add avl tree and heap part cpp code (#320)

* 将avl_tree翻译成c++代码（文档明天补）

* markdown翻译了

* avl_tree.cpp翻译了

* 堆的cpp翻译

* modify the code format

* Update heap.md

---------

Co-authored-by: Yudong Jin <krahets@163.com>

codes/cpp/chapter_heap/heap.cpp

@@ -63,4 +63,4 @@ int main()
     cout << "输入列表并建立小顶堆后" << endl;
     PrintUtil::printHeap(minHeap);
     return 0;
-}
+}

codes/cpp/chapter_heap/my_heap.cpp

@@ -0,0 +1,170 @@
+#include "../include/include.hpp"
+
+/* 最大堆类 */
+class MaxHeap {
+private:
+    // 使用 vector 而非数组，这样无需考虑扩容问题
+    vector<int> maxHeap;
+
+    /* 获取左子结点索引 */
+    int left(int i) {
+        return 2 * i + 1;
+    }
+
+    /* 获取右子结点索引 */
+    int right(int i) {
+        return 2 * i + 2;
+    }
+
+    /* 获取父结点索引 */
+    int parent(int i) {
+        return (i - 1) / 2;  // 向下整除
+    }
+
+    /* 交换元素 */
+    void swap(int i, int j) {
+        int a = maxHeap[i],
+            b = maxHeap[j],
+            tmp = a;
+        maxHeap[i] = b;
+        maxHeap[j] = tmp;
+    }
+
+    /* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
+    void siftUp(int i) {
+        while (true) {
+            // 获取结点 i 的父结点
+            int p = parent(i);
+            // 当“越过根结点”或“结点无需修复”时，结束堆化
+            if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[i])
+                break;
+            // 交换两结点
+            swap(i, p);
+            // 循环向上堆化
+            i = p;
+        }
+    }
+
+    /* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
+    void siftDown(int i) {
+        while (true) {
+            // 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
+            int l = left(i), r = right(i), ma = i;
+            if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma])
+                ma = l;
+            if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma])
+                ma = r;
+            // 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
+            if (ma == i) break;
+            // 交换两结点
+            swap(i, ma);
+            // 循环向下堆化
+            i = ma;
+        }
+    }
+
+public:
+    /* 构造函数，建立空堆 */
+    MaxHeap() = default;
+
+    /* 构造函数，根据输入列表建堆 */
+    MaxHeap(vector<int> nums) {
+        // 将列表元素原封不动添加进堆
+        maxHeap = nums;
+        // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
+        for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
+            siftDown(i);
+        }
+    }
+
+    /* 获取堆大小 */
+    int size() {
+        return maxHeap.size();
+    }
+
+    /* 判断堆是否为空 */
+    bool isEmpty() {
+        return size() == 0;
+    }
+
+    /* 访问堆顶元素 */
+    int peek() {
+        return maxHeap.front();
+    }
+
+    /* 元素入堆 */
+    void push(int val) {
+        // 添加结点
+        maxHeap.push_back(val);
+        // 从底至顶堆化
+        siftUp(size() - 1);
+    }
+
+    /* 元素出堆 */
+    int poll() {
+        // 判空处理
+        if (isEmpty())
+            throw out_of_range("堆已空\n");
+        // 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
+        swap(0, size() - 1);
+        // 删除结点
+        int val = maxHeap.back();
+        maxHeap.pop_back();
+        // 从顶至底堆化
+        siftDown(0);
+        // 返回堆顶元素
+        return val;
+    }
+
+    /* 打印堆（二叉树） */
+    void print() {
+        cout << "堆的数组表示：" << endl;
+        PrintUtil::printVector(this->maxHeap);
+        cout << "堆的树状表示：" << endl;
+        TreeNode *tree = vecToTree(this->maxHeap);
+        PrintUtil::printTree(tree);
+        freeMemoryTree(tree);
+    }
+};
+
+void testPush(MaxHeap &maxHeap, int val) {
+    maxHeap.push(val);  // 元素入堆
+    cout << "\n添加元素 " << val << " 后" << endl;
+    maxHeap.print();
+}
+
+void testPoll(MaxHeap &maxHeap) {
+    int val = maxHeap.poll();  // 堆顶元素出堆
+    cout << "出堆元素为 " << val << endl;
+    maxHeap.print();
+}
+
+int main() {
+    /* 初始化大顶堆 */
+    MaxHeap maxHeap({9, 8, 6, 6, 7, 5, 2, 1, 4, 3, 6, 2});
+    cout << "\n输入列表并建堆后" << endl;
+    maxHeap.print();
+
+    /* 获取堆顶元素 */
+    int peek = maxHeap.peek();
+    cout << "\n堆顶元素为 " << peek << endl;
+
+    /* 元素入堆 */
+    int val = 7;
+    maxHeap.push(val);
+    cout << "\n元素 " << val << " 入堆后" << endl;
+    maxHeap.print();
+
+    /* 堆顶元素出堆 */
+    peek = maxHeap.poll();
+    cout << "\n堆顶元素 " << peek << " 出堆后" << endl;
+    maxHeap.print();
+
+    /* 获取堆大小 */
+    int size = maxHeap.size();
+    cout << "\n堆元素数量为 " << size << endl;
+
+    /* 判断堆是否为空 */
+    bool isEmpty = maxHeap.isEmpty();
+    cout << "\n堆是否为空 " << isEmpty << endl;
+}

