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14.4   0-1 背包问题

背包问题是一个非常好的动态规划入门题目，是动态规划中最常见的问题形式。其具有很多变种，例如 0-1 背包问题、完全背包问题、多重背包问题等。

在本节中，我们先来求解最常见的 0-1 背包问题。

Question

给定 \(n\) 个物品，第 \(i\) 个物品的重量为 \(wgt[i-1]\)、价值为 \(val[i-1]\) ，和一个容量为 \(cap\) 的背包。每个物品只能选择一次，问在限定背包容量下能放入物品的最大价值。

观察图 14-17 ，由于物品编号 \(i\) 从 \(1\) 开始计数，数组索引从 \(0\) 开始计数，因此物品 \(i\) 对应重量 \(wgt[i-1]\) 和价值 \(val[i-1]\) 。

0-1 背包的示例数据

图 14-17   0-1 背包的示例数据

我们可以将 0-1 背包问题看作一个由 \(n\) 轮决策组成的过程，对于每个物体都有不放入和放入两种决策，因此该问题满足决策树模型。

该问题的目标是求解“在限定背包容量下能放入物品的最大价值”，因此较大概率是一个动态规划问题。

第一步：思考每轮的决策，定义状态，从而得到 \(dp\) 表

对于每个物品来说，不放入背包，背包容量不变；放入背包，背包容量减小。由此可得状态定义：当前物品编号 \(i\) 和剩余背包容量 \(c\) ，记为 \([i, c]\) 。

状态 \([i, c]\) 对应的子问题为：前 \(i\) 个物品在剩余容量为 \(c\) 的背包中的最大价值，记为 \(dp[i, c]\) 。

待求解的是 \(dp[n, cap]\) ，因此需要一个尺寸为 \((n+1) \times (cap+1)\) 的二维 \(dp\) 表。

第二步：找出最优子结构，进而推导出状态转移方程

当我们做出物品 \(i\) 的决策后，剩余的是前 \(i-1\) 个物品的决策，可分为以下两种情况。

  • 不放入物品 \(i\) ：背包容量不变，状态变化为 \([i-1, c]\) 。
  • 放入物品 \(i\) ：背包容量减少 \(wgt[i-1]\) ，价值增加 \(val[i-1]\) ，状态变化为 \([i-1, c-wgt[i-1]]\) 。

上述分析向我们揭示了本题的最优子结构：最大价值 \(dp[i, c]\) 等于不放入物品 \(i\) 和放入物品 \(i\) 两种方案中价值更大的那一个。由此可推导出状态转移方程：

\[ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1]) \]

需要注意的是，若当前物品重量 \(wgt[i - 1]\) 超出剩余背包容量 \(c\) ，则只能选择不放入背包。

第三步：确定边界条件和状态转移顺序

当无物品或无剩余背包容量时最大价值为 \(0\) ，即首列 \(dp[i, 0]\) 和首行 \(dp[0, c]\) 都等于 \(0\) 。

当前状态 \([i, c]\) 从上方的状态 \([i-1, c]\) 和左上方的状态 \([i-1, c-wgt[i-1]]\) 转移而来，因此通过两层循环正序遍历整个 \(dp\) 表即可。

