Table. 数组与链表特点对比
diff --git a/docs/chapter_computational_complexity/performance_evaluation.md b/docs/chapter_computational_complexity/performance_evaluation.md index 9d6fd6628..6c236c864 100644 --- a/docs/chapter_computational_complexity/performance_evaluation.md +++ b/docs/chapter_computational_complexity/performance_evaluation.md @@ -2,9 +2,9 @@ comments: true --- -# 算法效率评估 +# 2.1. 算法效率评估 -## 算法评价维度 +## 2.1.1. 算法评价维度 在开始学习算法之前，我们首先要想清楚算法的设计目标是什么，或者说，如何来评判算法的好与坏。整体上看，我们设计算法时追求两个层面的目标。 @@ -18,7 +18,7 @@ comments: true 数据结构与算法追求“运行速度快、占用内存少”，而如何去评价算法效率则是非常重要的问题，因为只有知道如何评价算法，才能去做算法之间的对比分析，以及优化算法设计。 -## 效率评估方法 +## 2.1.2. 效率评估方法 ### 实际测试 @@ -36,7 +36,7 @@ comments: true **复杂度分析克服了实际测试方法的弊端**。一是独立于测试环境，分析结果适用于所有运行平台。二是可以体现不同数据量下的算法效率，尤其是可以反映大数据量下的算法性能。 -## 复杂度分析的重要性 +## 2.1.3. 复杂度分析重要性 复杂度分析给出一把评价算法效率的“标尺”，告诉我们执行某个算法需要多少时间和空间资源，也让我们可以开展不同算法之间的效率对比。 diff --git a/docs/chapter_computational_complexity/space_complexity.md b/docs/chapter_computational_complexity/space_complexity.md index 96873fc12..479839647 100644 --- a/docs/chapter_computational_complexity/space_complexity.md +++ b/docs/chapter_computational_complexity/space_complexity.md @@ -2,11 +2,11 @@ comments: true --- -# 空间复杂度 +# 2.3. 空间复杂度 「空间复杂度 Space Complexity」统计 **算法使用内存空间随着数据量变大时的增长趋势**。这个概念与时间复杂度很类似。 -## 算法相关空间 +## 2.3.1. 算法相关空间 算法运行中，使用的内存空间主要有以下几种： @@ -202,7 +202,7 @@ comments: true } ``` -## 推算方法 +## 2.3.2. 推算方法 空间复杂度的推算方法和时间复杂度总体类似，只是从统计“计算操作数量”变为统计“使用空间大小”。与时间复杂度不同的是，**我们一般只关注「最差空间复杂度」**。这是因为内存空间是一个硬性要求，我们必须保证在所有输入数据下都有足够的内存空间预留。 @@ -452,7 +452,7 @@ comments: true } ``` -## 常见类型 +## 2.3.3. 常见类型 设输入数据大小为 $n$ ，常见的空间复杂度类型有（从低到高排列） diff --git a/docs/chapter_computational_complexity/space_time_tradeoff.md b/docs/chapter_computational_complexity/space_time_tradeoff.md index a265aba99..af865f2ad 100644 --- a/docs/chapter_computational_complexity/space_time_tradeoff.md +++ b/docs/chapter_computational_complexity/space_time_tradeoff.md @@ -2,7 +2,7 @@ comments: true --- -# 权衡时间与空间 +# 2.4. 权衡时间与空间 理想情况下，我们希望算法的时间复杂度和空间复杂度都能够达到最优，而实际上，同时优化时间复杂度和空间复杂度是非常困难的。 @@ -10,7 +10,7 @@ comments: true 大多数情况下，时间都是比空间更宝贵的，只要空间复杂度不要太离谱、能接受就行，**因此以空间换时间最为常用**。 -## 示例题目 * +## 2.4.1. 示例题目 * 以 LeetCode 全站第一题 [两数之和](https://leetcode.cn/problems/two-sum/) 为例。 diff --git a/docs/chapter_computational_complexity/summary.md b/docs/chapter_computational_complexity/summary.md index 0a1ee80be..acd745f9f 100644 --- a/docs/chapter_computational_complexity/summary.md +++ b/docs/chapter_computational_complexity/summary.md @@ -2,7 +2,7 @@ comments: true --- -# 小结 +# 2.5. 小结 ### 算法效率评估 diff --git a/docs/chapter_computational_complexity/time_complexity.md b/docs/chapter_computational_complexity/time_complexity.md index def052c92..97c9120c8 100644 --- a/docs/chapter_computational_complexity/time_complexity.md +++ b/docs/chapter_computational_complexity/time_complexity.md @@ -2,9 +2,9 @@ comments: true --- -# 时间复杂度 +# 2.2. 时间复杂度 -## 统计算法运行时间 +## 2.2.1. 统计算法运行时间 运行时间能够直观且准确地体现出算法的效率水平。如果我们想要 **准确预估一段代码的运行时间** ，该如何做呢？ @@ -155,7 +155,7 @@ $$ 但实际上， **统计算法的运行时间既不合理也不现实**。首先，我们不希望预估时间和运行平台绑定，毕竟算法需要跑在各式各样的平台之上。其次，我们很难获知每一种操作的运行时间，这为预估过程带来了极大的难度。 -## 统计时间增长趋势 +## 2.2.2. 统计时间增长趋势 「时间复杂度分析」采取了不同的做法，其统计的不是算法运行时间，而是 **算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势** 。 @@ -369,7 +369,7 @@ $$ **时间复杂度也存在一定的局限性**。比如，虽然算法 `A` 和 `C` 的时间复杂度相同，但是实际的运行时间有非常大的差别。再比如，虽然算法 `B` 比 `C` 的时间复杂度要更高，但在输入数据大小 $n$ 比较小时，算法 `B` 是要明显优于算法 `C` 的。