dp = List.filled(m + 1, 0);
@@ -704,7 +704,7 @@ $$
=== "Rust"
```rust title="edit_distance.rs"
- /* 编辑距离：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 编辑距离：空间优化后的动态规划 */
fn edit_distance_dp_comp(s: &str, t: &str) -> i32 {
let (n, m) = (s.len(), t.len());
let mut dp = vec![0; m + 1];
diff --git a/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md b/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md
index 727047045..6571d6133 100644
--- a/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md
+++ b/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md
@@ -1169,14 +1169,14 @@ $$
- 将最小子问题对应的状态（即第 $1$ , $2$ 阶楼梯）称为「初始状态」。
- 将递推公式 $dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]$ 称为「状态转移方程」。
-## 14.1.4 状态压缩
+## 14.1.4 空间优化
细心的你可能发现，**由于 $dp[i]$ 只与 $dp[i-1]$ 和 $dp[i-2]$ 有关，因此我们无须使用一个数组 `dp` 来存储所有子问题的解**，而只需两个变量滚动前进即可。
=== "Java"
```java title="climbing_stairs_dp.java"
- /* 爬楼梯：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 爬楼梯：空间优化后的动态规划 */
int climbingStairsDPComp(int n) {
if (n == 1 || n == 2)
return n;
@@ -1193,7 +1193,7 @@ $$
=== "C++"
```cpp title="climbing_stairs_dp.cpp"
- /* 爬楼梯：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 爬楼梯：空间优化后的动态规划 */
int climbingStairsDPComp(int n) {
if (n == 1 || n == 2)
return n;
@@ -1211,7 +1211,7 @@ $$
```python title="climbing_stairs_dp.py"
def climbing_stairs_dp_comp(n: int) -> int:
- """爬楼梯：状态压缩后的动态规划"""
+ """爬楼梯：空间优化后的动态规划"""
if n == 1 or n == 2:
return n
a, b = 1, 2
@@ -1223,7 +1223,7 @@ $$
=== "Go"
```go title="climbing_stairs_dp.go"
- /* 爬楼梯：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 爬楼梯：空间优化后的动态规划 */
func climbingStairsDPComp(n int) int {
if n == 1 || n == 2 {
return n
@@ -1240,7 +1240,7 @@ $$
=== "JS"
```javascript title="climbing_stairs_dp.js"
- /* 爬楼梯：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 爬楼梯：空间优化后的动态规划 */
function climbingStairsDPComp(n) {
if (n === 1 || n === 2) return n;
let a = 1,
@@ -1257,7 +1257,7 @@ $$
=== "TS"
```typescript title="climbing_stairs_dp.ts"
- /* 爬楼梯：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 爬楼梯：空间优化后的动态规划 */
function climbingStairsDPComp(n: number): number {
if (n === 1 || n === 2) return n;
let a = 1,
@@ -1280,7 +1280,7 @@ $$
=== "C#"
```csharp title="climbing_stairs_dp.cs"
- /* 爬楼梯：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 爬楼梯：空间优化后的动态规划 */
int climbingStairsDPComp(int n) {
if (n == 1 || n == 2)
return n;
@@ -1297,7 +1297,7 @@ $$
=== "Swift"
```swift title="climbing_stairs_dp.swift"
- /* 爬楼梯：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 爬楼梯：空间优化后的动态规划 */
