14.1 初探动态规划¶
「动态规划 dynamic programming」是一个重要的算法范式，它将一个问题分解为一系列更小的子问题，并通过存储子问题的解来避免重复计算，从而大幅提升时间效率。
在本节中，我们从一个经典例题入手，先给出它的暴力回溯解法，观察其中包含的重叠子问题，再逐步导出更高效的动态规划解法。
爬楼梯
给定一个共有 \(n\) 阶的楼梯，你每步可以上 \(1\) 阶或者 \(2\) 阶，请问有多少种方案可以爬到楼顶。
如图 14-1 所示，对于一个 \(3\) 阶楼梯，共有 \(3\) 种方案可以爬到楼顶。
图 14-1 爬到第 3 阶的方案数量
本题的目标是求解方案数量，我们可以考虑通过回溯来穷举所有可能性。具体来说，将爬楼梯想象为一个多轮选择的过程：从地面出发，每轮选择上 \(1\) 阶或 \(2\) 阶，每当到达楼梯顶部时就将方案数量加 \(1\) ，当越过楼梯顶部时就将其剪枝。
14.1.1 方法一：暴力搜索¶
回溯算法通常并不显式地对问题进行拆解，而是将问题看作一系列决策步骤，通过试探和剪枝，搜索所有可能的解。
我们可以尝试从问题分解的角度分析这道题。设爬到第 \(i\) 阶共有 \(dp[i]\) 种方案，那么 \(dp[i]\) 就是原问题，其子问题包括:
由于每轮只能上 \(1\) 阶或 \(2\) 阶，因此当我们站在第 \(i\) 阶楼梯上时，上一轮只可能站在第 \(i - 1\) 阶或第 \(i - 2\) 阶上。换句话说，我们只能从第 \(i -1\) 阶或第 \(i - 2\) 阶前往第 \(i\) 阶。
由此便可得出一个重要推论：爬到第 \(i - 1\) 阶的方案数加上爬到第 \(i - 2\) 阶的方案数就等于爬到第 \(i\) 阶的方案数。公式如下：
这意味着在爬楼梯问题中，各个子问题之间存在递推关系，原问题的解可以由子问题的解构建得来。图 14-2 展示了该递推关系。
图 14-2 方案数量递推关系
我们可以根据递推公式得到暴力搜索解法。以 \(dp[n]\) 为起始点，递归地将一个较大问题拆解为两个较小问题的和，直至到达最小子问题 \(dp[1]\) 和 \(dp[2]\) 时返回。其中，最小子问题的解是已知的，即 \(dp[1] = 1\)、\(dp[2] = 2\) ，表示爬到第 \(1\)、\(2\) 阶分别有 \(1\)、\(2\) 种方案。
观察以下代码，它和标准回溯代码都属于深度优先搜索，但更加简洁。
图 14-3 展示了暴力搜索形成的递归树。对于问题 \(dp[n]\) ，其递归树的深度为 \(n\) ，时间复杂度为 \(O(2^n)\) 。指数阶属于爆炸式增长，如果我们输入一个比较大的 \(n\) ，则会陷入漫长的等待之中。
图 14-3 爬楼梯对应递归树
观察图 14-3 ，指数阶的时间复杂度是由于“重叠子问题”导致的。例如 \(dp[9]\) 被分解为 \(dp[8]\) 和 \(dp[7]\) ，\(dp[8]\) 被分解为 \(dp[7]\) 和 \(dp[6]\) ，两者都包含子问题 \(dp[7]\) 。
以此类推，子问题中包含更小的重叠子问题，子子孙孙无穷尽也。绝大部分计算资源都浪费在这些重叠的问题上。
14.1.2 方法二：记忆化搜索¶
为了提升算法效率，我们希望所有的重叠子问题都只被计算一次。为此，我们声明一个数组 mem 来记录每个子问题的解，并在搜索过程中将重叠子问题剪枝。
- 当首次计算 \(dp[i]\) 时，我们将其记录至
mem[i]，以便之后使用。 - 当再次需要计算 \(dp[i]\) 时，我们便可直接从
mem[i]中获取结果，从而避免重复计算该子问题。
观察图 14-4 ，经过记忆化处理后，所有重叠子问题都只需被计算一次，时间复杂度被优化至 \(O(n)\) ，这是一个巨大的飞跃。
图 14-4 记忆化搜索对应递归树
14.1.3 方法三：动态规划¶
记忆化搜索是一种“从顶至底”的方法：我们从原问题（根节点）开始，递归地将较大子问题分解为较小子问题，直至解已知的最小子问题（叶节点）。之后，通过回溯将子问题的解逐层收集，构建出原问题的解。
与之相反，动态规划是一种“从底至顶”的方法：从最小子问题的解开始，迭代地构建更大子问题的解，直至得到原问题的解。
由于动态规划不包含回溯过程，因此只需使用循环迭代实现，无须使用递归。在以下代码中，我们初始化一个数组 dp 来存储子问题的解，它起到了记忆化搜索中数组 mem 相同的记录作用。
图 14-5 模拟了以上代码的执行过程。
图 14-5 爬楼梯的动态规划过程
与回溯算法一样，动态规划也使用“状态”概念来表示问题求解的某个特定阶段，每个状态都对应一个子问题以及相应的局部最优解。例如，爬楼梯问题的状态定义为当前所在楼梯阶数 \(i\) 。
根据以上内容，我们可以总结出动态规划的常用术语。
- 将数组
dp称为「\(dp\) 表」，\(dp[i]\) 表示状态 \(i\) 对应子问题的解。 - 将最小子问题对应的状态（即第 \(1\) 和 \(2\) 阶楼梯）称为「初始状态」。
- 将递推公式 \(dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]\) 称为「状态转移方程」。
14.1.4 空间优化¶
细心的你可能发现，由于 \(dp[i]\) 只与 \(dp[i-1]\) 和 \(dp[i-2]\) 有关，因此我们无须使用一个数组 dp 来存储所有子问题的解，而只需两个变量滚动前进即可。
观察以上代码，由于省去了数组 dp 占用的空间，因此空间复杂度从 \(O(n)\) 降低至 \(O(1)\) 。
在动态规划问题中，当前状态往往仅与前面有限个状态有关，这时我们可以只保留必要的状态，通过“降维”来节省内存空间。这种空间优化技巧被称为“滚动变量”或“滚动数组”。