--- comments: true --- # AVL 树 * 在「二叉搜索树」章节中提到,在进行多次插入与删除操作后,二叉搜索树可能会退化为链表。此时所有操作的时间复杂度都会由 $O(\log n)$ 劣化至 $O(n)$ 。 如下图所示,执行两步删除结点后,该二叉搜索树就会退化为链表。 ![degradation_from_removing_node](avl_tree.assets/degradation_from_removing_node.png) 再比如,在以下完美二叉树中插入两个结点后,树严重向左偏斜,查找操作的时间复杂度也随之发生劣化。 ![degradation_from_inserting_node](avl_tree.assets/degradation_from_inserting_node.png) G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「AVL 树」。**论文中描述了一系列操作,使得在不断添加与删除结点后,AVL 树仍然不会发生退化**,进而使得各种操作的时间复杂度均能保持在 $O(\log n)$ 级别。 换言之,在频繁增删查改的使用场景中,AVL 树可始终保持很高的数据增删查改效率,具有很好的应用价值。 ## AVL 树常见术语 「AVL 树」既是「二叉搜索树」又是「平衡二叉树」,同时满足这两种二叉树的所有性质,因此又被称为「平衡二叉搜索树」。 ### 结点高度 在 AVL 树的操作中,需要获取结点「高度 Height」,所以给 AVL 树的结点类添加 `height` 变量。 === "Java" ```java title="avl_tree.java" /* AVL 树结点类 */ class TreeNode { public int val; // 结点值 public int height; // 结点高度 public TreeNode left; // 左子结点 public TreeNode right; // 右子结点 public TreeNode(int x) { val = x; } } ``` === "C++" ```cpp title="avl_tree.cpp" ``` === "Python" ```python title="avl_tree.py" """ AVL 树结点类 """ class TreeNode: def __init__(self, val=None, left=None, right=None): self.val = val # 结点值 self.height = 0 # 结点高度 self.left = left # 左子结点引用 self.right = right # 右子结点引用 ``` === "Go" ```go title="avl_tree.go" ``` === "JavaScript" ```js title="avl_tree.js" ``` === "TypeScript" ```typescript title="avl_tree.ts" ``` === "C" ```c title="avl_tree.c" ``` === "C#" ```csharp title="avl_tree.cs" /* AVL 树结点类 */ class TreeNode { public int val; // 结点值 public int height; // 结点高度 public TreeNode? left; // 左子结点 public TreeNode? right; // 右子结点 public TreeNode(int x) { val = x; } } ``` 「结点高度」是最远叶结点到该结点的距离,即走过的「边」的数量。需要特别注意,**叶结点的高度为 0 ,空结点的高度为 -1** 。我们封装两个工具函数,分别用于获取与更新结点的高度。 === "Java" ```java title="avl_tree.java" /* 获取结点高度 */ int height(TreeNode node) { // 空结点高度为 -1 ,叶结点高度为 0 return node == null ? -1 : node.height; } /* 更新结点高度 */ void updateHeight(TreeNode node) { // 结点高度等于最高子树高度 + 1 node.height = Math.max(height(node.left), height(node.right)) + 1; } ``` === "C++" ```cpp title="avl_tree.cpp" ``` === "Python" ```python title="avl_tree.py" """ 获取结点高度 """ def height(self, node: typing.Optional[TreeNode]) -> int: # 空结点高度为 -1 ,叶结点高度为 0 if node is not None: return node.height return -1 """ 更新结点高度 """ def __update_height(self, node: TreeNode): # 结点高度等于最高子树高度 + 1 node.height = max([self.height(node.left), self.height(node.right)]) + 1 ``` === "Go" ```go title="avl_tree.go" ``` === "JavaScript" ```js title="avl_tree.js" ``` === "TypeScript" ```typescript title="avl_tree.ts" ``` === "C" ```c title="avl_tree.c" ``` === "C#" ```csharp title="avl_tree.cs" /* 获取结点高度 */ public int height(TreeNode? node) { // 空结点高度为 -1 ,叶结点高度为 0 return node == null ? -1 : node.height; } /* 更新结点高度 */ private void updateHeight(TreeNode node) { // 结点高度等于最高子树高度 + 1 node.height = Math.Max(height(node.left), height(node.right)) + 1; } ``` ### 结点平衡因子 结点的「平衡因子 Balance Factor」是 **结点的左子树高度减去右子树高度**,并定义空结点的平衡因子为 0 。同样地,我们将获取结点平衡因子封装成函数,以便后续使用。 === "Java" ```java title="avl_tree.java" /* 获取结点平衡因子 */ public int balanceFactor(TreeNode node) { // 空结点平衡因子为 0 if (node == null) return 0; // 结点平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度 return height(node.left) - height(node.right); } ``` === "C++" ```cpp title="avl_tree.cpp" ``` === "Python" ```python title="avl_tree.py" """ 获取平衡因子 """ def balance_factor(self, node: TreeNode) -> int: # 空结点平衡因子为 0 if node is None: return 0 # 结点平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度 return self.height(node.left) - self.height(node.right) ``` === "Go" ```go title="avl_tree.go" ``` === "JavaScript" ```js title="avl_tree.js" ``` === "TypeScript" ```typescript title="avl_tree.ts" ``` === "C" ```c title="avl_tree.c" ``` === "C#" ```csharp title="avl_tree.cs" /* 获取平衡因子 */ public int balanceFactor(TreeNode? node) { // 空结点平衡因子为 0 if (node == null) return 0; // 结点平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度 return height(node.left) - height(node.right); } ``` !!! note 设平衡因子为 $f$ ,则一棵 AVL 树的任意结点的平衡因子皆满足 $-1 \le f \le 1$ 。 ## AVL 树旋转 AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作,其可 **在不影响二叉树中序遍历序列的前提下,使失衡结点重新恢复平衡**。换言之,旋转操作既可以使树保持为「二叉搜索树」,也可以使树重新恢复为「平衡二叉树」。 我们将平衡因子的绝对值 $> 1$ 的结点称为「失衡结点」。根据结点的失衡情况,旋转操作分为 **右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋**,接下来我们来一起来看看它们是如何操作的。 ### Case 1 - 右旋 如下图所示(结点下方为「平衡因子」),从底至顶看,二叉树中首个失衡结点是 **结点 3** 。我们聚焦在以该失衡结点为根结点的子树上,将该结点记为 `node` ,将其左子节点记为 `child` ,执行「右旋」操作。完成右旋后,该子树已经恢复平衡,并且仍然为二叉搜索树。 === "Step 1" ![right_rotate_step1](avl_tree.assets/right_rotate_step1.png) === "Step 2" ![right_rotate_step2](avl_tree.assets/right_rotate_step2.png) === "Step 3" ![right_rotate_step3](avl_tree.assets/right_rotate_step3.png) === "Step 4" ![right_rotate_step4](avl_tree.assets/right_rotate_step4.png) 进而,如果结点 `child` 本身有右子结点(记为 `grandChild`),则需要在「右旋」中添加一步:将 `grandChild` 作为 `node` 的左子结点。 ![right_rotate_with_grandchild](avl_tree.assets/right_rotate_with_grandchild.png) “向右旋转”是一种形象化的说法,实际需要通过修改结点指针实现,代码如下所示。 === "Java" ```java title="avl_tree.java" /* 右旋操作 */ TreeNode rightRotate(TreeNode node) { TreeNode child = node.left; TreeNode grandChild = child.right; // 以 child 为原点,将 node 向右旋转 child.right = node; node.left = grandChild; // 更新结点高度 updateHeight(node); updateHeight(child); // 返回旋转后子树的根节点 return child; } ``` === "C++" ```cpp title="avl_tree.cpp" ``` === "Python" ```python title="avl_tree.py" """ 右旋操作 """ def __right_rotate(self, node: TreeNode) -> TreeNode: child = node.left grand_child = child.right # 以 child 为原点,将 node 向右旋转 child.right = node node.left = grand_child # 更新结点高度 self.__update_height(node) self.__update_height(child) # 返回旋转后子树的根节点 return child ``` === "Go" ```go title="avl_tree.go" ``` === "JavaScript" ```js title="avl_tree.js" ``` === "TypeScript" ```typescript title="avl_tree.ts" ``` === "C" ```c title="avl_tree.c" ``` === "C#" ```csharp title="avl_tree.cs" /* 右旋操作 */ TreeNode? rightRotate(TreeNode? node) { TreeNode? child = node.left; TreeNode? grandChild = child?.right; // 以 child 为原点,将 node 向右旋转 child.right = node; node.left = grandChild; // 更新结点高度 updateHeight(node); updateHeight(child); // 返回旋转后子树的根节点 return child; } ``` ### Case 2 - 左旋 类似地,如果将取上述失衡二叉树的“镜像”,那么则需要「左旋」操作。 ![left_rotate](avl_tree.assets/left_rotate.png) 同理,若结点 `child` 本身有左子结点(记为 `grandChild`),则需要在「左旋」中添加一步:将 `grandChild` 作为 `node` 的右子结点。 ![left_rotate_with_grandchild](avl_tree.assets/left_rotate_with_grandchild.png) 观察发现,**「左旋」和「右旋」操作是镜像对称的,两者对应解决的两种失衡情况也是对称的**。根据对称性,我们可以很方便地从「右旋」推导出「左旋」。具体地,只需将「右旋」代码中的把所有的 `left` 替换为 `right` 、所有的 `right` 替换为 `left` ,即可得到「左旋」代码。 === "Java" ```java title="avl_tree.java" /* 左旋操作 */ private TreeNode leftRotate(TreeNode node) { TreeNode child = node.right; TreeNode grandChild = child.left; // 以 child 为原点,将 node 向左旋转 child.left = node; node.right = grandChild; // 更新结点高度 updateHeight(node); updateHeight(child); // 返回旋转后子树的根节点 return child; } ``` === "C++" ```cpp title="avl_tree.cpp" ``` === "Python" ```python title="avl_tree.py" """ 左旋操作 """ def __left_rotate(self, node: TreeNode) -> TreeNode: child = node.right grand_child = child.left # 以 child 为原点,将 node 向左旋转 child.left = node node.right = grand_child # 更新结点高度 self.__update_height(node) self.__update_height(child) # 返回旋转后子树的根节点 return child ``` === "Go" ```go title="avl_tree.go" ``` === "JavaScript" ```js title="avl_tree.js" ``` === "TypeScript" ```typescript title="avl_tree.ts" ``` === "C" ```c title="avl_tree.c" ``` === "C#" ```csharp title="avl_tree.cs" /* 左旋操作 */ TreeNode? leftRotate(TreeNode? node) { TreeNode? child = node.right; TreeNode? grandChild = child?.left; // 以 child 为原点,将 node 向左旋转 child.left = node; node.right = grandChild; // 更新结点高度 updateHeight(node); updateHeight(child); // 返回旋转后子树的根节点 return child; } ``` ### Case 3 - 先左后右 对于下图的失衡结点 3 ,**单一使用左旋或右旋都无法使子树恢复平衡**,此时需要「先左旋后右旋」,即先对 `child` 执行「左旋」,再对 `node` 执行「右旋」。 ![left_right_rotate](avl_tree.assets/left_right_rotate.png) ### Case 4 - 先右后左 同理,取以上失衡二叉树的镜像,则需要「先右旋后左旋」,即先对 `child` 执行「右旋」,然后对 `node` 执行「左旋」。 ![right_left_rotate](avl_tree.assets/right_left_rotate.png) ### 旋转的选择 下图描述的四种失衡情况与上述 Cases 逐个对应,分别需采用 **右旋、左旋、先右后左、先左后右** 的旋转操作。 ![rotation_cases](avl_tree.assets/rotation_cases.png) 具体地,在代码中使用 **失衡结点的平衡因子、较高一侧子结点的平衡因子** 来确定失衡结点属于上图中的哪种情况。
| 失衡结点的平衡因子 | 子结点的平衡因子 | 应采用的旋转方法 | | ------------------ | ---------------- | ---------------- | | $>0$ (即左偏树) | $\geq 0$ | 右旋 | | $>0$ (即左偏树) | $<0$ | 先左旋后右旋 | | $<0$ (即右偏树) | $\leq 0$ | 左旋 | | $<0$ (即右偏树) | $>0$ | 先右旋后左旋 |
为方便使用,我们将旋转操作封装成一个函数。至此,**我们可以使用此函数来旋转各种失衡情况,使失衡结点重新恢复平衡**。 === "Java" ```java title="avl_tree.java" /* 执行旋转操作,使该子树重新恢复平衡 */ TreeNode rotate(TreeNode node) { // 获取结点 node 的平衡因子 int balanceFactor = balanceFactor(node); // 左偏树 if (balanceFactor > 1) { if (balanceFactor(node.left) >= 0) { // 右旋 return rightRotate(node); } else { // 先左旋后右旋 node.left = leftRotate(node.left); return rightRotate(node); } } // 右偏树 if (balanceFactor < -1) { if (balanceFactor(node.right) <= 0) { // 左旋 return leftRotate(node); } else { // 先右旋后左旋 node.right = rightRotate(node.right); return leftRotate(node); } } // 平衡树,无需旋转,直接返回 return node; } ``` === "C++" ```cpp title="avl_tree.cpp" ``` === "Python" ```python title="avl_tree.py" """ 执行旋转操作,使该子树重新恢复平衡 """ def __rotate(self, node: TreeNode) -> TreeNode: # 获取结点 node 的平衡因子 balance_factor = self.balance_factor(node) # 左偏树 if balance_factor > 1: if self.balance_factor(node.left) >= 0: # 右旋 return self.