13.4 N 皇后问题¶
Question
根据国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。给定 \(n\) 个皇后和一个 \(n \times n\) 大小的棋盘，寻找使得所有皇后之间无法相互攻击的摆放方案。
如图 13-15 所示，当 \(n = 4\) 时，共可以找到两个解。从回溯算法的角度看，\(n \times n\) 大小的棋盘共有 \(n^2\) 个格子，给出了所有的选择 choices 。在逐个放置皇后的过程中，棋盘状态在不断地变化，每个时刻的棋盘就是状态 state 。
图 13-15 4 皇后问题的解
图 13-16 展示了本题的三个约束条件：多个皇后不能在同一行、同一列、同一对角线。值得注意的是，对角线分为主对角线 \ 和次对角线 / 两种。
图 13-16 n 皇后问题的约束条件
1. 逐行放置策略¶
皇后的数量和棋盘的行数都为 \(n\) ，因此我们容易得到一个推论：棋盘每行都允许且只允许放置一个皇后。
也就是说，我们可以采取逐行放置策略：从第一行开始，在每行放置一个皇后，直至最后一行结束。
如图 13-17 所示，为 \(4\) 皇后问题的逐行放置过程。受画幅限制，图 13-17 仅展开了第一行的其中一个搜索分支，并且将不满足列约束和对角线约束的方案都进行了剪枝。
图 13-17 逐行放置策略
本质上看，逐行放置策略起到了剪枝的作用，它避免了同一行出现多个皇后的所有搜索分支。
2. 列与对角线剪枝¶
为了满足列约束，我们可以利用一个长度为 \(n\) 的布尔型数组 cols 记录每一列是否有皇后。在每次决定放置前，我们通过 cols 将已有皇后的列进行剪枝，并在回溯中动态更新 cols 的状态。
那么，如何处理对角线约束呢？设棋盘中某个格子的行列索引为 \((row, col)\) ，选定矩阵中的某条主对角线，我们发现该对角线上所有格子的行索引减列索引都相等，即对角线上所有格子的 \(row - col\) 为恒定值。
也就是说，如果两个格子满足 \(row_1 - col_1 = row_2 - col_2\) ，则它们一定处在同一条主对角线上。利用该规律，我们可以借助图 13-18 所示的数组 diag1 ，记录每条主对角线上是否有皇后。
同理，次对角线上的所有格子的 \(row + col\) 是恒定值。我们同样也可以借助数组 diag2 来处理次对角线约束。
图 13-18 处理列约束和对角线约束
3. 代码实现¶
请注意，\(n\) 维方阵中 \(row - col\) 的范围是 \([-n + 1, n - 1]\) ，\(row + col\) 的范围是 \([0, 2n - 2]\) ，所以主对角线和次对角线的数量都为 \(2n - 1\) ，即数组 diag1 和 diag2 的长度都为 \(2n - 1\) 。
逐行放置 \(n\) 次，考虑列约束，则从第一行到最后一行分别有 \(n\)、\(n-1\)、\(\dots\)、\(2\)、\(1\) 个选择，因此时间复杂度为 \(O(n!)\) 。实际上，根据对角线约束的剪枝也能够大幅地缩小搜索空间，因而搜索效率往往优于以上时间复杂度。
数组 state 使用 \(O(n^2)\) 空间，数组 cols、diags1 和 diags2 皆使用 \(O(n)\) 空间。最大递归深度为 \(n\) ，使用 \(O(n)\) 栈帧空间。因此，空间复杂度为 \(O(n^2)\) 。