# 时间复杂度
运行时间可以直观且准确地反映算法的效率。如果我们想要准确预估一段代码的运行时间,应该如何操作呢?
1. **确定运行平台**,包括硬件配置、编程语言、系统环境等,这些因素都会影响代码的运行效率。
2. **评估各种计算操作所需的运行时间**,例如加法操作 `+` 需要 1 ns,乘法操作 `*` 需要 10 ns,打印操作 `print()` 需要 5 ns 等。
3. **统计代码中所有的计算操作**,并将所有操作的执行时间求和,从而得到运行时间。
例如在以下代码中,输入数据大小为 $n$ :
=== "Java"
```java title=""
// 在某运行平台下
void algorithm(int n) {
int a = 2; // 1 ns
a = a + 1; // 1 ns
a = a * 2; // 10 ns
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ,每轮都要执行 i++
System.out.println(0); // 5 ns
}
}
```
=== "C++"
```cpp title=""
// 在某运行平台下
void algorithm(int n) {
int a = 2; // 1 ns
a = a + 1; // 1 ns
a = a * 2; // 10 ns
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ,每轮都要执行 i++
cout << 0 << endl; // 5 ns
}
}
```
=== "Python"
```python title=""
# 在某运行平台下
def algorithm(n: int):
a = 2 # 1 ns
a = a + 1 # 1 ns
a = a * 2 # 10 ns
# 循环 n 次
for _ in range(n): # 1 ns
print(0) # 5 ns
```
=== "Go"
```go title=""
// 在某运行平台下
func algorithm(n int) {
a := 2 // 1 ns
a = a + 1 // 1 ns
a = a * 2 // 10 ns
// 循环 n 次
for i := 0; i < n; i++ { // 1 ns
fmt.Println(a) // 5 ns
}
}
```
=== "JS"
```javascript title=""
// 在某运行平台下
function algorithm(n) {
var a = 2; // 1 ns
a = a + 1; // 1 ns
a = a * 2; // 10 ns
// 循环 n 次
for(let i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ,每轮都要执行 i++
console.log(0); // 5 ns
}
}
```
=== "TS"
```typescript title=""
// 在某运行平台下
function algorithm(n: number): void {
var a: number = 2; // 1 ns
a = a + 1; // 1 ns
a = a * 2; // 10 ns
// 循环 n 次
for(let i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ,每轮都要执行 i++
console.log(0); // 5 ns
}
}
```
=== "C"
```c title=""
// 在某运行平台下
void algorithm(int n) {
int a = 2; // 1 ns
a = a + 1; // 1 ns
a = a * 2; // 10 ns
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ,每轮都要执行 i++
printf("%d", 0); // 5 ns
}
}
```
=== "C#"
```csharp title=""
// 在某运行平台下
void algorithm(int n) {
int a = 2; // 1 ns
a = a + 1; // 1 ns
a = a * 2; // 10 ns
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ,每轮都要执行 i++
Console.WriteLine(0); // 5 ns
}
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
// 在某运行平台下
func algorithm(n: Int) {
var a = 2 // 1 ns
a = a + 1 // 1 ns
a = a * 2 // 10 ns
// 循环 n 次
for _ in 0 ..< n { // 1 ns
print(0) // 5 ns
}
}
```
=== "Zig"
```zig title=""
```
=== "Dart"
```dart title=""
// 在某运行平台下
void algorithm(int n) {
int a = 2; // 1 ns
a = a + 1; // 1 ns
a = a * 2; // 10 ns
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ,每轮都要执行 i++
print(0); // 5 ns
}
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
// 在某运行平台下
fn algorithm(n: i32) {
let mut a = 2; // 1 ns
a = a + 1; // 1 ns
a = a * 2; // 10 ns
// 循环 n 次
for _ in 0..n { // 1 ns ,每轮都要执行 i++
println!("{}", 0); // 5 ns
}
}
```
根据以上方法,可以得到算法运行时间为 $6n + 12$ ns :
$$
1 + 1 + 10 + (1 + 5) \times n = 6n + 12
$$
但实际上,**统计算法的运行时间既不合理也不现实**。首先,我们不希望将预估时间和运行平台绑定,因为算法需要在各种不同的平台上运行。其次,我们很难获知每种操作的运行时间,这给预估过程带来了极大的难度。
## 统计时间增长趋势
时间复杂度分析统计的不是算法运行时间,**而是算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势**。
“时间增长趋势”这个概念比较抽象,我们通过一个例子来加以理解。假设输入数据大小为 $n$ ,给定三个算法函数 `A` 、 `B` 和 `C` :
=== "Java"
```java title=""
// 算法 A 的时间复杂度:常数阶
void algorithm_A(int n) {
System.out.println(0);
}
// 算法 B 的时间复杂度:线性阶
void algorithm_B(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
System.out.println(0);
}
}
// 算法 C 的时间复杂度:常数阶
void algorithm_C(int n) {
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
System.out.println(0);
}
}
```
=== "C++"