根据以上分析，我们接下来按顺序实现暴力搜索、记忆化搜索、动态规划解法。

1.   方法一：暴力搜索

搜索代码包含以下要素。

  • 递归参数：状态 \([i, c]\) 。
  • 返回值：子问题的解 \(dp[i, c]\) 。
  • 终止条件：当物品编号越界 \(i = 0\) 或背包剩余容量为 \(0\) 时，终止递归并返回价值 \(0\) 。
  • 剪枝：若当前物品重量超出背包剩余容量，则只能选择不放入背包。
knapsack.py
def knapsack_dfs(wgt: list[int], val: list[int], i: int, c: int) -> int:
    """0-1 背包：暴力搜索"""
    # 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0
    if i == 0 or c == 0:
        return 0
    # 若超过背包容量，则只能选择不放入背包
    if wgt[i - 1] > c:
        return knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c)
    # 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
    no = knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c)
    yes = knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]
    # 返回两种方案中价值更大的那一个
    return max(no, yes)
knapsack.cpp
/* 0-1 背包：暴力搜索 */
int knapsackDFS(vector<int> &wgt, vector<int> &val, int i, int c) {
    // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0
    if (i == 0 || c == 0) {
        return 0;
    }
    // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包
    if (wgt[i - 1] > c) {
        return knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
    }
    // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
    int no = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
    int yes = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
    // 返回两种方案中价值更大的那一个
    return max(no, yes);
}
knapsack.java
/* 0-1 背包：暴力搜索 */
int knapsackDFS(int[] wgt, int[] val, int i, int c) {
    // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0
    if (i == 0 || c == 0) {
        return 0;
    }
    // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包
    if (wgt[i - 1] > c) {
        return knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
    }
    // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
    int no = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
    int yes = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
    // 返回两种方案中价值更大的那一个
    return Math.max(no, yes);
}
knapsack.cs
/* 0-1 背包：暴力搜索 */
int KnapsackDFS(int[] weight, int[] val, int i, int c) {
    // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0
    if (i == 0 || c == 0) {
        return 0;
    }
    // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包
    if (weight[i - 1] > c) {
        return KnapsackDFS(weight, val, i - 1, c);
    }
    // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
    int no = KnapsackDFS(weight, val, i - 1, c);
    int yes = KnapsackDFS(weight, val, i - 1, c - weight[i - 1]) + val[i - 1];
    // 返回两种方案中价值更大的那一个
    return Math.Max(no, yes);
}
knapsack.go
/* 0-1 背包：暴力搜索 */
func knapsackDFS(wgt, val []int, i, c int) int {
    // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0
    if i == 0 || c == 0 {
        return 0
    }
    // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包
    if wgt[i-1] > c {
        return knapsackDFS(wgt, val, i-1, c)
    }
    // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
    no := knapsackDFS(wgt, val, i-1, c)
    yes := knapsackDFS(wgt, val, i-1, c-wgt[i-1]) + val[i-1]
    // 返回两种方案中价值更大的那一个
    return int(math.Max(float64(no), float64(yes)))
}
knapsack.swift
/* 0-1 背包：暴力搜索 */
func knapsackDFS(wgt: [Int], val: [Int], i: Int, c: Int) -> Int {
    // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0
    if i == 0 || c == 0 {
        return 0
    }
    // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包
    if wgt[i - 1] > c {
        return knapsackDFS(wgt: wgt, val: val, i: i - 1, c: c)
    }
    // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
    let no = knapsackDFS(wgt: wgt, val: val, i: i - 1, c: c)
    let yes = knapsackDFS(wgt: wgt, val: val, i: i - 1, c: c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]
    // 返回两种方案中价值更大的那一个
    return max(no, yes)
}
knapsack.js
/* 0-1 背包：暴力搜索 */
function knapsackDFS(wgt, val, i, c) {
    // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0
    if (i === 0 || c === 0) {
        return 0;
    }
    // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包
    if (wgt[i - 1] > c) {
        return knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
    }
    // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
    const no = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
    const yes = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
    // 返回两种方案中价值更大的那一个
    return Math.max(no, yes);
}
knapsack.ts
/* 0-1 背包：暴力搜索 */
function knapsackDFS(
    wgt: Array<number>,
    val: Array<number>,
    i: number,
    c: number
): number {
    // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0
    if (i === 0 || c === 0) {
        return 0;
    }
    // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包
    if (wgt[i - 1] > c) {
        return knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
    }
    // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
    const no = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
    const yes = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
    // 返回两种方案中价值更大的那一个
    return Math.max(no, yes);
}
knapsack.dart
/* 0-1 背包：暴力搜索 */
int knapsackDFS(List<int> wgt, List<int> val, int i, int c) {
  // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0
  if (i == 0 || c == 0) {
    return 0;
  }
  // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包
  if (wgt[i - 1] > c) {
    return knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
  }
  // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
  int no = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
  int yes = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
  // 返回两种方案中价值更大的那一个
  return max(no, yes);
}
knapsack.rs
/* 0-1 背包：暴力搜索 */
fn knapsack_dfs(wgt: &[i32], val: &[i32], i: usize, c: usize) -> i32 {
    // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0
    if i == 0 || c == 0 {
        return 0;
    }
    // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包
    if wgt[i - 1] > c as i32 {
        return knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c);
    }
    // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
    let no = knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c);
    let yes = knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1] as usize) + val[i - 1];
    // 返回两种方案中价值更大的那一个
    std::cmp::max(no, yes)
}
knapsack.c
/* 0-1 背包：暴力搜索 */
int knapsackDFS(int wgt[], int val[], int i, int c) {
    // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0
    if (i == 0 || c == 0) {
        return 0;
    }
    // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包
    if (wgt[i - 1] > c) {
        return knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
    }
    // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
    int no = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
    int yes = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
    // 返回两种方案中价值更大的那一个
    return myMax(no, yes);
}
knapsack.kt
/* 0-1 背包：暴力搜索 */
fun knapsackDFS(
    wgt: IntArray,
    value: IntArray,
    i: Int,
    c: Int
): Int {
    // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0
    if (i == 0 || c == 0) {
        return 0
    }
    // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包
    if (wgt[i - 1] > c) {
        return knapsackDFS(wgt, value, i - 1, c)
    }
    // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
    val no = knapsackDFS(wgt, value, i - 1, c)
    val yes = knapsackDFS(wgt, value, i - 1, c - wgt[i - 1]) + value[i - 1]
    // 返回两种方案中价值更大的那一个
    return max(no.toDouble(), yes.toDouble()).toInt()
}
knapsack.zig
// 0-1 背包：暴力搜索
fn knapsackDFS(wgt: []i32, val: []i32, i: usize, c: usize) i32 {
    // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0
    if (i == 0 or c == 0) {
        return 0;
    }
    // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包
    if (wgt[i - 1] > c) {
        return knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
    }
    // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
    var no = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
    var yes = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c - @as(usize, @intCast(wgt[i - 1]))) + val[i - 1];
    // 返回两种方案中价值更大的那一个
    return @max(no, yes);
}
可视化运行

