--- comments: true --- # 时间复杂度 ## 统计算法运行时间 运行时间能够直观且准确地体现出算法的效率水平。如果我们想要 **准确预估一段代码的运行时间** ,该如何做呢? 1. 首先需要 **确定运行平台** ,包括硬件配置、编程语言、系统环境等,这些都会影响到代码的运行效率。 2. 评估 **各种计算操作的所需运行时间** ,例如加法操作 `+` 需要 1 ns ,乘法操作 `*` 需要 10 ns ,打印操作需要 5 ns 等。 3. 根据代码 **统计所有计算操作的数量** ,并将所有操作的执行时间求和,即可得到运行时间。 例如以下代码,输入数据大小为 $n$ ,根据以上方法,可以得到算法运行时间为 $6n + 12$ ns 。 $$ 1 + 1 + 10 + (1 + 5) \times n = 6n + 12 $$ === "Java" ```java title="" // 在某运行平台下 void algorithm(int n) { int a = 2; // 1 ns a = a + 1; // 1 ns a = a * 2; // 10 ns // 循环 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ,每轮都要执行 i++ System.out.println(0); // 5 ns } } ``` === "C++" ```cpp title="" // 在某运行平台下 void algorithm(int n) { int a = 2; // 1 ns a = a + 1; // 1 ns a = a * 2; // 10 ns // 循环 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ,每轮都要执行 i++ cout << 0 << endl; // 5 ns } } ``` === "Python" ```python title="" # 在某运行平台下 def algorithm(n): a = 2 # 1 ns a = a + 1 # 1 ns a = a * 2 # 10 ns # 循环 n 次 for _ in range(n): # 1 ns print(0) # 5 ns ``` === "Go" ```go title="" // 在某运行平台下 func algorithm(n int) { a := 2 // 1 ns a = a + 1 // 1 ns a = a * 2 // 10 ns // 循环 n 次 for i := 0; i < n; i++ { // 1 ns fmt.Println(a) // 5 ns } } ``` === "JavaScript" ```js title="" ``` === "TypeScript" ```typescript title="" ``` === "C" ```c title="" ``` === "C#" ```csharp title="" // 在某运行平台下 void algorithm(int n) { int a = 2; // 1 ns a = a + 1; // 1 ns a = a * 2; // 10 ns // 循环 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ,每轮都要执行 i++ Console.WriteLine(0); // 5 ns } } ``` === "Swift" ```swift title="" // 在某运行平台下 func algorithm(_ n: Int) { var a = 2 // 1 ns a = a + 1 // 1 ns a = a * 2 // 10 ns // 循环 n 次 for _ in 0 ..< n { // 1 ns print(0) // 5 ns } } ``` 但实际上, **统计算法的运行时间既不合理也不现实。** 首先,我们不希望预估时间和运行平台绑定,毕竟算法需要跑在各式各样的平台之上。其次,我们很难获知每一种操作的运行时间,这为预估过程带来了极大的难度。 ## 统计时间增长趋势 「时间复杂度分析」采取了不同的做法,其统计的不是算法运行时间,而是 **算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势** 。 “时间增长趋势”这个概念比较抽象,我们借助一个例子来理解。设输入数据大小为 $n$ ,给定三个算法 `A` , `B` , `C` 。 - 算法 `A` 只有 $1$ 个打印操作,算法运行时间不随着 $n$ 增大而增长。我们称此算法的时间复杂度为「常数阶」。 - 算法 `B` 中的打印操作需要循环 $n$ 次,算法运行时间随着 $n$ 增大成线性增长。此算法的时间复杂度被称为「线性阶」。 - 算法 `C` 中的打印操作需要循环 $1000000$ 次,但运行时间仍与输入数据大小 $n$ 无关。因此 `C` 的时间复杂度和 `A` 相同,仍为「常数阶」。 === "Java" ```java title="" // 算法 A 时间复杂度:常数阶 void algorithm_A(int n) { System.out.println(0); } // 算法 B 时间复杂度:线性阶 void algorithm_B(int n) { for (int i = 0; i < n; i++) { System.out.println(0); } } // 算法 C 时间复杂度:常数阶 void algorithm_C(int n) { for (int i = 0; i < 1000000; i++) { System.out.println(0); } } ``` === "C++" ```cpp title="" // 算法 A 时间复杂度:常数阶 void algorithm_A(int n) { cout << 0 << endl; } // 算法 B 时间复杂度:线性阶 void algorithm_B(int n) { for (int i = 0; i < n; i++) { cout << 0 << endl; } } // 算法 C 时间复杂度:常数阶 void algorithm_C(int n) { for (int i = 0; i < 1000000; i++) { cout << 0 << endl; } } ``` === "Python" ```python title="" # 算法 A 时间复杂度:常数阶 def algorithm_A(n): print(0) # 算法 B 时间复杂度:线性阶 def algorithm_B(n): for _ in range(n): print(0) # 算法 C 时间复杂度:常数阶 def algorithm_C(n): for _ in range(1000000): print(0) ``` === "Go" ```go title="" // 算法 A 时间复杂度:常数阶 func algorithm_A(n