```cpp title=""
// 算法 A 的时间复杂度:常数阶
void algorithm_A(int n) {
cout << 0 << endl;
}
// 算法 B 的时间复杂度:线性阶
void algorithm_B(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
cout << 0 << endl;
}
}
// 算法 C 的时间复杂度:常数阶
void algorithm_C(int n) {
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
cout << 0 << endl;
}
}
```
=== "Python"
```python title=""
# 算法 A 的时间复杂度:常数阶
def algorithm_A(n: int):
print(0)
# 算法 B 的时间复杂度:线性阶
def algorithm_B(n: int):
for _ in range(n):
print(0)
# 算法 C 的时间复杂度:常数阶
def algorithm_C(n: int):
for _ in range(1000000):
print(0)
```
=== "Go"
```go title=""
// 算法 A 的时间复杂度:常数阶
func algorithm_A(n int) {
fmt.Println(0)
}
// 算法 B 的时间复杂度:线性阶
func algorithm_B(n int) {
for i := 0; i < n; i++ {
fmt.Println(0)
}
}
// 算法 C 的时间复杂度:常数阶
func algorithm_C(n int) {
for i := 0; i < 1000000; i++ {
fmt.Println(0)
}
}
```
=== "JS"
```javascript title=""
// 算法 A 的时间复杂度:常数阶
function algorithm_A(n) {
console.log(0);
}
// 算法 B 的时间复杂度:线性阶
function algorithm_B(n) {
for (let i = 0; i < n; i++) {
console.log(0);
}
}
// 算法 C 的时间复杂度:常数阶
function algorithm_C(n) {
for (let i = 0; i < 1000000; i++) {
console.log(0);
}
}
```
=== "TS"
```typescript title=""
// 算法 A 的时间复杂度:常数阶
function algorithm_A(n: number): void {
console.log(0);
}
// 算法 B 的时间复杂度:线性阶
function algorithm_B(n: number): void {
for (let i = 0; i < n; i++) {
console.log(0);
}
}
// 算法 C 的时间复杂度:常数阶
function algorithm_C(n: number): void {
for (let i = 0; i < 1000000; i++) {
console.log(0);
}
}
```
=== "C"
```c title=""
// 算法 A 的时间复杂度:常数阶
void algorithm_A(int n) {
printf("%d", 0);
}
// 算法 B 的时间复杂度:线性阶
void algorithm_B(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
printf("%d", 0);
}
}
// 算法 C 的时间复杂度:常数阶
void algorithm_C(int n) {
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
printf("%d", 0);
}
}
```
=== "C#"
```csharp title=""
// 算法 A 的时间复杂度:常数阶
void algorithm_A(int n) {
Console.WriteLine(0);
}
// 算法 B 的时间复杂度:线性阶
void algorithm_B(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
Console.WriteLine(0);
}
}
// 算法 C 的时间复杂度:常数阶
void algorithm_C(int n) {
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
Console.WriteLine(0);
}
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
// 算法 A 的时间复杂度:常数阶
func algorithmA(n: Int) {
print(0)
}
// 算法 B 的时间复杂度:线性阶
func algorithmB(n: Int) {
for _ in 0 ..< n {
print(0)
}
}
// 算法 C 的时间复杂度:常数阶
func algorithmC(n: Int) {
for _ in 0 ..< 1000000 {
print(0)
}
}
```
=== "Zig"
```zig title=""
```
=== "Dart"
```dart title=""
// 算法 A 的时间复杂度:常数阶
void algorithmA(int n) {
print(0);
}
// 算法 B 的时间复杂度:线性阶
void algorithmB(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
print(0);
}
}
// 算法 C 的时间复杂度:常数阶
void algorithmC(int n) {
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
print(0);
}
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
// 算法 A 的时间复杂度:常数阶
fn algorithm_A(n: i32) {
println!("{}", 0);
}
// 算法 B 的时间复杂度:线性阶
fn algorithm_B(n: i32) {
for _ in 0..n {
println!("{}", 0);
}
}
// 算法 C 的时间复杂度:常数阶
fn algorithm_C(n: i32) {
for _ in 0..1000000 {
println!("{}", 0);
}
}
```
下图展示了以上三个算法函数的时间复杂度。
- 算法 `A` 只有 $1$ 个打印操作,算法运行时间不随着 $n$ 增大而增长。我们称此算法的时间复杂度为“常数阶”。
- 算法 `B` 中的打印操作需要循环 $n$ 次,算法运行时间随着 $n$ 增大呈线性增长。此算法的时间复杂度被称为“线性阶”。
- 算法 `C` 中的打印操作需要循环 $1000000$ 次,虽然运行时间很长,但它与输入数据大小 $n$ 无关。因此 `C` 的时间复杂度和 `A` 相同,仍为“常数阶”。
![算法 A 、B 和 C 的时间增长趋势](time_complexity.assets/time_complexity_simple_example.png)
相较于直接统计算法运行时间,时间复杂度分析有哪些特点呢?