对于以上情况，我们很难仅凭时间复杂度来判定算法效率高低。然而，即使存在这些问题，计算复杂度仍然是评判算法效率的最有效且常用的方法。 -## 函数渐近上界 +## 2.2.3. 函数渐近上界 设算法「计算操作数量」为 $T(n)$ ，其是一个关于输入数据大小 $n$ 的函数。例如，以下算法的操作数量为 @@ -530,11 +530,11 @@ $T(n)$ 是个一次函数，说明时间增长趋势是线性的，因此易得 渐近上界的数学味儿有点重，如果你感觉没有完全理解，无需担心，因为在实际使用中我们只需要会推算即可，数学意义可以慢慢领悟。 -## 推算方法 +## 2.2.4. 推算方法 推算出 $f(n)$ 后，我们就得到时间复杂度 $O(f(n))$ 。那么，如何来确定渐近上界 $f(n)$ 呢？总体分为两步，首先「统计操作数量」，然后「判断渐近上界」。 -### 1. 统计操作数量 +### 1) 统计操作数量 对着代码，从上到下一行一行地计数即可。然而，**由于上述 $c \cdot f(n)$ 中的常数项 $c$ 可以取任意大小，因此操作数量 $T(n)$ 中的各种系数、常数项都可以被忽略**。根据此原则，可以总结出以下计数偷懒技巧： @@ -725,7 +725,7 @@ $$ } ``` -### 2. 判断渐近上界 +### 2) 判断渐近上界 **时间复杂度由多项式 $T(n)$ 中最高阶的项来决定**。这是因为在 $n$ 趋于无穷大时，最高阶的项将处于主导作用，其它项的影响都可以被忽略。 @@ -743,7 +743,7 @@ $$ -## 常见类型 +## 2.2.5. 常见类型 设输入数据大小为 $n$ ，常见的时间复杂度类型有（从低到高排列） @@ -2309,7 +2309,7 @@ $$Fig. 阶乘阶的时间复杂度
-## 最差、最佳、平均时间复杂度 +## 2.2.6. 最差、最佳、平均时间复杂度 **某些算法的时间复杂度不是恒定的，而是与输入数据的分布有关**。举一个例子，输入一个长度为 $n$ 数组 `nums` ，其中 `nums` 由从 $1$ 至 $n$ 的数字组成，但元素顺序是随机打乱的；算法的任务是返回元素 $1$ 的索引。我们可以得出以下结论： diff --git a/docs/chapter_data_structure/classification_of_data_structure.md b/docs/chapter_data_structure/classification_of_data_structure.md index a2f5221b8..1b8d7b739 100644 --- a/docs/chapter_data_structure/classification_of_data_structure.md +++ b/docs/chapter_data_structure/classification_of_data_structure.md @@ -2,11 +2,11 @@ comments: true --- -# 数据结构分类 +# 3.2. 数据结构分类 数据结构主要可根据「逻辑结构」和「物理结构」两种角度进行分类。 -## 逻辑结构：线性与非线性 +## 3.2.1. 逻辑结构：线性与非线性 **「逻辑结构」反映了数据之间的逻辑关系**。数组和链表的数据按照顺序依次排列，反映了数据间的线性关系；树从顶至底按层级排列，反映了祖先与后代之间的派生关系；图由结点和边组成，反映了复杂网络关系。 @@ -19,7 +19,7 @@ comments: trueFig. 线性与非线性数据结构
-## 物理结构：连续与离散 +## 3.2.2. 物理结构：连续与离散 !!! note diff --git a/docs/chapter_data_structure/data_and_memory.md b/docs/chapter_data_structure/data_and_memory.md index 413841059..531744fb3 100644 --- a/docs/chapter_data_structure/data_and_memory.md +++ b/docs/chapter_data_structure/data_and_memory.md @@ -2,9 +2,9 @@ comments: true --- -# 数据与内存 +# 3.1. 数据与内存 -## 基本数据类型 +## 3.1.1. 基本数据类型 谈到计算机中的数据，我们能够想到文本、图片、视频、语音、3D 模型等等，这些数据虽然组织形式不同，但是有一个共同点，即都是由各种基本数据类型构成的。 @@ -128,7 +128,7 @@ comments: true let booleans = Array(repeating: Bool(), count: 5) ``` -## 计算机内存 +## 3.1.2. 计算机内存 在计算机中，内存和硬盘是两种主要的存储硬件设备。「硬盘」主要用于长期存储数据，容量较大（通常可达到 TB 级别）、速度较慢。「内存」用于运行程序时暂存数据，速度较快，但容量较小（通常为 GB 级别）。 diff --git a/docs/chapter_data_structure/summary.md b/docs/chapter_data_structure/summary.md index e51e4dc5b..5340746a3 100644 --- a/docs/chapter_data_structure/summary.md +++ b/docs/chapter_data_structure/summary.md @@ -2,7 +2,7 @@ comments: true --- -# 小结 +# 3.3. 小结 - 整数 byte, short, int, long 、浮点数 float, double 、字符 char 、布尔 boolean 是计算机中的基本数据类型，占用空间的大小决定了它们的取值范围。 - 在程序运行时，数据存储在计算机的内存中。内存中每块空间都有独立的内存地址，程序是通过内存地址来访问数据的。 diff --git a/docs/chapter_graph/basic_operation_of_graph.md b/docs/chapter_graph/basic_operation_of_graph.md index 3710c8b5a..920663b54 100644 --- a/docs/chapter_graph/basic_operation_of_graph.md +++ b/docs/chapter_graph/basic_operation_of_graph.md @@ -2,11 +2,11 @@ comments: true --- -# 图基础操作 +# 9.2. 图基础操作 图的基础操作分为对「边」的操作和对「顶点」的操作，在「邻接矩阵」和「邻接表」这两种表示下的实现方式不同。 -## 基于邻接矩阵的实现 +## 9.2.1. 基于邻接矩阵的实现 设图的顶点总数为 $n$ ，则有： @@ -162,7 +162,7 @@ comments: true ``` -## 基于邻接表的实现 +## 9.2.2. 基于邻接表的实现 设图的顶点总数为 $n$ 、边总数为 $m$ ，则有： @@ -309,7 +309,7 @@ comments: true ``` -## 效率对比 +## 9.2.3. 效率对比 设图中共有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边，下表为邻接矩阵和邻接表的时间和空间效率对比。 