func climbingStairsDPComp(n: Int) -> Int {
if n == 1 || n == 2 {
return n
@@ -1314,7 +1314,7 @@ $$
=== "Zig"
```zig title="climbing_stairs_dp.zig"
- // 爬楼梯：状态压缩后的动态规划
+ // 爬楼梯：空间优化后的动态规划
fn climbingStairsDPComp(comptime n: usize) i32 {
if (n == 1 or n == 2) {
return @intCast(n);
@@ -1333,7 +1333,7 @@ $$
=== "Dart"
```dart title="climbing_stairs_dp.dart"
- /* 爬楼梯：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 爬楼梯：空间优化后的动态规划 */
int climbingStairsDPComp(int n) {
if (n == 1 || n == 2) return n;
int a = 1, b = 2;
@@ -1349,7 +1349,7 @@ $$
=== "Rust"
```rust title="climbing_stairs_dp.rs"
- /* 爬楼梯：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 爬楼梯：空间优化后的动态规划 */
fn climbing_stairs_dp_comp(n: usize) -> i32 {
if n == 1 || n == 2 { return n as i32; }
let (mut a, mut b) = (1, 2);
@@ -1364,4 +1364,4 @@ $$
观察以上代码，由于省去了数组 `dp` 占用的空间，因此空间复杂度从 $O(n)$ 降低至 $O(1)$ 。
-**这种空间优化技巧被称为「状态压缩」**。在常见的动态规划问题中，当前状态仅与前面有限个状态有关，这时我们可以应用状态压缩，只保留必要的状态，通过“降维”来节省内存空间。
+在动态规划问题中，当前状态往往仅与前面有限个状态有关，这时我们可以只保留必要的状态，通过“降维”来节省内存空间。**这种空间优化技巧被称为“滚动变量”或“滚动数组”**。
diff --git a/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md b/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md
index 611f2ae12..43ab65956 100644
--- a/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md
+++ b/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md
@@ -826,11 +826,11 @@ $$
图 14-20 0-1 背包的动态规划过程
-### 4. 状态压缩
+### 4. 空间优化
由于每个状态都只与其上一行的状态有关，因此我们可以使用两个数组滚动前进，将空间复杂度从 $O(n^2)$ 将低至 $O(n)$ 。
-进一步思考，我们是否可以仅用一个数组实现状态压缩呢？观察可知，每个状态都是由正上方或左上方的格子转移过来的。假设只有一个数组，当开始遍历第 $i$ 行时，该数组存储的仍然是第 $i-1$ 行的状态。
+进一步思考，我们是否可以仅用一个数组实现空间优化呢？观察可知，每个状态都是由正上方或左上方的格子转移过来的。假设只有一个数组，当开始遍历第 $i$ 行时，该数组存储的仍然是第 $i-1$ 行的状态。
- 如果采取正序遍历，那么遍历到 $dp[i, j]$ 时，左上方 $dp[i-1, 1]$ ~ $dp[i-1, j-1]$ 值可能已经被覆盖，此时就无法得到正确的状态转移结果。
- 如果采取倒序遍历，则不会发生覆盖问题，状态转移可以正确进行。
@@ -838,7 +838,7 @@ $$
图 14-21 展示了在单个数组下从第 $i = 1$ 行转换至第 $i = 2$ 行的过程。请思考正序遍历和倒序遍历的区别。
=== "<1>"
- 
+ 
=== "<2>"
@@ -855,14 +855,14 @@ $$
=== "<6>"
- 图 14-21 0-1 背包的状态压缩后的动态规划过程
+ 图 14-21 0-1 背包的空间优化后的动态规划过程
在代码实现中，我们仅需将数组 `dp` 的第一维 $i$ 直接删除，并且把内循环更改为倒序遍历即可。
=== "Java"
```java title="knapsack.java"
- /* 0-1 背包：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 0-1 背包：空间优化后的动态规划 */
int knapsackDPComp(int[] wgt, int[] val, int cap) {
int n = wgt.length;
// 初始化 dp 表
@@ -884,7 +884,7 @@ $$
=== "C++"
```cpp title="knapsack.cpp"
- /* 0-1 背包：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 0-1 背包：空间优化后的动态规划 */
int knapsackDPComp(vector &wgt, vector &val, int cap) {
int n = wgt.size();
// 初始化 dp 表
@@ -907,7 +907,7 @@ $$
```python title="knapsack.py"