__right_rotate(node) else: # 先左旋后右旋 node.left = self.__left_rotate(node.left) return self.__right_rotate(node) # 右偏树 elif balance_factor < -1: if self.balance_factor(node.right) <= 0: # 左旋 return self.__left_rotate(node) else: # 先右旋后左旋 node.right = self.__right_rotate(node.right) return self.__left_rotate(node) # 平衡树,无需旋转,直接返回 return node ``` === "Go" ```go title="avl_tree.go" ``` === "JavaScript" ```js title="avl_tree.js" ``` === "TypeScript" ```typescript title="avl_tree.ts" ``` === "C" ```c title="avl_tree.c" ``` === "C#" ```csharp title="avl_tree.cs" /* 执行旋转操作,使该子树重新恢复平衡 */ TreeNode? rotate(TreeNode? node) { // 获取结点 node 的平衡因子 int balanceFactorInt = balanceFactor(node); // 左偏树 if (balanceFactorInt > 1) { if (balanceFactor(node.left) >= 0) { // 右旋 return rightRotate(node); } else { // 先左旋后右旋 node.left = leftRotate(node?.left); return rightRotate(node); } } // 右偏树 if (balanceFactorInt < -1) { if (balanceFactor(node.right) <= 0) { // 左旋 return leftRotate(node); } else { // 先右旋后左旋 node.right = rightRotate(node?.right); return leftRotate(node); } } // 平衡树,无需旋转,直接返回 return node; } ``` ## AVL 树常用操作 ### 插入结点 「AVL 树」的结点插入操作与「二叉搜索树」主体类似。不同的是,在插入结点后,从该结点到根结点的路径上会出现一系列「失衡结点」。所以,**我们需要从该结点开始,从底至顶地执行旋转操作,使所有失衡结点恢复平衡**。 === "Java" ```java title="avl_tree.java" /* 插入结点 */ TreeNode insert(int val) { root = insertHelper(root, val); return root; } /* 递归插入结点(辅助函数) */ TreeNode insertHelper(TreeNode node, int val) { if (node == null) return new TreeNode(val); /* 1. 查找插入位置,并插入结点 */ if (val < node.val) node.left = insertHelper(node.left, val); else if (val > node.val) node.right = insertHelper(node.right, val); else return node; // 重复结点不插入,直接返回 updateHeight(node); // 更新结点高度 /* 2. 执行旋转操作,使该子树重新恢复平衡 */ node = rotate(node); // 返回子树的根节点 return node; } ``` === "C++" ```cpp title="avl_tree.cpp" ``` === "Python" ```python title="avl_tree.py" """ 插入结点 """ def insert(self, val) -> TreeNode: self.root = self.__insert_helper(self.root, val) return self.root """ 递归插入结点(辅助函数)""" def __insert_helper(self, node: typing.Optional[TreeNode], val: int) -> TreeNode: if node is None: return TreeNode(val) # 1. 查找插入位置,并插入结点 if val < node.val: node.left = self.__insert_helper(node.left, val) elif val > node.val: node.right = self.__insert_helper(node.right, val) else: # 重复结点不插入,直接返回 return node # 更新结点高度 self.__update_height(node) # 2. 执行旋转操作,使该子树重新恢复平衡 return self.__rotate(node) ``` === "Go" ```go title="avl_tree.go" ``` === "JavaScript" ```js title="avl_tree.js" ``` === "TypeScript" ```typescript title="avl_tree.ts" ``` === "C" ```c title="avl_tree.c" ``` === "C#" ```csharp title="avl_tree.cs" /* 插入结点 */ public TreeNode? insert(int val) { root = insertHelper(root, val); return root; } /* 递归插入结点(辅助函数) */ private TreeNode? insertHelper(TreeNode? node, int val) { if (node == null) return new TreeNode(val); /* 1. 查找插入位置,并插入结点 */ if (val < node.val) node.left = insertHelper(node.left, val); else if (val > node.val) node.right = insertHelper(node.right, val); else return node; // 重复结点不插入,直接返回 updateHeight(node); // 更新结点高度 /* 2. 执行旋转操作,使该子树重新恢复平衡 */ node = rotate(node); // 返回子树的根节点 return node; } ``` ### 删除结点 「AVL 树」删除结点操作与「二叉搜索树」删除结点操作总体相同。