--- comments: true --- # 10.2   二分查找插入点 二分查找不仅可用于搜索目标元素，还可用于解决许多变种问题，比如搜索目标元素的插入位置。 ## 10.2.1   无重复元素的情况 !!! question 给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` 和一个元素 `target` ，数组不存在重复元素。现将 `target` 插入数组 `nums` 中，并保持其有序性。若数组中已存在元素 `target` ，则插入到其左方。请返回插入后 `target` 在数组中的索引。示例如图 10-4 所示。 ![二分查找插入点示例数据](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_example.png){ class="animation-figure" }

图 10-4   二分查找插入点示例数据

如果想复用上一节的二分查找代码，则需要回答以下两个问题。 **问题一**：当数组中包含 `target` 时，插入点的索引是否是该元素的索引？ 题目要求将 `target` 插入到相等元素的左边，这意味着新插入的 `target` 替换了原来 `target` 的位置。也就是说，**当数组包含 `target` 时，插入点的索引就是该 `target` 的索引**。 **问题二**：当数组中不存在 `target` 时，插入点是哪个元素的索引？ 进一步思考二分查找过程：当 `nums[m] < target` 时 $i$ 移动，这意味着指针 $i$ 在向大于等于 `target` 的元素靠近。同理，指针 $j$ 始终在向小于等于 `target` 的元素靠近。 因此二分结束时一定有：$i$ 指向首个大于 `target` 的元素，$j$ 指向首个小于 `target` 的元素。**易得当数组不包含 `target` 时，插入索引为 $i$** 。代码如下所示： === "Python" ```python title="binary_search_insertion.py" def binary_search_insertion_simple(nums: list[int], target: int) -> int: """二分查找插入点（无重复元素）""" i, j = 0, len(nums) - 1 # 初始化双闭区间 [0, n-1] while i <= j: m = (i + j) // 2 # 计算中点索引 m if nums[m] < target: i = m + 1 # target 在区间 [m+1, j] 中 elif nums[m] > target: j = m - 1 # target 在区间 [i, m-1] 中 else: return m # 找到 target ，返回插入点 m # 未找到 target ，返回插入点 i return i ``` === "C++" ```cpp title="binary_search_insertion.cpp" /* 二分查找插入点（无重复元素） */ int binarySearchInsertionSimple(vector &nums, int target) { int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1] while (i <= j) { int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m if (nums[m] < target) { i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中 } else if (nums[m] > target) { j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中 } else { return m; // 找到 target ，返回插入点 m } } // 未找到 target ，返回插入点 i return i; } ``` === "Java" ```java title="binary_search_insertion.java" /* 二分查找插入点（无重复元素） */ int binarySearchInsertionSimple(int[] nums, int target) { int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1] while (i <= j) { int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m if (nums[m] < target) { i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中 } else if (nums[m] > target) { j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中 } else { return m; // 找到 target ，返回插入点 m } } // 未找到 target ，返回插入点 i return i; } ``` === "C#" ```csharp title="binary_search_insertion.cs" /* 二分查找插入点（无重复元素） */ int BinarySearchInsertionSimple(int[] nums, int target) { int i = 0, j = nums.Length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1] while (i <= j) { int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m if (nums[m] < target) { i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中 } else if (nums[m] > target) { j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中 } else { return m; // 找到 target ，返回插入点 m } } // 未找到 target ，返回插入点 i return i; } ``` === "Go" ```go title="binary_search_insertion.go" /* 二分查找插入点（无重复元素） */ func binarySearchInsertionSimple(nums []int, target int) int { // 初始化双闭区间 [0, n-1] i, j := 0, len(nums)-1 for i <= j { // 计算中点索引 m m := i + (j-i)/2 if nums[m] < target { // target 在区间 [m+1, j] 中 i = m + 1 } else if nums[m] > target { // target 在区间 [i, m-1] 中 j = m - 1 } else { // 找到 target ，返回插入点 m return m } } // 未找到 target ，返回插入点 i return i } ``` === "Swift" ```swift title="binary_search_insertion.swift" /* 二分查找插入点（无重复元素） */ func binarySearchInsertionSimple(nums: [Int], target: Int) -> Int { var i = 0, j = nums.count - 1 // 初始化双闭区间 [0, n-1] while i <= j { let m = i + (j - i) / 2 // 计算中点索引 m if nums[m] < target { i = m + 1 // target 在区间 [m+1, j] 中 } else if nums[m] > target { j = m - 1 // target 在区间 [i, m-1] 中 } else { return