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26
chapter_searching/binary_search/index.html
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@ -1876,24 +1876,22 @@
<h1 id="101">10.1. &nbsp; 二分查找<a class="headerlink" href="#101" title="Permanent link">&para;</a></h1> <h1 id="101">10.1. &nbsp; 二分查找<a class="headerlink" href="#101" title="Permanent link">&para;</a></h1>
<p>「二分查找 Binary Search」是一种基于分治思想的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮减少一半搜索范围，直至找到目标元素或搜索区间为空为止。</p> <p>「二分查找 Binary Search」是一种基于分治思想的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮减少一半搜索范围，直至找到目标元素或搜索区间为空为止。</p>
<p>我们先来求解一个简单的二分查找问题。</p>
<div class="admonition question"> <div class="admonition question">
<p class="admonition-title">Question</p> <p class="admonition-title">Question</p>
<p>给定一个长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的有序数组 <code>nums</code> ，元素按从小到大的顺序排列。请查找并返回元素 <code>target</code> 在该数组中的索引。若数组中不包含该元素，则返回 <span class="arithmatex">\(-1\)</span> 。数组中不包含重复元素。</p> <p>给定一个长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的数组 <code>nums</code> ，元素按从小到大的顺序排列，数组不包含重复元素。请查找并返回元素 <code>target</code> 在该数组中的索引。若数组不包含该元素，则返回 <span class="arithmatex">\(-1\)</span> 。</p>
</div> </div>
<p>该数组的索引范围可以使用区间 <span class="arithmatex">\([0, n - 1]\)</span> 来表示。其中，<strong>中括号表示“闭区间”，即包含边界值本身</strong>。在该表示下，区间 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> 在 <span class="arithmatex">\(i = j\)</span> 时仍包含一个元素，在 <span class="arithmatex">\(i &gt; j\)</span> 时为空区间。</p> <p>对于上述问题，我们先初始化指针 <span class="arithmatex">\(i = 0\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(j = n - 1\)</span> ，分别指向数组首元素和尾元素，代表搜索区间 <span class="arithmatex">\([0, n - 1]\)</span> 。其中，中括号表示“闭区间”，即包含边界值本身。</p>
<p>接下来，我们基于上述区间定义实现二分查找。先初始化指针 <span class="arithmatex">\(i = 0\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(j = n - 1\)</span> ，分别指向数组首元素和尾元素。之后循环执行以下两个步骤:</p> <p>接下来，循环执行以下两个步骤：</p>
<ol> <ol>
<li>计算中点索引 <span class="arithmatex">\(m = \lfloor {(i + j) / 2} \rfloor\)</span> ，其中 <span class="arithmatex">\(\lfloor \space \rfloor\)</span> 表示向下取整操作。</li> <li>计算中点索引 <span class="arithmatex">\(m = \lfloor {(i + j) / 2} \rfloor\)</span> ，其中 <span class="arithmatex">\(\lfloor \space \rfloor\)</span> 表示向下取整操作。</li>
<li>根据 <code>nums[m]</code> 和 <code>target</code> 缩小搜索区间，分为三种情况：<ol> <li>判断 <code>nums[m]</code> 和 <code>target</code> 的大小关系，分为三种情况：<ol>
<li>当 <code>nums[m] &lt; target</code> 时，说明 <code>target</code> 在区间 <span class="arithmatex">\([m + 1, j]\)</span> 中，因此执行 <span class="arithmatex">\(i = m + 1\)</span> ；</li> <li>当 <code>nums[m] &lt; target</code> 时，说明 <code>target</code> 在区间 <span class="arithmatex">\([m + 1, j]\)</span> 中，因此执行 <span class="arithmatex">\(i = m + 1\)</span> ；</li>
<li>当 <code>nums[m] &gt; target</code> 时，说明 <code>target</code> 在区间 <span class="arithmatex">\([i, m - 1]\)</span> 中，因此执行 <span class="arithmatex">\(j = m - 1\)</span> ；</li> <li>当 <code>nums[m] &gt; target</code> 时，说明 <code>target</code> 在区间 <span class="arithmatex">\([i, m - 1]\)</span> 中，因此执行 <span class="arithmatex">\(j = m - 1\)</span> ；</li>
<li>当 <code>nums[m] = target</code> 时，说明找到目标元素，直接返回索引 <span class="arithmatex">\(m\)</span> 即可；</li> <li>当 <code>nums[m] = target</code> 时，说明找到 <code>target</code> ，因此返回索引 <span class="arithmatex">\(m\)</span> ；</li>
</ol> </ol>
</li> </li>
</ol> </ol>
<p><strong>若数组不包含目标元素，搜索区间最终会缩小为空</strong>，即达到 <span class="arithmatex">\(i &gt; j\)</span> 。此时，终止循环并返回 <span class="arithmatex">\(-1\)</span> 即可。</p> <p>若数组不包含目标元素，搜索区间最终会缩小为空。此时返回 <span class="arithmatex">\(-1\)</span> 。</p>