diff --git a/docs/chapter_graph/graph.md b/docs/chapter_graph/graph.md index ca81b20ae..5f8d861e5 100644 --- a/docs/chapter_graph/graph.md +++ b/docs/chapter_graph/graph.md @@ -2,7 +2,7 @@ comments: true --- -# 图 +# 9.1. 图 「图 Graph」是一种非线性数据结构，由「顶点 Vertex」和「边 Edge」组成。我们可将图 $G$ 抽象地表示为一组顶点 $V$ 和一组边 $E$ 的集合。例如，以下表示一个包含 5 个顶点和 7 条边的图 @@ -18,7 +18,7 @@ $$ 那么，图与其他数据结构的关系是什么？如果我们把「顶点」看作结点，把「边」看作连接各个结点的指针，则可将「图」看成一种从「链表」拓展而来的数据结构。**相比线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高，也从而更为复杂**。 -## 图常见类型 +## 9.1.1. 图常见类型 根据边是否有方向，分为「无向图 Undirected Graph」和「有向图 Directed Graph」。 @@ -38,13 +38,13 @@ $$  -## 图常用术语 +## 9.1.2. 图常用术语 - 「邻接 Adjacency」：当两顶点之间有边相连时，称此两顶点“邻接”。 - 「路径 Path」：从顶点 A 到顶点 B 走过的边构成的序列，被称为从 A 到 B 的“路径”。 - 「度 Degree」表示一个顶点具有多少条边。对于有向图，「入度 In-Degree」表示有多少条边指向该顶点，「出度 Out-Degree」表示有多少条边从该顶点指出。 -## 图的表示 +## 9.1.3. 图的表示 图的常用表示方法有「邻接矩阵」和「邻接表」。以下使用「无向图」来举例。 @@ -72,7 +72,7 @@ $$ 观察上图发现，**邻接表结构与哈希表「链地址法」非常相似，因此我们也可以用类似方法来优化效率**。比如，当链表较长时，可以把链表转化为「AVL 树」，从而将时间效率从 $O(n)$ 优化至 $O(\log n)$ ，还可以通过中序遍历获取有序序列；还可以将链表转化为 HashSet（即哈希表），将时间复杂度降低至 $O(1)$ ，。 -## 图常见应用 +## 9.1.4. 图常见应用 现实中的许多系统都可以使用图来建模，对应的待求解问题也可以被约化为图计算问题。 diff --git a/docs/chapter_hashing/hash_collision.md b/docs/chapter_hashing/hash_collision.md index d17bb5911..269254c6c 100644 --- a/docs/chapter_hashing/hash_collision.md +++ b/docs/chapter_hashing/hash_collision.md @@ -2,7 +2,7 @@ comments: true --- -# 哈希冲突 +# 6.2. 哈希冲突 理想情况下，哈希函数应该为每个输入产生唯一的输出，使得 key 和 value 一一对应。而实际上，往往存在向哈希函数输入不同的 key 而产生相同输出的情况，这种情况被称为「哈希冲突 Hash Collision」。哈希冲突会导致查询结果错误，从而严重影响哈希表的可用性。 @@ -12,7 +12,7 @@ comments: true 另一方面，**考虑通过优化数据结构以缓解哈希冲突**，常见的方法有「链式地址」和「开放寻址」。 -## 哈希表扩容 +## 6.2.1. 哈希表扩容 「负载因子 Load Factor」定义为 **哈希表中元素数量除以桶槽数量（即数组大小）**，代表哈希冲突的严重程度。 @@ -20,7 +20,7 @@ comments: true 与数组扩容类似，**哈希表扩容操作的开销很大**，因为需要将所有键值对从原哈希表依次移动至新哈希表。 -## 链式地址 +## 6.2.2. 链式地址 在原始哈希表中，桶内的每个地址只能存储一个元素（即键值对）。**考虑将单个元素转化成一个链表，将所有冲突元素都存储在一个链表中**。 @@ -39,7 +39,7 @@ comments: true 为了缓解时间效率问题，**可以把「链表」转化为「AVL 树」或「红黑树」**，将查询操作的时间复杂度优化至 $O(\log n)$ 。 -## 开放寻址 +## 6.2.3. 开放寻址 「开放寻址」不引入额外数据结构，而是通过“多次探测”来解决哈希冲突。根据探测方法的不同，主要分为 **线性探测、平方探测、多次哈希**。 diff --git a/docs/chapter_hashing/hash_map.md b/docs/chapter_hashing/hash_map.md index be54c7df1..313b085a7 100644 --- a/docs/chapter_hashing/hash_map.md +++ b/docs/chapter_hashing/hash_map.md @@ -2,7 +2,7 @@ comments: true --- -# 哈希表 +# 6.1. 哈希表 哈希表通过建立「键 key」和「值 value」之间的映射，实现高效的元素查找。具体地，输入一个 key ，在哈希表中查询并获取 value ，时间复杂度为 $O(1)$ 。 @@ -12,7 +12,7 @@ comments: trueFig. 哈希表抽象表示
-## 哈希表效率 +## 6.1.1. 哈希表效率 除了哈希表之外，还可以使用以下数据结构来实现上述查询功能： @@ -33,7 +33,7 @@ comments: true -## 哈希表常用操作 +## 6.1.2. 哈希表常用操作 哈希表的基本操作包括 **初始化、查询操作、添加与删除键值对**。 @@ -380,7 +380,7 @@ comments: true } ``` -## 哈希函数 +## 6.1.3. 哈希函数 哈希表中存储元素的数据结构被称为「桶 Bucket」，底层实现可能是数组、链表、二叉树（红黑树），或是它们的组合。 @@ -851,7 +851,7 @@ $$ } ``` -## 哈希冲突 +## 6.1.4. 哈希冲突 细心的同学可能会发现，**哈希函数 $f(x) = x \% 100$ 会在某些情况下失效**。具体地，当输入的 key 后两位相同时，哈希函数的计算结果也相同，指向同一个 value 。例如，分别查询两个学号 $12836$ 和 $20336$ ，则有 diff --git a/docs/chapter_hashing/summary.md b/docs/chapter_hashing/summary.md index 5f58b7594..a66b041a3 100644 --- a/docs/chapter_hashing/summary.md +++ b/docs/chapter_hashing/summary.md @@ -2,4 +2,4 @@ comments: true --- -# 小结 +# 6.3. 小结 diff --git a/docs/chapter_heap/heap.md b/docs/chapter_heap/heap.md index 0458448a7..d674b3ba0 100644 --- a/docs/chapter_heap/heap.md +++ b/docs/chapter_heap/heap.md @@ -2,22 +2,24 @@ comments: true --- -# 堆 +# 8.1. # 1.1 堆 「堆 Heap」是一颗限定条件下的「完全二叉树」。根据成立条件，堆主要分为两种类型： - 「大顶堆 Max Heap」，任意结点的值 $\geq$ 其子结点的值； - 「小顶堆 Min Heap」，任意结点的值 $\leq$ 其子结点的值； - +Fig. 冒泡操作