如图 14-18 所示，由于每个物品都会产生不选和选两条搜索分支，因此时间复杂度为 \(O(2^n)\) 。

观察递归树，容易发现其中存在重叠子问题，例如 \(dp[1, 10]\) 等。而当物品较多、背包容量较大，尤其是相同重量的物品较多时，重叠子问题的数量将会大幅增多。

0-1 背包问题的暴力搜索递归树

图 14-18   0-1 背包问题的暴力搜索递归树

2.   方法二：记忆化搜索

为了保证重叠子问题只被计算一次，我们借助记忆列表 mem 来记录子问题的解，其中 mem[i][c] 对应 \(dp[i, c]\) 。

引入记忆化之后，时间复杂度取决于子问题数量，也就是 \(O(n \times cap)\) 。实现代码如下：

knapsack.py
def knapsack_dfs_mem(
    wgt: list[int], val: list[int], mem: list[list[int]], i: int, c: int
) -> int:
    """0-1 背包：记忆化搜索"""
    # 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0
    if i == 0 or c == 0:
        return 0
    # 若已有记录，则直接返回
    if mem[i][c] != -1:
        return mem[i][c]
    # 若超过背包容量，则只能选择不放入背包
    if wgt[i - 1] > c:
        return knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c)
    # 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
    no = knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c)
    yes = knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]
    # 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
    mem[i][c] = max(no, yes)
    return mem[i][c]
knapsack.cpp
/* 0-1 背包：记忆化搜索 */
int knapsackDFSMem(vector<int> &wgt, vector<int> &val, vector<vector<int>> &mem, int i, int c) {
    // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0
    if (i == 0 || c == 0) {
        return 0;
    }
    // 若已有记录，则直接返回
    if (mem[i][c] != -1) {
        return mem[i][c];
    }
    // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包
    if (wgt[i - 1] > c) {
        return knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
    }
    // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
    int no = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
    int yes = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
    // 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
    mem[i][c] = max(no, yes);
    return mem[i][c];
}
knapsack.java
/* 0-1 背包：记忆化搜索 */
int knapsackDFSMem(int[] wgt, int[] val, int[][] mem, int i, int c) {
    // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0
    if (i == 0 || c == 0) {
        return 0;
    }
    // 若已有记录，则直接返回
    if (mem[i][c] != -1) {
        return mem[i][c];
    }
    // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包
    if (wgt[i - 1] > c) {
        return knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
    }
    // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
    int no = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
    int yes = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
    // 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
    mem[i][c] = Math.max(no, yes);
    return mem[i][c];
}
knapsack.cs
/* 0-1 背包：记忆化搜索 */
int KnapsackDFSMem(int[] weight, int[] val, int[][] mem, int i, int c) {
    // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0
    if (i == 0 || c == 0) {
        return 0;
    }
    // 若已有记录，则直接返回
    if (mem[i][c] != -1) {
        return mem[i][c];
    }
    // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包
    if (weight[i - 1] > c) {
        return KnapsackDFSMem(weight, val, mem, i - 1, c);
    }
    // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
    int no = KnapsackDFSMem(weight, val, mem, i - 1, c);
    int yes = KnapsackDFSMem(weight, val, mem, i - 1, c - weight[i - 1]) + val[i - 1];
    // 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
    mem[i][c] = Math.Max(no, yes);
    return mem[i][c];
}
knapsack.go
/* 0-1 背包：记忆化搜索 */
func knapsackDFSMem(wgt, val []int, mem [][]int, i, c int) int {
    // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0
    if i == 0 || c == 0 {
        return 0
    }
    // 若已有记录，则直接返回
    if mem[i][c] != -1 {
        return mem[i][c]
    }
    // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包
    if wgt[i-1] > c {
        return knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i-1, c)
    }
    // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
    no := knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i-1, c)
    yes := knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i-1, c-wgt[i-1]) + val[i-1]
    // 返回两种方案中价值更大的那一个
    mem[i][c] = int(math.Max(float64(no), float64(yes)))
    return mem[i][c]
}
knapsack.swift
/* 0-1 背包：记忆化搜索 */
func knapsackDFSMem(wgt: [Int], val: [Int], mem: inout [[Int]], i: Int, c: Int) -> Int {
    // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0
    if i == 0 || c == 0 {
        return 0
    }
    // 若已有记录，则直接返回
    if mem[i][c] != -1 {
        return mem[i][c]
    }
    // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包
    if wgt[i - 1] > c {
        return knapsackDFSMem(wgt: wgt, val: val, mem: &mem, i: i - 1, c: c)
    }
    // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
    let no = knapsackDFSMem(wgt: wgt, val: val, mem: &mem, i: i - 1, c: c)
    let yes = knapsackDFSMem(wgt: wgt, val: val, mem: &mem, i: i - 1, c: c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]
    // 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
    mem[i][c] = max(no, yes)
    return mem[i][c]
}
knapsack.js
/* 0-1 背包：记忆化搜索 */
function knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i, c) {
    // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0
    if (i === 0 || c === 0) {
        return 0;
    }
    // 若已有记录，则直接返回
    if (mem[i][c] !== -1) {
        return mem[i][c];
    }
    // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包