- **时间复杂度能够有效评估算法效率**。例如,算法 `B` 的运行时间呈线性增长,在 $n > 1$ 时比算法 `A` 更慢,在 $n > 1000000$ 时比算法 `C` 更慢。事实上,只要输入数据大小 $n$ 足够大,复杂度为“常数阶”的算法一定优于“线性阶”的算法,这正是时间增长趋势所表达的含义。
- **时间复杂度的推算方法更简便**。显然,运行平台和计算操作类型都与算法运行时间的增长趋势无关。因此在时间复杂度分析中,我们可以简单地将所有计算操作的执行时间视为相同的“单位时间”,从而将“计算操作的运行时间的统计”简化为“计算操作的数量的统计”,这样以来估算难度就大大降低了。
- **时间复杂度也存在一定的局限性**。例如,尽管算法 `A` 和 `C` 的时间复杂度相同,但实际运行时间差别很大。同样,尽管算法 `B` 的时间复杂度比 `C` 高,但在输入数据大小 $n$ 较小时,算法 `B` 明显优于算法 `C` 。在这些情况下,我们很难仅凭时间复杂度判断算法效率的高低。当然,尽管存在上述问题,复杂度分析仍然是评判算法效率最有效且常用的方法。
## 函数渐近上界
给定一个输入大小为 $n$ 的函数:
=== "Java"
```java title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +1
a = a + 1; // +1
a = a * 2; // +1
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // +1(每轮都执行 i ++)
System.out.println(0); // +1
}
}
```
=== "C++"
```cpp title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +1
a = a + 1; // +1
a = a * 2; // +1
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // +1(每轮都执行 i ++)
cout << 0 << endl; // +1
}
}
```
=== "Python"
```python title=""
def algorithm(n: int):
a = 1 # +1
a = a + 1 # +1
a = a * 2 # +1
# 循环 n 次
for i in range(n): # +1
print(0) # +1
```
=== "Go"
```go title=""
func algorithm(n int) {
a := 1 // +1
a = a + 1 // +1
a = a * 2 // +1
// 循环 n 次
for i := 0; i < n; i++ { // +1
fmt.Println(a) // +1
}
}
```
=== "JS"
```javascript title=""
function algorithm(n) {
var a = 1; // +1
a += 1; // +1
a *= 2; // +1
// 循环 n 次
for(let i = 0; i < n; i++){ // +1(每轮都执行 i ++)
console.log(0); // +1
}
}
```
=== "TS"
```typescript title=""
function algorithm(n: number): void{
var a: number = 1; // +1
a += 1; // +1
a *= 2; // +1
// 循环 n 次
for(let i = 0; i < n; i++){ // +1(每轮都执行 i ++)
console.log(0); // +1
}
}
```
=== "C"
```c title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +1
a = a + 1; // +1
a = a * 2; // +1
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // +1(每轮都执行 i ++)
printf("%d", 0); // +1
}
}
```
=== "C#"
```csharp title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +1
a = a + 1; // +1
a = a * 2; // +1
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // +1(每轮都执行 i ++)
Console.WriteLine(0); // +1
}
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
func algorithm(n: Int) {
var a = 1 // +1
a = a + 1 // +1
a = a * 2 // +1
// 循环 n 次
for _ in 0 ..< n { // +1
print(0) // +1
}
}
```
=== "Zig"
```zig title=""
```
=== "Dart"
```dart title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +1
a = a + 1; // +1
a = a * 2; // +1
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // +1(每轮都执行 i ++)
print(0); // +1
}
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
fn algorithm(n: i32) {
let mut a = 1; // +1
a = a + 1; // +1
a = a * 2; // +1
// 循环 n 次
for _ in 0..n { // +1(每轮都执行 i ++)
println!("{}", 0); // +1
}
}
```
设算法的操作数量是一个关于输入数据大小 $n$ 的函数,记为 $T(n)$ ,则以上函数的的操作数量为:
$$
T(n) = 3 + 2n
$$
$T(n)$ 是一次函数,说明其运行时间的增长趋势是线性的,因此它的时间复杂度是线性阶。
我们将线性阶的时间复杂度记为 $O(n)$ ,这个数学符号称为「大 $O$ 记号 big-$O$ notation」,表示函数 $T(n)$ 的「渐近上界 asymptotic upper bound」。
时间复杂度分析本质上是计算“操作数量函数 $T(n)$”的渐近上界。接下来,我们来看函数渐近上界的数学定义。
!!! abstract "函数渐近上界"
若存在正实数 $c$ 和实数 $n_0$ ,使得对于所有的 $n > n_0$ ,均有
$$
T(n) \leq c \cdot f(n)
$$
则可认为 $f(n)$ 给出了 $T(n)$ 的一个渐近上界,记为
$$
T(n) = O(f(n))
$$
如下图所示,计算渐近上界就是寻找一个函数 $f(n)$ ,使得当 $n$ 趋向于无穷大时,$T(n)$ 和 $f(n)$ 处于相同的增长级别,仅相差一个常数项 $c$ 的倍数。
![函数的渐近上界](time_complexity.assets/asymptotic_upper_bound.png)
## 推算方法
渐近上界的数学味儿有点重,如果你感觉没有完全理解,也无须担心。因为在实际使用中,我们只需要掌握推算方法,数学意义就可以逐渐领悟。
根据定义,确定 $f(n)$ 之后,我们便可得到时间复杂度 $O(f(n))$ 。那么如何确定渐近上界 $f(n)$ 呢?总体分为两步:首先统计操作数量,然后判断渐近上界。
### 第一步:统计操作数量
针对代码,逐行从上到下计算即可。然而,由于上述 $c \cdot f(n)$ 中的常数项 $c$ 可以取任意大小,**因此操作数量 $T(n)$ 中的各种系数、常数项都可以被忽略**。根据此原则,可以总结出以下计数简化技巧。
1. **忽略 $T(n)$ 中的常数项**。因为它们都与 $n$ 无关,所以对时间复杂度不产生影响。
2. **省略所有系数**。例如,循环 $2n$ 次、$5n + 1$ 次等,都可以简化记为 $n$ 次,因为 $n$ 前面的系数对时间复杂度没有影响。
3. **循环嵌套时使用乘法**。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积,每一层循环依然可以分别套用上述 `1.` 和 `2.` 技巧。
以下代码与公式分别展示了使用上述技巧前后的统计结果。两者推出的时间复杂度相同,都为 $O(n^2)$ 。
$$
\begin{aligned}
T(n) & = 2n(n + 1) + (5n + 1) + 2 & \text{完整统计 (-.-|||)} \newline
& = 2n^2 + 7n + 3 \newline
T(n) & = n^2 + n & \text{偷懒统计 (o.O)}
\end{aligned}
$$
=== "Java"
