1. Update extra.css for overwrite

the sections title color.
2. Add figures to hash collision.
3. Add inorder traversal in binary search tree.

docs/chapter_hashing/hash_collision.md

@@ -2,45 +2,46 @@
 comments: true
 ---
 
-# 哈希冲突处理
+# 哈希冲突
 
-理想情况下，哈希函数应该为每个输入产生唯一的输出，使得 key 和 value 一一对应。而实际上，往往存在向哈希函数输入不同的 key 而产生相同输出的情况，这种情况被称为「哈希冲突 Hash Collision」。
+理想情况下，哈希函数应该为每个输入产生唯一的输出，使得 key 和 value 一一对应。而实际上，往往存在向哈希函数输入不同的 key 而产生相同输出的情况，这种情况被称为「哈希冲突 Hash Collision」。哈希冲突会导致查询结果错误，从而严重影响哈希表的可用性。
 
-**哈希冲突会严重影响哈希表的实用性**。试想一下，如果在哈希表中总是查找到错误的结果，那么我们肯定不会继续使用这样的数据结构了。
+那么，为什么会出现哈希冲突呢？本质上看，**由于哈希函数的输入空间往往远大于输出空间**，因此不可避免地会出现多个输入产生相同输出的情况，即为哈希冲突。比如，输入空间是全体整数，输出空间是一个固定大小的桶（数组）的索引范围，那么必定会有多个整数同时映射到一个桶索引。
 
-!!! question "为什么会出现哈希冲突？"
+为了缓解哈希冲突，一方面，我们可以通过「哈希表扩容」来减小冲突概率。极端情况下，当输入空间和输出空间大小相等时，哈希表就等价于数组了，可谓“大力出奇迹”。
 
-    因为 **哈希函数的输入空间往往远大于输出空间**，所以不可避免地会出现多个输入产生相同输出的情况。比如，输入空间是全体整数，输出空间是一个固定大小的桶（数组）的索引范围，那么必定会有多个整数同时映射到一个桶索引。
+另一方面，**考虑通过优化数据结构以缓解哈希冲突**，常见的方法有「链式地址」和「开放寻址」。
 
-虽然理论上哈希冲突难以避免，**但我们仍然可以在数据结构层面上缓解哈希冲突所带来的负面影响**，尽量保证哈希表的增删查改操作效率。
+## 哈希表扩容
 
-常见的哈希冲突的解决方案有「链式地址」和「开放寻址」。
+「负载因子 Load Factor」定义为 **哈希表中元素数量除以桶槽数量（即数组大小）**，代表哈希冲突的严重程度。
+
+**负载因子常用作哈希表扩容的触发条件**。比如在 Java 中，当负载因子 $> 0.75$ 时则触发扩容，将 HashMap 大小扩充至原先 $2$ 倍。
+
+与数组扩容类似，**哈希表扩容操作的开销很大**，因为需要将所有键值对从原哈希表依次移动至新哈希表。
 
 ## 链式地址
 
-「链式地址」通过引入链表来解决哈希冲突问题，代价是占用空间变大，因为链表或二叉树包含结点指针，相比于数组更加耗费内存空间。
+在原始哈希表中，桶内的每个地址只能存储一个元素（即键值对）。**考虑将单个元素转化成一个链表，将所有冲突元素都存储在一个链表中**。
 
-### 链表引入
+![hash_collision_chaining](hash_collision.assets/hash_collision_chaining.png)
 
-在原始哈希表中，一个桶地址只能存储一个元素（即键值对）。**考虑将桶地址内的单个元素转变成一个链表，将所有冲突元素都存储在一个链表中**，此时哈希表操作方法为：
+链式地址下，哈希表操作方法为：
 
-- **查询元素**：先将 key 输入到哈希函数得到桶地址（即访问链表头部），再遍历链表来确定对应的 value 。
+- **查询元素**：先将 key 输入到哈希函数得到桶内索引，即可访问链表头结点，再通过遍历链表查找对应 value 。
-- **添加元素**：先通过哈希函数访问链表头部，再将元素直接添加到链表头部即可。
+- **添加元素**：先通过哈希函数访问链表头部，再将结点（即键值对）添加到链表头部即可。
-- **删除元素**：同样先访问链表头部，再遍历链表查找对应元素，删除之即可。
+- **删除元素**：同样先根据哈希函数结果访问链表头部，再遍历链表查找对应结点，删除之即可。
 
-（图）
+链式地址虽然解决了哈希冲突问题，但仍存在局限性，包括：
 
-### 二叉树引入
+- **占用空间变大**，因为链表或二叉树包含结点指针，相比于数组更加耗费内存空间；
+- **查询效率降低**，因为需要线性遍历链表来查找对应元素；
 
-引入链表虽然解决了哈希冲突，但查询效率也随之降低了，因为需要线性查找（即遍历链表）来确认对应元素。为了缓解此问题，**当某个桶地址内的链表太长时，可以把链表转化为「平衡二叉搜索树」**，将时间复杂度降低至 $O(\log n)$ 。
+为了缓解时间效率问题，**可以把「链表」转化为「AVL 树」或「红黑树」**，将查询操作的时间复杂度优化至 $O(\log n)$ 。
-
-!!! note "工业界方案"
-
-    Java 使用了链式地址来解决哈希冲突。在 JDK 1.8 之后， HashMap 内长度大于 8 的链表会被转化为「红黑树」，以提升查找性能。
 