m // 找到 target ，返回插入点 m } } // 未找到 target ，返回插入点 i return i } ``` === "JS" ```javascript title="binary_search_insertion.js" /* 二分查找插入点（无重复元素） */ function binarySearchInsertionSimple(nums, target) { let i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1] while (i <= j) { const m = Math.floor(i + (j - i) / 2); // 计算中点索引 m, 使用 Math.floor() 向下取整 if (nums[m] < target) { i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中 } else if (nums[m] > target) { j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中 } else { return m; // 找到 target ，返回插入点 m } } // 未找到 target ，返回插入点 i return i; } ``` === "TS" ```typescript title="binary_search_insertion.ts" /* 二分查找插入点（无重复元素） */ function binarySearchInsertionSimple( nums: Array, target: number ): number { let i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1] while (i <= j) { const m = Math.floor(i + (j - i) / 2); // 计算中点索引 m, 使用 Math.floor() 向下取整 if (nums[m] < target) { i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中 } else if (nums[m] > target) { j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中 } else { return m; // 找到 target ，返回插入点 m } } // 未找到 target ，返回插入点 i return i; } ``` === "Dart" ```dart title="binary_search_insertion.dart" /* 二分查找插入点（无重复元素） */ int binarySearchInsertionSimple(List nums, int target) { int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1] while (i <= j) { int m = i + (j - i) ~/ 2; // 计算中点索引 m if (nums[m] < target) { i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中 } else if (nums[m] > target) { j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中 } else { return m; // 找到 target ，返回插入点 m } } // 未找到 target ，返回插入点 i return i; } ``` === "Rust" ```rust title="binary_search_insertion.rs" /* 二分查找插入点（存在重复元素） */ pub fn binary_search_insertion(nums: &[i32], target: i32) -> i32 { let (mut i, mut j) = (0, nums.len() as i32 - 1); // 初始化双闭区间 [0, n-1] while i <= j { let m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m if nums[m as usize] < target { i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中 } else if nums[m as usize] > target { j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中 } else { j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中 } } // 返回插入点 i i } ``` === "C" ```c title="binary_search_insertion.c" /* 二分查找插入点（无重复元素） */ int binarySearchInsertionSimple(int *nums, int numSize, int target) { int i = 0, j = numSize - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1] while (i <= j) { int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m if (nums[m] < target) { i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中 } else if (nums[m] > target) { j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中 } else { return m; // 找到 target ，返回插入点 m } } // 未找到 target ，返回插入点 i return i; } ``` === "Zig" ```zig title="binary_search_insertion.zig" [class]{}-[func]{binarySearchInsertionSimple} ``` ??? pythontutor "可视化运行"
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## 10.2.2   存在重复元素的情况 !!! question 在上一题的基础上，规定数组可能包含重复元素，其余不变。 假设数组中存在多个 `target` ，则普通二分查找只能返回其中一个 `target` 的索引，**而无法确定该元素的左边和右边还有多少 `target`**。 题目要求将目标元素插入到最左边，**所以我们需要查找数组中最左一个 `target` 的索引**。初步考虑通过图 10-5 所示的步骤实现。 1. 执行二分查找，得到任意一个 `target` 的索引，记为 $k$ 。 2. 从索引 $k$ 开始，向左进行线性遍历，当找到最左边的 `target` 时返回。 ![线性查找重复元素的插入点](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_naive.png){ class="animation-figure" }

图 10-5   线性查找重复元素的插入点