```java title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +0(技巧 1)
a = a + n; // +0(技巧 1)
// +n(技巧 2)
for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
System.out.println(0);
}
// +n*n(技巧 3)
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
System.out.println(0);
}
}
}
```
=== "C++"
```cpp title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +0(技巧 1)
a = a + n; // +0(技巧 1)
// +n(技巧 2)
for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
cout << 0 << endl;
}
// +n*n(技巧 3)
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
cout << 0 << endl;
}
}
}
```
=== "Python"
```python title=""
def algorithm(n: int):
a = 1 # +0(技巧 1)
a = a + n # +0(技巧 1)
# +n(技巧 2)
for i in range(5 * n + 1):
print(0)
# +n*n(技巧 3)
for i in range(2 * n):
for j in range(n + 1):
print(0)
```
=== "Go"
```go title=""
func algorithm(n int) {
a := 1 // +0(技巧 1)
a = a + n // +0(技巧 1)
// +n(技巧 2)
for i := 0; i < 5 * n + 1; i++ {
fmt.Println(0)
}
// +n*n(技巧 3)
for i := 0; i < 2 * n; i++ {
for j := 0; j < n + 1; j++ {
fmt.Println(0)
}
}
}
```
=== "JS"
```javascript title=""
function algorithm(n) {
let a = 1; // +0(技巧 1)
a = a + n; // +0(技巧 1)
// +n(技巧 2)
for (let i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
console.log(0);
}
// +n*n(技巧 3)
for (let i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (let j = 0; j < n + 1; j++) {
console.log(0);
}
}
}
```
=== "TS"
```typescript title=""
function algorithm(n: number): void {
let a = 1; // +0(技巧 1)
a = a + n; // +0(技巧 1)
// +n(技巧 2)
for (let i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
console.log(0);
}
// +n*n(技巧 3)
for (let i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (let j = 0; j < n + 1; j++) {
console.log(0);
}
}
}
```
=== "C"
```c title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +0(技巧 1)
a = a + n; // +0(技巧 1)
// +n(技巧 2)
for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
printf("%d", 0);
}
// +n*n(技巧 3)
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
printf("%d", 0);
}
}
}
```
=== "C#"
```csharp title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +0(技巧 1)
a = a + n; // +0(技巧 1)
// +n(技巧 2)
for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
Console.WriteLine(0);
}
// +n*n(技巧 3)
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
Console.WriteLine(0);
}
}
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
func algorithm(n: Int) {
var a = 1 // +0(技巧 1)
a = a + n // +0(技巧 1)
// +n(技巧 2)
for _ in 0 ..< (5 * n + 1) {
print(0)
}
// +n*n(技巧 3)
for _ in 0 ..< (2 * n) {
for _ in 0 ..< (n + 1) {
print(0)
}
}
}
```
=== "Zig"
```zig title=""
```
=== "Dart"
```dart title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +0(技巧 1)
a = a + n; // +0(技巧 1)
// +n(技巧 2)
for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
print(0);
}
// +n*n(技巧 3)
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
print(0);
}
}
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
fn algorithm(n: i32) {
let mut a = 1; // +0(技巧 1)
a = a + n; // +0(技巧 1)
// +n(技巧 2)
for i in 0..(5 * n + 1) {
println!("{}", 0);
}
// +n*n(技巧 3)
for i in 0..(2 * n) {
for j in 0..(n + 1) {
println!("{}", 0);
}
}
}
```
### 第二步:判断渐近上界
**时间复杂度由多项式 $T(n)$ 中最高阶的项来决定**。这是因为在 $n$ 趋于无穷大时,最高阶的项将发挥主导作用,其他项的影响都可以被忽略。
下表展示了一些例子,其中一些夸张的值是为了强调“系数无法撼动阶数”这一结论。当 $n$ 趋于无穷大时,这些常数变得无足轻重。
表 不同操作数量对应的时间复杂度
| 操作数量 $T(n)$ | 时间复杂度 $O(f(n))$ |
| ---------------------- | -------------------- |
| $100000$ | $O(1)$ |
| $3n + 2$ | $O(n)$ |
| $2n^2 + 3n + 2$ | $O(n^2)$ |
| $n^3 + 10000n^2$ | $O(n^3)$ |
| $2^n + 10000n^{10000}$ | $O(2^n)$ |
## 常见类型
设输入数据大小为 $n$ ,常见的时间复杂度类型如下图所示(按照从低到高的顺序排列)。
$$
\begin{aligned}
O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n \log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!) \newline
\text{常数阶} < \text{对数阶} < \text{线性阶} < \text{线性对数阶} < \text{平方阶} < \text{指数阶} < \text{阶乘阶}
\end{aligned}
$$
![常见的时间复杂度类型](time_complexity.assets/time_complexity_common_types.png)
!!! tip
部分示例代码需要一些预备知识,包括数组、递归等。如果你遇到不理解的部分,可以在学完后面章节后再回顾。现阶段,请先专注于理解时间复杂度的含义和推算方法。
### 常数阶 $O(1)$
常数阶的操作数量与输入数据大小 $n$ 无关,即不随着 $n$ 的变化而变化。