 ## 开放寻址
 
-「开放寻址」不引入额外数据结构，而是通过“向后探测”来解决哈希冲突。根据探测方法的不同，主要分为 **线性探测、平方探测、多次哈希**。
+「开放寻址」不引入额外数据结构，而是通过“多次探测”来解决哈希冲突。根据探测方法的不同，主要分为 **线性探测、平方探测、多次哈希**。
 
 ### 线性探测
 
@@ -53,16 +54,16 @@ comments: true
 1. 找到对应元素，返回 value 即可；
 2. 若遇到空位，则说明查找键值对不在哈希表中；
 
-（图）
+![hash_collision_linear_probing](hash_collision.assets/hash_collision_linear_probing.png)
 
-线性探测有以下缺陷：
+线性探测存在以下缺陷：
 
 - **不能直接删除元素**。删除元素会导致桶内出现一个空位，在查找其他元素时，该空位有可能导致程序认为元素不存在（即上述第 `2.` 种情况）。因此需要借助一个标志位来标记删除元素。
 - **容易产生聚集**。桶内被占用的连续位置越长，这些连续位置发生哈希冲突的可能性越大，从而进一步促进这一位置的“聚堆生长”，最终导致增删查改操作效率的劣化。
 
 ### 多次哈希
 
-顾名思义，「多次哈希」的思路是基于多个哈希函数 $f_1(x)$ , $f_2(x)$ , $f_3(x)$ , $\cdots$ 进行探测。
+顾名思义，「多次哈希」的思路是使用多个哈希函数 $f_1(x)$ , $f_2(x)$ , $f_3(x)$ , $\cdots$ 进行探测。
 
 **插入元素**：若哈希函数 $f_1(x)$ 出现冲突，则尝试 $f_2(x)$ ，以此类推……直到找到空位后插入元素。
 
@@ -72,3 +73,11 @@ comments: true
 2. 到空位或已尝试所有哈希函数，说明哈希表中无此元素；
 
 相比于「线性探测」，「多次哈希」方法更不容易产生聚集，代价是多个哈希函数增加了额外计算量。
+
+!!! note "工业界方案"
+
+    Java 采用「链式地址」。在 JDK 1.8 之后，HashMap 内数组长度 $> 64$ 时，长度大于 8 的链表会被转化为「红黑树」，以提升查找性能。
+    Python 采用「开放寻址」。字典 dict 采用的是随机探测，即使用伪随机数来探测。 
+
+
+

docs/chapter_hashing/hash_map.md

@@ -12,7 +12,7 @@ comments: true
 
 <p align="center"> Fig. 哈希表抽象表示 </p>
 
-## 哈希表优势
+## 哈希表效率
 
 除了哈希表之外，还可以使用以下数据结构来实现上述查询功能：
 
@@ -853,13 +853,13 @@ $$
 
 ## 哈希冲突
 
-细心的同学可能会发现，**哈希函数 $f(x) = x \% 100$ 会在某些情况下失效**。具体地，当输入的 key 后两位相同时，哈希函数的计算结果也相同，指向同一个 value 。例如，分别查询两个学号 12836 和 20336 ，则有
+细心的同学可能会发现，**哈希函数 $f(x) = x \% 100$ 会在某些情况下失效**。具体地，当输入的 key 后两位相同时，哈希函数的计算结果也相同，指向同一个 value 。例如，分别查询两个学号 $12836$ 和 $20336$ ，则有
 
 $$
 f(12836) = f(20336) = 36
 $$
 
-两个学号指向了同一个姓名，这明显是不对的，我们将这种现象称为「哈希冲突 Hash Collision」，其会严重影响查询的正确性。如何避免哈希冲突的问题将被留在下章讨论。
+两个学号指向了同一个姓名，这明显是不对的，我们将这种现象称为「哈希冲突 Hash Collision」。如何避免哈希冲突的问题将被留在下章讨论。
 
 ![hash_collision](hash_map.assets/hash_collision.png)
 

docs/chapter_tree/binary_search_tree.md

@@ -519,6 +519,14 @@ comments: true
 
 删除结点操作也使用 $O(\log n)$ 时间，其中查找待删除结点 $O(\log n)$ ，获取中序遍历后继结点 $O(\log n)$ 。
 
+### 排序
+
+我们知道，「中序遍历」遵循“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”的遍历优先级，而二叉搜索树遵循“左子结点 $<$ 根结点 $<$ 右子结点”的大小关系。因此，在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小结点，从而得出一条重要性质：**二叉搜索树的中序遍历序列是升序的**。
+
+借助中序遍历升序的性质，我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 $O(n)$ 时间，而无需额外排序，非常高效。
+
+![bst_inorder_traversal](binary_search_tree.assets/bst_inorder_traversal.png)
+
 === "Java"
 
     ```java title="binary_search_tree.java"
@@ -926,7 +934,7 @@ comments: true
     }
     ```
 
-## 二叉搜索树的优势
+## 二叉搜索树的效率
 
 假设给定 $n$ 个数字，最常用的存储方式是「数组」，那么对于这串乱序的数字，常见操作的效率为：
 

docs/stylesheets/extra.css

@@ -22,6 +22,11 @@
     --md-typeset-a-color: #21C8B8;
 }
 
+/* https://github.com/squidfunk/mkdocs-material/issues/4832#issuecomment-1374891676 */
+.md-nav__link[for] {
+  color: var(--md-default-fg-color) !important
+}
+
 /* Center Markdown Tables (requires md_in_html extension) */
 .center-table {
     text-align: center;