codes/cpp/chapter_tree/avl_tree.cpp

@@ -0,0 +1,235 @@
+/**
+ * File: avl_tree.cpp
+ * Created Time: 2023-2-3
+ * Author: what-is-me (whatisme@outlook.jp)
+ */
+
+#include "../include/include.hpp"
+
+/* AVL 树 */
+class AVLTree {
+public:
+    TreeNode* root;  // 根节点
+private:
+    /* 更新结点高度 */
+    void updateHeight(TreeNode* node) {
+        // 结点高度等于最高子树高度 + 1
+        node->height = max(height(node->left), height(node->right)) + 1;
+    }
+
+    /* 右旋操作 */
+    TreeNode* rightRotate(TreeNode* node) {
+        TreeNode* child = node->left;
+        TreeNode* grandChild = child->right;
+        // 以 child 为原点，将 node 向右旋转
+        child->right = node;
+        node->left = grandChild;
+        // 更新结点高度
+        updateHeight(node);
+        updateHeight(child);
+        // 返回旋转后子树的根节点
+        return child;
+    }
+
+    /* 左旋操作 */
+    TreeNode* leftRotate(TreeNode* node) {
+        TreeNode* child = node->right;
+        TreeNode* grandChild = child->left;
+        // 以 child 为原点，将 node 向左旋转
+        child->left = node;
+        node->right = grandChild;
+        // 更新结点高度
+        updateHeight(node);
+        updateHeight(child);
+        // 返回旋转后子树的根节点
+        return child;
+    }
+
+    /* 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+    TreeNode* rotate(TreeNode* node) {
+        // 获取结点 node 的平衡因子
+        int _balanceFactor = balanceFactor(node);
+        // 左偏树
+        if (_balanceFactor > 1) {
+            if (balanceFactor(node->left) >= 0) {
+                // 右旋
+                return rightRotate(node);
+            } else {
+                // 先左旋后右旋
+                node->left = leftRotate(node->left);
+                return rightRotate(node);
+            }
+        }
+        // 右偏树
+        if (_balanceFactor < -1) {
+            if (balanceFactor(node->right) <= 0) {
+                // 左旋
+                return leftRotate(node);
+            } else {
+                // 先右旋后左旋
+                node->right = rightRotate(node->right);
+                return leftRotate(node);
+            }
+        }
+        // 平衡树，无需旋转，直接返回
+        return node;
+    }
+
+    /* 递归插入结点（辅助函数） */
+    TreeNode* insertHelper(TreeNode* node, int val) {
+        if (node == nullptr) return new TreeNode(val);
+        /* 1. 查找插入位置，并插入结点 */
+        if (val < node->val)
+            node->left = insertHelper(node->left, val);
+        else if (val > node->val)
+            node->right = insertHelper(node->right, val);
+        else
+            return node;     // 重复结点不插入，直接返回
+        updateHeight(node);  // 更新结点高度
+        /* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+        node = rotate(node);
+        // 返回子树的根节点
+        return node;
+    }
+
+    /* 获取中序遍历中的下一个结点（仅适用于 root 有左子结点的情况） */
+    TreeNode* getInOrderNext(TreeNode* node) {
+        if (node == nullptr) return node;
+        // 循环访问左子结点，直到叶结点时为最小结点，跳出
+        while (node->left != nullptr) {
+            node = node->left;
+        }
+        return node;
+    }
+
+    /* 递归删除结点（辅助函数） */
+    TreeNode* removeHelper(TreeNode* node, int val) {
+        if (node == nullptr) return nullptr;
+        /* 1. 查找结点，并删除之 */
+        if (val < node->val)
+            node->left = removeHelper(node->left, val);
+        else if (val > node->val)
+            node->right = removeHelper(node->right, val);
+        else {
+            if (node->left == nullptr || node->right == nullptr) {
+                TreeNode* child = node->left != nullptr ? node->left : node->right;
+                // 子结点数量 = 0 ，直接删除 node 并返回
+                if (child == nullptr) {
+                    delete node;
+                    return nullptr;
+                }
+                // 子结点数量 = 1 ，直接删除 node
+                else {
+                    delete node;
+                    node = child;
+                }
+            } else {
+                // 子结点数量 = 2 ，则将中序遍历的下个结点删除，并用该结点替换当前结点
+                TreeNode* temp = getInOrderNext(node->right);
+                node->right = removeHelper(node->right, temp->val);
+                node->val = temp->val;
+            }
+        }
+        updateHeight(node);  // 更新结点高度
+        /* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+        node = rotate(node);
+        // 返回子树的根节点
+        return node;
+    }
+
+public:
+    /* 获取结点高度 */
+    int height(TreeNode* node) {
+        // 空结点高度为 -1 ，叶结点高度为 0
+        return node == nullptr ? -1 : node->height;
+    }
+
+    /* 获取平衡因子 */
+    int balanceFactor(TreeNode* node) {
+        // 空结点平衡因子为 0
+        if (node == nullptr) return 0;
+        // 结点平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度
+        return height(node->left) - height(node->right);
+    }
+
+    /* 插入结点 */
+    TreeNode* insert(int val) {
+        root = insertHelper(root, val);
+        return root;
+    }
+
+    /* 删除结点 */
+    TreeNode* remove(int val) {
+        root = removeHelper(root, val);
+        return root;
+    }
+
+    /* 查找结点 */
+    TreeNode* search(int val) {
+        TreeNode* cur = root;
+        // 循环查找，越过叶结点后跳出
+        while (cur != nullptr) {
+            // 目标结点在 cur 的右子树中
+            if (cur->val < val)
+                cur = cur->right;
+            // 目标结点在 cur 的左子树中
+            else if (cur->val > val)
+                cur = cur->left;
+            // 找到目标结点，跳出循环
+            else
+                break;
+        }
+        // 返回目标结点
+        return cur;
+    }
+
+    /*构造函数*/
+    AVLTree() : root(nullptr) {}
+
+    /*析构函数*/
+    ~AVLTree() {
+        freeMemoryTree(root);
+    }
+};
+
+void testInsert(AVLTree& tree, int val) {
+    tree.insert(val);
+    cout << "\n插入结点 " << val << " 后，AVL 树为" << endl;
+    PrintUtil::printTree(tree.root);
+}
+
+void testRemove(AVLTree& tree, int val) {
+    tree.remove(val);
+    cout << "\n删除结点 " << val << " 后，AVL 树为" << endl;
+    PrintUtil::printTree(tree.root);
+}
+int main() {
+    /* 初始化空 AVL 树 */
+    AVLTree avlTree;
+
+    /* 插入结点 */
+    // 请关注插入结点后，AVL 树是如何保持平衡的
+    testInsert(avlTree, 1);
+    testInsert(avlTree, 2);
+    testInsert(avlTree, 3);
+    testInsert(avlTree, 4);
+    testInsert(avlTree, 5);
+    testInsert(avlTree, 8);
+    testInsert(avlTree, 7);
+    testInsert(avlTree, 9);
+    testInsert(avlTree, 10);
+    testInsert(avlTree, 6);
+
+    /* 插入重复结点 */
+    testInsert(avlTree, 7);
+
+    /* 删除结点 */
+    // 请关注删除结点后，AVL 树是如何保持平衡的
+    testRemove(avlTree, 8);  // 删除度为 0 的结点
+    testRemove(avlTree, 5);  // 删除度为 1 的结点
+    testRemove(avlTree, 4);  // 删除度为 2 的结点
+
+    /* 查询结点 */
+    TreeNode* node = avlTree.search(7);
+    cout << "\n查找到的结点对象为 " << node << "，结点值 = " << node->val << endl;
+}