    if (wgt[i - 1] > c) {
        return knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
    }
    // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
    const no = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
    const yes =
        knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
    // 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
    mem[i][c] = Math.max(no, yes);
    return mem[i][c];
}
knapsack.ts
/* 0-1 背包：记忆化搜索 */
function knapsackDFSMem(
    wgt: Array<number>,
    val: Array<number>,
    mem: Array<Array<number>>,
    i: number,
    c: number
): number {
    // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0
    if (i === 0 || c === 0) {
        return 0;
    }
    // 若已有记录，则直接返回
    if (mem[i][c] !== -1) {
        return mem[i][c];
    }
    // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包
    if (wgt[i - 1] > c) {
        return knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
    }
    // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
    const no = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
    const yes =
        knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
    // 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
    mem[i][c] = Math.max(no, yes);
    return mem[i][c];
}
knapsack.dart
/* 0-1 背包：记忆化搜索 */
int knapsackDFSMem(
  List<int> wgt,
  List<int> val,
  List<List<int>> mem,
  int i,
  int c,
) {
  // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0
  if (i == 0 || c == 0) {
    return 0;
  }
  // 若已有记录，则直接返回
  if (mem[i][c] != -1) {
    return mem[i][c];
  }
  // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包
  if (wgt[i - 1] > c) {
    return knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
  }
  // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
  int no = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
  int yes = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
  // 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
  mem[i][c] = max(no, yes);
  return mem[i][c];
}
knapsack.rs
/* 0-1 背包：记忆化搜索 */
fn knapsack_dfs_mem(wgt: &[i32], val: &[i32], mem: &mut Vec<Vec<i32>>, i: usize, c: usize) -> i32 {
    // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0
    if i == 0 || c == 0 {
        return 0;
    }
    // 若已有记录，则直接返回
    if mem[i][c] != -1 {
        return mem[i][c];
    }
    // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包
    if wgt[i - 1] > c as i32 {
        return knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c);
    }
    // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
    let no = knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c);
    let yes = knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1] as usize) + val[i - 1];
    // 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
    mem[i][c] = std::cmp::max(no, yes);
    mem[i][c]
}
knapsack.c
/* 0-1 背包：记忆化搜索 */
int knapsackDFSMem(int wgt[], int val[], int memCols, int **mem, int i, int c) {
    // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0
    if (i == 0 || c == 0) {
        return 0;
    }
    // 若已有记录，则直接返回
    if (mem[i][c] != -1) {
        return mem[i][c];
    }
    // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包
    if (wgt[i - 1] > c) {
        return knapsackDFSMem(wgt, val, memCols, mem, i - 1, c);
    }
    // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
    int no = knapsackDFSMem(wgt, val, memCols, mem, i - 1, c);
    int yes = knapsackDFSMem(wgt, val, memCols, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
    // 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
    mem[i][c] = myMax(no, yes);
    return mem[i][c];
}
knapsack.kt
/* 0-1 背包：记忆化搜索 */
fun knapsackDFSMem(
    wgt: IntArray,
    value: IntArray,
    mem: Array<IntArray>,
    i: Int,
    c: Int
): Int {
    // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0
    if (i == 0 || c == 0) {
        return 0
    }
    // 若已有记录，则直接返回
    if (mem[i][c] != -1) {
        return mem[i][c]
    }
    // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包
    if (wgt[i - 1] > c) {
        return knapsackDFSMem(wgt, value, mem, i - 1, c)
    }
    // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
    val no = knapsackDFSMem(wgt, value, mem, i - 1, c)
    val yes = knapsackDFSMem(wgt, value, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + value[i - 1]
    // 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
    mem[i][c] = max(no.toDouble(), yes.toDouble()).toInt()
    return mem[i][c]
}
knapsack.zig
// 0-1 背包：记忆化搜索
fn knapsackDFSMem(wgt: []i32, val: []i32, mem: anytype, i: usize, c: usize) i32 {
    // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0
    if (i == 0 or c == 0) {
        return 0;
    }
    // 若已有记录，则直接返回
    if (mem[i][c] != -1) {
        return mem[i][c];
    }
    // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包
    if (wgt[i - 1] > c) {
        return knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
    }
    // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
    var no = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
    var yes = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c - @as(usize, @intCast(wgt[i - 1]))) + val[i - 1];
    // 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
    mem[i][c] = @max(no, yes);
    return mem[i][c];
}
可视化运行