-## 算法流程 +## 11.2.1. 算法流程 1. 设数组长度为 $n$ ，完成第一轮「冒泡」后，数组最大元素已在正确位置，接下来只需排序剩余 $n - 1$ 个元素。 2. 同理，对剩余 $n - 1$ 个元素执行「冒泡」，可将第二大元素交换至正确位置，因而待排序元素只剩 $n - 2$ 个。 @@ -232,7 +232,7 @@ comments: true } ``` -## 算法特性 +## 11.2.2. 算法特性 **时间复杂度 $O(n^2)$** ：各轮「冒泡」遍历的数组长度为 $n - 1$ , $n - 2$ , $\cdots$ , $2$ , $1$ 次，求和为 $\frac{(n - 1) n}{2}$ ，因此使用 $O(n^2)$ 时间。 @@ -244,7 +244,7 @@ comments: true **自适应排序**：引入 `flag` 优化后（见下文），最佳时间复杂度为 $O(N)$ 。 -## 效率优化 +## 11.2.3. 效率优化 我们发现，若在某轮「冒泡」中未执行任何交换操作，则说明数组已经完成排序，可直接返回结果。考虑可以增加一个标志位 `flag` 来监听该情况，若出现则直接返回。 diff --git a/docs/chapter_sorting/insertion_sort.md b/docs/chapter_sorting/insertion_sort.md index 28421b7a3..c44dc9254 100644 --- a/docs/chapter_sorting/insertion_sort.md +++ b/docs/chapter_sorting/insertion_sort.md @@ -2,7 +2,7 @@ comments: true --- -# 插入排序 +# 11.3. 插入排序 「插入排序 Insertion Sort」是一种基于 **数组插入操作** 的排序算法。 @@ -14,7 +14,7 @@ comments: trueFig. 插入操作
-## 算法流程 +## 11.3.1. 算法流程 1. 第 1 轮先选取数组的 **第 2 个元素** 为 `base` ，执行「插入操作」后， **数组前 2 个元素已完成排序**。 2. 第 2 轮选取 **第 3 个元素** 为 `base` ，执行「插入操作」后， **数组前 3 个元素已完成排序**。 @@ -194,7 +194,7 @@ comments: true } ``` -## 算法特性 +## 11.3.2. 算法特性 **时间复杂度 $O(n^2)$** ：最差情况下，各轮插入操作循环 $n - 1$ , $n-2$ , $\cdots$ , $2$ , $1$ 次，求和为 $\frac{(n - 1) n}{2}$ ，使用 $O(n^2)$ 时间。 @@ -206,7 +206,7 @@ comments: true **自适应排序**：最佳情况下，时间复杂度为 $O(n)$ 。 -## 插入排序 vs 冒泡排序 +## 11.3.3. 插入排序 vs 冒泡排序 !!! question diff --git a/docs/chapter_sorting/intro_to_sort.md b/docs/chapter_sorting/intro_to_sort.md index 2a1c184e7..e4e1552ac 100644 --- a/docs/chapter_sorting/intro_to_sort.md +++ b/docs/chapter_sorting/intro_to_sort.md @@ -2,7 +2,7 @@ comments: true --- -# 排序简介 +# 11.1. 排序简介 「排序算法 Sorting Algorithm」使得列表中的所有元素按照从小到大的顺序排列。 @@ -13,7 +13,7 @@ comments: trueFig. 排序中的不同元素类型和判断规则
-## 评价维度 +## 11.1.1. 评价维度 排序算法主要可根据 **稳定性 、就地性 、自适应性 、比较类** 来分类。 @@ -25,22 +25,22 @@ comments: true 假设我们有一个存储学生信息的表格，第 1, 2 列分别是姓名和年龄。那么在以下示例中，「非稳定排序」会导致输入数据的有序性丢失。因此「稳定排序」是很好的特性，**在多级排序中是必须的**。 ```shell -# 输入数据是按照姓名排序好的 -# (name, age) - ('A', 19) - ('B', 18) - ('C', 21) - ('D', 19) - ('E', 23) + # 输入数据是按照姓名排序好的 + # (name, age) + ('A', 19) + ('B', 18) + ('C', 21) + ('D', 19) + ('E', 23) -# 假设使用非稳定排序算法按年龄排序列表， -# 结果中 ('D', 19) 和 ('A', 19) 的相对位置改变， -# 输入数据按姓名排序的性质丢失 - ('B', 18) - ('D', 19) - ('A', 19) - ('C', 21) - ('E', 23) + # 假设使用非稳定排序算法按年龄排序列表， + # 结果中 ('D', 19) 和 ('A', 19) 的相对位置改变， + # 输入数据按姓名排序的性质丢失 + ('B', 18) + ('D', 19) + ('A', 19) + ('C', 21) + ('E', 23) ``` ### 就地性 @@ -64,7 +64,7 @@ comments: true 「比较类排序」的时间复杂度最优为 $O(n \log n)$ ；而「非比较类排序」可以达到 $O(n)$ 的时间复杂度，但通用性较差。 -## 理想排序算法 +## 11.1.2. 理想排序算法 - **运行快**，即时间复杂度低； - **稳定排序**，即排序后相等元素的相对位置不变化； diff --git a/docs/chapter_sorting/merge_sort.md b/docs/chapter_sorting/merge_sort.md index ad3b4f570..c0c0fd76d 100644 --- a/docs/chapter_sorting/merge_sort.md +++ b/docs/chapter_sorting/merge_sort.md @@ -2,7 +2,7 @@ comments: true --- -# 归并排序 +# 11.5. 归并排序 「归并排序 Merge Sort」是算法中“分治思想”的典型体现，其有「划分」和「合并」两个阶段： @@ -13,7 +13,7 @@ comments: trueFig. 归并排序两阶段：划分与合并
