# 堆 「堆 Heap」是一种满足特定条件的完全二叉树,可分为两种类型: - 「大顶堆 Max Heap」,任意节点的值 $\geq$ 其子节点的值; - 「小顶堆 Min Heap」,任意节点的值 $\leq$ 其子节点的值; ![小顶堆与大顶堆](heap.assets/min_heap_and_max_heap.png) 堆作为完全二叉树的一个特例,具有以下特性: - 最底层节点靠左填充,其他层的节点都被填满。 - 我们将二叉树的根节点称为「堆顶」,将底层最靠右的节点称为「堆底」。 - 对于大顶堆(小顶堆),堆顶元素(即根节点)的值分别是最大(最小)的。 ## 堆常用操作 需要指出的是,许多编程语言提供的是「优先队列 Priority Queue」,这是一种抽象数据结构,定义为具有优先级排序的队列。 实际上,**堆通常用作实现优先队列,大顶堆相当于元素按从大到小顺序出队的优先队列**。从使用角度来看,我们可以将「优先队列」和「堆」看作等价的数据结构。因此,本书对两者不做特别区分,统一使用「堆」来命名。 堆的常用操作见下表,方法名需要根据编程语言来确定。
| 方法名 | 描述 | 时间复杂度 | | --------- | ------------------------------------------ | ----------- | | push() | 元素入堆 | $O(\log n)$ | | pop() | 堆顶元素出堆 | $O(\log n)$ | | peek() | 访问堆顶元素(大 / 小顶堆分别为最大 / 小值) | $O(1)$ | | size() | 获取堆的元素数量 | $O(1)$ | | isEmpty() | 判断堆是否为空 | $O(1)$ |
在实际应用中,我们可以直接使用编程语言提供的堆类(或优先队列类)。 !!! tip 类似于排序算法中的“从小到大排列”和“从大到小排列”,我们可以通过修改 Comparator 来实现“小顶堆”与“大顶堆”之间的转换。 === "Java" ```java title="heap.java" /* 初始化堆 */ // 初始化小顶堆 Queue minHeap = new PriorityQueue<>(); // 初始化大顶堆(使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可) Queue maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a); /* 元素入堆 */ maxHeap.offer(1); maxHeap.offer(3); maxHeap.offer(2); maxHeap.offer(5); maxHeap.offer(4); /* 获取堆顶元素 */ int peek = maxHeap.peek(); // 5 /* 堆顶元素出堆 */ // 出堆元素会形成一个从大到小的序列 peek = heap.poll(); // 5 peek = heap.poll(); // 4 peek = heap.poll(); // 3 peek = heap.poll(); // 2 peek = heap.poll(); // 1 /* 获取堆大小 */ int size = maxHeap.size(); /* 判断堆是否为空 */ boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty(); /* 输入列表并建堆 */ minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4)); ``` === "C++" ```cpp title="heap.cpp" /* 初始化堆 */ // 初始化小顶堆 priority_queue, greater> minHeap; // 初始化大顶堆 priority_queue, less> maxHeap; /* 元素入堆 */ maxHeap.push(1); maxHeap.push(3); maxHeap.push(2); maxHeap.push(5); maxHeap.push(4); /* 获取堆顶元素 */ int peek = maxHeap.top(); // 5 /* 堆顶元素出堆 */ // 出堆元素会形成一个从大到小的序列 maxHeap.pop(); // 5 maxHeap.pop(); // 4 maxHeap.pop(); // 3 maxHeap.pop(); // 2 maxHeap.pop(); // 1 /* 获取堆大小 */ int size = maxHeap.size(); /* 判断堆是否为空 */ bool isEmpty = maxHeap.empty(); /* 输入列表并建堆 */ vector input{1, 3, 2, 5, 4}; priority_queue, greater> minHeap(input.begin(), input.end()); ``` === "Python" ```python title="heap.py" # 初始化小顶堆 min_heap, flag = [], 1 # 初始化大顶堆 max_heap, flag = [], -1 # Python 的 heapq 模块默认实现小顶堆 # 考虑将“元素取负”后再入堆,这样就可以将大小关系颠倒,从而实现大顶堆 # 在本示例中,flag = 1 时对应小顶堆,flag = -1 时对应大顶堆 # 元素入堆 heapq.heappush(max_heap, flag * 1) heapq.heappush(max_heap, flag * 3) heapq.heappush(max_heap, flag * 2) heapq.heappush(max_heap, flag * 5) heapq.heappush(max_heap, flag * 4) # 获取堆顶元素 peek: int = flag * max_heap[0] # 5 # 堆顶元素出堆 # 出堆元素会形成一个从大到小的序列 val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 5 val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 4 val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 3 val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 2 val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 1 # 获取堆大小 size: int = len(max_heap) # 判断堆是否为空 is_empty: bool = not max_heap # 输入列表并建堆 min_heap: List[int] = [1, 3, 2, 5, 4] heapq.heapify(min_heap) ``` === "Go" ```go title="heap.go" // Go 语言中可以通过实现 heap.Interface 来构建整数大顶堆 // 实现 heap.Interface 需要同时实现 sort.Interface type intHeap []any // Push heap.Interface 的方法,实现推入元素到堆 func (h *intHeap) Push(x any) { // Push 和 Pop 使用 pointer receiver 作为参数 // 因为它们不仅会对切片的内容进行调整,还会修改切片的长度。 *h = append(*h, x.(int)) } // Pop heap.Interface 的方法,实现弹出堆顶元素 func (h *intHeap) Pop() any { // 待出堆元素存放在最后 last := (*h)[len(*h)-1] *h = (*h)[:len(*h)-1] return last } // Len sort.Interface 的方法 func (h *intHeap) Len() int { return len(*h) } // Less sort.Interface 的方法 func (h *intHeap) Less(i, j int) bool { // 如果实现小顶堆,则需要调整为小于号 return (*h)[i].(int) > (*h)[j].(int) } // Swap sort.Interface 的方法 func (h *intHeap) Swap(i, j int) { (*h)[i], (*h)[j] = (*h)[j], (*h)[i] } // Top 获取堆顶元素 func (h *intHeap) Top() any { return (*h)[0] } /* Driver Code */ func TestHeap(t *testing.T) { /* 初始化堆 */ // 初始化大顶堆 maxHeap := &intHeap{} heap.Init(maxHeap) /* 元素入堆 */ // 调用 heap.Interface 的方法,来添加元素 heap.Push(maxHeap, 1) heap.Push(maxHeap, 3) heap.Push(maxHeap, 2) heap.Push(maxHeap, 4) heap.Push(maxHeap, 5) /* 获取堆顶元素 */ top := maxHeap.Top() fmt.Printf("堆顶元素为 %d\n", top) /* 堆顶元素出堆 */ // 调用 heap.Interface 的方法,来移除元素 heap.Pop(maxHeap) // 5 heap.Pop(maxHeap) // 4 heap.Pop(maxHeap) // 3 heap.Pop(maxHeap) // 2 heap.Pop(maxHeap) // 1 /* 获取堆大小 */ size := len(*maxHeap) fmt.Printf("堆元素数量为 %d\n", size) /* 判断堆是否为空 */ isEmpty := len(*maxHeap) == 0 fmt.Printf("堆是否为空 %t\n", isEmpty) } ``` === "JavaScript" ```javascript title="heap.js" // JavaScript 未提供内置 Heap 类 ``` === "TypeScript" ```typescript title="heap.ts" // TypeScript 未提供内置 Heap 类 ``` === "C" ```c title="heap.c" // C 未提供内置 Heap 类 ``` === "C#" ```csharp title="heap.cs" /* 初始化堆 */ // 初始化小顶堆 PriorityQueue minHeap = new PriorityQueue(); // 初始化大顶堆(使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可) PriorityQueue maxHeap = new PriorityQueue(Comparer.Create((x, y) => y - x)); /* 元素入堆 */ maxHeap.Enqueue(1, 1); maxHeap.Enqueue(3, 3); maxHeap.Enqueue(2, 2); maxHeap.Enqueue(5, 5); maxHeap.Enqueue(4, 4); /* 获取堆顶元素 */ int peek = maxHeap.Peek();//5 /* 堆顶元素出堆 */ // 出堆元素会形成一个从大到小的序列 peek = maxHeap.Dequeue(); // 5 peek = maxHeap.Dequeue(); // 4 peek = maxHeap.Dequeue(); // 3 peek = maxHeap.Dequeue(); // 2 peek = maxHeap.Dequeue(); // 1 /* 获取堆大小 */ int size = maxHeap.Count; /* 判断堆是否为空 */ bool isEmpty = maxHeap.Count == 0; /* 输入列表并建堆 */ minHeap = new PriorityQueue(new List<(int, int)> { (1, 1), (3, 3), (2, 2), (5, 5), (4, 4), }); ``` === "Swift" ```swift title="heap.swift" // Swift 未提供内置 Heap 类 ``` === "Zig" ```zig title="heap.zig" ``` ## 堆的实现 下文实现的是大顶堆。若要将其转换为小顶堆,只需将所有大小逻辑判断取逆(例如,将 $\geq$ 替换为 $\leq$ )。感兴趣的读者可以自行实现。 ### 堆的存储与表示 我们在二叉树章节中学习到,完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树,**我们将采用数组来存储堆**。 当使用数组表示二叉树时,元素代表节点值,索引代表节点在二叉树中的位置。**节点指针通过索引映射公式来实现**。 具体而言,给定索引 $i$ ,其左子节点索引为 $2i + 1$ ,右子节点索引为 $2i + 2$ ,父节点索引为 $(i - 1) / 2$(向下取整)。当索引越界时,表示空节点或节点不存在。 ![堆的表示与存储](heap.assets/representation_of_heap.png) 我们可以将索引映射公式封装成函数,方便后续使用。 === "Java" ```java title="my_heap.java" [class]{MaxHeap}-[func]{left} [class]{MaxHeap}-[func]{right} [class]{MaxHeap}-[func]{parent} ``` === "C++" ```cpp title="my_heap.cpp" [class]{MaxHeap}-[func]{left} [class]{MaxHeap}-[func]{right} [class]{MaxHeap}-[func]{parent} ``` === "Python" ```python title="my_heap.py" [class]{MaxHeap}-[func]{left} [class]{MaxHeap}-[func]{right} [class]{MaxHeap}-[func]{parent} ``` === "Go" ```go title="my_heap.go" [class]{maxHeap}-[func]{left} [class]{maxHeap}-[func]{right} [class]{maxHeap}-[func]{parent} ``` === "JavaScript" ```javascript title="my_heap.js" [class]{MaxHeap}-[func]{#left} [class]{MaxHeap}-[func]{#right} [class]{MaxHeap}-[func]{#parent} ``` === "TypeScript" ```typescript title="my_heap.ts" [class]{MaxHeap}-[func]{left} [class]{MaxHeap}-[func]{right} [class]{MaxHeap}-[func]{parent} ``` === "C" ```c title="my_heap.c" [class]{maxHeap}-[func]{left} [class]{maxHeap}-[func]{right} [class]{maxHeap}-[func]{parent} ``` === "C#" ```csharp title="my_heap.cs" [class]{MaxHeap}-[func]{left} [class]{MaxHeap}-[func]{right} [class]{MaxHeap}-[func]{parent} ``` === "Swift" ```swift title="my_heap.swift" [class]{MaxHeap}-[func]{left} [class]{MaxHeap}-[func]{right} [class]{MaxHeap}-[func]{parent} ``` === "Zig" ```zig title="my_heap.zig" [class]{MaxHeap}-[func]{left} [class]{MaxHeap}-[func]{right} [class]{MaxHeap}-[func]{parent} ``` ### 访问堆顶元素 堆顶元素即为二叉树的根节点,也就是列表的首个元素。 === "Java" ```java title="my_heap.java" [class]{MaxHeap}-[func]{peek} ``` === "C++" ```cpp title="my_heap.cpp" [class]{MaxHeap}-[func]{peek} ``` === "Python" ```python title="my_heap.py" [class]{MaxHeap}-[func]{peek} ``` === "Go" ```go title="my_heap.go" [class]{maxHeap}-[func]{peek} ``` === "JavaScript" ```javascript title="my_heap.js" [class]{MaxHeap}-[func]{peek} ``` === "TypeScript" ```typescript title="my_heap.ts" [class]{MaxHeap}-[func]{peek} ``` === "C" ```c title="my_heap.c" [class]{maxHeap}-[func]{peek} ``` === "C#" ```csharp title="my_heap.cs" [class]{MaxHeap}-[func]{peek} ``` === "Swift" ```swift title="my_heap.swift" [class]{MaxHeap}-[func]{peek} ``` === "Zig" ```zig title="my_heap.zig" [class]{MaxHeap}-[func]{peek} ``` ### 元素入堆 给定元素 `val` ,我们首先将其添加到堆底。添加之后,由于 val 可能大于堆中其他元素,堆的成立条件可能已被破坏。因此,**需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点**,这个操作被称为「堆化 Heapify」。 考虑从入堆节点开始,**从底至顶执行堆化**。具体来说,我们比较插入节点与其父节点的值,如果插入节点更大,则将它们交换。然后继续执行此操作,从底至顶修复堆中的各个节点,直至越过根节点或遇到无需交换的节点时结束。 === "<1>" ![元素入堆步骤](heap.assets/heap_push_step1.png) === "<2>" ![heap_push_step2](heap.assets/heap_push_step2.png) === "<3>" ![heap_push_step3](heap.assets/heap_push_step3.png) === "<4>" ![heap_push_step4](heap.assets/heap_push_step4.png) === "<5>" ![heap_push_step5](heap.assets/heap_push_step5.png) === "<6>" ![heap_push_step6](heap.assets/heap_push_step6.png) 设节点总数为 $n$ ,则树的高度为 $O(\log n)$ 。由此可知,堆化操作的循环轮数最多为 $O(\log n)$ ,**元素入堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$** 。 === "Java" ```java title="my_heap.java" [class]{MaxHeap}-[func]{push} [class]{MaxHeap}-[func]{siftUp} ``` === "C++" ```cpp title="my_heap.cpp" [class]{MaxHeap}-[func]{push} [class]{MaxHeap}-[func]{siftUp} ``` === "Python" ```python title="my_heap.py" [class]{MaxHeap}-[func]{push} [class]{MaxHeap}-[func]{sift_up} ``` === "Go" ```go title="my_heap.go" [class]{maxHeap}-[func]{push} [class]{maxHeap}-[func]{siftUp} ``` === "JavaScript" ```javascript title="my_heap.js" [class]{MaxHeap}-[func]{push} [class]{MaxHeap}-[func]{#siftUp} ``` === "TypeScript" ```typescript title="my_heap.ts" [class]{MaxHeap}-[func]{push} [class]{MaxHeap}-[func]{siftUp} ``` === "C" ```c title="my_heap.c" [class]{maxHeap}-[func]{push} [class]{maxHeap}-[func]{siftUp} ``` === "C#" ```csharp title="my_heap.cs" [class]{MaxHeap}-[func]{push} [class]{MaxHeap}-[func]{siftUp} ``` === "Swift" ```swift title="my_heap.swift" [class]{MaxHeap}-[func]{push} [class]{MaxHeap}-[func]{siftUp} ``` === "Zig" ```zig title="my_heap.zig" [class]{MaxHeap}-[func]{push} [class]{MaxHeap}-[func]{siftUp} ``` ### 堆顶元素出堆 堆顶元素是二叉树的根节点,即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素,那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化,这将使得后续使用堆化修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动,我们采取以下操作步骤: 1. 