def knapsack_dp_comp(wgt: list[int], val: list[int], cap: int) -> int:
- """0-1 背包：状态压缩后的动态规划"""
+ """0-1 背包：空间优化后的动态规划"""
n = len(wgt)
# 初始化 dp 表
dp = [0] * (cap + 1)
@@ -927,7 +927,7 @@ $$
=== "Go"
```go title="knapsack.go"
- /* 0-1 背包：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 0-1 背包：空间优化后的动态规划 */
func knapsackDPComp(wgt, val []int, cap int) int {
n := len(wgt)
// 初始化 dp 表
@@ -967,7 +967,7 @@ $$
=== "C#"
```csharp title="knapsack.cs"
- /* 0-1 背包：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 0-1 背包：空间优化后的动态规划 */
int knapsackDPComp(int[] weight, int[] val, int cap) {
int n = weight.Length;
// 初始化 dp 表
@@ -992,7 +992,7 @@ $$
=== "Swift"
```swift title="knapsack.swift"
- /* 0-1 背包：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 0-1 背包：空间优化后的动态规划 */
func knapsackDPComp(wgt: [Int], val: [Int], cap: Int) -> Int {
let n = wgt.count
// 初始化 dp 表
@@ -1014,7 +1014,7 @@ $$
=== "Zig"
```zig title="knapsack.zig"
- // 0-1 背包：状态压缩后的动态规划
+ // 0-1 背包：空间优化后的动态规划
fn knapsackDPComp(wgt: []i32, val: []i32, comptime cap: usize) i32 {
var n = wgt.len;
// 初始化 dp 表
@@ -1037,7 +1037,7 @@ $$
=== "Dart"
```dart title="knapsack.dart"
- /* 0-1 背包：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 0-1 背包：空间优化后的动态规划 */
int knapsackDPComp(List wgt, List val, int cap) {
int n = wgt.length;
// 初始化 dp 表
@@ -1059,7 +1059,7 @@ $$
=== "Rust"
```rust title="knapsack.rs"
- /* 0-1 背包：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 0-1 背包：空间优化后的动态规划 */
fn knapsack_dp_comp(wgt: &[i32], val: &[i32], cap: usize) -> i32 {
let n = wgt.len();
// 初始化 dp 表
diff --git a/chapter_dynamic_programming/summary.md b/chapter_dynamic_programming/summary.md
index 314f37e36..3da712dd4 100644
--- a/chapter_dynamic_programming/summary.md
+++ b/chapter_dynamic_programming/summary.md
@@ -16,8 +16,8 @@ status: new
**背包问题**
- 背包问题是最典型的动态规划题目，具有 0-1 背包、完全背包、多重背包等变种问题。
-- 0-1 背包的状态定义为前 $i$ 个物品在剩余容量为 $c$ 的背包中的最大价值。根据不放入背包和放入背包两种决策，可得到最优子结构，并构建出状态转移方程。在状态压缩中，由于每个状态依赖正上方和左上方的状态，因此需要倒序遍历列表，避免左上方状态被覆盖。
-- 完全背包的每种物品的选取数量无限制，因此选择放入物品的状态转移与 0-1 背包不同。由于状态依赖于正上方和正左方的状态，因此在状态压缩中应当正序遍历。
+- 0-1 背包的状态定义为前 $i$ 个物品在剩余容量为 $c$ 的背包中的最大价值。根据不放入背包和放入背包两种决策，可得到最优子结构，并构建出状态转移方程。在空间优化中，由于每个状态依赖正上方和左上方的状态，因此需要倒序遍历列表，避免左上方状态被覆盖。
+- 完全背包的每种物品的选取数量无限制，因此选择放入物品的状态转移与 0-1 背包不同。由于状态依赖于正上方和正左方的状态，因此在空间优化中应当正序遍历。
- 零钱兑换问题是完全背包的一个变种。它从求“最大”价值变为求“最小”硬币数量，因此状态转移方程中的 $\max()$ 应改为 $\min()$ 。从求“不超过”背包容量到求“恰好”凑出目标金额，因此使用 $amt + 1$ 来表示“无法凑出目标金额”的无效解。
- 零钱兑换 II 问题从求“最少硬币数量”改为求“硬币组合数量”，状态转移方程相应地从 $\min()$ 改为求和运算符。
@@ -25,4 +25,4 @@ status: new
- 编辑距离（Levenshtein 距离）用于衡量两个字符串之间的相似度，其定义为从一个字符串到另一个字符串的最小编辑步数，编辑操作包括添加、删除、替换。