图 14-19 展示了在记忆化搜索中被剪掉的搜索分支。

0-1 背包问题的记忆化搜索递归树

图 14-19   0-1 背包问题的记忆化搜索递归树

3.   方法三：动态规划

动态规划实质上就是在状态转移中填充 \(dp\) 表的过程，代码如下所示：

knapsack.py
def knapsack_dp(wgt: list[int], val: list[int], cap: int) -> int:
    """0-1 背包：动态规划"""
    n = len(wgt)
    # 初始化 dp 表
    dp = [[0] * (cap + 1) for _ in range(n + 1)]
    # 状态转移
    for i in range(1, n + 1):
        for c in range(1, cap + 1):
            if wgt[i - 1] > c:
                # 若超过背包容量，则不选物品 i
                dp[i][c] = dp[i - 1][c]
            else:
                # 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                dp[i][c] = max(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1])
    return dp[n][cap]
knapsack.cpp
/* 0-1 背包：动态规划 */
int knapsackDP(vector<int> &wgt, vector<int> &val, int cap) {
    int n = wgt.size();
    // 初始化 dp 表
    vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(cap + 1, 0));
    // 状态转移
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int c = 1; c <= cap; c++) {
            if (wgt[i - 1] > c) {
                // 若超过背包容量，则不选物品 i
                dp[i][c] = dp[i - 1][c];
            } else {
                // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                dp[i][c] = max(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
            }
        }
    }
    return dp[n][cap];
}
knapsack.java
/* 0-1 背包：动态规划 */
int knapsackDP(int[] wgt, int[] val, int cap) {
    int n = wgt.length;
    // 初始化 dp 表
    int[][] dp = new int[n + 1][cap + 1];
    // 状态转移
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int c = 1; c <= cap; c++) {
            if (wgt[i - 1] > c) {
                // 若超过背包容量，则不选物品 i
                dp[i][c] = dp[i - 1][c];
            } else {
                // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                dp[i][c] = Math.max(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
            }
        }
    }
    return dp[n][cap];
}
knapsack.cs
/* 0-1 背包：动态规划 */
int KnapsackDP(int[] weight, int[] val, int cap) {
    int n = weight.Length;
    // 初始化 dp 表
    int[,] dp = new int[n + 1, cap + 1];
    // 状态转移
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int c = 1; c <= cap; c++) {
            if (weight[i - 1] > c) {
                // 若超过背包容量，则不选物品 i
                dp[i, c] = dp[i - 1, c];
            } else {
                // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                dp[i, c] = Math.Max(dp[i - 1, c - weight[i - 1]] + val[i - 1], dp[i - 1, c]);
            }
        }
    }
    return dp[n, cap];
}
knapsack.go
/* 0-1 背包：动态规划 */
func knapsackDP(wgt, val []int, cap int) int {
    n := len(wgt)
    // 初始化 dp 表
    dp := make([][]int, n+1)
    for i := 0; i <= n; i++ {
        dp[i] = make([]int, cap+1)
    }
    // 状态转移
    for i := 1; i <= n; i++ {
        for c := 1; c <= cap; c++ {
            if wgt[i-1] > c {
                // 若超过背包容量，则不选物品 i
                dp[i][c] = dp[i-1][c]
            } else {
                // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                dp[i][c] = int(math.Max(float64(dp[i-1][c]), float64(dp[i-1][c-wgt[i-1]]+val[i-1])))
            }
        }
    }
    return dp[n][cap]
}
knapsack.swift
/* 0-1 背包：动态规划 */
func knapsackDP(wgt: [Int], val: [Int], cap: Int) -> Int {
    let n = wgt.count
    // 初始化 dp 表
    var dp = Array(repeating: Array(repeating: 0, count: cap + 1), count: n + 1)
    // 状态转移
    for i in 1 ... n {
        for c in 1 ... cap {
            if wgt[i - 1] > c {
                // 若超过背包容量，则不选物品 i
                dp[i][c] = dp[i - 1][c]
            } else {
                // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                dp[i][c] = max(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1])
            }
        }
    }
    return dp[n][cap]
}
knapsack.js
/* 0-1 背包：动态规划 */
function knapsackDP(wgt, val, cap) {
    const n = wgt.length;
    // 初始化 dp 表
    const dp = Array(n + 1)
        .fill(0)
        .map(() => Array(cap + 1).fill(0));
    // 状态转移
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        for (let c = 1; c <= cap; c++) {
            if (wgt[i - 1] > c) {
                // 若超过背包容量，则不选物品 i
                dp[i][c] = dp[i - 1][c];
            } else {
                // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                dp[i][c] = Math.max(
                    dp[i - 1][c],
