# 图的遍历 !!! note "图与树的关系" 树代表的是“一对多”的关系,而图则具有更高的自由度,可以表示任意的“多对多”关系。因此,我们可以把树看作是图的一种特例。显然,**树的遍历操作也是图的遍历操作的一种特例**,建议你在学习本章节时融会贯通两者的概念与实现方法。 「图」和「树」都是非线性数据结构,都需要使用「搜索算法」来实现遍历操作。 与树类似,图的遍历方式也可分为两种,即「广度优先遍历 Breadth-First Traversal」和「深度优先遍历 Depth-First Traversal」,也称为「广度优先搜索 Breadth-First Search」和「深度优先搜索 Depth-First Search」,简称 BFS 和 DFS。 ## 广度优先遍历 **广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式,从距离最近的顶点开始访问,并一层层向外扩张**。具体来说,从某个顶点出发,先遍历该顶点的所有邻接顶点,然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点,以此类推,直至所有顶点访问完毕。 ![图的广度优先遍历](graph_traversal.assets/graph_bfs.png) ### 算法实现 BFS 通常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质,这与 BFS 的“由近及远”的思想异曲同工。 1. 将遍历起始顶点 `startVet` 加入队列,并开启循环。 2. 在循环的每轮迭代中,弹出队首顶点并记录访问,然后将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部。 3. 循环步骤 `2.` ,直到所有顶点被访问完成后结束。 为了防止重复遍历顶点,我们需要借助一个哈希表 `visited` 来记录哪些节点已被访问。 === "Java" ```java title="graph_bfs.java" [class]{graph_bfs}-[func]{graphBFS} ``` === "C++" ```cpp title="graph_bfs.cpp" [class]{}-[func]{graphBFS} ``` === "Python" ```python title="graph_bfs.py" [class]{}-[func]{graph_bfs} ``` === "Go" ```go title="graph_bfs.go" [class]{}-[func]{graphBFS} ``` === "JavaScript" ```javascript title="graph_bfs.js" [class]{}-[func]{graphBFS} ``` === "TypeScript" ```typescript title="graph_bfs.ts" [class]{}-[func]{graphBFS} ``` === "C" ```c title="graph_bfs.c" [class]{}-[func]{graphBFS} ``` === "C#" ```csharp title="graph_bfs.cs" [class]{graph_bfs}-[func]{graphBFS} ``` === "Swift" ```swift title="graph_bfs.swift" [class]{}-[func]{graphBFS} ``` === "Zig" ```zig title="graph_bfs.zig" [class]{}-[func]{graphBFS} ``` === "Dart" ```dart title="graph_bfs.dart" [class]{}-[func]{graphBFS} ``` === "Rust" ```rust title="graph_bfs.rs" [class]{}-[func]{graph_bfs} ``` 代码相对抽象,建议对照以下动画图示来加深理解。 === "<1>" ![图的广度优先遍历步骤](graph_traversal.assets/graph_bfs_step1.png) === "<2>" ![graph_bfs_step2](graph_traversal.assets/graph_bfs_step2.png) === "<3>" ![graph_bfs_step3](graph_traversal.assets/graph_bfs_step3.png) === "<4>" ![graph_bfs_step4](graph_traversal.assets/graph_bfs_step4.png) === "<5>" ![graph_bfs_step5](graph_traversal.assets/graph_bfs_step5.png) === "<6>" ![graph_bfs_step6](graph_traversal.assets/graph_bfs_step6.png) === "<7>" ![graph_bfs_step7](graph_traversal.assets/graph_bfs_step7.png) === "<8>" ![graph_bfs_step8](graph_traversal.assets/graph_bfs_step8.png) === "<9>" ![graph_bfs_step9](graph_traversal.assets/graph_bfs_step9.png) === "<10>" ![graph_bfs_step10](graph_traversal.assets/graph_bfs_step10.png) === "<11>" ![graph_bfs_step11](graph_traversal.assets/graph_bfs_step11.png) !!! question "广度优先遍历的序列是否唯一?" 不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历,**而多个相同距离的顶点的遍历顺序是允许被任意打乱的**。以上图为例,顶点 $1$ , $3$ 的访问顺序可以交换、顶点 $2$ , $4$ , $6$ 的访问顺序也可以任意交换。 ### 复杂度分析 **时间复杂度:** 所有顶点都会入队并出队一次,使用 $O(|V|)$ 时间;在遍历邻接顶点的过程中,由于是无向图,因此所有边都会被访问 $2$ 次,使用 $O(2|E|)$ 时间;总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。 **空间复杂度:** 列表 `res` ,哈希表 `visited` ,队列 `que` 中的顶点数量最多为 $|V|$ ,使用 $O(|V|)$ 空间。 ## 深度优先遍历 **深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式**。具体地,从某个顶点出发,访问当前顶点的某个邻接顶点,直到走到尽头时返回,再继续走到尽头并返回,以此类推,直至所有顶点遍历完成。 ![图的深度优先遍历](graph_traversal.assets/graph_dfs.png) ### 算法实现 这种“走到尽头 + 回溯”的算法形式通常基于递归来实现。与 BFS 类似,在 DFS 中我们也需要借助一个哈希表 `visited` 来记录已被访问的顶点,以避免重复访问顶点。 === "Java" ```java title="graph_dfs.java" [class]{graph_dfs}-[func]{dfs} [class]{graph_dfs}-[func]{graphDFS} ``` === "C++" ```cpp title="graph_dfs.cpp" [class]{}-[func]{dfs} [class]{}-[func]{graphDFS} ``` === "Python" ```python title="graph_dfs.py" [class]{}-[func]{dfs} [class]{}-[func]{graph_dfs} ``` === "Go" ```go title="graph_dfs.go" [class]{}-[func]{dfs} [class]{}-[func]{graphDFS} ``` === "JavaScript" ```javascript title="graph_dfs.js" [class]{}-[func]{dfs} [class]{}-[func]{graphDFS} ``` === "TypeScript" ```typescript title="graph_dfs.ts" [class]{}-[func]{dfs} [class]{}-[func]{graphDFS} ``` === "C" ```c title="graph_dfs.c" [class]{}-[func]{dfs} [class]{}-[func]{graphDFS} ``` === "C#" ```csharp title="graph_dfs.cs" [class]{graph_dfs}-[func]{dfs} [class]{graph_dfs}-[func]{graphDFS} ``` === "Swift" ```swift title="graph_dfs.swift" [class]{}-[func]{dfs} [class]{}-[func]{graphDFS} ``` === "Zig" ```zig title="graph_dfs.zig" [class]{}-[func]{dfs} [class]{}-[func]{graphDFS} ``` === "Dart" ```dart title="graph_dfs.dart" [class]{}-[func]{dfs} [class]{}-[func]{graphDFS} ``` === "Rust" ```rust title="graph_dfs.rs" [class]{}-[func]{dfs} [class]{}-[func]{graph_dfs} ``` 深度优先遍历的算法流程如下图所示,其中: - **直虚线代表向下递推**,表示开启了一个新的递归方法来访问新顶点。 - **曲虚线代表向上回溯**,表示此递归方法已经返回,回溯到了开启此递归方法的位置。 为了加深理解,建议将图示与代码结合起来,在脑中(或者用笔画下来)模拟整个 DFS 过程,包括每个递归方法何时开启、何时返回。 === "<1>" ![图的深度优先遍历步骤](graph_traversal.assets/graph_dfs_step1.png) === "<2>" ![graph_dfs_step2](graph_traversal.assets/graph_dfs_step2.png) === "<3>" ![graph_dfs_step3](graph_traversal.assets/graph_dfs_step3.png) === "<4>" ![graph_dfs_step4](graph_traversal.assets/graph_dfs_step4.png) === "<5>" ![graph_dfs_step5](graph_traversal.assets/graph_dfs_step5.png) === "<6>" ![graph_dfs_step6](graph_traversal.assets/graph_dfs_step6.png) === "<7>" ![graph_dfs_step7](graph_traversal.assets/graph_dfs_step7.png) === "<8>" ![graph_dfs_step8](graph_traversal.assets/graph_dfs_step8.png) === "<9>" ![graph_dfs_step9](graph_traversal.assets/graph_dfs_step9.png) === "<10>" ![graph_dfs_step10](graph_traversal.assets/graph_dfs_step10.png) === "<11>" ![graph_dfs_step11](graph_traversal.assets/graph_dfs_step11.png) !!! question "深度优先遍历的序列是否唯一?" 与广度优先遍历类似,深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。给定某顶点,先往哪个方向探索都可以,即邻接顶点的顺序可以任意打乱,都是深度优先遍历。 以树的遍历为例,“根 $\rightarrow$ 左 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 右 $\rightarrow$ 根”分别对应前序、中序、后序遍历,它们展示了三种不同的遍历优先级,然而这三者都属于深度优先遍历。 ### 复杂度分析 **时间复杂度:** 所有顶点都会被访问 $1$ 次,使用 $O(|V|)$ 时间;所有边都会被访问 $2$ 次,使用 $O(2|E|)$ 时间;总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。 **空间复杂度:** 列表 `res` ,哈希表 `visited` 顶点数量最多为 $|V|$ ,递归深度最大为 $|V|$ ,因此使用 $O(|V|)$ 空间。