对于以下算法,尽管操作数量 `size` 可能很大,但由于其与输入数据大小 $n$ 无关,因此时间复杂度仍为 $O(1)$ :
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
[class]{time_complexity}-[func]{constant}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{constant}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
[class]{}-[func]{constant}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
[class]{}-[func]{constant}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
[class]{}-[func]{constant}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
[class]{}-[func]{constant}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
[class]{}-[func]{constant}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
[class]{time_complexity}-[func]{constant}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
[class]{}-[func]{constant}
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
[class]{}-[func]{constant}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
[class]{}-[func]{constant}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
[class]{}-[func]{constant}
```
### 线性阶 $O(n)$
线性阶的操作数量相对于输入数据大小 $n$ 以线性级别增长。线性阶通常出现在单层循环中:
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
[class]{time_complexity}-[func]{linear}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{linear}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
[class]{}-[func]{linear}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
[class]{}-[func]{linear}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
[class]{}-[func]{linear}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
[class]{}-[func]{linear}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
[class]{}-[func]{linear}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
[class]{time_complexity}-[func]{linear}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
[class]{}-[func]{linear}
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
[class]{}-[func]{linear}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
[class]{}-[func]{linear}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
[class]{}-[func]{linear}
```
遍历数组和遍历链表等操作的时间复杂度均为 $O(n)$ ,其中 $n$ 为数组或链表的长度:
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
[class]{time_complexity}-[func]{arrayTraversal}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{arrayTraversal}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
[class]{}-[func]{array_traversal}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
[class]{}-[func]{arrayTraversal}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
[class]{}-[func]{arrayTraversal}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
[class]{}-[func]{arrayTraversal}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
[class]{}-[func]{arrayTraversal}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
[class]{time_complexity}-[func]{arrayTraversal}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
[class]{}-[func]{arrayTraversal}
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
[class]{}-[func]{arrayTraversal}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
[class]{}-[func]{arrayTraversal}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
[class]{}-[func]{array_traversal}
```
值得注意的是,**输入数据大小 $n$ 需根据输入数据的类型来具体确定**。比如在第一个示例中,变量 $n$ 为输入数据大小;在第二个示例中,数组长度 $n$ 为数据大小。
### 平方阶 $O(n^2)$
平方阶的操作数量相对于输入数据大小以平方级别增长。平方阶通常出现在嵌套循环中,外层循环和内层循环都为 $O(n)$ ,因此总体为 $O(n^2)$ :
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
[class]{time_complexity}-[func]{quadratic}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{quadratic}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
[class]{}-[func]{quadratic}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
[class]{}-[func]{quadratic}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
[class]{}-[func]{quadratic}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
[class]{}-[func]{quadratic}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
[class]{}-[func]{quadratic}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
[class]{time_complexity}-[func]{quadratic}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
[class]{}-[func]{quadratic}