<p>如下图所示，为了更清晰地表示区间，我们以折线图的形式表示数组。</p>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:8"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">&lt;0&gt;</label><label for="__tabbed_1_2">&lt;1&gt;</label><label for="__tabbed_1_3">&lt;2&gt;</label><label for="__tabbed_1_4">&lt;3&gt;</label><label for="__tabbed_1_5">&lt;4&gt;</label><label for="__tabbed_1_6">&lt;5&gt;</label><label for="__tabbed_1_7">&lt;6&gt;</label><label for="__tabbed_1_8">&lt;7&gt;</label></div> <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:8"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">&lt;0&gt;</label><label for="__tabbed_1_2">&lt;1&gt;</label><label for="__tabbed_1_3">&lt;2&gt;</label><label for="__tabbed_1_4">&lt;3&gt;</label><label for="__tabbed_1_5">&lt;4&gt;</label><label for="__tabbed_1_6">&lt;5&gt;</label><label for="__tabbed_1_7">&lt;6&gt;</label><label for="__tabbed_1_8">&lt;7&gt;</label></div>
<div class="tabbed-content"> <div class="tabbed-content">
<div class="tabbed-block"> <div class="tabbed-block">
@ -1922,7 +1920,7 @@
</div> </div>
</div> </div>
</div> </div>
<p>值得注意的是，<strong>当数组长度 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 很大时，加法 <span class="arithmatex">\(i + j\)</span> 的结果可能会超出 <code>int</code> 类型的取值范围</strong>。为了避免大数越界，我们通常采用公式 <span class="arithmatex">\(m = \lfloor {i + (j - i) / 2} \rfloor\)</span> 来计算中点。</p> <p>值得注意的是，由于 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 都是 <code>int</code> 类型，<strong>因此 <span class="arithmatex">\(i + j\)</span> 可能会超出 <code>int</code> 类型的取值范围</strong>。为了避免大数越界，我们通常采用公式 <span class="arithmatex">\(m = \lfloor {i + (j - i) / 2} \rfloor\)</span> 来计算中点。</p>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:10"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_7" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_8" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_9" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_10" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">Java</label><label for="__tabbed_2_2">C++</label><label for="__tabbed_2_3">Python</label><label for="__tabbed_2_4">Go</label><label for="__tabbed_2_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_2_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_2_7">C</label><label for="__tabbed_2_8">C#</label><label for="__tabbed_2_9">Swift</label><label for="__tabbed_2_10">Zig</label></div> <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:10"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_7" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_8" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_9" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_10" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">Java</label><label for="__tabbed_2_2">C++</label><label for="__tabbed_2_3">Python</label><label for="__tabbed_2_4">Go</label><label for="__tabbed_2_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_2_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_2_7">C</label><label for="__tabbed_2_8">C#</label><label for="__tabbed_2_9">Swift</label><label for="__tabbed_2_10">Zig</label></div>
<div class="tabbed-content"> <div class="tabbed-content">
<div class="tabbed-block"> <div class="tabbed-block">
@ -2366,14 +2364,14 @@
<h2 id="1012">10.1.2. &nbsp; 优点与局限性<a class="headerlink" href="#1012" title="Permanent link">&para;</a></h2> <h2 id="1012">10.1.2. &nbsp; 优点与局限性<a class="headerlink" href="#1012" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>二分查找在时间和空间方面都有较好的性能：</p> <p>二分查找在时间和空间方面都有较好的性能：</p>
<ul> <ul>