- 编辑距离问题的状态定义为将 $s$ 的前 $i$ 个字符更改为 $t$ 的前 $j$ 个字符所需的最少编辑步数。当 $s[i] \ne t[j]$ 时，具有三种决策：添加、删除、替换，它们都有相应的剩余子问题。据此便可以找出最优子结构与构建状态转移方程。而当 $s[i] = t[j]$ 时，无须编辑当前字符。
-- 在编辑距离中，状态依赖于其正上方、正左方、左上方的状态，因此状态压缩后正序或倒序遍历都无法正确地进行状态转移。为此，我们利用一个变量暂存左上方状态，从而转化到与完全背包等价的情况，可以在状态压缩后进行正序遍历。
+- 在编辑距离中，状态依赖于其正上方、正左方、左上方的状态，因此空间优化后正序或倒序遍历都无法正确地进行状态转移。为此，我们利用一个变量暂存左上方状态，从而转化到与完全背包等价的情况，可以在空间优化后进行正序遍历。
diff --git a/chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem.md b/chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem.md
index 2908565e8..fd40a01a1 100644
--- a/chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem.md
+++ b/chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem.md
@@ -272,14 +272,14 @@ $$
}
```
-### 3. 状态压缩
+### 3. 空间优化
-由于当前状态是从左边和上边的状态转移而来，**因此状态压缩后应该对 $dp$ 表中的每一行采取正序遍历**。
+由于当前状态是从左边和上边的状态转移而来，**因此空间优化后应该对 $dp$ 表中的每一行采取正序遍历**。
这个遍历顺序与 0-1 背包正好相反。请借助图 14-23 来理解两者的区别。
=== "<1>"
- 
+ 
=== "<2>"
@@ -296,14 +296,14 @@ $$
=== "<6>"
- 图 14-23 完全背包的状态压缩后的动态规划过程
+ 图 14-23 完全背包的空间优化后的动态规划过程
代码实现比较简单，仅需将数组 `dp` 的第一维删除。
=== "Java"
```java title="unbounded_knapsack.java"
- /* 完全背包：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 完全背包：空间优化后的动态规划 */
int unboundedKnapsackDPComp(int[] wgt, int[] val, int cap) {
int n = wgt.length;
// 初始化 dp 表
@@ -327,7 +327,7 @@ $$
=== "C++"
```cpp title="unbounded_knapsack.cpp"
- /* 完全背包：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 完全背包：空间优化后的动态规划 */
int unboundedKnapsackDPComp(vector &wgt, vector &val, int cap) {
int n = wgt.size();
// 初始化 dp 表
@@ -352,7 +352,7 @@ $$
```python title="unbounded_knapsack.py"
def unbounded_knapsack_dp_comp(wgt: list[int], val: list[int], cap: int) -> int:
- """完全背包：状态压缩后的动态规划"""
+ """完全背包：空间优化后的动态规划"""
n = len(wgt)
# 初始化 dp 表
dp = [0] * (cap + 1)
@@ -372,7 +372,7 @@ $$
=== "Go"
```go title="unbounded_knapsack.go"
- /* 完全背包：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 完全背包：空间优化后的动态规划 */
func unboundedKnapsackDPComp(wgt, val []int, cap int) int {
n := len(wgt)
// 初始化 dp 表
@@ -414,7 +414,7 @@ $$
=== "C#"
```csharp title="unbounded_knapsack.cs"
- /* 完全背包：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 完全背包：空间优化后的动态规划 */
int unboundedKnapsackDPComp(int[] wgt, int[] val, int cap) {
int n = wgt.Length;
// 初始化 dp 表
@@ -438,7 +438,7 @@ $$
=== "Swift"
```swift title="unbounded_knapsack.swift"
- /* 完全背包：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 完全背包：空间优化后的动态规划 */
func unboundedKnapsackDPComp(wgt: [Int], val: [Int], cap: Int) -> Int {
let n = wgt.count
// 初始化 dp 表
@@ -462,7 +462,7 @@ $$
=== "Zig"
```zig title="unbounded_knapsack.zig"
- // 完全背包：状态压缩后的动态规划
