# AVL 树 * 在「二叉搜索树」章节中提到,在进行多次插入与删除操作后,二叉搜索树可能会退化为链表。此时所有操作的时间复杂度都会由 $O(\log n)$ 劣化至 $O(n)$ 。 如下图所示,执行两步删除结点后,该二叉搜索树就会退化为链表。 ![AVL 树在删除结点后发生退化](avl_tree.assets/avltree_degradation_from_removing_node.png) 再比如,在以下完美二叉树中插入两个结点后,树严重向左偏斜,查找操作的时间复杂度也随之发生劣化。 ![AVL 树在插入结点后发生退化](avl_tree.assets/avltree_degradation_from_inserting_node.png) G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「AVL 树」。**论文中描述了一系列操作,使得在不断添加与删除结点后,AVL 树仍然不会发生退化**,进而使得各种操作的时间复杂度均能保持在 $O(\log n)$ 级别。 换言之,在频繁增删查改的使用场景中,AVL 树可始终保持很高的数据增删查改效率,具有很好的应用价值。 ## AVL 树常见术语 「AVL 树」既是「二叉搜索树」又是「平衡二叉树」,同时满足这两种二叉树的所有性质,因此又被称为「平衡二叉搜索树」。 ### 结点高度 在 AVL 树的操作中,需要获取结点「高度 Height」,所以给 AVL 树的结点类添加 `height` 变量。 === "Java" ```java title="" /* AVL 树结点类 */ class TreeNode { public int val; // 结点值 public int height; // 结点高度 public TreeNode left; // 左子结点 public TreeNode right; // 右子结点 public TreeNode(int x) { val = x; } } ``` === "C++" ```cpp title="" /* AVL 树结点类 */ struct TreeNode { int val{}; // 结点值 int height = 0; // 结点高度 TreeNode *left{}; // 左子结点 TreeNode *right{}; // 右子结点 TreeNode() = default; explicit TreeNode(int x) : val(x){} }; ``` === "Python" ```python title="" """ AVL 树结点类 """ class TreeNode: def __init__(self, val=None, left=None, right=None): self.val = val # 结点值 self.height = 0 # 结点高度 self.left = left # 左子结点引用 self.right = right # 右子结点引用 ``` === "Go" ```go title="" /* AVL 树结点类 */ type TreeNode struct { Val int // 结点值 Height int // 结点高度 Left *TreeNode // 左子结点引用 Right *TreeNode // 右子结点引用 } ``` === "JavaScript" ```javascript title="" class TreeNode { val; // 结点值 height; //结点高度 left; // 左子结点指针 right; // 右子结点指针 constructor(val, left, right, height) { this.val = val === undefined ? 0 : val; this.height = height === undefined ? 0 : height; this.left = left === undefined ? null : left; this.right = right === undefined ? null : right; } } ``` === "TypeScript" ```typescript title="" class TreeNode { val: number; // 结点值 height: number; // 结点高度 left: TreeNode | null; // 左子结点指针 right: TreeNode | null; // 右子结点指针 constructor(val?: number, height?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) { this.val = val === undefined ? 0 : val; this.height = height === undefined ? 0 : height; this.left = left === undefined ? null : left; this.right = right === undefined ? null : right; } } ``` === "C" ```c title="" ``` === "C#" ```csharp title="" /* AVL 树结点类 */ class TreeNode { public int val; // 结点值 public int height; // 结点高度 public TreeNode? left; // 左子结点 public TreeNode? right; // 右子结点 public TreeNode(int x) { val = x; } } ``` === "Swift" ```swift title="" /* AVL 树结点类 */ class TreeNode { var val: Int // 结点值 var height: Int // 结点高度 var left: TreeNode? // 左子结点 var right: TreeNode? // 右子结点 init(x: Int) { val = x height = 0 } } ``` === "Zig" ```zig title="" ``` 「结点高度」是最远叶结点到该结点的距离,即走过的「边」的数量。需要特别注意,**叶结点的高度为 0 ,空结点的高度为 -1**。我们封装两个工具函数,分别用于获取与更新结点的高度。 === "Java" ```java title="avl_tree.java" [class]{AVLTree}-[func]{height} [class]{AVLTree}-[func]{updateHeight} ``` === "C++" ```cpp title="avl_tree.cpp" [class]{AVLTree}-[func]{height} [class]{AVLTree}-[func]{updateHeight} ``` === "Python" ```python title="avl_tree.py" [class]{AVLTree}-[func]{height} [class]{AVLTree}-[func]{__update_height} ``` === "Go" ```go title="avl_tree.go" [class]{aVLTree}-[func]{height} [class]{aVLTree}-[func]{updateHeight} ``` === "JavaScript" ```javascript title="avl_tree.js" [class]{AVLTree}-[func]{height} [class]{AVLTree}-[func]{#updateHeight} ``` === "TypeScript" ```typescript title="avl_tree.ts" [class]{AVLTree}-[func]{height} [class]{AVLTree}-[func]{updateHeight} ``` === "C" ```c title="avl_tree.c" [class]{aVLTree}-[func]{height} [class]{aVLTree}-[func]{updateHeight} ``` === "C#" ```csharp title="avl_tree.cs" [class]{AVLTree}-[func]{height} [class]{AVLTree}-[func]{updateHeight} ``` === "Swift" ```swift title="avl_tree.swift" [class]{AVLTree}-[func]{height} [class]{AVLTree}-[func]{updateHeight} ``` === "Zig" ```zig title="avl_tree.zig" [class]{AVLTree}-[func]{height} [class]{AVLTree}-[func]{updateHeight} ``` ### 结点平衡因子 结点的「平衡因子 Balance Factor」是 **结点的左子树高度减去右子树高度**,并定义空结点的平衡因子为 0 。同样地,我们将获取结点平衡因子封装成函数,以便后续使用。 === "Java" ```java title="avl_tree.java" [class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor} ``` === "C++" ```cpp title="avl_tree.cpp" [class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor} ``` === "Python" ```python title="avl_tree.py" [class]{AVLTree}-[func]{balance_factor} ``` === "Go" ```go title="avl_tree.go" [class]{aVLTree}-[func]{balanceFactor} ``` === "JavaScript" ```javascript title="avl_tree.js" [class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor} ``` === "TypeScript" ```typescript title="avl_tree.ts" [class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor} ``` === "C" ```c title="avl_tree.c" [class]{aVLTree}-[func]{balanceFactor} ``` === "C#" ```csharp title="avl_tree.cs" [class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor} ``` === "Swift" ```swift title="avl_tree.swift" [class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor} ``` === "Zig" ```zig title="avl_tree.zig" [class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor} ``` !!! note 设平衡因子为 $f$ ,则一棵 AVL 树的任意结点的平衡因子皆满足 $-1 \le f \le 1$ 。 ## AVL 树旋转 AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作,其可 **在不影响二叉树中序遍历序列的前提下,使失衡结点重新恢复平衡**。换言之,旋转操作既可以使树保持为「二叉搜索树」,也可以使树重新恢复为「平衡二叉树」。 我们将平衡因子的绝对值 $> 1$ 的结点称为「失衡结点」。根据结点的失衡情况,旋转操作分为 **右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋**,接下来我们来一起来看看它们是如何操作的。 ### Case 1 - 右旋 如下图所示(结点下方为「平衡因子」),从底至顶看,二叉树中首个失衡结点是 **结点 3**。我们聚焦在以该失衡结点为根结点的子树上,将该结点记为 `node` ,将其左子结点记为 `child` ,执行「右旋」操作。完成右旋后,该子树已经恢复平衡,并且仍然为二叉搜索树。 === "<1>" ![右旋操作步骤](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_step1.png) === "<2>" ![avltree_right_rotate_step2](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_step2.png) === "<3>" ![avltree_right_rotate_step3](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_step3.png) === "<4>" ![avltree_right_rotate_step4](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_step4.png) 进而,如果结点 `child` 本身有右子结点(记为 `grandChild` ),则需要在「右旋」中添加一步:将 `grandChild` 作为 `node` 的左子结点。 ![有 grandChild 的右旋操作](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_with_grandchild.png) “向右旋转”是一种形象化的说法,实际需要通过修改结点指针实现,代码如下所示。 === "Java" ```java title="avl_tree.java" [class]{AVLTree}-[func]{rightRotate} ``` === "C++" ```cpp title="avl_tree.cpp" [class]{AVLTree}-[func]{rightRotate} ``` === "Python" ```python title="avl_tree.py" [class]{AVLTree}-[func]{__right_rotate} ``` === "Go" ```go title="avl_tree.go" [class]{aVLTree}-[func]{rightRotate} ``` === "JavaScript" ```javascript title="avl_tree.js" [class]{AVLTree}-[func]{#rightRotate} ``` === "TypeScript" ```typescript title="avl_tree.ts" [class]{AVLTree}-[func]{rightRotate} ``` === "C" ```c title="avl_tree.c" [class]{aVLTree}-[func]{rightRotate} ``` === "C#" ```csharp title="avl_tree.cs" [class]{AVLTree}-[func]{rightRotate} ``` === "Swift" ```swift title="avl_tree.swift" [class]{AVLTree}-[func]{rightRotate} ``` === "Zig" ```zig title="avl_tree.zig" [class]{AVLTree}-[func]{rightRotate} ``` ### Case 2 - 左旋 类似地,如果将取上述失衡二叉树的“镜像”,那么则需要「左旋」操作。 ![左旋操作](avl_tree.assets/avltree_left_rotate.png) 同理,若结点 `child` 本身有左子结点(记为 `grandChild` ),则需要在「左旋」中添加一步:将 `grandChild` 作为 `node` 的右子结点。 ![有 grandChild 的左旋操作](avl_tree.assets/avltree_left_rotate_with_grandchild.png) 观察发现,**「左旋」和「右旋」操作是镜像对称的,两者对应解决的两种失衡情况也是对称的**。根据对称性,我们可以很方便地从「右旋」推导出「左旋」。具体地,只需将「右旋」代码中的把所有的 `left` 替换为 `right` 、所有的 `right` 替换为 `left` ,即可得到「左旋」代码。 === "Java" ```java title="avl_tree.java" [class]{AVLTree}-[func]{leftRotate} ``` === "C++" ```cpp title="avl_tree.cpp" [class]{AVLTree}-[func]{leftRotate} ``` === "Python" ```python title="avl_tree.py" [class]{AVLTree}-[func]{__left_rotate} ``` === "Go" ```go title="avl_tree.go" [class]{aVLTree}-[func]{leftRotate} ``` === "JavaScript" ```javascript title="avl_tree.js" [class]{AVLTree}-[func]{#leftRotate} ``` === "TypeScript" ```typescript title="avl_tree.ts" [class]{AVLTree}-[func]{leftRotate} ``` === "C" ```c title="avl_tree.c" [class]{aVLTree}-[func]{leftRotate} ``` === "C#" ```csharp title="avl_tree.cs" [class]{AVLTree}-[func]{leftRotate} ``` === "Swift" ```swift title="avl_tree.swift" [class]{AVLTree}-[func]{leftRotate} ``` === "Zig" ```zig title="avl_tree.zig" [class]{AVLTree}-[func]{leftRotate} ``` ### Case 3 - 先左后右 对于下图的失衡结点 3 ,**单一使用左旋或右旋都无法使子树恢复平衡**,此时需要「先左旋后右旋」,即先对 `child` 执行「左旋」,再对 `node` 执行「右旋」。 ![先左旋后右旋](avl_tree.assets/avltree_left_right_rotate.png) ### Case 4 - 先右后左 同理,取以上失衡二叉树的镜像,则需要「先右旋后左旋」,即先对 `child` 执行「右旋」,然后对 `node` 执行「左旋」。 ![先右旋后左旋](avl_tree.assets/avltree_right_left_rotate.png) ### 旋转的选择 下图描述的四种失衡情况与上述 Cases 逐个对应,分别需采用 **右旋、左旋、先右后左、先左后右** 的旋转操作。 ![AVL 树的四种旋转情况](avl_tree.assets/avltree_rotation_cases.png) 具体地,在代码中使用 **失衡结点的平衡因子、较高一侧子结点的平衡因子** 来确定失衡结点属于上图中的哪种情况。
| 失衡结点的平衡因子 | 子结点的平衡因子 | 应采用的旋转方法 | | ------------------ | ---------------- | ---------------- | | $>0$ (即左偏树) | $\geq 0$ | 右旋 | | $>0$ (即左偏树) | $<0$ | 先左旋后右旋 | | $<0$ (即右偏树) | $\leq 0$ | 左旋 | | $<0$ (即右偏树) | $>0$ | 先右旋后左旋 |
为方便使用,我们将旋转操作封装成一个函数。至此,**我们可以使用此函数来旋转各种失衡情况,使失衡结点重新恢复平衡**。 === "Java" ```java title="avl_tree.java" [class]{AVLTree}-[func]{rotate} ``` === "C++" ```cpp title="avl_tree.cpp" [class]{AVLTree}-[func]{rotate} ``` === "Python" ```python title="avl_tree.py" [class]{AVLTree}-[func]{__rotate} ``` === "Go" ```go title="avl_tree.go" [class]{aVLTree}-[func]{rotate} ``` === "JavaScript" ```javascript title="avl_tree.js" [class]{AVLTree}-[func]{#rotate} ``` === "TypeScript" ```typescript title="avl_tree.ts" [class]{AVLTree}-[func]{rotate} ``` === "C" ```c title="avl_tree.c" [class]{aVLTree}-[func]{rotate} ``` === "C#" ```csharp title="avl_tree.cs" [class]{AVLTree}-[func]{rotate} ``` === "Swift" ```swift title="avl_tree.swift" [class]{AVLTree}-[func]{rotate} ``` === "Zig" ```zig title="avl_tree.zig" [class]{AVLTree}-[func]{rotate} ``` ## AVL 树常用操作 ### 插入结点 「AVL 树」的结点插入操作与「二叉搜索树」主体类似。