15.3 最大容量问题¶
Question
输入一个数组 \(ht\) ，数组中的每个元素代表一个垂直隔板的高度。数组中的任意两个隔板，以及它们之间的空间可以组成一个容器。
容器的容量等于高度和宽度的乘积（即面积），其中高度由较短的隔板决定，宽度是两个隔板的数组索引之差。
请在数组中选择两个隔板，使得组成的容器的容量最大，返回最大容量。
图 15-7 最大容量问题的示例数据
容器由任意两个隔板围成，因此本题的状态为两个隔板的索引，记为 \([i, j]\) 。
根据题意，容量等于高度乘以宽度，其中高度由短板决定，宽度是两隔板的索引之差。设容量为 \(cap[i, j]\) ，则可得计算公式：
设数组长度为 \(n\) ，两个隔板的组合数量（即状态总数）为 \(C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2}\) 个。最直接地，我们可以穷举所有状态，从而求得最大容量，时间复杂度为 \(O(n^2)\) 。
1. 贪心策略确定¶
这道题还有更高效率的解法。如图 15-8 所示，现选取一个状态 \([i, j]\) ，其满足索引 \(i < j\) 且高度 \(ht[i] < ht[j]\) ，即 \(i\) 为短板、\(j\) 为长板。
图 15-8 初始状态
如图 15-9 所示，若此时将长板 \(j\) 向短板 \(i\) 靠近，则容量一定变小。
这是因为在移动长板 \(j\) 后，宽度 \(j-i\) 肯定变小；而高度由短板决定，因此高度只可能不变（ \(i\) 仍为短板）或变小（移动后的 \(j\) 成为短板）。
图 15-9 向内移动长板后的状态
反向思考，我们只有向内收缩短板 \(i\) ，才有可能使容量变大。因为虽然宽度一定变小，但高度可能会变大（移动后的短板 \(i\) 可能会变长）。例如在图 15-10 中，移动短板后面积变大。
图 15-10 向内移动短板后的状态
由此便可推出本题的贪心策略：初始化两指针分裂容器两端，每轮向内收缩短板对应的指针，直至两指针相遇。
图 15-11 展示了贪心策略的执行过程。
- 初始状态下，指针 \(i\) 和 \(j\) 分列与数组两端。
- 计算当前状态的容量 \(cap[i, j]\) ，并更新最大容量。
- 比较板 \(i\) 和 板 \(j\) 的高度，并将短板向内移动一格。
- 循环执行第
2.和3.步，直至 \(i\) 和 \(j\) 相遇时结束。
图 15-11 最大容量问题的贪心过程
2. 代码实现¶
代码循环最多 \(n\) 轮，因此时间复杂度为 \(O(n)\) 。
变量 \(i\)、\(j\)、\(res\) 使用常数大小额外空间，因此空间复杂度为 \(O(1)\) 。
3. 正确性证明¶
之所以贪心比穷举更快，是因为每轮的贪心选择都会“跳过”一些状态。
比如在状态 \(cap[i, j]\) 下，\(i\) 为短板、\(j\) 为长板。若贪心地将短板 \(i\) 向内移动一格，会导致图 15-12 所示的状态被“跳过”。这意味着之后无法验证这些状态的容量大小。
图 15-12 移动短板导致被跳过的状态
观察发现，这些被跳过的状态实际上就是将长板 \(j\) 向内移动的所有状态。而在第二步中，我们已经证明内移长板一定会导致容量变小。也就是说，被跳过的状态都不可能是最优解，跳过它们不会导致错过最优解。
以上的分析说明，移动短板的操作是“安全”的，贪心策略是有效的。