int) { fmt.Println(0) } // 算法 B 时间复杂度:线性阶 func algorithm_B(n int) { for i := 0; i < n; i++ { fmt.Println(0) } } // 算法 C 时间复杂度:常数阶 func algorithm_C(n int) { for i := 0; i < 1000000; i++ { fmt.Println(0) } } ``` === "JavaScript" ```js title="" ``` === "TypeScript" ```typescript title="" ``` === "C" ```c title="" ``` === "C#" ```csharp title="" // 算法 A 时间复杂度:常数阶 void algorithm_A(int n) { Console.WriteLine(0); } // 算法 B 时间复杂度:线性阶 void algorithm_B(int n) { for (int i = 0; i < n; i++) { Console.WriteLine(0); } } // 算法 C 时间复杂度:常数阶 void algorithm_C(int n) { for (int i = 0; i < 1000000; i++) { Console.WriteLine(0); } } ``` === "Swift" ```swift title="" // 算法 A 时间复杂度:常数阶 func algorithmA(_ n: Int) { print(0) } // 算法 B 时间复杂度:线性阶 func algorithmB(_ n: Int) { for _ in 0 ..< n { print(0) } } // 算法 C 时间复杂度:常数阶 func algorithmC(_ n: Int) { for _ in 0 ..< 1000000 { print(0) } } ``` ![time_complexity_first_example](time_complexity.assets/time_complexity_first_example.png)
Fig. 算法 A, B, C 的时间增长趋势
相比直接统计算法运行时间,时间复杂度分析的做法有什么好处呢?以及有什么不足? **时间复杂度可以有效评估算法效率。** 算法 `B` 运行时间的增长是线性的,在 $n > 1$ 时慢于算法 `A` ,在 $n > 1000000$ 时慢于算法 `C` 。实质上,只要输入数据大小 $n$ 足够大,复杂度为「常数阶」的算法一定优于「线性阶」的算法,这也正是时间增长趋势的含义。 **时间复杂度分析将统计「计算操作的运行时间」简化为统计「计算操作的数量」。** 这是因为,无论是运行平台、还是计算操作类型,都与算法运行时间的增长趋势无关。因此,我们可以简单地将所有计算操作的执行时间统一看作是相同的“单位时间”。 **时间复杂度也存在一定的局限性。** 比如,虽然算法 `A` 和 `C` 的时间复杂度相同,但是实际的运行时间有非常大的差别。再比如,虽然算法 `B` 比 `C` 的时间复杂度要更高,但在输入数据大小 $n$ 比较小时,算法 `B` 是要明显优于算法 `C` 的。即使存在这些问题,计算复杂度仍然是评判算法效率的最有效、最常用方法。 ## 函数渐近上界 设算法「计算操作数量」为 $T(n)$ ,其是一个关于输入数据大小 $n$ 的函数。例如,以下算法的操作数量为 $$ T(n) = 3 + 2n $$ === "Java" ```java title="" void algorithm(int n) { int a = 1; // +1 a = a + 1; // +1 a = a * 2; // +1 // 循环 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // +1(每轮都执行 i ++) System.out.println(0); // +1 } } ``` === "C++" ```cpp title="" void algorithm(int n) { int a = 1; // +1 a = a + 1; // +1 a = a * 2; // +1 // 循环 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // +1(每轮都执行 i ++) cout << 0 << endl; // +1 } } ``` === "Python" ```python title="" def algorithm(n): a = 1 # +1 a = a + 1 # +1 a = a * 2 # +1 # 循环 n 次 for i in range(n): # +1 print(0) # +1 ``` === "Go" ```go title="" func algorithm(n int) { a := 1 // +1 a = a + 1 // +1 a = a * 2 // +1 // 循环 n 次 for i := 0; i < n; i++ { // +1 fmt.Println(a) // +1 } } ``` === "JavaScript" ```js title="" ``` === "TypeScript" ```typescript title="" ``` === "C" ```c title="" ``` === "C#" ```csharp title="" void algorithm(int n) { int a = 1; // +1 a = a + 1; // +1 a = a * 2; // +1 // 循环 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // +1(每轮都执行 i ++) Console.WriteLine(0); // +1 } } ``` === "Swift" ```swift title="" func algorithm(n: Int) { var a = 1 // +1 a = a + 1 // +1 a = a * 2 // +1 // 循环 n 次 for _ in 0 ..< n { // +1 print(0) // +1 } } ``` $T(n)$ 是个一次函数,说明时间增长趋势是线性的,因此易得时间复杂度是线性阶。 我们将线性阶的时间复杂度记为 $O(n)$ ,这个数学符号被称为「大 $O$ 记号 Big-$O$ Notation」,代表函数 $T(n)$ 的「渐近上界 asymptotic upper bound」。 我们要推算时间复杂度,本质上是在计算「操作数量函数 $T(n)$ 」的渐近上界。下面我们先来看看函数渐近上界的数学定义。 !!! abstract "函数渐近上界" 若存在正实数 $c$ 和实数 $n_0$ ,使得对于所有的 $n > n_0$ ,均有 $$ T(n) \leq c \cdot f(n) $$ 则可认为 $f(n)$ 给出了 $T(n)$ 的一个渐近上界,记为 $$ T(n) = O(f(n)) $$ ![asymptotic_upper_bound](time_complexity.assets/asymptotic_upper_bound.png)Fig. 函数的渐近上界