-## 算法流程 +## 11.5.1. 算法流程 **「递归划分」** 从顶至底递归地 **将数组从中点切为两个子数组**，直至长度为 1 ； @@ -453,7 +453,7 @@ comments: true - `nums` 的待合并区间为 `[left, right]` ，而因为 `tmp` 只复制了 `nums` 该区间元素，所以 `tmp` 对应区间为 `[0, right - left]` ，**需要特别注意代码中各个变量的含义**。 - 判断 `tmp[i]` 和 `tmp[j]` 的大小的操作中，还 **需考虑当子数组遍历完成后的索引越界问题**，即 `i > leftEnd` 和 `j > rightEnd` 的情况，索引越界的优先级是最高的，例如如果左子数组已经被合并完了，那么不用继续判断，直接合并右子数组元素即可。 -## 算法特性 +## 11.5.2. 算法特性 - **时间复杂度 $O(n \log n)$** ：划分形成高度为 $\log n$ 的递归树，每层合并的总操作数量为 $n$ ，总体使用 $O(n \log n)$ 时间。 - **空间复杂度 $O(n)$** ：需借助辅助数组实现合并，使用 $O(n)$ 大小的额外空间；递归深度为 $\log n$ ，使用 $O(\log n)$ 大小的栈帧空间。 @@ -461,7 +461,7 @@ comments: true - **稳定排序**：在合并时可保证相等元素的相对位置不变。 - **非自适应排序**：对于任意输入数据，归并排序的时间复杂度皆相同。 -## 链表排序 * +## 11.5.3. 链表排序 * 归并排序有一个很特别的优势，用于排序链表时有很好的性能表现，**空间复杂度可被优化至 $O(1)$** ，这是因为： diff --git a/docs/chapter_sorting/quick_sort.md b/docs/chapter_sorting/quick_sort.md index 20c26609c..f804c2105 100644 --- a/docs/chapter_sorting/quick_sort.md +++ b/docs/chapter_sorting/quick_sort.md @@ -2,7 +2,7 @@ comments: true --- -# 快速排序 +# 11.4. 快速排序 「快速排序 Quick Sort」是一种基于“分治思想”的排序算法，速度很快、应用很广。 @@ -263,7 +263,7 @@ comments: true 哨兵划分的实质是将 **一个长数组的排序问题** 简化为 **两个短数组的排序问题**。 -## 算法流程 +## 11.4.1. 算法流程 1. 首先，对数组执行一次「哨兵划分」，得到待排序的 **左子数组** 和 **右子数组**； 2. 接下来，对 **左子数组** 和 **右子数组** 分别 **递归执行**「哨兵划分」…… @@ -412,7 +412,7 @@ comments: true } ``` -## 算法特性 +## 11.4.2. 算法特性 **平均时间复杂度 $O(n \log n)$** ：平均情况下，哨兵划分的递归层数为 $\log n$ ，每层中的总循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n \log n)$ 时间。 @@ -426,7 +426,7 @@ comments: true **自适应排序**：最差情况下，时间复杂度劣化至 $O(n^2)$ 。 -## 快排为什么快？ +## 11.4.3. 快排为什么快？ 从命名能够看出，快速排序在效率方面一定“有两把刷子”。快速排序的平均时间复杂度虽然与「归并排序」和「堆排序」一致，但实际 **效率更高**，这是因为： @@ -434,7 +434,7 @@ comments: true - **缓存使用效率高**：哨兵划分操作时，将整个子数组加载入缓存中，访问元素效率很高。而诸如「堆排序」需要跳跃式访问元素，因此不具有此特性。 - **复杂度的常数系数低**：在提及的三种算法中，快速排序的 **比较**、**赋值**、**交换** 三种操作的总体数量最少（类似于「插入排序」快于「冒泡排序」的原因）。 -## 基准数优化 +## 11.4.4. 基准数优化 **普通快速排序在某些输入下的时间效率变差**。举个极端例子，假设输入数组是完全倒序的，由于我们选取最左端元素为基准数，那么在哨兵划分完成后，基准数被交换至数组最右端，从而 **左子数组长度为 $n - 1$、右子数组长度为 $0$** 。这样进一步递归下去，**每轮哨兵划分后的右子数组长度都为 $0$** ，分治策略失效，快速排序退化为「冒泡排序」了。 @@ -652,7 +652,7 @@ comments: true } ``` -## 尾递归优化 +## 11.4.5. 尾递归优化 **普通快速排序在某些输入下的空间效率变差**。仍然以完全倒序的输入数组为例，由于每轮哨兵划分后右子数组长度为 0 ，那么将形成一个高度为 $n - 1$ 的递归树，此时使用的栈帧空间大小劣化至 $O(n)$ 。 diff --git a/docs/chapter_sorting/summary.md b/docs/chapter_sorting/summary.md index df0b7a700..71cc82609 100644 --- a/docs/chapter_sorting/summary.md +++ b/docs/chapter_sorting/summary.md @@ -2,5 +2,5 @@ comments: true --- -# 小结 +# 11.6. 小结 diff --git a/docs/chapter_stack_and_queue/deque.md b/docs/chapter_stack_and_queue/deque.md index 2d0aca9e8..955593cbc 100644 --- a/docs/chapter_stack_and_queue/deque.md +++ b/docs/chapter_stack_and_queue/deque.md @@ -2,7 +2,7 @@ comments: true --- -# 双向队列 +# 5.3. 双向队列 对于队列，我们只能在头部删除或在尾部添加元素，而「双向队列 Deque」更加灵活，在其头部和尾部都能执行元素添加或删除操作。 @@ -10,7 +10,7 @@ comments: trueFig. 双向队列的操作
-## 双向队列常用操作 +## 5.3.1. 双向队列常用操作 双向队列的常用操作见下表（方法命名以 Java 为例）。 @@ -223,7 +223,7 @@ comments: true let isEmpty = deque.isEmpty ``` -## 双向队列实现 +## 5.3.2. 双向队列实现 双向队列需要一种可以在两端添加、两端删除的数据结构。与队列的实现方法类似，双向队列也可以使用双向链表和循环数组来实现。 diff --git a/docs/chapter_stack_and_queue/queue.md b/docs/chapter_stack_and_queue/queue.md index 530d16a48..34b6c0121 100644 --- a/docs/chapter_stack_and_queue/queue.md +++ b/docs/chapter_stack_and_queue/queue.md @@ -2,7 +2,7 @@ comments: true --- -# 队列 +# 5.2. 队列 「队列 Queue」是一种遵循「先入先出 first in, first out」数据操作规则的线性数据结构。顾名思义，队列模拟的是排队现象，即外面的人不断加入队列尾部，而处于队列头部的人不断地离开。 @@ -12,7 +12,7 @@ comments: trueFig. 队列的先入先出特性