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
[class]{}-[func]{quadratic}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
[class]{}-[func]{quadratic}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
[class]{}-[func]{quadratic}
```
下图对比了常数阶、线性阶和平方阶三种时间复杂度。
![常数阶、线性阶和平方阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_constant_linear_quadratic.png)
以冒泡排序为例,外层循环执行 $n - 1$ 次,内层循环执行 $n-1, n-2, \dots, 2, 1$ 次,平均为 $n / 2$ 次,因此时间复杂度为 $O((n - 1) n / 2) = O(n^2)$ 。
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
[class]{time_complexity}-[func]{bubbleSort}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{bubbleSort}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
[class]{}-[func]{bubble_sort}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
[class]{}-[func]{bubbleSort}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
[class]{}-[func]{bubbleSort}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
[class]{}-[func]{bubbleSort}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
[class]{}-[func]{bubbleSort}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
[class]{time_complexity}-[func]{bubbleSort}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
[class]{}-[func]{bubbleSort}
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
[class]{}-[func]{bubbleSort}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
[class]{}-[func]{bubbleSort}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
[class]{}-[func]{bubble_sort}
```
### 指数阶 $O(2^n)$
生物学的“细胞分裂”是指数阶增长的典型例子:初始状态为 $1$ 个细胞,分裂一轮后变为 $2$ 个,分裂两轮后变为 $4$ 个,以此类推,分裂 $n$ 轮后有 $2^n$ 个细胞。
下图和以下代码模拟了细胞分裂的过程,时间复杂度为 $O(2^n)$ 。
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
[class]{time_complexity}-[func]{exponential}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{exponential}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
[class]{}-[func]{exponential}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
[class]{}-[func]{exponential}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
[class]{}-[func]{exponential}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
[class]{}-[func]{exponential}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
[class]{}-[func]{exponential}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
[class]{time_complexity}-[func]{exponential}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
[class]{}-[func]{exponential}
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
[class]{}-[func]{exponential}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
[class]{}-[func]{exponential}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
[class]{}-[func]{exponential}
```
![指数阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_exponential.png)
在实际算法中,指数阶常出现于递归函数中。例如在以下代码中,其递归地一分为二,经过 $n$ 次分裂后停止:
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
[class]{time_complexity}-[func]{expRecur}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{expRecur}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
[class]{}-[func]{exp_recur}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
[class]{}-[func]{expRecur}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
[class]{}-[func]{expRecur}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
[class]{}-[func]{expRecur}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
[class]{}-[func]{expRecur}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
[class]{time_complexity}-[func]{expRecur}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
[class]{}-[func]{expRecur}
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
[class]{}-[func]{expRecur}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
[class]{}-[func]{expRecur}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
[class]{}-[func]{exp_recur}
```
指数阶增长非常迅速,在穷举法(暴力搜索、回溯等)中比较常见。对于数据规模较大的问题,指数阶是不可接受的,通常需要使用动态规划或贪心等算法来解决。
### 对数阶 $O(\log n)$
与指数阶相反,对数阶反映了“每轮缩减到一半”的情况。设输入数据大小为 $n$ ,由于每轮缩减到一半,因此循环次数是 $\log_2 n$ ,即 $2^n$ 的反函数。
下图和以下代码模拟了“每轮缩减到一半”的过程,时间复杂度为 $O(\log_2 n)$ ,简记为 $O(\log n)$ 。
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