交换堆顶元素与堆底元素(即交换根节点与最右叶节点); 2. 交换完成后,将堆底从列表中删除(注意,由于已经交换,实际上删除的是原来的堆顶元素); 3. 从根节点开始,**从顶至底执行堆化**; 顾名思义,**从顶至底堆化的操作方向与从底至顶堆化相反**,我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较,将最大的子节点与根节点交换;然后循环执行此操作,直到越过叶节点或遇到无需交换的节点时结束。 === "<1>" ![堆顶元素出堆步骤](heap.assets/heap_pop_step1.png) === "<2>" ![heap_pop_step2](heap.assets/heap_pop_step2.png) === "<3>" ![heap_pop_step3](heap.assets/heap_pop_step3.png) === "<4>" ![heap_pop_step4](heap.assets/heap_pop_step4.png) === "<5>" ![heap_pop_step5](heap.assets/heap_pop_step5.png) === "<6>" ![heap_pop_step6](heap.assets/heap_pop_step6.png) === "<7>" ![heap_pop_step7](heap.assets/heap_pop_step7.png) === "<8>" ![heap_pop_step8](heap.assets/heap_pop_step8.png) === "<9>" ![heap_pop_step9](heap.assets/heap_pop_step9.png) === "<10>" ![heap_pop_step10](heap.assets/heap_pop_step10.png) 与元素入堆操作相似,堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为 $O(\log n)$ 。 === "Java" ```java title="my_heap.java" [class]{MaxHeap}-[func]{pop} [class]{MaxHeap}-[func]{siftDown} ``` === "C++" ```cpp title="my_heap.cpp" [class]{MaxHeap}-[func]{pop} [class]{MaxHeap}-[func]{siftDown} ``` === "Python" ```python title="my_heap.py" [class]{MaxHeap}-[func]{pop} [class]{MaxHeap}-[func]{sift_down} ``` === "Go" ```go title="my_heap.go" [class]{maxHeap}-[func]{pop} [class]{maxHeap}-[func]{siftDown} ``` === "JavaScript" ```javascript title="my_heap.js" [class]{MaxHeap}-[func]{pop} [class]{MaxHeap}-[func]{#siftDown} ``` === "TypeScript" ```typescript title="my_heap.ts" [class]{MaxHeap}-[func]{pop} [class]{MaxHeap}-[func]{siftDown} ``` === "C" ```c title="my_heap.c" [class]{maxHeap}-[func]{pop} [class]{maxHeap}-[func]{siftDown} ``` === "C#" ```csharp title="my_heap.cs" [class]{MaxHeap}-[func]{pop} [class]{MaxHeap}-[func]{siftDown} ``` === "Swift" ```swift title="my_heap.swift" [class]{MaxHeap}-[func]{pop} [class]{MaxHeap}-[func]{siftDown} ``` === "Zig" ```zig title="my_heap.zig" [class]{MaxHeap}-[func]{pop} [class]{MaxHeap}-[func]{siftDown} ``` ## 堆常见应用 - **优先队列**:堆通常作为实现优先队列的首选数据结构,其入队和出队操作的时间复杂度均为 $O(\log n)$ ,而建队操作为 $O(n)$ ,这些操作都非常高效。 - **堆排序**:给定一组数据,我们可以用它们建立一个堆,然后依次将所有元素弹出,从而得到一个有序序列。当然,堆排序的实现方法并不需要弹出元素,而是每轮将堆顶元素交换至数组尾部并缩小堆的长度。 - **获取最大的 $k$ 个元素**:这是一个经典的算法问题,同时也是一种典型应用,例如选择热度前 10 的新闻作为微博热搜,选取销量前 10 的商品等。