                    dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]
                );
            }
        }
    }
    return dp[n][cap];
}
knapsack.ts
/* 0-1 背包：动态规划 */
function knapsackDP(
    wgt: Array<number>,
    val: Array<number>,
    cap: number
): number {
    const n = wgt.length;
    // 初始化 dp 表
    const dp = Array.from({ length: n + 1 }, () =>
        Array.from({ length: cap + 1 }, () => 0)
    );
    // 状态转移
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        for (let c = 1; c <= cap; c++) {
            if (wgt[i - 1] > c) {
                // 若超过背包容量，则不选物品 i
                dp[i][c] = dp[i - 1][c];
            } else {
                // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                dp[i][c] = Math.max(
                    dp[i - 1][c],
                    dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]
                );
            }
        }
    }
    return dp[n][cap];
}
knapsack.dart
/* 0-1 背包：动态规划 */
int knapsackDP(List<int> wgt, List<int> val, int cap) {
  int n = wgt.length;
  // 初始化 dp 表
  List<List<int>> dp = List.generate(n + 1, (index) => List.filled(cap + 1, 0));
  // 状态转移
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int c = 1; c <= cap; c++) {
      if (wgt[i - 1] > c) {
        // 若超过背包容量，则不选物品 i
        dp[i][c] = dp[i - 1][c];
      } else {
        // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
        dp[i][c] = max(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
      }
    }
  }
  return dp[n][cap];
}
knapsack.rs
/* 0-1 背包：动态规划 */
fn knapsack_dp(wgt: &[i32], val: &[i32], cap: usize) -> i32 {
    let n = wgt.len();
    // 初始化 dp 表
    let mut dp = vec![vec![0; cap + 1]; n + 1];
    // 状态转移
    for i in 1..=n {
        for c in 1..=cap {
            if wgt[i - 1] > c as i32 {
                // 若超过背包容量，则不选物品 i
                dp[i][c] = dp[i - 1][c];
            } else {
                // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                dp[i][c] = std::cmp::max(
                    dp[i - 1][c],
                    dp[i - 1][c - wgt[i - 1] as usize] + val[i - 1],
                );
            }
        }
    }
    dp[n][cap]
}
knapsack.c
/* 0-1 背包：动态规划 */
int knapsackDP(int wgt[], int val[], int cap, int wgtSize) {
    int n = wgtSize;
    // 初始化 dp 表
    int **dp = malloc((n + 1) * sizeof(int *));
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        dp[i] = calloc(cap + 1, sizeof(int));
    }
    // 状态转移
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int c = 1; c <= cap; c++) {
            if (wgt[i - 1] > c) {
                // 若超过背包容量，则不选物品 i
                dp[i][c] = dp[i - 1][c];
            } else {
                // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                dp[i][c] = myMax(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
            }
        }
    }
    int res = dp[n][cap];
    // 释放内存
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        free(dp[i]);
    }
    return res;
}
knapsack.kt
/* 0-1 背包：动态规划 */
fun knapsackDP(
    wgt: IntArray,
    value: IntArray,
    cap: Int
): Int {
    val n = wgt.size
    // 初始化 dp 表
    val dp = Array(n + 1) { IntArray(cap + 1) }
    // 状态转移
    for (i in 1..n) {
        for (c in 1..cap) {
            if (wgt[i - 1] > c) {
                // 若超过背包容量，则不选物品 i
                dp[i][c] = dp[i - 1][c]
            } else {
                // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                dp[i][c] = max(dp[i - 1][c].toDouble(), (dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + value[i - 1]).toDouble())
                    .toInt()
            }
        }
    }
    return dp[n][cap]
}
knapsack.zig
// 0-1 背包：动态规划
fn knapsackDP(comptime wgt: []i32, val: []i32, comptime cap: usize) i32 {
    comptime var n = wgt.len;
    // 初始化 dp 表
    var dp = [_][cap + 1]i32{[_]i32{0} ** (cap + 1)} ** (n + 1);
    // 状态转移
    for (1..n + 1) |i| {
        for (1..cap + 1) |c| {
            if (wgt[i - 1] > c) {
                // 若超过背包容量，则不选物品 i
                dp[i][c] = dp[i - 1][c];
            } else {
                // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                dp[i][c] = @max(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - @as(usize, @intCast(wgt[i - 1]))] + val[i - 1]);
            }
        }
    }
    return dp[n][cap];
}
可视化运行

