11.6 归并排序¶
「归并排序 merge sort」是一种基于分治策略的排序算法，包含图 11-10 所示的“划分”和“合并”阶段。
- 划分阶段：通过递归不断地将数组从中点处分开，将长数组的排序问题转换为短数组的排序问题。
- 合并阶段：当子数组长度为 1 时终止划分，开始合并，持续地将左右两个较短的有序数组合并为一个较长的有序数组，直至结束。
图 11-10 归并排序的划分与合并阶段
11.6.1 算法流程¶
如图 11-11 所示，“划分阶段”从顶至底递归地将数组从中点切分为两个子数组。
- 计算数组中点
mid，递归划分左子数组（区间[left, mid]）和右子数组（区间[mid + 1, right]）。 - 递归执行步骤
1.，直至子数组区间长度为 1 时，终止递归划分。
“合并阶段”从底至顶地将左子数组和右子数组合并为一个有序数组。需要注意的是，从长度为 1 的子数组开始合并，合并阶段中的每个子数组都是有序的。
图 11-11 归并排序步骤
观察发现，归并排序与二叉树后序遍历的递归顺序是一致的。
- 后序遍历：先递归左子树，再递归右子树，最后处理根节点。
- 归并排序：先递归左子数组，再递归右子数组，最后处理合并。
实现合并函数 merge() 存在以下难点。
- 需要特别注意各个变量的含义。
nums的待合并区间为[left, right]，但由于tmp仅复制了nums该区间的元素，因此tmp对应区间为[0, right - left]。 - 在比较
tmp[i]和tmp[j]的大小时，还需考虑子数组遍历完成后的索引越界问题，即i > leftEnd和j > rightEnd的情况。索引越界的优先级是最高的，如果左子数组已经被合并完了，那么不需要继续比较，直接合并右子数组元素即可。
11.6.2 算法特性¶
- 时间复杂度 \(O(n \log n)\)、非自适应排序：划分产生高度为 \(\log n\) 的递归树，每层合并的总操作数量为 \(n\) ，因此总体时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。
- 空间复杂度 \(O(n)\)、非原地排序：递归深度为 \(\log n\) ，使用 \(O(\log n)\) 大小的栈帧空间。合并操作需要借助辅助数组实现，使用 \(O(n)\) 大小的额外空间。
- 稳定排序：在合并过程中，相等元素的次序保持不变。
11.6.3 链表排序 *¶
对于链表，归并排序相较于其他排序算法具有显著优势，可以将链表排序任务的空间复杂度优化至 \(O(1)\) 。
- 划分阶段：可以通过使用“迭代”替代“递归”来实现链表划分工作，从而省去递归使用的栈帧空间。
- 合并阶段：在链表中，节点增删操作仅需改变引用（指针）即可实现，因此合并阶段（将两个短有序链表合并为一个长有序链表）无须创建额外链表。
具体实现细节比较复杂，有兴趣的同学可以查阅相关资料进行学习。