<li><strong>二分查找的时间效率高</strong>。在大数据量下，对数阶的时间复杂度具有显著优势。例如，当数据大小 <span class="arithmatex">\(n = 2^{20}\)</span> 时，线性查找需要 <span class="arithmatex">\(2^{20} = 1048576\)</span> 轮循环，而二分查找仅需 <span class="arithmatex">\(\log_2 2^{20} = 20\)</span> 轮循环。</li> <li>二分查找的时间效率高。在大数据量下，对数阶的时间复杂度具有显著优势。例如，当数据大小 <span class="arithmatex">\(n = 2^{20}\)</span> 时，线性查找需要 <span class="arithmatex">\(2^{20} = 1048576\)</span> 轮循环，而二分查找仅需 <span class="arithmatex">\(\log_2 2^{20} = 20\)</span> 轮循环。</li>
<li><strong>二分查找无需额外空间</strong>。相较于需要借助额外空间的搜索算法（例如哈希查找），二分查找更加节省空间。</li> <li>二分查找无需额外空间。相较于需要借助额外空间的搜索算法（例如哈希查找），二分查找更加节省空间。</li>
</ul> </ul>
<p>然而，二分查找并非适用于所有情况，原因如下：</p> <p>然而，二分查找并非适用于所有情况，原因如下：</p>
<ul> <ul>
<li><strong>二分查找仅适用于有序数据</strong>。若输入数据无序，为了使用二分查找而专门进行排序，得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 <span class="arithmatex">\(O(n \log n)\)</span> ，比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景，为保持数组有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> ，也是非常昂贵的。</li> <li>二分查找仅适用于有序数据。若输入数据无序，为了使用二分查找而专门进行排序，得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 <span class="arithmatex">\(O(n \log n)\)</span> ，比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景，为保持数组有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> ，也是非常昂贵的。</li>
<li><strong>二分查找仅适用于数组</strong>。二分查找需要跳跃式（非连续地）访问元素，而在链表中执行跳跃式访问的效率较低，因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。</li> <li>二分查找仅适用于数组。二分查找需要跳跃式（非连续地）访问元素，而在链表中执行跳跃式访问的效率较低，因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。</li>
<li><strong>小数据量下，线性查找性能更佳</strong>。在线性查找中，每轮只需要 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，当数据量 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 较小时，线性查找反而比二分查找更快。</li> <li>小数据量下，线性查找性能更佳。在线性查找中，每轮只需要 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，当数据量 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 较小时，线性查找反而比二分查找更快。</li>
</ul> </ul>

BIN
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71
chapter_searching/binary_search_edge/index.html
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@ -1354,14 +1354,21 @@
<li class="md-nav__item"> <li class="md-nav__item">
<a href="#1021" class="md-nav__link"> <a href="#1021" class="md-nav__link">
10.2.1. &nbsp; 查找最左一个元素 10.2.1. &nbsp; 简单方法
</a> </a>
</li> </li>
<li class="md-nav__item"> <li class="md-nav__item">
<a href="#1022" class="md-nav__link"> <a href="#1022" class="md-nav__link">
10.2.2. &nbsp; 查找最右一个元素 10.2.2. &nbsp; 二分方法
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#1023" class="md-nav__link">
10.2.3. &nbsp; 查找右边界
</a> </a>
</li> </li>
@ -1839,14 +1846,21 @@
<li class="md-nav__item"> <li class="md-nav__item">
<a href="#1021" class="md-nav__link"> <a href="#1021" class="md-nav__link">
10.2.1. &nbsp; 查找最左一个元素 10.2.1. &nbsp; 简单方法
</a> </a>
</li> </li>
<li class="md-nav__item"> <li class="md-nav__item">
<a href="#1022" class="md-nav__link"> <a href="#1022" class="md-nav__link">
10.2.2. &nbsp; 查找最右一个元素 10.2.2. &nbsp; 二分方法
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#1023" class="md-nav__link">
10.2.3. &nbsp; 查找右边界
</a> </a>
</li> </li>
@ -1876,29 +1890,31 @@
<h1 id="102">10.2. &nbsp; 二分查找边界<a class="headerlink" href="#102" title="Permanent link">&para;</a></h1> <h1 id="102">10.2. &nbsp; 二分查找边界<a class="headerlink" href="#102" title="Permanent link">&para;</a></h1>
<p>上一节规定目标元素在数组中是唯一的。如果目标元素在数组中多次出现，上节介绍的方法只能保证返回其中一个目标元素的索引，<strong>而无法确定该索引的左边和右边还有多少目标元素</strong>。</p> <p>上一节规定目标元素在数组中是唯一的。如果目标元素在数组中多次出现，上节介绍的方法只能保证返回其中一个目标元素的索引，<strong>而无法确定该索引的左边和右边还有多少目标元素</strong>。</p>
<p>为了查找最左一个 <code>target</code> ，我们可以先进行二分查找，找到任意一个目标元素，<strong>再加一个向左遍历的线性查找</strong>，找到最左的 <code>target</code> 返回即可。然而，由于加入了线性查找，这个方法的时间复杂度可能会劣化至 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 。</p>
<p><img alt="线性查找最左元素" src="../binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_naive.png" /></p>
<p align="center"> Fig. 线性查找最左元素 </p>
