13.2 全排列问题¶
全排列问题是回溯算法的一个典型应用。它的定义是在给定一个集合（如一个数组或字符串）的情况下，找出这个集合中元素的所有可能的排列。
表 13-2 列举了几个示例数据，包括输入数组和对应的所有排列。
表 13-2 数组与链表的效率对比
| 输入数组 | 所有排列 |
|---|---|
| \([1]\) | \([1]\) |
| \([1, 2]\) | \([1, 2], [2, 1]\) |
| \([1, 2, 3]\) | \([1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]\) |
13.2.1 无相等元素的情况¶
Question
输入一个整数数组，数组中不包含重复元素，返回所有可能的排列。
从回溯算法的角度看，我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果。假设输入数组为 \([1, 2, 3]\) ，如果我们先选择 \(1\)、再选择 \(3\)、最后选择 \(2\) ，则获得排列 \([1, 3, 2]\) 。回退表示撤销一个选择，之后继续尝试其他选择。
从回溯代码的角度看，候选集合 choices 是输入数组中的所有元素，状态 state 是直至目前已被选择的元素。请注意，每个元素只允许被选择一次，因此 state 中的所有元素都应该是唯一的。
如图 13-5 所示，我们可以将搜索过程展开成一个递归树，树中的每个节点代表当前状态 state 。从根节点开始，经过三轮选择后到达叶节点，每个叶节点都对应一个排列。
图 13-5 全排列的递归树
1. 重复选择剪枝¶
为了实现每个元素只被选择一次，我们考虑引入一个布尔型数组 selected ，其中 selected[i] 表示 choices[i] 是否已被选择，并基于它实现以下剪枝操作。
- 在做出选择
choice[i]后，我们就将selected[i]赋值为 \(\text{True}\) ，代表它已被选择。 - 遍历选择列表
choices时，跳过所有已被选择过的节点，即剪枝。
如图 13-6 所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1 和元素 3 的分支。
图 13-6 全排列剪枝示例
观察图 13-6 发现，该剪枝操作将搜索空间大小从 \(O(n^n)\) 降低至 \(O(n!)\) 。
2. 代码实现¶
想清楚以上信息之后，我们就可以在框架代码中做“完形填空”了。为了缩短代码行数，我们不单独实现框架代码中的各个函数，而是将他们展开在 backtrack() 函数中。
13.2.2 考虑相等元素的情况¶
Question
输入一个整数数组，数组中可能包含重复元素，返回所有不重复的排列。
假设输入数组为 \([1, 1, 2]\) 。为了方便区分两个重复元素 \(1\) ，我们将第二个 \(1\) 记为 \(\hat{1}\) 。
如图 13-7 所示，上述方法生成的排列有一半都是重复的。
图 13-7 重复排列
那么如何去除重复的排列呢？最直接地，考虑借助一个哈希表，直接对排列结果进行去重。然而这样做不够优雅，因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的，应当被提前识别并剪枝，这样可以进一步提升算法效率。
1. 相等元素剪枝¶
观察图 13-8 ，在第一轮中，选择 \(1\) 或选择 \(\hat{1}\) 是等价的，在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此应该把 \(\hat{1}\) 剪枝掉。
同理，在第一轮选择 \(2\) 之后，第二轮选择中的 \(1\) 和 \(\hat{1}\) 也会产生重复分支，因此也应将第二轮的 \(\hat{1}\) 剪枝。
本质上看，我们的目标是在某一轮选择中，保证多个相等的元素仅被选择一次。
图 13-8 重复排列剪枝
2. 代码实现¶
在上一题的代码的基础上，我们考虑在每一轮选择中开启一个哈希表 duplicated ，用于记录该轮中已经尝试过的元素，并将重复元素剪枝。
假设元素两两之间互不相同，则 \(n\) 个元素共有 \(n!\) 种排列（阶乘）；在记录结果时，需要复制长度为 \(n\) 的列表，使用 \(O(n)\) 时间。因此时间复杂度为 \(O(n!n)\) 。
最大递归深度为 \(n\) ，使用 \(O(n)\) 栈帧空间。selected 使用 \(O(n)\) 空间。同一时刻最多共有 \(n\) 个 duplicated ，使用 \(O(n^2)\) 空间。因此空间复杂度为 \(O(n^2)\) 。
3. 两种剪枝对比¶
请注意，虽然 selected 和 duplicated 都用作剪枝，但两者的目标是不同的。
- 重复选择剪枝：整个搜索过程中只有一个
selected。它记录的是当前状态中包含哪些元素，作用是避免某个元素在state中重复出现。 - 相等元素剪枝：每轮选择（即每个开启的
backtrack函数）都包含一个duplicated。它记录的是在遍历中哪些元素已被选择过，作用是保证相等元素只被选择一次。
图 13-9 展示了两个剪枝条件的生效范围。注意，树中的每个节点代表一个选择，从根节点到叶节点的路径上的各个节点构成一个排列。
图 13-9 两种剪枝条件的作用范围