本质上看,计算渐近上界就是在找一个函数 $f(n)$ ,**使得在 $n$ 趋向于无穷大时,$T(n)$ 和 $f(n)$ 处于相同的增长级别(仅相差一个常数项 $c$ 的倍数)**。 !!! tip 渐近上界的数学味儿有点重,如果你感觉没有完全理解,无需担心,因为在实际使用中我们只需要会推算即可,数学意义可以慢慢领悟。 ## 推算方法 推算出 $f(n)$ 后,我们就得到时间复杂度 $O(f(n))$ 。那么,如何来确定渐近上界 $f(n)$ 呢?总体分为两步,首先「统计操作数量」,然后「判断渐近上界」。 ### 1. 统计操作数量 对着代码,从上到下一行一行地计数即可。然而,**由于上述 $c \cdot f(n)$ 中的常数项 $c$ 可以取任意大小,因此操作数量 $T(n)$ 中的各种系数、常数项都可以被忽略**。根据此原则,可以总结出以下计数偷懒技巧: 1. **跳过数量与 $n$ 无关的操作。** 因为他们都是 $T(n)$ 中的常数项,对时间复杂度不产生影响。 2. **省略所有系数。** 例如,循环 $2n$ 次、$5n + 1$ 次、……,都可以化简记为 $n$ 次,因为 $n$ 前面的系数对时间复杂度也不产生影响。 3. **循环嵌套时使用乘法。** 总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积,每一层循环依然可以分别套用上述 `1.` 和 `2.` 技巧。 根据以下示例,使用上述技巧前、后的统计结果分别为 $$ \begin{aligned} T(n) & = 2n(n + 1) + (5n + 1) + 2 & \text{完整统计 (-.-|||)} \newline & = 2n^2 + 7n + 3 \newline T(n) & = n^2 + n & \text{偷懒统计 (o.O)} \end{aligned} $$ 最终,两者都能推出相同的时间复杂度结果,即 $O(n^2)$ 。 === "Java" ```java title="" void algorithm(int n) { int a = 1; // +0(技巧 1) a = a + n; // +0(技巧 1) // +n(技巧 2) for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) { System.out.println(0); } // +n*n(技巧 3) for (int i = 0; i < 2 * n; i++) { for (int j = 0; j < n + 1; j++) { System.out.println(0); } } } ``` === "C++" ```cpp title="" void algorithm(int n) { int a = 1; // +0(技巧 1) a = a + n; // +0(技巧 1) // +n(技巧 2) for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) { cout << 0 << endl; } // +n*n(技巧 3) for (int i = 0; i < 2 * n; i++) { for (int j = 0; j < n + 1; j++) { cout << 0 << endl; } } } ``` === "Python" ```python title="" def algorithm(n): a = 1 # +0(技巧 1) a = a + n # +0(技巧 1) # +n(技巧 2) for i in range(5 * n + 1): print(0) # +n*n(技巧 3) for i in range(2 * n): for j in range(n + 1): print(0) ``` === "Go" ```go title="" func algorithm(n int) { a := 1 // +0(技巧 1) a = a + n // +0(技巧 1) // +n(技巧 2) for i := 0; i < 5 * n + 1; i++ { fmt.Println(0) } // +n*n(技巧 3) for i := 0; i < 2 * n; i++ { for j := 0; j < n + 1; j++ { fmt.Println(0) } } } ``` === "JavaScript" ```js title="" ``` === "TypeScript" ```typescript title="" ``` === "C" ```c title="" ``` === "C#" ```csharp title="" void algorithm(int n) { int a = 1; // +0(技巧 1) a = a + n; // +0(技巧 1) // +n(技巧 2) for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) { Console.WriteLine(0); } // +n*n(技巧 3) for (int i = 0; i < 2 * n; i++) { for (int j = 0; j < n + 1; j++) { Console.WriteLine(0); } } } ``` === "Swift" ```swift title="" func algorithm(n: Int) { var a = 1 // +0(技巧 1) a = a + n // +0(技巧 1) // +n(技巧 2) for _ in 0 ..< (5 * n + 1) { print(0) } // +n*n(技巧 3) for _ in 0 ..< (2 * n) { for _ in 0 ..< (n + 1) { print(0) } } } ``` ### 2. 判断渐近上界 **时间复杂度由多项式 $T(n)$ 中最高阶的项来决定**。这是因为在 $n$ 趋于无穷大时,最高阶的项将处于主导作用,其它项的影响都可以被忽略。 以下表格给出了一些例子,其中有一些夸张的值,是想要向大家强调 **系数无法撼动阶数** 这一结论。在 $n$ 趋于无穷大时,这些常数都是“浮云”。Fig. 时间复杂度的常见类型