+ // 完全背包：空间优化后的动态规划
fn unboundedKnapsackDPComp(comptime wgt: []i32, val: []i32, comptime cap: usize) i32 {
comptime var n = wgt.len;
// 初始化 dp 表
@@ -486,7 +486,7 @@ $$
=== "Dart"
```dart title="unbounded_knapsack.dart"
- /* 完全背包：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 完全背包：空间优化后的动态规划 */
int unboundedKnapsackDPComp(List wgt, List val, int cap) {
int n = wgt.length;
// 初始化 dp 表
@@ -510,7 +510,7 @@ $$
=== "Rust"
```rust title="unbounded_knapsack.rs"
- /* 完全背包：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 完全背包：空间优化后的动态规划 */
fn unbounded_knapsack_dp_comp(wgt: &[i32], val: &[i32], cap: usize) -> i32 {
let n = wgt.len();
// 初始化 dp 表
@@ -915,14 +915,14 @@ $$
图 14-25 零钱兑换问题的动态规划过程
-### 3. 状态压缩
+### 3. 空间优化
-零钱兑换的状态压缩的处理方式和完全背包一致。
+零钱兑换的空间优化的处理方式和完全背包一致。
=== "Java"
```java title="coin_change.java"
- /* 零钱兑换：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 零钱兑换：空间优化后的动态规划 */
int coinChangeDPComp(int[] coins, int amt) {
int n = coins.length;
int MAX = amt + 1;
@@ -949,7 +949,7 @@ $$
=== "C++"
```cpp title="coin_change.cpp"
- /* 零钱兑换：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 零钱兑换：空间优化后的动态规划 */
int coinChangeDPComp(vector &coins, int amt) {
int n = coins.size();
int MAX = amt + 1;
@@ -976,7 +976,7 @@ $$
```python title="coin_change.py"
def coin_change_dp_comp(coins: list[int], amt: int) -> int:
- """零钱兑换：状态压缩后的动态规划"""
+ """零钱兑换：空间优化后的动态规划"""
n = len(coins)
MAX = amt + 1
# 初始化 dp 表
@@ -1048,7 +1048,7 @@ $$
=== "C#"
```csharp title="coin_change.cs"
- /* 零钱兑换：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 零钱兑换：空间优化后的动态规划 */
int coinChangeDPComp(int[] coins, int amt) {
int n = coins.Length;
int MAX = amt + 1;
@@ -1075,7 +1075,7 @@ $$
=== "Swift"
```swift title="coin_change.swift"
- /* 零钱兑换：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 零钱兑换：空间优化后的动态规划 */
func coinChangeDPComp(coins: [Int], amt: Int) -> Int {
let n = coins.count
let MAX = amt + 1
@@ -1101,7 +1101,7 @@ $$
=== "Zig"
```zig title="coin_change.zig"
- // 零钱兑换：状态压缩后的动态规划
+ // 零钱兑换：空间优化后的动态规划
fn coinChangeDPComp(comptime coins: []i32, comptime amt: usize) i32 {
comptime var n = coins.len;
comptime var max = amt + 1;
@@ -1132,7 +1132,7 @@ $$
=== "Dart"
```dart title="coin_change.dart"
- /* 零钱兑换：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 零钱兑换：空间优化后的动态规划 */
int coinChangeDPComp(List coins, int amt) {
int n = coins.length;
int MAX = amt + 1;
@@ -1158,7 +1158,7 @@ $$
=== "Rust"
```rust title="coin_change.rs"
- /* 零钱兑换：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 零钱兑换：空间优化后的动态规划 */
fn coin_change_dp_comp(coins: &[i32], amt: usize) -> i32 {