不同的是,在插入结点后,从该结点到根结点的路径上会出现一系列「失衡结点」。所以,**我们需要从该结点开始,从底至顶地执行旋转操作,使所有失衡结点恢复平衡**。 === "Java" ```java title="avl_tree.java" [class]{AVLTree}-[func]{insert} [class]{AVLTree}-[func]{insertHelper} ``` === "C++" ```cpp title="avl_tree.cpp" [class]{AVLTree}-[func]{insert} [class]{AVLTree}-[func]{insertHelper} ``` === "Python" ```python title="avl_tree.py" [class]{AVLTree}-[func]{insert} [class]{AVLTree}-[func]{__insert_helper} ``` === "Go" ```go title="avl_tree.go" [class]{aVLTree}-[func]{insert} [class]{aVLTree}-[func]{insertHelper} ``` === "JavaScript" ```javascript title="avl_tree.js" [class]{AVLTree}-[func]{insert} [class]{AVLTree}-[func]{#insertHelper} ``` === "TypeScript" ```typescript title="avl_tree.ts" [class]{AVLTree}-[func]{insert} [class]{AVLTree}-[func]{insertHelper} ``` === "C" ```c title="avl_tree.c" [class]{aVLTree}-[func]{insert} [class]{aVLTree}-[func]{insertHelper} ``` === "C#" ```csharp title="avl_tree.cs" [class]{AVLTree}-[func]{insert} [class]{AVLTree}-[func]{insertHelper} ``` === "Swift" ```swift title="avl_tree.swift" [class]{AVLTree}-[func]{insert} [class]{AVLTree}-[func]{insertHelper} ``` === "Zig" ```zig title="avl_tree.zig" [class]{AVLTree}-[func]{insert} [class]{AVLTree}-[func]{insertHelper} ``` ### 删除结点 「AVL 树」删除结点操作与「二叉搜索树」删除结点操作总体相同。类似地,**在删除结点后,也需要从底至顶地执行旋转操作,使所有失衡结点恢复平衡**。 === "Java" ```java title="avl_tree.java" [class]{AVLTree}-[func]{remove} [class]{AVLTree}-[func]{removeHelper} [class]{AVLTree}-[func]{getInOrderNext} ``` === "C++" ```cpp title="avl_tree.cpp" [class]{AVLTree}-[func]{remove} [class]{AVLTree}-[func]{removeHelper} [class]{AVLTree}-[func]{getInOrderNext} ``` === "Python" ```python title="avl_tree.py" [class]{AVLTree}-[func]{remove} [class]{AVLTree}-[func]{__remove_helper} [class]{AVLTree}-[func]{__get_inorder_next} ``` === "Go" ```go title="avl_tree.go" [class]{aVLTree}-[func]{remove} [class]{aVLTree}-[func]{removeHelper} [class]{aVLTree}-[func]{getInOrderNext} ``` === "JavaScript" ```javascript title="avl_tree.js" [class]{AVLTree}-[func]{remove} [class]{AVLTree}-[func]{#removeHelper} [class]{AVLTree}-[func]{#getInOrderNext} ``` === "TypeScript" ```typescript title="avl_tree.ts" [class]{AVLTree}-[func]{remove} [class]{AVLTree}-[func]{removeHelper} [class]{AVLTree}-[func]{getInOrderNext} ``` === "C" ```c title="avl_tree.c" [class]{aVLTree}-[func]{remove} [class]{aVLTree}-[func]{removeHelper} [class]{aVLTree}-[func]{getInOrderNext} ``` === "C#" ```csharp title="avl_tree.cs" [class]{AVLTree}-[func]{remove} [class]{AVLTree}-[func]{removeHelper} [class]{AVLTree}-[func]{getInOrderNext} ``` === "Swift" ```swift title="avl_tree.swift" [class]{AVLTree}-[func]{remove} [class]{AVLTree}-[func]{removeHelper} [class]{AVLTree}-[func]{getInOrderNext} ``` === "Zig" ```zig title="avl_tree.zig" [class]{AVLTree}-[func]{remove} [class]{AVLTree}-[func]{removeHelper} [class]{AVLTree}-[func]{getInOrderNext} ``` ### 查找结点 「AVL 树」的结点查找操作与「二叉搜索树」一致,在此不再赘述。 ## AVL 树典型应用 - 组织存储大型数据,适用于高频查找、低频增删场景; - 用于建立数据库中的索引系统; !!! question "为什么红黑树比 AVL 树更受欢迎?" 红黑树的平衡条件相对宽松,因此在红黑树中插入与删除结点所需的旋转操作相对更少,结点增删操作相比 AVL 树的效率更高。