如图 14-20 所示，时间复杂度和空间复杂度都由数组 dp 大小决定，即 \(O(n \times cap)\) 。

0-1 背包问题的动态规划过程

knapsack_dp_step2

knapsack_dp_step3

knapsack_dp_step4

knapsack_dp_step5

knapsack_dp_step6

knapsack_dp_step7

knapsack_dp_step8

knapsack_dp_step9

knapsack_dp_step10

knapsack_dp_step11

knapsack_dp_step12

knapsack_dp_step13

knapsack_dp_step14

图 14-20   0-1 背包问题的动态规划过程

4.   空间优化

由于每个状态都只与其上一行的状态有关，因此我们可以使用两个数组滚动前进，将空间复杂度从 \(O(n^2)\) 降至 \(O(n)\) 。

进一步思考，我们能否仅用一个数组实现空间优化呢？观察可知，每个状态都是由正上方或左上方的格子转移过来的。假设只有一个数组，当开始遍历第 \(i\) 行时，该数组存储的仍然是第 \(i-1\) 行的状态。

  • 如果采取正序遍历，那么遍历到 \(dp[i, j]\) 时，左上方 \(dp[i-1, 1]\) ~ \(dp[i-1, j-1]\) 值可能已经被覆盖，此时就无法得到正确的状态转移结果。
  • 如果采取倒序遍历，则不会发生覆盖问题，状态转移可以正确进行。

