11.4 插入排序¶
「插入排序 insertion sort」是一种简单的排序算法，它的工作原理与手动整理一副牌的过程非常相似。
具体来说，我们在未排序区间选择一个基准元素，将该元素与其左侧已排序区间的元素逐一比较大小，并将该元素插入到正确的位置。
图 11-6 展示了数组插入元素的操作流程。设基准元素为 base ，我们需要将从目标索引到 base 之间的所有元素向右移动一位，然后再将 base 赋值给目标索引。
图 11-6 单次插入操作
11.4.1 算法流程¶
插入排序的整体流程如图 11-7 所示。
- 初始状态下，数组的第 1 个元素已完成排序。
- 选取数组的第 2 个元素作为
base，将其插入到正确位置后，数组的前 2 个元素已排序。 - 选取第 3 个元素作为
base，将其插入到正确位置后，数组的前 3 个元素已排序。 - 以此类推，在最后一轮中，选取最后一个元素作为
base，将其插入到正确位置后，所有元素均已排序。
图 11-7 插入排序流程
11.4.2 算法特性¶
- 时间复杂度 \(O(n^2)\)、自适应排序：最差情况下，每次插入操作分别需要循环 \(n - 1\)、\(n-2\)、\(\dots\)、\(2\)、\(1\) 次，求和得到 \((n - 1) n / 2\) ，因此时间复杂度为 \(O(n^2)\) 。在遇到有序数据时，插入操作会提前终止。当输入数组完全有序时，插入排序达到最佳时间复杂度 \(O(n)\) 。
- 空间复杂度 \(O(1)\)、原地排序：指针 \(i\) 和 \(j\) 使用常数大小的额外空间。
- 稳定排序：在插入操作过程中，我们会将元素插入到相等元素的右侧，不会改变它们的顺序。
11.4.3 插入排序优势¶
插入排序的时间复杂度为 \(O(n^2)\) ，而我们即将学习的快速排序的时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。尽管插入排序的时间复杂度相比快速排序更高，但在数据量较小的情况下，插入排序通常更快。
这个结论与线性查找和二分查找的适用情况的结论类似。快速排序这类 \(O(n \log n)\) 的算法属于基于分治的排序算法，往往包含更多单元计算操作。而在数据量较小时，\(n^2\) 和 \(n \log n\) 的数值比较接近，复杂度不占主导作用；每轮中的单元操作数量起到决定性因素。
实际上，许多编程语言（例如 Java）的内置排序函数都采用了插入排序，大致思路为：对于长数组，采用基于分治的排序算法，例如快速排序；对于短数组，直接使用插入排序。
虽然冒泡排序、选择排序和插入排序的时间复杂度都为 \(O(n^2)\) ，但在实际情况中，插入排序的使用频率显著高于冒泡排序和选择排序，主要有以下原因。
- 冒泡排序基于元素交换实现，需要借助一个临时变量，共涉及 3 个单元操作；插入排序基于元素赋值实现，仅需 1 个单元操作。因此，冒泡排序的计算开销通常比插入排序更高。
- 选择排序在任何情况下的时间复杂度都为 \(O(n^2)\) 。如果给定一组部分有序的数据，插入排序通常比选择排序效率更高。
- 选择排序不稳定，无法应用于多级排序。