<h2 id="1021">10.2.1. &nbsp; 查找最左一个元素<a class="headerlink" href="#1021" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<div class="admonition question"> <div class="admonition question">
<p class="admonition-title">Question</p> <p class="admonition-title">Question</p>
<p>给定一个长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的有序数组 <code>nums</code> 。请查找并返回元素 <code>target</code> 在该数组中首次出现的索引。若数组中不包含该元素，则返回 <span class="arithmatex">\(-1\)</span> 。数组可能包含重复元素。</p> <p>给定一个长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的有序数组 <code>nums</code> ，数组可能包含重复元素。请查找并返回元素 <code>target</code> 在数组中首次出现的索引。若数组中不包含该元素，则返回 <span class="arithmatex">\(-1\)</span> 。</p>
</div> </div>
<p>实际上，我们可以仅通过二分查找解决以上问题。方法的整体框架不变，先计算中点索引 <code>m</code> ，再判断 <code>target</code> 和 <code>nums[m]</code> 大小关系：</p> <h2 id="1021">10.2.1. &nbsp; 简单方法<a class="headerlink" href="#1021" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>为了查找数组中最左边的 <code>target</code> ，我们可以分为两步：</p>
<ol>
<li>进行二分查找，定位到任意一个 <code>target</code> 的索引，记为 <span class="arithmatex">\(k\)</span> ；</li>
<li>以索引 <span class="arithmatex">\(k\)</span> 为起始点，向左进行线性遍历，找到最左边的 <code>target</code> 返回即可。</li>
</ol>
<p><img alt="线性查找最左边的元素" src="../binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_naive.png" /></p>
<p align="center"> Fig. 线性查找最左边的元素 </p>
<p>这个方法虽然有效，但由于包含线性查找，<strong>其时间复杂度可能会劣化至 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span></strong> 。</p>
<h2 id="1022">10.2.2. &nbsp; 二分方法<a class="headerlink" href="#1022" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>实际上，我们可以仅通过二分查找解决以上问题。整体算法流程不变，先计算中点索引 <span class="arithmatex">\(m\)</span> ，再判断 <code>target</code> 和 <code>nums[m]</code> 大小关系：</p>
<ul> <ul>
<li>当 <code>nums[m] &lt; target</code> 或 <code>nums[m] &gt; target</code> 时，说明还没有找到 <code>target</code> ，因此采取与上节代码相同的缩小区间操作。</li> <li>当 <code>nums[m] &lt; target</code> 或 <code>nums[m] &gt; target</code> 时，说明还没有找到 <code>target</code> ，因此采取与上节代码相同的缩小区间操作，<strong>从而使指针 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 向 <code>target</code> 靠近</strong>。</li>
<li>当 <code>nums[m] == target</code> 时，说明找到了一个目标元素，此时应该如何缩小区间？</li> <li>当 <code>nums[m] == target</code> 时，说明“小于 <code>target</code> 的元素”在区间 <span class="arithmatex">\([i, m - 1]\)</span> 中，因此采用 <span class="arithmatex">\(j = m - 1\)</span> 来缩小区间，<strong>从而使指针 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 向小于 <code>target</code> 的元素靠近</strong>。</li>
</ul>
<p>对于该情况，<strong>我们可以将查找目标想象为 <code>leftarget</code></strong>，其中 <code>leftarget</code> 表示从右到左首个小于 <code>target</code> 的元素。具体来说：</p>
<ul>
<li>当 <code>nums[m] == target</code> 时，说明 <code>leftarget</code> 在区间 <code>[i, m - 1]</code> 中，因此采用 <code>j = m - 1</code> 来缩小区间，<strong>从而使指针 <code>j</code> 向 <code>leftarget</code> 收缩靠近</strong>。</li>
<li>二分查找完成后，<code>i</code> 指向最左一个 <code>target</code> ，<code>j</code> 指向 <code>leftarget</code> ，因此最终返回索引 <code>i</code> 即可。</li>
</ul> </ul>
<p>二分查找完成后，<strong><span class="arithmatex">\(i\)</span> 指向最左边的 <code>target</code> ，<span class="arithmatex">\(j\)</span> 指向首个小于 <code>target</code> 的元素</strong>，因此返回索引 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 即可。</p>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:8"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">&lt;1&gt;</label><label for="__tabbed_1_2">&lt;2&gt;</label><label for="__tabbed_1_3">&lt;3&gt;</label><label for="__tabbed_1_4">&lt;4&gt;</label><label for="__tabbed_1_5">&lt;5&gt;</label><label for="__tabbed_1_6">&lt;6&gt;</label><label for="__tabbed_1_7">&lt;7&gt;</label><label for="__tabbed_1_8">&lt;8&gt;</label></div> <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:8"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">&lt;1&gt;</label><label for="__tabbed_1_2">&lt;2&gt;</label><label for="__tabbed_1_3">&lt;3&gt;</label><label for="__tabbed_1_4">&lt;4&gt;</label><label for="__tabbed_1_5">&lt;5&gt;</label><label for="__tabbed_1_6">&lt;6&gt;</label><label for="__tabbed_1_7">&lt;7&gt;</label><label for="__tabbed_1_8">&lt;8&gt;</label></div>
