8.3 Top-K 问题¶
Question
给定一个长度为 \(n\) 无序数组 nums ，请返回数组中前 \(k\) 大的元素。
对于该问题，我们先介绍两种思路比较直接的解法，再介绍效率更高的堆解法。
8.3.1 方法一：遍历选择¶
我们可以进行图 8-6 所示的 \(k\) 轮遍历，分别在每轮中提取第 \(1\)、\(2\)、\(\dots\)、\(k\) 大的元素，时间复杂度为 \(O(nk)\) 。
此方法只适用于 \(k \ll n\) 的情况，因为当 \(k\) 与 \(n\) 比较接近时，其时间复杂度趋向于 \(O(n^2)\) ，非常耗时。
图 8-6 遍历寻找最大的 k 个元素
Tip
当 \(k = n\) 时，我们可以得到完整的有序序列，此时等价于“选择排序”算法。
8.3.2 方法二：排序¶
如图 8-7 所示，我们可以先对数组 nums 进行排序，再返回最右边的 \(k\) 个元素，时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。
显然，该方法“超额”完成任务了，因为我们只需要找出最大的 \(k\) 个元素即可，而不需要排序其他元素。
图 8-7 排序寻找最大的 k 个元素
8.3.3 方法三：堆¶
我们可以基于堆更加高效地解决 Top-K 问题，流程如图 8-8 所示。
- 初始化一个小顶堆，其堆顶元素最小。
- 先将数组的前 \(k\) 个元素依次入堆。
- 从第 \(k + 1\) 个元素开始，若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆，并将当前元素入堆。
- 遍历完成后，堆中保存的就是最大的 \(k\) 个元素。
图 8-8 基于堆寻找最大的 k 个元素
总共执行了 \(n\) 轮入堆和出堆，堆的最大长度为 \(k\) ，因此时间复杂度为 \(O(n \log k)\) 。该方法的效率很高，当 \(k\) 较小时，时间复杂度趋向 \(O(n)\) ；当 \(k\) 较大时，时间复杂度不会超过 \(O(n \log n)\) 。
另外，该方法适用于动态数据流的使用场景。在不断加入数据时，我们可以持续维护堆内的元素，从而实现最大 \(k\) 个元素的动态更新。