8.2 建堆操作¶
在某些情况下，我们希望使用一个列表的所有元素来构建一个堆，这个过程被称为“建堆操作”。
8.2.1 借助入堆操作实现¶
我们首先创建一个空堆，然后遍历列表，依次对每个元素执行“入堆操作”，即先将元素添加至堆的尾部，再对该元素执行“从底至顶”堆化。
每当一个元素入堆，堆的长度就加一。由于节点是从顶到底依次被添加进二叉树的，因此堆是“自上而下”地构建的。
设元素数量为 \(n\) ，每个元素的入堆操作使用 \(O(\log{n})\) 时间，因此该建堆方法的时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。
8.2.2 通过遍历堆化实现¶
实际上，我们可以实现一种更为高效的建堆方法，共分为两步。
- 将列表所有元素原封不动添加到堆中，此时堆的性质尚未得到满足。
- 倒序遍历堆（即层序遍历的倒序），依次对每个非叶节点执行“从顶至底堆化”。
每当堆化一个节点后，以该节点为根节点的子树就形成一个合法的子堆。而由于是倒序遍历，因此堆是“自下而上”地被构建的。
之所以选择倒序遍历，是因为这样能够保证当前节点之下的子树已经是合法的子堆，这样堆化当前节点才是有效的。
值得说明的是，叶节点没有子节点，天然就是合法的子堆，因此无需堆化。如以下代码所示，最后一个非叶节点是最后一个节点的父节点，我们从它开始倒序遍历并执行堆化。
8.2.3 复杂度分析¶
下面，我们来尝试推算第二种建堆方法的时间复杂度。
- 假设完全二叉树的节点数量为 \(n\) ，则叶节点数量为 \((n + 1) / 2\) ，其中 \(/\) 为向下整除。因此需要堆化的节点数量为 \((n - 1) / 2\) 。
- 在从顶至底堆化的过程中，每个节点最多堆化到叶节点，因此最大迭代次数为二叉树高度 \(\log n\) 。
将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。但这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的性质。
接下来我们来进行更为准确的计算。为了减小计算难度，假设给定一个节点数量为 \(n\) ，高度为 \(h\) 的“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。
图 8-5 完美二叉树的各层节点数量
如图 8-5 所示，节点“从顶至底堆化”的最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离，而该距离正是“节点高度”。因此，我们可以将各层的“节点数量 \(\times\) 节点高度”求和，从而得到所有节点的堆化迭代次数的总和。
化简上式需要借助中学的数列知识，先对 \(T(h)\) 乘以 \(2\) ，得到：
使用错位相减法，用下式 \(2 T(h)\) 减去上式 \(T(h)\) ，可得：
观察上式，发现 \(T(h)\) 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为：
进一步地，高度为 \(h\) 的完美二叉树的节点数量为 \(n = 2^{h+1} - 1\) ，易得复杂度为 \(O(2^h) = O(n)\) 。以上推算表明，输入列表并建堆的时间复杂度为 \(O(n)\) ，非常高效。