-## 队列常用操作 +## 5.2.1. 队列常用操作 队列的常用操作见下表（方法命名以 Java 为例）。 @@ -256,7 +256,7 @@ comments: true let isEmpty = queue.isEmpty ``` -## 队列实现 +## 5.2.2. 队列实现 队列需要一种可以在一端添加，并在另一端删除的数据结构，也可以使用链表或数组来实现。 @@ -1202,11 +1202,11 @@ comments: true 以上代码仍存在局限性，即长度不可变。然而，我们可以通过将数组替换为列表（即动态数组）来引入扩容机制，有兴趣的同学可以尝试实现。 -## 两种实现对比 +## 5.2.3. 两种实现对比 与栈的结论一致，在此不再赘述。 -## 队列典型应用 +## 5.2.4. 队列典型应用 - **淘宝订单**。购物者下单后，订单就被加入到队列之中，随后系统再根据顺序依次处理队列中的订单。在双十一时，在短时间内会产生海量的订单，如何处理「高并发」则是工程师们需要重点思考的问题。 - **各种待办事项**。例如打印机的任务队列、餐厅的出餐队列等等。 diff --git a/docs/chapter_stack_and_queue/stack.md b/docs/chapter_stack_and_queue/stack.md index dd45821cb..d19c5760b 100644 --- a/docs/chapter_stack_and_queue/stack.md +++ b/docs/chapter_stack_and_queue/stack.md @@ -2,7 +2,7 @@ comments: true --- -# 栈 +# 5.1. 栈 「栈 Stack」是一种遵循「先入后出 first in, last out」数据操作规则的线性数据结构。我们可以将栈类比为放在桌面上的一摞盘子，如果需要拿出底部的盘子，则需要先将上面的盘子依次取出。 @@ -14,7 +14,7 @@ comments: trueFig. 栈的先入后出特性
-## 栈常用操作 +## 5.1.1. 栈常用操作 栈的常用操作见下表（方法命名以 Java 为例）。 @@ -255,7 +255,7 @@ comments: true let isEmpty = stack.isEmpty ``` -## 栈的实现 +## 5.1.2. 栈的实现 为了更加清晰地了解栈的运行机制，接下来我们来自己动手实现一个栈类。 @@ -1023,7 +1023,7 @@ comments: true } ``` -## 两种实现对比 +## 5.1.3. 两种实现对比 ### 支持操作 @@ -1048,7 +1048,7 @@ comments: true 综上，我们不能简单地确定哪种实现更加省内存，需要 case-by-case 地分析。 -## 栈典型应用 +## 5.1.4. 栈典型应用 - **浏览器中的后退与前进、软件中的撤销与反撤销**。每当我们打开新的网页，浏览器就将上一个网页执行入栈，这样我们就可以通过「后退」操作来回到上一页面，后退操作实际上是在执行出栈。如果要同时支持后退和前进，那么则需要两个栈来配合实现。 - **程序内存管理**。每当调用函数时，系统就会在栈顶添加一个栈帧，用来记录函数的上下文信息。在递归函数中，向下递推会不断执行入栈，向上回溯阶段时出栈。 diff --git a/docs/chapter_stack_and_queue/summary.md b/docs/chapter_stack_and_queue/summary.md index d6066f0f1..19cf6c8c3 100644 --- a/docs/chapter_stack_and_queue/summary.md +++ b/docs/chapter_stack_and_queue/summary.md @@ -2,7 +2,7 @@ comments: true --- -# 小结 +# 5.4. 小结 - 栈是一种遵循先入后出的数据结构，可以使用数组或链表实现。 - 在时间效率方面，栈的数组实现具有更好的平均效率，但扩容时会导致单次入栈操作的时间复杂度劣化至 $O(n)$ 。相对地，栈的链表实现具有更加稳定的效率表现。 diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.md b/docs/chapter_tree/avl_tree.md index 95c818c0c..bec639d68 100644 --- a/docs/chapter_tree/avl_tree.md +++ b/docs/chapter_tree/avl_tree.md @@ -2,7 +2,7 @@ comments: true --- -# AVL 树 * +# 7.4. AVL 树 * 在「二叉搜索树」章节中提到，在进行多次插入与删除操作后，二叉搜索树可能会退化为链表。此时所有操作的时间复杂度都会由 $O(\log n)$ 劣化至 $O(n)$ 。 @@ -18,7 +18,7 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit 换言之，在频繁增删查改的使用场景中，AVL 树可始终保持很高的数据增删查改效率，具有很好的应用价值。 -## AVL 树常见术语 +## 7.4.1. AVL 树常见术语 「AVL 树」既是「二叉搜索树」又是「平衡二叉树」，同时满足这两种二叉树的所有性质，因此又被称为「平衡二叉搜索树」。 @@ -329,7 +329,7 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit 设平衡因子为 $f$ ，则一棵 AVL 树的任意结点的平衡因子皆满足 $-1 \le f \le 1$ 。 -## AVL 树旋转 +## 7.4.2. AVL 树旋转 AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影响二叉树中序遍历序列的前提下，使失衡结点重新恢复平衡**。换言之，旋转操作既可以使树保持为「二叉搜索树」，也可以使树重新恢复为「平衡二叉树」。 @@ -827,7 +827,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影 } ``` -## AVL 树常用操作 +## 7.4.3. AVL 树常用操作 ### 插入结点 @@ -1253,7 +1253,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影 「AVL 树」的结点查找操作与「二叉搜索树」一致，在此不再赘述。 -## AVL 树典型应用 +## 7.4.4. AVL 树典型应用 - 组织存储大型数据，适用于高频查找、低频增删场景； - 用于建立数据库中的索引系统； diff --git a/docs/chapter_tree/binary_search_tree.md b/docs/chapter_tree/binary_search_tree.md index 4c6269bbf..e9fb1d8c9 100644 --- a/docs/chapter_tree/binary_search_tree.md +++ b/docs/chapter_tree/binary_search_tree.md @@ -2,7 +2,7 @@ comments: true --- -# 二叉搜索树 +# 7.3. 二叉搜索树 「二叉搜索树 Binary Search Tree」满足以下条件： @@ -11,7 +11,7 @@ comments: true  -## 二叉搜索树的操作 +## 7.3.1. 二叉搜索树的操作 ### 查找结点 @@ -934,7 +934,7 @@ comments: true } ``` -## 二叉搜索树的效率 +## 7.3.2. 二叉搜索树的效率 假设给定 $n$ 个数字，最常用的存储方式是「数组」，那么对于这串乱序的数字，常见操作的效率为： @@ -963,7 +963,7 @@ comments: true -## 二叉搜索树的退化 +## 7.3.3. 二叉搜索树的退化 理想情况下，我们希望二叉搜索树的是“左右平衡”的（详见「平衡二叉树」章节），此时可以在 $\log n$ 轮循环内查找任意结点。 @@ -975,7 +975,7 @@ comments: true  -## 二叉搜索树常见应用 +## 7.3.4. 二叉搜索树常见应用 - 系统中的多级索引，高效查找、插入、删除操作。 - 各种搜索算法的底层数据结构。 diff --git a/docs/chapter_tree/binary_tree.md b/docs/chapter_tree/binary_tree.md index 8b51788d2..66a80a791 100644 --- a/docs/chapter_tree/binary_tree.md +++ b/docs/chapter_tree/binary_tree.md @@ -2,7 +2,7 @@ comments: true --- -# 二叉树 +# 7.1. 二叉树 「二叉树 Binary Tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的分治逻辑。类似于链表，二叉树也是以结点为单位存储的，结点包含「值」和两个「指针」。 @@ -129,7 +129,7 @@ comments: trueFig. 子结点与子树