类似地,**在删除结点后,也需要从底至顶地执行旋转操作,使所有失衡结点恢复平衡**。 === "Java" ```java title="avl_tree.java" /* 删除结点 */ TreeNode remove(int val) { root = removeHelper(root, val); return root; } /* 递归删除结点(辅助函数) */ TreeNode removeHelper(TreeNode node, int val) { if (node == null) return null; /* 1. 查找结点,并删除之 */ if (val < node.val) node.left = removeHelper(node.left, val); else if (val > node.val) node.right = removeHelper(node.right, val); else { if (node.left == null || node.right == null) { TreeNode child = node.left != null ? node.left : node.right; // 子结点数量 = 0 ,直接删除 node 并返回 if (child == null) return null; // 子结点数量 = 1 ,直接删除 node else node = child; } else { // 子结点数量 = 2 ,则将中序遍历的下个结点删除,并用该结点替换当前结点 TreeNode temp = getInOrderNext(node.right); node.right = removeHelper(node.right, temp.val); node.val = temp.val; } } updateHeight(node); // 更新结点高度 /* 2. 执行旋转操作,使该子树重新恢复平衡 */ node = rotate(node); // 返回子树的根节点 return node; } ``` === "C++" ```cpp title="avl_tree.cpp" ``` === "Python" ```python title="avl_tree.py" """ 删除结点 """ def remove(self, val: int): root = self.__remove_helper(self.root, val) return root """ 递归删除结点(辅助函数) """ def __remove_helper(self, node: typing.Optional[TreeNode], val: int) -> typing.Optional[TreeNode]: if node is None: return None # 1. 查找结点,并删除之 if val < node.val: node.left = self.__remove_helper(node.left, val) elif val > node.val: node.right = self.__remove_helper(node.right, val) else: if node.left is None or node.right is None: child = node.left or node.right # 子结点数量 = 0 ,直接删除 node 并返回 if child is None: return None # 子结点数量 = 1 ,直接删除 node else: node = child else: # 子结点数量 = 2 ,则将中序遍历的下个结点删除,并用该结点替换当前结点 temp = self.__get_inorder_next(node.right) node.right = self.__remove_helper(node.right, temp.val) node.val = temp.val # 更新结点高度 self.__update_height(node) # 2. 执行旋转操作,使该子树重新恢复平衡 return self.__rotate(node) ``` === "Go" ```go title="avl_tree.go" ``` === "JavaScript" ```js title="avl_tree.js" ``` === "TypeScript" ```typescript title="avl_tree.ts" ``` === "C" ```c title="avl_tree.c" ``` === "C#" ```csharp title="avl_tree.cs" /* 删除结点 */ public TreeNode? remove(int val) { root = removeHelper(root, val); return root; } /* 递归删除结点(辅助函数) */ private TreeNode? removeHelper(TreeNode? node, int val) { if (node == null) return null; /* 1. 查找结点,并删除之 */ if (val < node.val) node.left = removeHelper(node.left, val); else if (val > node.val) node.right = removeHelper(node.right, val); else { if (node.left == null || node.right == null) { TreeNode? child = node.left != null ? node.left : node.right; // 子结点数量 = 0 ,直接删除 node 并返回 if (child == null) return null; // 子结点数量 = 1 ,直接删除 node else node = child; } else { // 子结点数量 = 2 ,则将中序遍历的下个结点删除,并用该结点替换当前结点 TreeNode? temp = getInOrderNext(node.right); node.right = removeHelper(node.right, temp.val); node.val = temp.val; } } updateHeight(node); // 更新结点高度 /* 2. 执行旋转操作,使该子树重新恢复平衡 */ node = rotate(node); // 返回子树的根节点 return node; } ``` ### 查找结点 「AVL 树」的结点查找操作与「二叉搜索树」一致,在此不再赘述。 ## AVL 树典型应用 - 组织存储大型数据,适用于高频查找、低频增删场景; - 用于建立数据库中的索引系统; !!! question "为什么红黑树比 AVL 树更受欢迎?" 红黑树的平衡条件相对宽松,因此在红黑树中插入与删除结点所需的旋转操作相对更少,结点增删操作相比 AVL 树的效率更高。