[class]{time_complexity}-[func]{logarithmic}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{logarithmic}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
[class]{}-[func]{logarithmic}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
[class]{}-[func]{logarithmic}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
[class]{}-[func]{logarithmic}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
[class]{}-[func]{logarithmic}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
[class]{}-[func]{logarithmic}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
[class]{time_complexity}-[func]{logarithmic}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
[class]{}-[func]{logarithmic}
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
[class]{}-[func]{logarithmic}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
[class]{}-[func]{logarithmic}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
[class]{}-[func]{logarithmic}
```
![对数阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic.png)
与指数阶类似,对数阶也常出现于递归函数中。以下代码形成了一个高度为 $\log_2 n$ 的递归树:
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
[class]{time_complexity}-[func]{logRecur}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{logRecur}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
[class]{}-[func]{log_recur}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
[class]{}-[func]{logRecur}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
[class]{}-[func]{logRecur}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
[class]{}-[func]{logRecur}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
[class]{}-[func]{logRecur}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
[class]{time_complexity}-[func]{logRecur}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
[class]{}-[func]{logRecur}
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
[class]{}-[func]{logRecur}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
[class]{}-[func]{logRecur}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
[class]{}-[func]{log_recur}
```
对数阶常出现于基于分治策略的算法中,体现了“一分为多”和“化繁为简”的算法思想。它增长缓慢,是仅次于常数阶的理想的时间复杂度。
!!! tip
准确来说,“一分为 $m$”对应的时间复杂度是 $O(\log_m n)$ 。而通过对数换底公式,我们可以得到具有不同底数的、相等的时间复杂度:
$$
O(\log_m n) = O(\log_k n / \log_k m) = O(\log_k n)
$$
也就是说,底数 $m$ 可以在不影响复杂度的前提下转换。因此我们通常会省略底数 $m$ ,将对数阶直接记为 $O(\log n)$ 。
### 线性对数阶 $O(n \log n)$
线性对数阶常出现于嵌套循环中,两层循环的时间复杂度分别为 $O(\log n)$ 和 $O(n)$ 。相关代码如下:
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
[class]{time_complexity}-[func]{linearLogRecur}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{linearLogRecur}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
[class]{}-[func]{linear_log_recur}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
[class]{}-[func]{linearLogRecur}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
[class]{}-[func]{linearLogRecur}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
[class]{}-[func]{linearLogRecur}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
[class]{}-[func]{linearLogRecur}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
[class]{time_complexity}-[func]{linearLogRecur}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
[class]{}-[func]{linearLogRecur}
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
[class]{}-[func]{linearLogRecur}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
[class]{}-[func]{linearLogRecur}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
[class]{}-[func]{linear_log_recur}
```
下图展示了线性对数阶的生成方式。二叉树的每一层的操作总数都为 $n$ ,树共有 $\log_2 n + 1$ 层,因此时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
![线性对数阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic_linear.png)
主流排序算法的时间复杂度通常为 $O(n \log n)$ ,例如快速排序、归并排序、堆排序等。
### 阶乘阶 $O(n!)$
阶乘阶对应数学上的“全排列”问题。给定 $n$ 个互不重复的元素,求其所有可能的排列方案,方案数量为:
$$
n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 2 \times 1
$$
阶乘通常使用递归实现。如下图和以下代码所示,第一层分裂出 $n$ 个,第二层分裂出 $n - 1$ 个,以此类推,直至第 $n$ 层时停止分裂:
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