此方法虽然可用，但其包含线性查找，因此时间复杂度为 $O(n)$ 。当数组中存在很多重复的 `target` 时，该方法效率很低。 现考虑拓展二分查找代码。如图 10-6 所示，整体流程保持不变，每轮先计算中点索引 $m$ ，再判断 `target` 和 `nums[m]` 的大小关系，分为以下几种情况。 - 当 `nums[m] < target` 或 `nums[m] > target` 时，说明还没有找到 `target` ，因此采用普通二分查找的缩小区间操作，**从而使指针 $i$ 和 $j$ 向 `target` 靠近**。 - 当 `nums[m] == target` 时，说明小于 `target` 的元素在区间 $[i, m - 1]$ 中，因此采用 $j = m - 1$ 来缩小区间，**从而使指针 $j$ 向小于 `target` 的元素靠近**。 循环完成后，$i$ 指向最左边的 `target` ，$j$ 指向首个小于 `target` 的元素，**因此索引 $i$ 就是插入点**。 === "<1>" ![二分查找重复元素的插入点的步骤](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_step1.png){ class="animation-figure" } === "<2>" ![binary_search_insertion_step2](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_step2.png){ class="animation-figure" } === "<3>" ![binary_search_insertion_step3](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_step3.png){ class="animation-figure" } === "<4>" ![binary_search_insertion_step4](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_step4.png){ class="animation-figure" } === "<5>" ![binary_search_insertion_step5](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_step5.png){ class="animation-figure" } === "<6>" ![binary_search_insertion_step6](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_step6.png){ class="animation-figure" } === "<7>" ![binary_search_insertion_step7](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_step7.png){ class="animation-figure" } === "<8>" ![binary_search_insertion_step8](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_step8.png){ class="animation-figure" }

图 10-6   二分查找重复元素的插入点的步骤

观察以下代码，判断分支 `nums[m] > target` 和 `nums[m] == target` 的操作相同，因此两者可以合并。 即便如此，我们仍然可以将判断条件保持展开，因为其逻辑更加清晰、可读性更好。 === "Python" ```python title="binary_search_insertion.py" def binary_search_insertion(nums: list[int], target: int) -> int: """二分查找插入点（存在重复元素）""" i, j = 0, len(nums) - 1 # 初始化双闭区间 [0, n-1] while i <= j: m = (i + j) // 2 # 计算中点索引 m if nums[m] < target: i = m + 1 # target 在区间 [m+1, j] 中 elif nums[m] > target: j = m - 1 # target 在区间 [i, m-1] 中 else: j = m - 1 # 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中 # 返回插入点 i return i ``` === "C++" ```cpp title="binary_search_insertion.cpp" /* 二分查找插入点（存在重复元素） */ int binarySearchInsertion(vector &nums, int target) { int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1] while (i <= j) { int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m if (nums[m] < target) { i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中 } else if (nums[m] > target) { j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中 } else { j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中 } } // 返回插入点 i return i; } ``` === "Java" ```java title="binary_search_insertion.java" /* 二分查找插入点（存在重复元素） */ int binarySearchInsertion(int[] nums, int target) { int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1] while (i <= j) { int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m if (nums[m] < target) { i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中 } else if (nums[m] > target) { j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中 } else { j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中 } } // 返回插入点 i return i; } ``` === "C#" ```csharp title="binary_search_insertion.cs" /* 二分查找插入点（存在重复元素） */ int BinarySearchInsertion(int[] nums, int target) { int i = 0, j = nums.Length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1] while (i <= j) { int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m if (nums[m] < target) { i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中 } else if (nums[m] > target) { j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中 } else { j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中 } } // 返回插入点 i return i; } ``` === "Go" ```go title="binary_search_insertion.go" /* 二分查找插入点（存在重复元素） */ func binarySearchInsertion(nums []int, target int) int { // 初始化双闭区间 [0, n-1] i, j := 0, len(nums)-1 for i <= j { // 计算中点索引 m m := i + (j-i)/2 if nums[m] < target { // target 在区间 [m+1, j] 中 i = m + 1 } else if nums[m] > target { // target 在区间 [i, m-1] 中 j = m - 1 } else { // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中 j = m - 1 } } // 返回插入点 i return i } ``` === "Swift" ```swift title="binary_search_insertion.swift" /* 二分查找插入点（存在重复元素） */ func binarySearchInsertion(nums: [Int], target: Int) -> Int { var i = 0, j = nums.count - 1 // 初始化双闭区间 [0, n-1] while i <= j { let m = i + (j - i) / 2 // 计算中点索引 m if nums[m] < target { i = m + 1 // target 在区间 [m+1, j] 中 } else if nums[m] > target { j = m - 1 // target 在区间 [i, m-1] 中 } else { j = m - 1 // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中 } } // 返回插入点 i return i } ``` === "JS" ```javascript title="binary_search_insertion.js" /* 二分查找插入点（存在重复元素） */ function binarySearchInsertion(nums, target) { let i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1] while (i <= j) { const m = Math.floor(i + (j - i) / 2); // 计算中点索引 m, 使用 Math.floor() 向下取整 if (nums[m] < target) { i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中 } else if (nums[m] > target) { j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中 } else { j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中 } } // 返回插入点 i return i; } ``` === "TS" ```typescript title="binary_search_insertion.ts" /* 二分查找插入点（存在重复元素） */ function binarySearchInsertion(nums: Array, target: number): number { let i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1] while (i <= j) { const m = Math.floor(i + (j - i) / 2); // 计算中点索引 m, 使用 Math.floor() 向下取整 if (nums[m] < target) { i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中 } else if (nums[m] > target) { j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中 } else { j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中 } } // 返回插入点 i return i; } ``` === "Dart" ```dart title="binary_search_insertion.dart" /* 二分查找插入点（存在重复元素） */ int binarySearchInsertion(List nums, int target) { int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1] while (i <= j) { int m = i + (j - i) ~/ 2; // 计算中点索引 m if (nums[m] < target) { i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中 } else if (nums[m] > target) { j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中 } else { j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中 } } // 返回插入点 i return i; } ``` === "Rust" ```rust title="binary_search_insertion.rs" /* 二分查找插入点（存在重复元素） */ pub fn binary_search_insertion(nums: &[i32], target: i32) -> i32 { let (mut i, mut j) = (0, nums.len() as i32 - 1); // 初始化双闭区间 [0, n-1] while i <= j { let m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m if nums[m as usize] < target { i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中 } else if nums[m as usize] > target { j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中 } else { j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中 } } // 返回插入点 i i } ``` === "C" ```c title="binary_search_insertion.c" /* 二分查找插入点（存在重复元素） */ int binarySearchInsertion(int *nums, int numSize, int target) { int i = 0, j = numSize - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1] while (i <= j) { int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m if (nums[m] < target) { i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中 } else if (nums[m] > target) { j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中 } else { j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中 } } // 返回插入点 i return i; } ``` === "Zig" ```zig title="binary_search_insertion.zig" [class]{}-[func]{binarySearchInsertion} ``` ??? pythontutor "可视化运行"
!!! tip 本节的代码都是“双闭区间”写法。有兴趣的读者可以自行实现“左闭右开”写法。 总的来看，二分查找无非就是给指针 $i$ 和 $j$ 分别设定搜索目标，目标可能是一个具体的元素（例如 `target` ），也可能是一个元素范围（例如小于 `target` 的元素）。 在不断的循环二分中，指针 $i$ 和 $j$ 都逐渐逼近预先设定的目标。最终，它们或是成功找到答案，或是越过边界后停止。