!!! tip 部分示例代码需要一些前置知识,包括数组、递归算法等。如果遇到看不懂的地方无需担心,可以在学习完后面章节后再来复习,现阶段先聚焦在理解时间复杂度含义和推算方法上。 ### 常数阶 $O(1)$ 常数阶的操作数量与输入数据大小 $n$ 无关,即不随着 $n$ 的变化而变化。 对于以下算法,无论操作数量 `size` 有多大,只要与数据大小 $n$ 无关,时间复杂度就仍为 $O(1)$ 。 === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 常数阶 */ int constant(int n) { int count = 0; int size = 100000; for (int i = 0; i < size; i++) count++; return count; } ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 常数阶 */ int constant(int n) { int count = 0; int size = 100000; for (int i = 0; i < size; i++) count++; return count; } ``` === "Python" ```python title="time_complexity.py" """ 常数阶 """ def constant(n): count = 0 size = 100000 for _ in range(size): count += 1 return count ``` === "Go" ```go title="time_complexity.go" /* 常数阶 */ func constant(n int) int { count := 0 size := 100000 for i := 0; i < size; i++ { count ++ } return count } ``` === "JavaScript" ```js title="time_complexity.js" ``` === "TypeScript" ```typescript title="time_complexity.ts" ``` === "C" ```c title="time_complexity.c" ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity.cs" /* 常数阶 */ int constant(int n) { int count = 0; int size = 100000; for (int i = 0; i < size; i++) count++; return count; } ``` === "Swift" ```swift title="time_complexity.swift" // 常数阶 func constant(n: Int) -> Int { var count = 0 let size = 100000 for _ in 0 ..< size { count += 1 } return count } ``` ### 线性阶 $O(n)$ 线性阶的操作数量相对输入数据大小成线性级别增长。线性阶常出现于单层循环。 === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 线性阶 */ int linear(int n) { int count = 0; for (int i = 0; i < n; i++) count++; return count; } ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 线性阶 */ int linear(int n) { int count = 0; for (int i = 0; i < n; i++) count++; return count; } ``` === "Python" ```python title="time_complexity.py" """ 线性阶 """ def linear(n): count = 0 for _ in range(n): count += 1 return count ``` === "Go" ```go title="time_complexity.go" /* 线性阶 */ func linear(n int) int { count := 0 for i := 0; i < n; i++ { count++ } return count } ``` === "JavaScript" ```js title="time_complexity.js" ``` === "TypeScript" ```typescript title="time_complexity.ts" ``` === "C" ```c title="time_complexity.c" ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity.cs" /* 线性阶 */ int linear(int n) { int count = 0; for (int i = 0; i < n; i++) count++; return count; } ``` === "Swift" ```swift title="time_complexity.swift" // 线性阶 func linear(n: Int) -> Int { var count = 0 for _ in 0 ..< n { count += 1 } return count } ``` 「遍历数组」和「遍历链表」等操作,时间复杂度都为 $O(n)$ ,其中 $n$ 为数组或链表的长度。 !!! tip **数据大小 $n$ 是根据输入数据的类型来确定的。** 比如,在上述示例中,我们直接将 $n$ 看作输入数据大小;以下遍历数组示例中,数据大小 $n$ 为数组的长度。 === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 线性阶(遍历数组) */ int arrayTraversal(int[] nums) { int count = 0; // 循环次数与数组长度成正比 for (int num : nums) { count++; } return count; } ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 线性阶(遍历数组) */ int arrayTraversal(vectorFig. 常数阶、线性阶、平方阶的时间复杂度
