_search_insertion.c
/* 二分查找插入点（无重复元素） */
int binarySearchInsertionSimple(int *nums, int numSize, int target) {
    int i = 0, j = numSize - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            return m; // 找到 target ，返回插入点 m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入点 i
    return i;
}
binary_search_insertion.zig
[class]{}-[func]{binarySearchInsertionSimple}

10.2.2   存在重复元素的情况

Question

在上一题的基础上，规定数组可能包含重复元素，其余不变。

假设数组中存在多个 target ，则普通二分查找只能返回其中一个 target 的索引，而无法确定该元素的左边和右边还有多少 target。

题目要求将目标元素插入到最左边，所以我们需要查找数组中最左一个 target 的索引。初步考虑通过图 10-5 所示的步骤实现。

  1. 执行二分查找，得到任意一个 target 的索引，记为 \(k\) 。
  2. 从索引 \(k\) 开始，向左进行线性遍历，当找到最左边的 target 时返回。

线性查找重复元素的插入点

图 10-5   线性查找重复元素的插入点

此方法虽然可用，但其包含线性查找，因此时间复杂度为 \(O(n)\) 。当数组中存在很多重复的 target 时，该方法效率很低。

现考虑拓展二分查找代码。如图 10-6 所示，整体流程保持不变，每轮先计算中点索引 \(m\) ，再判断 target 和 nums[m] 大小关系，分为以下几种情况。

  • 当 nums[m] < target 或 nums[m] > target 时，说明还没有找到 target ，因此采用普通二分查找的缩小区间操作，从而使指针 \(i\) 和 \(j\) 向 target 靠近。
  • 当 nums[m] == target 时，说明小于 target 的元素在区间 \([i, m - 1]\) 中，因此采用 \(j = m - 1\) 来缩小区间，从而使指针 \(j\) 向小于 target 的元素靠近。

循环完成后，\(i\) 指向最左边的 target ，\(j\) 指向首个小于 target 的元素，因此索引 \(i\) 就是插入点。

二分查找重复元素的插入点的步骤

binary_search_insertion_step2

binary_search_insertion_step3

binary_search_insertion_step4

binary_search_insertion_step5

binary_search_insertion_step6

binary_search_insertion_step7

binary_search_insertion_step8

图 10-6   二分查找重复元素的插入点的步骤

观察以下代码，判断分支 nums[m] > target 和 nums[m] == target 的操作相同，因此两者可以合并。

即便如此，我们仍然可以将判断条件保持展开，因为其逻辑更加清晰、可读性更好。

binary_search_insertion.py
def binary_search_insertion(nums: list[int], target: int) -> int:
    """二分查找插入点（存在重复元素）"""
    i, j = 0, len(nums) - 1  # 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while i <= j:
        m = (i + j) // 2  # 计算中点索引 m
        if nums[m] < target:
            i = m + 1  # target 在区间 [m+1, j] 中
        elif nums[m] > target:
            j = m - 1  # target 在区间 [i, m-1] 中
        else:
            j = m - 1  # 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
    # 返回插入点 i
    return i
binary_search_insertion.cpp
/* 二分查找插入点（存在重复元素） */
int binarySearchInsertion(vector<int> &nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
        }
    }
    // 返回插入点 i
    return i;
}
binary_search_insertion.java
/* 二分查找插入点（存在重复元素） */
int binarySearchInsertion(int[] nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
        }
    }
    // 返回插入点 i
    return i;
}
binary_search_insertion.cs
/* 二分查找插入点（存在重复元素） */
int binarySearchInsertion(int[] nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.Length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
        }
    }
    // 返回插入点 i
    return i;
}
binary_search_insertion.go
/* 二分查找插入点（存在重复元素） */
func binarySearchInsertion(nums []int, target int) int {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    i, j := 0, len(nums)-1
    for i <= j {
        // 计算中点索引 m
        m := i + (j-i)/2
        if nums[m] < target {
            // target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1
        } else if nums[m] > target {
            // target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1
        } else {
            // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1
        }
    }
    // 返回插入点 i
    return i
}
binary_search_insertion.swift
/* 二分查找插入点（存在重复元素） */
func binarySearchInsertion(nums: [Int], target: Int) -> Int {
    var i = 0, j = nums.count - 1 // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while i <= j {
        let m = i + (j - i) / 2 // 计算中点索引 m
        if nums[m] < target {
            i = m + 1 // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if nums[m] > target {
            j = m - 1 // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            j = m - 1 // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
        }
    }
    // 返回插入点 i
    return i
}
binary_search_insertion.js
/* 二分查找插入点（存在重复元素） */
function binarySearchInsertion(nums, target) {
    let i = 0,
        j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        const m = Math.floor(i + (j - i) / 2); // 计算中点索引 m, 使用 Math.floor() 向下取整
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
        }
    }
    // 返回插入点 i
    return i;
}
binary_search_insertion.ts
/* 二分查找插入点（存在重复元素） */
function binarySearchInsertion(nums: Array<number>, target: number): number {
    let i = 0,
        j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        const m = Math.floor(i + (j - i) / 2); // 计算中点索引 m, 使用 Math.floor() 向下取整
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
        }
    }
    // 返回插入点 i
    return i;
}
binary_search_insertion.dart
/* 二分查找插入点（存在重复元素） */
int binarySearchInsertion(List<int> nums, int target) {
  int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
  while (i <= j) {
    int m = i + (j - i) ~/ 2; // 计算中点索引 m
    if (nums[m] < target) {
      i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
    } else if (nums[m] > target) {
      j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
    } else {
      j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
    }
  }
  // 返回插入点 i
  return i;
}
binary_search_insertion.rs
/* 二分查找插入点（存在重复元素） */
pub fn binary_search_insertion(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
    let (mut i, mut j) = (0, nums.len() as i32 - 1);    // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while i <= j {
        let m = i + (j - i) / 2;    // 计算中点索引 m
        if nums[m as usize] < target {
            i = m + 1;  // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if nums[m as usize] > target {
            j = m - 1;  // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            j = m - 1;  // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
        }
    }
    // 返回插入点 i
    i
}
binary_search_insertion.c
/* 二分查找插入点（存在重复元素） */
int binarySearchInsertion(int *nums, int numSize, int target) {
    int i = 0, j = numSize - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
        }
    }
    // 返回插入点 i
    return i;
}
binary_search_insertion.zig
[class]{}-[func]{binarySearchInsertion}

Tip

本节的代码都是“双闭区间”写法。有兴趣的读者可以自行实现“左闭右开”写法。

总的来看，二分查找无非就是给指针 \(i\) 和 \(j\) 分别设定搜索目标，目标可能是一个具体的元素（例如 target ），也可能是一个元素范围（例如小于 target 的元素）。

在不断的循环二分中，指针 \(i\) 和 \(j\) 都逐渐逼近预先设定的目标。最终，它们或是成功找到答案，或是越过边界后停止。

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