图 14-21 展示了在单个数组下从第 \(i = 1\) 行转换至第 \(i = 2\) 行的过程。请思考正序遍历和倒序遍历的区别。

0-1 背包的空间优化后的动态规划过程

knapsack_dp_comp_step2

knapsack_dp_comp_step3

knapsack_dp_comp_step4

knapsack_dp_comp_step5

knapsack_dp_comp_step6

图 14-21   0-1 背包的空间优化后的动态规划过程

在代码实现中，我们仅需将数组 dp 的第一维 \(i\) 直接删除，并且把内循环更改为倒序遍历即可：

knapsack.py
def knapsack_dp_comp(wgt: list[int], val: list[int], cap: int) -> int:
    """0-1 背包：空间优化后的动态规划"""
    n = len(wgt)
    # 初始化 dp 表
    dp = [0] * (cap + 1)
    # 状态转移
    for i in range(1, n + 1):
        # 倒序遍历
        for c in range(cap, 0, -1):
            if wgt[i - 1] > c:
                # 若超过背包容量，则不选物品 i
                dp[c] = dp[c]
            else:
                # 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                dp[c] = max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1])
    return dp[cap]
knapsack.cpp
/* 0-1 背包：空间优化后的动态规划 */
int knapsackDPComp(vector<int> &wgt, vector<int> &val, int cap) {
    int n = wgt.size();
    // 初始化 dp 表
    vector<int> dp(cap + 1, 0);
    // 状态转移
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 倒序遍历
        for (int c = cap; c >= 1; c--) {
            if (wgt[i - 1] <= c) {
                // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                dp[c] = max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
            }
        }
    }
    return dp[cap];
}
knapsack.java
/* 0-1 背包：空间优化后的动态规划 */
int knapsackDPComp(int[] wgt, int[] val, int cap) {
    int n = wgt.length;
    // 初始化 dp 表
    int[] dp = new int[cap + 1];
    // 状态转移
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 倒序遍历
        for (int c = cap; c >= 1; c--) {
            if (wgt[i - 1] <= c) {
                // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                dp[c] = Math.max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
            }
        }
    }
    return dp[cap];
}
knapsack.cs
/* 0-1 背包：空间优化后的动态规划 */
int KnapsackDPComp(int[] weight, int[] val, int cap) {
    int n = weight.Length;
    // 初始化 dp 表
    int[] dp = new int[cap + 1];
    // 状态转移
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 倒序遍历
        for (int c = cap; c > 0; c--) {
            if (weight[i - 1] > c) {
                // 若超过背包容量，则不选物品 i
                dp[c] = dp[c];
            } else {
                // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                dp[c] = Math.Max(dp[c], dp[c - weight[i - 1]] + val[i - 1]);
            }
        }
    }
    return dp[cap];
}
knapsack.go
/* 0-1 背包：空间优化后的动态规划 */
func knapsackDPComp(wgt, val []int, cap int) int {
    n := len(wgt)
    // 初始化 dp 表
    dp := make([]int, cap+1)
    // 状态转移
    for i := 1; i <= n; i++ {
        // 倒序遍历
        for c := cap; c >= 1; c-- {
            if wgt[i-1] <= c {
                // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                dp[c] = int(math.Max(float64(dp[c]), float64(dp[c-wgt[i-1]]+val[i-1])))
            }
        }
    }
    return dp[cap]
}
knapsack.swift
/* 0-1 背包：空间优化后的动态规划 */
func knapsackDPComp(wgt: [Int], val: [Int], cap: Int) -> Int {
    let n = wgt.count
    // 初始化 dp 表
    var dp = Array(repeating: 0, count: cap + 1)
    // 状态转移
    for i in 1 ... n {
        // 倒序遍历
        for c in (1 ... cap).reversed() {
            if wgt[i - 1] <= c {
                // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                dp[c] = max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1])
            }
        }
    }
    return dp[cap]
}
knapsack.js
/* 0-1 背包：状态压缩后的动态规划 */
function knapsackDPComp(wgt, val, cap) {
    const n = wgt.length;
    // 初始化 dp 表
    const dp = Array(cap + 1).fill(0);
    // 状态转移
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        // 倒序遍历
        for (let c = cap; c >= 1; c--) {
            if (wgt[i - 1] <= c) {
                // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                dp[c] = Math.max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
            }
        }
    }
    return dp[cap];
}
knapsack.ts
/* 0-1 背包：状态压缩后的动态规划 */
function knapsackDPComp(
    wgt: Array<number>,
    val: Array<number>,
    cap: number
): number {
    const n = wgt.length;
    // 初始化 dp 表
    const dp = Array(cap + 1).fill(0);
    // 状态转移
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        // 倒序遍历
        for (let c = cap; c >= 1; c--) {
            if (wgt[i - 1] <= c) {
                // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                dp[c] = Math.max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
            }
        }
    }
    return dp[cap];
}
knapsack.dart
/* 0-1 背包：空间优化后的动态规划 */
int knapsackDPComp(List<int> wgt, List<int> val, int cap) {
  int n = wgt.length;
  // 初始化 dp 表
  List<int> dp = List.filled(cap + 1, 0);
  // 状态转移
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    // 倒序遍历
    for (int c = cap; c >= 1; c--) {
      if (wgt[i - 1] <= c) {
        // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
        dp[c] = max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
      }
    }
  }
  return dp[cap];
}
knapsack.rs
/* 0-1 背包：空间优化后的动态规划 */
fn knapsack_dp_comp(wgt: &[i32], val: &[i32], cap: usize) -> i32 {
    let n = wgt.len();
    // 初始化 dp 表
    let mut dp = vec![0; cap + 1];
    // 状态转移
    for i in 1..=n {
        // 倒序遍历
        for c in (1..=cap).rev() {
            if wgt[i - 1] <= c as i32 {
                // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                dp[c] = std::cmp::max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1] as usize] + val[i - 1]);
            }
        }
    }
    dp[cap]
}
knapsack.c
/* 0-1 背包：空间优化后的动态规划 */
int knapsackDPComp(int wgt[], int val[], int cap, int wgtSize) {
    int n = wgtSize;
    // 初始化 dp 表
    int *dp = calloc(cap + 1, sizeof(int));
    // 状态转移
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 倒序遍历
        for (int c = cap; c >= 1; c--) {
            if (wgt[i - 1] <= c) {
                // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                dp[c] = myMax(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
            }
        }
    }
    int res = dp[cap];
    // 释放内存
    free(dp);
    return res;
}
knapsack.kt
/* 0-1 背包：空间优化后的动态规划 */
fun knapsackDPComp(
    wgt: IntArray,
    value: IntArray,
    cap: Int
): Int {
    val n = wgt.size
    // 初始化 dp 表
    val dp = IntArray(cap + 1)
    // 状态转移
    for (i in 1..n) {
        // 倒序遍历
        for (c in cap downTo 1) {
            if (wgt[i - 1] <= c) {
                // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                dp[c] =
                    max(dp[c].toDouble(), (dp[c - wgt[i - 1]] + value[i - 1]).toDouble()).toInt()
            }
        }
    }
    return dp[cap]
}
knapsack.zig
// 0-1 背包：空间优化后的动态规划
fn knapsackDPComp(wgt: []i32, val: []i32, comptime cap: usize) i32 {
    var n = wgt.len;
    // 初始化 dp 表
    var dp = [_]i32{0} ** (cap + 1);
    // 状态转移
    for (1..n + 1) |i| {
        // 倒序遍历
        var c = cap;
        while (c > 0) : (c -= 1) {
            if (wgt[i - 1] < c) {
                // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                dp[c] = @max(dp[c], dp[c - @as(usize, @intCast(wgt[i - 1]))] + val[i - 1]);
            }
        }
    }
    return dp[cap];
}
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