以「冒泡排序」为例,外层循环 $n - 1$ 次,内层循环 $n-1, n-2, \cdots, 2, 1$ 次,平均为 $\frac{n}{2}$ 次,因此时间复杂度为 $O(n^2)$ 。 $$ O((n - 1) \frac{n}{2}) = O(n^2) $$ === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 平方阶(冒泡排序) */ int bubbleSort(int[] nums) { int count = 0; // 计数器 // 外循环:待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1 for (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) { // 内循环:冒泡操作 for (int j = 0; j < i; j++) { if (nums[j] > nums[j + 1]) { // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1] int tmp = nums[j]; nums[j] = nums[j + 1]; nums[j + 1] = tmp; count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作 } } } return count; } ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 平方阶(冒泡排序) */ int bubbleSort(vectorFig. 指数阶的时间复杂度
在实际算法中,指数阶常出现于递归函数。例如以下代码,不断地一分为二,分裂 $n$ 次后停止。 === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 指数阶(递归实现) */ int expRecur(int n) { if (n == 1) return 1; return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1; } ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 指数阶(递归实现) */ int expRecur(int n) { if (n == 1) return 1; return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1; } ``` === "Python" ```python title="time_complexity.py" """ 指数阶(递归实现)""" def exp_recur(n): if n == 1: return 1 return exp_recur(n - 1) + exp_recur(n - 1) + 1 ``` === "Go" ```go title="time_complexity.go" /* 指数阶(递归实现)*/ func expRecur(n int) int { if n == 1 { return 1 } return expRecur(n-1) + expRecur(n-1) + 1 } ``` === "JavaScript" ```js title="time_complexity.js" ``` === "TypeScript" ```typescript title="time_complexity.ts" ``` === "C" ```c title="time_complexity.c" ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity.cs" /* 指数阶(递归实现) */ int expRecur(int n) { if (n == 1) return 1; return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1; } ``` === "Swift" ```swift title="time_complexity.swift" // 指数阶(递归实现) func expRecur(n: Int) -> Int { if n == 1 { return 1 } return expRecur(n: n - 1) + expRecur(n: n - 1) + 1 } ``` ### 对数阶 $O(\log n)$ 对数阶与指数阶正好相反,后者反映“每轮增加到两倍的情况”,而前者反映“每轮缩减到一半的情况”。对数阶仅次于常数阶,时间增长得很慢,是理想的时间复杂度。 对数阶常出现于「二分查找」和「分治算法」中,体现“一分为多”、“化繁为简”的算法思想。 设输入数据大小为 $n$ ,由于每轮缩减到一半,因此循环次数是 $\log_2 n$ ,即 $2^n$ 的反函数。 === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 对数阶(循环实现) */ int logarithmic(float n) { int count = 0; while (n > 1) { n = n / 2; count++; } return count; } ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 对数阶(循环实现) */ int logarithmic(float n) { int count = 0; while (n > 1) { n = n / 2; count++; } return count; } ``` === "Python" ```python title="time_complexity.py" """ 对数阶(循环实现)""" def logarithmic(n): count = 0 while n > 1: n = n / 2 count += 1 return count ``` === "Go" ```go title="time_complexity.go" /* 对数阶(循环实现)*/ func logarithmic(n float64) int { count := 0 for n > 1 { n = n / 2 count++ } return count } ``` === "JavaScript" ```js title="time_complexity.js" ``` === "TypeScript" ```typescript title="time_complexity.ts" ``` === "C" ```c title="time_complexity.c" ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity.cs" /* 对数阶(循环实现) */ int logarithmic(float n) { int count = 0; while (n > 1) { n = n / 2; count++; } return count; } ``` === "Swift" ```swift title="time_complexity.swift" // 对数阶(循环实现) func logarithmic(n: Int) -> Int { var count = 0 var n = n while n > 1 { n = n / 2 count += 1 } return count } ``` ![time_complexity_logarithmic](time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic.png)Fig. 对数阶的时间复杂度