let n = coins.len();
let max = amt + 1;
@@ -1474,14 +1474,14 @@ $$
}
```
-### 3. 状态压缩
+### 3. 空间优化
-状态压缩处理方式相同，删除硬币维度即可。
+空间优化处理方式相同，删除硬币维度即可。
=== "Java"
```java title="coin_change_ii.java"
- /* 零钱兑换 II：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 零钱兑换 II：空间优化后的动态规划 */
int coinChangeIIDPComp(int[] coins, int amt) {
int n = coins.length;
// 初始化 dp 表
@@ -1506,7 +1506,7 @@ $$
=== "C++"
```cpp title="coin_change_ii.cpp"
- /* 零钱兑换 II：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 零钱兑换 II：空间优化后的动态规划 */
int coinChangeIIDPComp(vector &coins, int amt) {
int n = coins.size();
// 初始化 dp 表
@@ -1532,7 +1532,7 @@ $$
```python title="coin_change_ii.py"
def coin_change_ii_dp_comp(coins: list[int], amt: int) -> int:
- """零钱兑换 II：状态压缩后的动态规划"""
+ """零钱兑换 II：空间优化后的动态规划"""
n = len(coins)
# 初始化 dp 表
dp = [0] * (amt + 1)
@@ -1553,7 +1553,7 @@ $$
=== "Go"
```go title="coin_change_ii.go"
- /* 零钱兑换 II：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 零钱兑换 II：空间优化后的动态规划 */
func coinChangeIIDPComp(coins []int, amt int) int {
n := len(coins)
// 初始化 dp 表
@@ -1597,7 +1597,7 @@ $$
=== "C#"
```csharp title="coin_change_ii.cs"
- /* 零钱兑换 II：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 零钱兑换 II：空间优化后的动态规划 */
int coinChangeIIDPComp(int[] coins, int amt) {
int n = coins.Length;
// 初始化 dp 表
@@ -1622,7 +1622,7 @@ $$
=== "Swift"
```swift title="coin_change_ii.swift"
- /* 零钱兑换 II：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 零钱兑换 II：空间优化后的动态规划 */
func coinChangeIIDPComp(coins: [Int], amt: Int) -> Int {
let n = coins.count
// 初始化 dp 表
@@ -1647,7 +1647,7 @@ $$
=== "Zig"
```zig title="coin_change_ii.zig"
- // 零钱兑换 II：状态压缩后的动态规划
+ // 零钱兑换 II：空间优化后的动态规划
fn coinChangeIIDPComp(comptime coins: []i32, comptime amt: usize) i32 {
comptime var n = coins.len;
// 初始化 dp 表
@@ -1672,7 +1672,7 @@ $$
=== "Dart"
```dart title="coin_change_ii.dart"
- /* 零钱兑换 II：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 零钱兑换 II：空间优化后的动态规划 */
int coinChangeIIDPComp(List coins, int amt) {
int n = coins.length;
// 初始化 dp 表
@@ -1697,7 +1697,7 @@ $$
=== "Rust"
```rust title="coin_change_ii.rs"
- /* 零钱兑换 II：状态压缩后的动态规划 */
+ /* 零钱兑换 II：空间优化后的动态规划 */
fn coin_change_ii_dp_comp(coins: &[i32], amt: usize) -> i32 {
let n = coins.len();
// 初始化 dp 表
diff --git a/chapter_heap/build_heap.md b/chapter_heap/build_heap.md
index 215975697..d482706bc 100644
--- a/chapter_heap/build_heap.md
+++ b/chapter_heap/build_heap.md
@@ -6,17 +6,25 @@ comments: true
在某些情况下，我们希望使用一个列表的所有元素来构建一个堆，这个过程被称为“建堆操作”。
-## 8.2.1 借助入堆方法实现
+## 8.2.1 自上而下构建