<div class="tabbed-content"> <div class="tabbed-content">
<div class="tabbed-block"> <div class="tabbed-block">
<p><img alt="二分查找最左元素的步骤" src="../binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step1.png" /></p> <p><img alt="二分查找最左边元素的步骤" src="../binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step1.png" /></p>
</div> </div>
<div class="tabbed-block"> <div class="tabbed-block">
<p><img alt="binary_search_left_edge_step2" src="../binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step2.png" /></p> <p><img alt="binary_search_left_edge_step2" src="../binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step2.png" /></p>
@ -1923,7 +1939,7 @@
</div> </div>
</div> </div>
</div> </div>
<p>注意，数组可能不包含目标元素 <code>target</code> 。因此在函数返回前，我们需要先判断 <code>nums[i]</code> 与 <code>target</code> 是否相等。另外，当 <code>target</code> 大于数组中的所有元素时，索引 <code>i</code> 会越界，因此也需要额外判断。</p> <p>注意，数组可能不包含目标元素 <code>target</code> 。因此在函数返回前，我们需要先判断 <code>nums[i]</code> 与 <code>target</code> 是否相等，以及索引 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 是否越界。</p>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:10"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_7" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_8" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_9" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_10" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">Java</label><label for="__tabbed_2_2">C++</label><label for="__tabbed_2_3">Python</label><label for="__tabbed_2_4">Go</label><label for="__tabbed_2_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_2_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_2_7">C</label><label for="__tabbed_2_8">C#</label><label for="__tabbed_2_9">Swift</label><label for="__tabbed_2_10">Zig</label></div> <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:10"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_7" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_8" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_9" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_10" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">Java</label><label for="__tabbed_2_2">C++</label><label for="__tabbed_2_3">Python</label><label for="__tabbed_2_4">Go</label><label for="__tabbed_2_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_2_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_2_7">C</label><label for="__tabbed_2_8">C#</label><label for="__tabbed_2_9">Swift</label><label for="__tabbed_2_10">Zig</label></div>
<div class="tabbed-content"> <div class="tabbed-content">
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@ -2012,12 +2028,9 @@
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<h2 id="1022">10.2.2. &nbsp; 查找最右一个元素<a class="headerlink" href="#1022" title="Permanent link">&para;</a></h2> <h2 id="1023">10.2.3. &nbsp; 查找右边界<a class="headerlink" href="#1023" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>类似地，我们也可以二分查找最右一个元素。设首个大于 <code>target</code> 的元素为 <code>rightarget</code> 。</p> <p>类似地，我们也可以二分查找最右边的 <code>target</code> 。当 <code>nums[m] == target</code> 时，说明大于 <code>target</code> 的元素在区间 <span class="arithmatex">\([m + 1, j]\)</span> 中，因此执行 <code>i = m + 1</code> ，<strong>使得指针 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 向大于 <code>target</code> 的元素靠近</strong>。</p>