与指数阶类似,对数阶也常出现于递归函数。以下代码形成了一个高度为 $\log_2 n$ 的递归树。 === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 对数阶(递归实现) */ int logRecur(float n) { if (n <= 1) return 0; return logRecur(n / 2) + 1; } ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 对数阶(递归实现) */ int logRecur(float n) { if (n <= 1) return 0; return logRecur(n / 2) + 1; } ``` === "Python" ```python title="time_complexity.py" """ 对数阶(递归实现)""" def log_recur(n): if n <= 1: return 0 return log_recur(n / 2) + 1 ``` === "Go" ```go title="time_complexity.go" /* 对数阶(递归实现)*/ func logRecur(n float64) int { if n <= 1 { return 0 } return logRecur(n/2) + 1 } ``` === "JavaScript" ```js title="time_complexity.js" ``` === "TypeScript" ```typescript title="time_complexity.ts" ``` === "C" ```c title="time_complexity.c" ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity.cs" /* 对数阶(递归实现) */ int logRecur(float n) { if (n <= 1) return 0; return logRecur(n / 2) + 1; } ``` === "Swift" ```swift title="time_complexity.swift" // 对数阶(递归实现) func logRecur(n: Int) -> Int { if n <= 1 { return 0 } return logRecur(n: n / 2) + 1 } ``` ### 线性对数阶 $O(n \log n)$ 线性对数阶常出现于嵌套循环中,两层循环的时间复杂度分别为 $O(\log n)$ 和 $O(n)$ 。 主流排序算法的时间复杂度都是 $O(n \log n )$ ,例如快速排序、归并排序、堆排序等。 === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 线性对数阶 */ int linearLogRecur(float n) { if (n <= 1) return 1; int count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2); for (int i = 0; i < n; i++) { count++; } return count; } ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 线性对数阶 */ int linearLogRecur(float n) { if (n <= 1) return 1; int count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2); for (int i = 0; i < n; i++) { count++; } return count; } ``` === "Python" ```python title="time_complexity.py" """ 线性对数阶 """ def linear_log_recur(n): if n <= 1: return 1 count = linear_log_recur(n // 2) + \ linear_log_recur(n // 2) for _ in range(n): count += 1 return count ``` === "Go" ```go title="time_complexity.go" /* 线性对数阶 */ func linearLogRecur(n float64) int { if n <= 1 { return 1 } count := linearLogRecur(n/2) + linearLogRecur(n/2) for i := 0.0; i < n; i++ { count++ } return count } ``` === "JavaScript" ```js title="time_complexity.js" ``` === "TypeScript" ```typescript title="time_complexity.ts" ``` === "C" ```c title="time_complexity.c" ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity.cs" /* 线性对数阶 */ int linearLogRecur(float n) { if (n <= 1) return 1; int count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2); for (int i = 0; i < n; i++) { count++; } return count; } ``` === "Swift" ```swift title="time_complexity.swift" // 线性对数阶 func linearLogRecur(n: Double) -> Int { if n <= 1 { return 1 } var count = linearLogRecur(n: n / 2) + linearLogRecur(n: n / 2) for _ in 0 ..< Int(n) { count += 1 } return count } ``` ![time_complexity_logarithmic_linear](time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic_linear.png)Fig. 线性对数阶的时间复杂度