-最直接的方法是借助“元素入堆操作”实现。我们首先创建一个空堆，然后将列表元素依次执行“入堆”。
+我们首先创建一个空堆，然后遍历列表，依次对每个元素执行“入堆操作”，即先将元素添加至堆的尾部，再对该元素执行“从底至顶”堆化。
-设元素数量为 $n$ ，入堆操作使用 $O(\log{n})$ 时间，因此将所有元素入堆的时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
+每当一个元素入堆，堆的长度就加一，因此堆是“自上而下”地构建的。
-## 8.2.2 基于堆化操作实现
+设元素数量为 $n$ ，每个元素的入堆操作使用 $O(\log{n})$ 时间，因此该建堆方法的时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
-有趣的是，存在一种更高效的建堆方法，其时间复杂度可以达到 $O(n)$ 。我们先将列表所有元素原封不动添加到堆中，然后倒序遍历该堆，依次对每个节点执行“从顶至底堆化”。
+## 8.2.2 自下而上构建
-请注意，因为叶节点没有子节点，所以无须堆化。在代码实现中，我们从最后一个节点的父节点开始进行堆化。
+实际上，我们可以实现一种更为高效的建堆方法，共分为两步。
+
+1. 将列表所有元素原封不动添加到堆中。
+2. 倒序遍历堆（即层序遍历的倒序），依次对每个非叶节点执行“从顶至底堆化”。
+
+在倒序遍历中，堆是“自下而上”地构建的，需要重点理解以下两点。
+
+- 由于叶节点没有子节点，因此无需对它们执行堆化。最后一个节点的父节点是最后一个非叶节点。
+- 在倒序遍历中，我们能够保证当前节点之下的子树已经完成堆化（已经是合法的堆），而这是堆化当前节点的前置条件。
=== "Java"
@@ -195,26 +203,26 @@ comments: true
## 8.2.3 复杂度分析
-为什么第二种建堆方法的时间复杂度是 $O(n)$ ？我们来展开推算一下。
+下面，我们来尝试推算第二种建堆方法的时间复杂度。
-- 在完全二叉树中，设节点总数为 $n$ ，则叶节点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。因此，在排除叶节点后，需要堆化的节点数量为 $(n - 1)/2$ ，复杂度为 $O(n)$ 。
-- 在从顶至底堆化的过程中，每个节点最多堆化到叶节点，因此最大迭代次数为二叉树高度 $O(\log n)$ 。
+- 假设完全二叉树的节点数量为 $n$ ，则叶节点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。因此需要堆化的节点数量为 $(n - 1) / 2$ 。
+- 在从顶至底堆化的过程中，每个节点最多堆化到叶节点，因此最大迭代次数为二叉树高度 $\log n$ 。
-将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。**然而，这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的特性**。
+将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。**但这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的性质**。
-接下来我们来进行更为详细的计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）节点数量为 $n$ ，树高度为 $h$ 。
+接下来我们来进行更为准确的计算。为了减小计算难度，假设给定一个节点数量为 $n$ ，高度为 $h$ 的“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。
图 8-5 完美二叉树的各层节点数量
-如图 8-5 所示，**节点“从顶至底堆化”的最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离，而该距离正是“节点高度”**。因此，我们可以将各层的“节点数量 $\times$ 节点高度”求和，**从而得到所有节点的堆化迭代次数的总和**。
+如图 8-5 所示，节点“从顶至底堆化”的最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离，而该距离正是“节点高度”。因此，我们可以将各层的“节点数量 $\times$ 节点高度”求和，**从而得到所有节点的堆化迭代次数的总和**。
$$
T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{(h-1)}\times1
$$
-化简上式需要借助中学的数列知识，先对 $T(h)$ 乘以 $2$ ，得到
+化简上式需要借助中学的数列知识，先对 $T(h)$ 乘以 $2$ ，得到：
$$
\begin{aligned}
@@ -223,13 +231,13 @@ T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{h-1}\times1 \newline
\end{aligned}
$$
-使用错位相减法，用下式 $2 T(h)$ 减去上式 $T(h)$ ，可得
+使用错位相减法，用下式 $2 T(h)$ 减去上式 $T(h)$ ，可得：
$$
2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{h-1} + 2^h
$$
-观察上式，发现 $T(h)$ 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为
+观察上式，发现 $T(h)$ 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为：
$$
\begin{aligned}