<ul> <p>完成二分后，<strong><span class="arithmatex">\(i\)</span> 指向首个大于 <code>target</code> 的元素，<span class="arithmatex">\(j\)</span> 指向最右边的 <code>target</code></strong> ，因此返回索引 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 即可。</p>
<li>当 <code>nums[m] == target</code> 时，说明 <code>rightarget</code> 在区间 <code>[m + 1, j]</code> 中，因此执行 <code>i = m + 1</code> 将搜索区间向右收缩。</li>
<li>完成二分后，<code>i</code> 指向 <code>rightarget</code> ，<code>j</code> 指向最右一个 <code>target</code> ，因此最终返回索引 <code>j</code> 即可。</li>
</ul>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="3:10"><input checked="checked" id="__tabbed_3_1" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_2" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_3" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_4" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_5" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_6" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_7" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_8" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_9" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_10" name="__tabbed_3" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_3_1">Java</label><label for="__tabbed_3_2">C++</label><label for="__tabbed_3_3">Python</label><label for="__tabbed_3_4">Go</label><label for="__tabbed_3_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_3_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_3_7">C</label><label for="__tabbed_3_8">C#</label><label for="__tabbed_3_9">Swift</label><label for="__tabbed_3_10">Zig</label></div> <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="3:10"><input checked="checked" id="__tabbed_3_1" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_2" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_3" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_4" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_5" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_6" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_7" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_8" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_9" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_10" name="__tabbed_3" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_3_1">Java</label><label for="__tabbed_3_2">C++</label><label for="__tabbed_3_3">Python</label><label for="__tabbed_3_4">Go</label><label for="__tabbed_3_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_3_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_3_7">C</label><label for="__tabbed_3_8">C#</label><label for="__tabbed_3_9">Swift</label><label for="__tabbed_3_10">Zig</label></div>
<div class="tabbed-content"> <div class="tabbed-content">
<div class="tabbed-block"> <div class="tabbed-block">
@ -2106,9 +2119,9 @@
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</div> </div>
</div> </div>
<p>观察下图，搜索最右元素时指针 <code>j</code> 起到了搜索最左元素时指针 <code>i</code> 的作用，反之亦然。本质上看，<strong>搜索最左元素和最右元素的实现是镜像对称的</strong>。</p> <p>观察下图，搜索最右边元素时指针 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 的作用与搜索最左边元素时指针 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 的作用一致，反之亦然。也就是说，<strong>搜索最左边元素和最右边元素的实现是镜像对称的</strong>。</p>
<p><img alt="二分查找最左元素和最右元素" src="../binary_search_edge.assets/binary_search_left_right_edge.png" /></p> <p><img alt="查找最左边和最右边元素的对称性" src="../binary_search_edge.assets/binary_search_left_right_edge.png" /></p>
<p align="center"> Fig. 二分查找最左元素和最右元素 </p> <p align="center"> Fig. 查找最左边和最右边元素的对称性 </p>
<div class="admonition tip"> <div class="admonition tip">
<p class="admonition-title">Tip</p> <p class="admonition-title">Tip</p>

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