[class]{time_complexity}-[func]{factorialRecur}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{factorialRecur}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
[class]{}-[func]{factorial_recur}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
[class]{}-[func]{factorialRecur}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
[class]{}-[func]{factorialRecur}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
[class]{}-[func]{factorialRecur}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
[class]{}-[func]{factorialRecur}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
[class]{time_complexity}-[func]{factorialRecur}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
[class]{}-[func]{factorialRecur}
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
[class]{}-[func]{factorialRecur}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
[class]{}-[func]{factorialRecur}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
[class]{}-[func]{factorial_recur}
```
![阶乘阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_factorial.png)
请注意,因为当 $n \geq 4$ 时恒有 $n! > 2^n$ ,所以阶乘阶比指数阶增长得更快,在 $n$ 较大时也是不可接受的。
## 最差、最佳、平均时间复杂度
**算法的时间效率往往不是固定的,而是与输入数据的分布有关**。假设输入一个长度为 $n$ 的数组 `nums` ,其中 `nums` 由从 $1$ 至 $n$ 的数字组成,每个数字只出现一次,但元素顺序是随机打乱的,任务目标是返回元素 $1$ 的索引。我们可以得出以下结论。
- 当 `nums = [?, ?, ..., 1]` ,即当末尾元素是 $1$ 时,需要完整遍历数组,**达到最差时间复杂度 $O(n)$** 。
- 当 `nums = [1, ?, ?, ...]` ,即当首个元素为 $1$ 时,无论数组多长都不需要继续遍历,**达到最佳时间复杂度 $\Omega(1)$** 。
“最差时间复杂度”对应函数渐近上界,使用大 $O$ 记号表示。相应地,“最佳时间复杂度”对应函数渐近下界,用 $\Omega$ 记号表示:
=== "Java"
```java title="worst_best_time_complexity.java"
[class]{worst_best_time_complexity}-[func]{randomNumbers}
[class]{worst_best_time_complexity}-[func]{findOne}
```
=== "C++"
```cpp title="worst_best_time_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{randomNumbers}
[class]{}-[func]{findOne}
```
=== "Python"
```python title="worst_best_time_complexity.py"
[class]{}-[func]{random_numbers}
[class]{}-[func]{find_one}
```
=== "Go"
```go title="worst_best_time_complexity.go"
[class]{}-[func]{randomNumbers}
[class]{}-[func]{findOne}
```
=== "JS"
```javascript title="worst_best_time_complexity.js"
[class]{}-[func]{randomNumbers}
[class]{}-[func]{findOne}
```
=== "TS"
```typescript title="worst_best_time_complexity.ts"
[class]{}-[func]{randomNumbers}
[class]{}-[func]{findOne}
```
=== "C"
```c title="worst_best_time_complexity.c"
[class]{}-[func]{randomNumbers}
[class]{}-[func]{findOne}
```
=== "C#"
```csharp title="worst_best_time_complexity.cs"
[class]{worst_best_time_complexity}-[func]{randomNumbers}
[class]{worst_best_time_complexity}-[func]{findOne}
```
=== "Swift"
```swift title="worst_best_time_complexity.swift"
[class]{}-[func]{randomNumbers}
[class]{}-[func]{findOne}
```
=== "Zig"
```zig title="worst_best_time_complexity.zig"
// 生成一个数组,元素为 { 1, 2, ..., n },顺序被打乱
pub fn randomNumbers(comptime n: usize) [n]i32 {
var nums: [n]i32 = undefined;
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (nums) |*num, i| {
num.* = @intCast(i32, i) + 1;
}
// 随机打乱数组元素
const rand = std.crypto.random;
rand.shuffle(i32, &nums);
return nums;
}
// 查找数组 nums 中数字 1 所在索引
pub fn findOne(nums: []i32) i32 {
for (nums) |num, i| {
// 当元素 1 在数组头部时,达到最佳时间复杂度 O(1)
// 当元素 1 在数组尾部时,达到最差时间复杂度 O(n)
if (num == 1) return @intCast(i32, i);
}
return -1;
}
```
=== "Dart"
```dart title="worst_best_time_complexity.dart"
[class]{}-[func]{randomNumbers}
[class]{}-[func]{findOne}
```
=== "Rust"
```rust title="worst_best_time_complexity.rs"
[class]{}-[func]{random_numbers}
[class]{}-[func]{find_one}
```
值得说明的是,我们在实际中很少使用最佳时间复杂度,因为通常只有在很小概率下才能达到,可能会带来一定的误导性。**而最差时间复杂度更为实用,因为它给出了一个效率安全值**,让我们可以放心地使用算法。
从上述示例可以看出,最差或最佳时间复杂度只出现于“特殊的数据分布”,这些情况的出现概率可能很小,并不能真实地反映算法运行效率。相比之下,**平均时间复杂度可以体现算法在随机输入数据下的运行效率**,用 $\Theta$ 记号来表示。
对于部分算法,我们可以简单地推算出随机数据分布下的平均情况。比如上述示例,由于输入数组是被打乱的,因此元素 $1$ 出现在任意索引的概率都是相等的,那么算法的平均循环次数就是数组长度的一半 $n / 2$ ,平均时间复杂度为 $\Theta(n / 2) = \Theta(n)$ 。
但对于较为复杂的算法,计算平均时间复杂度往往是比较困难的,因为很难分析出在数据分布下的整体数学期望。在这种情况下,我们通常使用最差时间复杂度作为算法效率的评判标准。
!!! question "为什么很少看到 $\Theta$ 符号?"
可能由于 $O$ 符号过于朗朗上口,我们常常使用它来表示平均时间复杂度。但从严格意义上看,这种做法并不规范。在本书和其他资料中,若遇到类似“平均时间复杂度 $O(n)$”的表述,请将其直接理解为 $\Theta(n)$ 。