-## 二叉树常见术语 +## 7.1.1. 二叉树常见术语 二叉树的术语较多，建议尽量理解并记住。后续可能遗忘，可以在需要使用时回来查看确认。 @@ -150,7 +150,7 @@ comments: true 值得注意，我们通常将「高度」和「深度」定义为“走过边的数量”，而有些题目或教材会将其定义为“走过结点的数量”，此时高度或深度都需要 + 1 。 -## 二叉树基本操作 +## 7.1.2. 二叉树基本操作 **初始化二叉树**。与链表类似，先初始化结点，再构建引用指向（即指针）。 @@ -404,7 +404,7 @@ comments: true 插入结点会改变二叉树的原有逻辑结构，删除结点往往意味着删除了该结点的所有子树。因此，二叉树中的插入与删除一般都是由一套操作配合完成的，这样才能实现有意义的操作。 -## 常见二叉树类型 +## 7.1.3. 常见二叉树类型 ### 完美二叉树 @@ -436,7 +436,7 @@ comments: true  -## 二叉树的退化 +## 7.1.4. 二叉树的退化 当二叉树的每层的结点都被填满时，达到「完美二叉树」；而当所有结点都偏向一边时，二叉树退化为「链表」。 @@ -460,7 +460,7 @@ comments: true -## 二叉树表示方式 * +## 7.1.5. 二叉树表示方式 * 我们一般使用二叉树的「链表表示」，即存储单位为结点 `TreeNode` ，结点之间通过指针（引用）相连接。本文前述示例代码展示了二叉树在链表表示下的各项基本操作。 diff --git a/docs/chapter_tree/binary_tree_traversal.md b/docs/chapter_tree/binary_tree_traversal.md index 3070097a1..aa727c431 100644 --- a/docs/chapter_tree/binary_tree_traversal.md +++ b/docs/chapter_tree/binary_tree_traversal.md @@ -2,11 +2,11 @@ comments: true --- -# 二叉树遍历 +# 7.2. 二叉树遍历 非线性数据结构的遍历操作比线性数据结构更加复杂，往往需要使用搜索算法来实现。常见的二叉树遍历方式有层序遍历、前序遍历、中序遍历、后序遍历。 -## 层序遍历 +## 7.2.1. 层序遍历 「层序遍历 Hierarchical-Order Traversal」从顶至底、一层一层地遍历二叉树，并在每层中按照从左到右的顺序访问结点。 @@ -208,7 +208,7 @@ comments: true } ``` -## 前序、中序、后序遍历 +## 7.2.2. 前序、中序、后序遍历 相对地，前、中、后序遍历皆属于「深度优先遍历 Depth-First Traversal」，其体现着一种“先走到尽头，再回头继续”的回溯遍历方式。 diff --git a/docs/chapter_tree/summary.md b/docs/chapter_tree/summary.md index 15dc2f6d3..8566eaa8e 100644 --- a/docs/chapter_tree/summary.md +++ b/docs/chapter_tree/summary.md @@ -2,7 +2,7 @@ comments: true --- -# 小结 +# 7.5. 小结 - 二叉树是一种非线性数据结构，代表着“一分为二”的分治逻辑。二叉树的结点包含「值」和两个「指针」，分别指向左子结点和右子结点。 - 选定二叉树中某结点，将其左（右）子结点以下形成的树称为左（右）子树。 diff --git a/mkdocs.yml b/mkdocs.yml index a091bdd7f..7ec072cd7 100644 --- a/mkdocs.yml +++ b/mkdocs.yml @@ -123,60 +123,60 @@ extra_css: # Page tree nav: - - 写在前面: - - 关于本书: chapter_preface/about_the_book.md - - 如何使用本书: chapter_preface/suggestions.md - - 编程环境安装: chapter_preface/installation.md - - 一起参与创作: chapter_preface/contribution.md - - 引言: - - 算法无处不在: chapter_introduction/algorithms_are_everywhere.md - - 算法是什么: chapter_introduction/what_is_dsa.md - - 计算复杂度: - - 算法效率评估: chapter_computational_complexity/performance_evaluation.md - - 时间复杂度: chapter_computational_complexity/time_complexity.md - - 空间复杂度: chapter_computational_complexity/space_complexity.md - - 权衡时间与空间: chapter_computational_complexity/space_time_tradeoff.md - - 小结: chapter_computational_complexity/summary.md - - 数据结构简介: - - 数据与内存: chapter_data_structure/data_and_memory.md - - 数据结构分类: chapter_data_structure/classification_of_data_structure.md - - 小结: chapter_data_structure/summary.md - - 数组与链表: - - 数组（Array）: chapter_array_and_linkedlist/array.md - - 链表（LinkedList）: chapter_array_and_linkedlist/linked_list.md - - 列表（List）: chapter_array_and_linkedlist/list.md - - 小结: chapter_array_and_linkedlist/summary.md - - 栈与队列: - - 栈（Stack）: chapter_stack_and_queue/stack.md - - 队列（Queue）: chapter_stack_and_queue/queue.md - - 双向队列（Deque）: chapter_stack_and_queue/deque.md - - 小结: chapter_stack_and_queue/summary.md - - 散列表: - - 哈希表（HashMap）: chapter_hashing/hash_map.md - - 哈希冲突处理: chapter_hashing/hash_collision.md - - 小结: chapter_hashing/summary.md - - 二叉树: - - 二叉树（Binary Tree）: chapter_tree/binary_tree.md - - 二叉树遍历: chapter_tree/binary_tree_traversal.md - - 二叉搜索树: chapter_tree/binary_search_tree.md - - AVL 树 *: chapter_tree/avl_tree.md - - 小结: chapter_tree/summary.md - - 堆: - - 堆（Heap）: chapter_heap/heap.md - - 图: - - 图（Graph）: chapter_graph/graph.md - - 图基础操作: chapter_graph/basic_operation_of_graph.md - - 查找算法: - - 线性查找: chapter_searching/linear_search.md - - 二分查找: chapter_searching/binary_search.md - - 哈希查找: chapter_searching/hashing_search.md - - 小结: chapter_searching/summary.md - - 排序算法: - - 排序简介: chapter_sorting/intro_to_sort.md - - 冒泡排序: chapter_sorting/bubble_sort.md - - 插入排序: chapter_sorting/insertion_sort.md - - 快速排序: chapter_sorting/quick_sort.md - - 归并排序: chapter_sorting/merge_sort.md - - 小结: chapter_sorting/summary.md + - 0. 写在前面: + - 0.1. 关于本书: chapter_preface/about_the_book.md + - 0.2. 如何使用本书: chapter_preface/suggestions.md + - 0.3. 编程环境安装: chapter_preface/installation.md + - 0.4. 一起参与创作: chapter_preface/contribution.md + - 1. 引言: + - 1.1. 算法无处不在: chapter_introduction/algorithms_are_everywhere.md + - 1.2. 算法是什么: chapter_introduction/what_is_dsa.md + - 2. 计算复杂度: + - 2.1. 算法效率评估: chapter_computational_complexity/performance_evaluation.md + - 2.2. 时间复杂度: chapter_computational_complexity/time_complexity.md + - 2.3. 空间复杂度: chapter_computational_complexity/space_complexity.md + - 2.4. 权衡时间与空间: chapter_computational_complexity/space_time_tradeoff.md + - 2.5. 小结: chapter_computational_complexity/summary.md + - 3. 数据结构简介: + - 3.1. 数据与内存: chapter_data_structure/data_and_memory.md + - 3.2. 数据结构分类: chapter_data_structure/classification_of_data_structure.md + - 3.3. 小结: chapter_data_structure/summary.md + - 4. 数组与链表: + - 4.1. 数组（Array）: chapter_array_and_linkedlist/array.md + - 4.2. 链表（LinkedList）: chapter_array_and_linkedlist/linked_list.md + - 4.3. 列表（List）: chapter_array_and_linkedlist/list.md + - 4.4. 小结: chapter_array_and_linkedlist/summary.md + - 5. 栈与队列: + - 5.1. 栈（Stack）: chapter_stack_and_queue/stack.md + - 5.2. 队列（Queue）: chapter_stack_and_queue/queue.md + - 5.3. 双向队列（Deque）: chapter_stack_and_queue/deque.md + - 5.4. 小结: chapter_stack_and_queue/summary.md + - 6. 散列表: + - 6.1. 哈希表（HashMap）: chapter_hashing/hash_map.md + - 6.2. 哈希冲突处理: chapter_hashing/hash_collision.md + - 6.3. 小结: chapter_hashing/summary.md + - 7. 二叉树: + - 7.1. 二叉树（Binary Tree）: chapter_tree/binary_tree.md + - 7.2. 二叉树遍历: chapter_tree/binary_tree_traversal.md + - 7.3. 二叉搜索树: chapter_tree/binary_search_tree.md + - 7.4. AVL 树 *: chapter_tree/avl_tree.md + - 7.5. 小结: chapter_tree/summary.md + - 8. 堆: + - 8.1. 堆（Heap）: chapter_heap/heap.md + - 9. 图: + - 9.1. 图（Graph）: chapter_graph/graph.md + - 9.2. 图基础操作: chapter_graph/basic_operation_of_graph.md + - 10. 查找算法: + - 10.1. 线性查找: chapter_searching/linear_search.md + - 10.2. 二分查找: chapter_searching/binary_search.md + - 10.3. 哈希查找: chapter_searching/hashing_search.md + - 10.4. 小结: chapter_searching/summary.md + - 11. 排序算法: + - 11.1. 排序简介: chapter_sorting/intro_to_sort.md + - 11.2. 冒泡排序: chapter_sorting/bubble_sort.md + - 11.3. 插入排序: chapter_sorting/insertion_sort.md + - 11.4. 快速排序: chapter_sorting/quick_sort.md + - 11.5. 归并排序: chapter_sorting/merge_sort.md + - 11.6. 小结: chapter_sorting/summary.md - 参考文献: - chapter_reference/index.md