### 阶乘阶 $O(n!)$ 阶乘阶对应数学上的「全排列」。即给定 $n$ 个互不重复的元素,求其所有可能的排列方案,则方案数量为 $$ n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1 $$ 阶乘常使用递归实现。例如以下代码,第一层分裂出 $n$ 个,第二层分裂出 $n - 1$ 个,…… ,直至到第 $n$ 层时终止分裂。 === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 阶乘阶(递归实现) */ int factorialRecur(int n) { if (n == 0) return 1; int count = 0; // 从 1 个分裂出 n 个 for (int i = 0; i < n; i++) { count += factorialRecur(n - 1); } return count; } ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 阶乘阶(递归实现) */ int factorialRecur(int n) { if (n == 0) return 1; int count = 0; // 从 1 个分裂出 n 个 for (int i = 0; i < n; i++) { count += factorialRecur(n - 1); } return count; } ``` === "Python" ```python title="time_complexity.py" """ 阶乘阶(递归实现)""" def factorial_recur(n): if n == 0: return 1 count = 0 # 从 1 个分裂出 n 个 for _ in range(n): count += factorial_recur(n - 1) return count ``` === "Go" ```go title="time_complexity.go" /* 阶乘阶(递归实现) */ func factorialRecur(n int) int { if n == 0 { return 1 } count := 0 // 从 1 个分裂出 n 个 for i := 0; i < n; i++ { count += factorialRecur(n - 1) } return count } ``` === "JavaScript" ```js title="time_complexity.js" ``` === "TypeScript" ```typescript title="time_complexity.ts" ``` === "C" ```c title="time_complexity.c" ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity.cs" /* 阶乘阶(递归实现) */ int factorialRecur(int n) { if (n == 0) return 1; int count = 0; // 从 1 个分裂出 n 个 for (int i = 0; i < n; i++) { count += factorialRecur(n - 1); } return count; } ``` === "Swift" ```swift title="time_complexity.swift" // 阶乘阶(递归实现) func factorialRecur(n: Int) -> Int { if n == 0 { return 1 } var count = 0 // 从 1 个分裂出 n 个 for _ in 0 ..< n { count += factorialRecur(n: n - 1) } return count } ``` ![time_complexity_factorial](time_complexity.assets/time_complexity_factorial.png)Fig. 阶乘阶的时间复杂度
## 最差、最佳、平均时间复杂度 **某些算法的时间复杂度不是恒定的,而是与输入数据的分布有关。** 举一个例子,输入一个长度为 $n$ 数组 `nums` ,其中 `nums` 由从 $1$ 至 $n$ 的数字组成,但元素顺序是随机打乱的;算法的任务是返回元素 $1$ 的索引。我们可以得出以下结论: - 当 `nums = [?, ?, ..., 1]`,即当末尾元素是 $1$ 时,则需完整遍历数组,此时达到 **最差时间复杂度 $O(n)$** ; - 当 `nums = [1, ?, ?, ...]` ,即当首个数字为 $1$ 时,无论数组多长都不需要继续遍历,此时达到 **最佳时间复杂度 $\Omega(1)$** ; 「函数渐近上界」使用大 $O$ 记号表示,代表「最差时间复杂度」。与之对应,「函数渐近下界」用 $\Omega$ 记号(Omega Notation)来表示,代表「最佳时间复杂度」。 === "Java" ```java title="worst_best_time_complexity.java" public class worst_best_time_complexity { /* 生成一个数组,元素为 { 1, 2, ..., n },顺序被打乱 */ int[] randomNumbers(int n) { Integer[] nums = new Integer[n]; // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n } for (int i = 0; i < n; i++) { nums[i] = i + 1; } // 随机打乱数组元素 Collections.shuffle(Arrays.asList(nums)); // Integer[] -> int[] int[] res = new int[n]; for (int i = 0; i < n; i++) { res[i] = nums[i]; } return res; } /* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */ int findOne(int[] nums) { for (int i = 0; i < nums.length; i++) { if (nums[i] == 1) return i; } return -1; } /* Driver Code */ public void main(String[] args) { for (int i = 0; i < 10; i++) { int n = 100; int[] nums = randomNumbers(n); int index = findOne(nums); System.out.println("打乱后的数组为 " + Arrays.toString(nums)); System.out.println("数字 1 的索引为 " + index); } } } ``` === "C++" ```cpp title="worst_best_time_complexity.cpp" /* 生成一个数组,元素为 { 1, 2, ..., n },顺序被打乱 */ vector