docs/chapter_heap/heap.md

@@ -287,7 +287,23 @@ comments: true
 === "C++"
 
     ```cpp title="my_heap.cpp"
+    // 使用 vector 而非数组，这样无需考虑扩容问题
+    vector<int> maxHeap;  
 
+    /* 获取左子结点索引 */
+    int left(int i) {
+        return 2 * i + 1;
+    }
+
+    /* 获取右子结点索引 */
+    int right(int i) {
+        return 2 * i + 2;
+    }
+
+    /* 获取父结点索引 */
+    int parent(int i) {
+        return (i - 1) / 2;  // 向下整除
+    }
     ```
 
 === "Python"
@@ -400,7 +416,10 @@ comments: true
 === "C++"
 
     ```cpp title="my_heap.cpp"
-
+    /* 访问堆顶元素 */
+    int peek() {
+        return maxHeap.front();
+    }
     ```
 
 === "Python"
@@ -513,7 +532,28 @@ comments: true
 === "C++"
 
     ```cpp title="my_heap.cpp"
+    /* 元素入堆 */
+    void push(int val) {
+        // 添加结点
+        maxHeap.push_back(val);
+        // 从底至顶堆化
+        siftUp(size() - 1);
+    }
 
+    /* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
+    void siftUp(int i) {
+        while (true) {
+            // 获取结点 i 的父结点
+            int p = parent(i);
+            // 当“越过根结点”或“结点无需修复”时，结束堆化
+            if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[i])
+                break;
+            // 交换两结点
+            swap(i, p);
+            // 循环向上堆化
+            i = p;
+        }
+    }
     ```
 
 === "Python"
@@ -691,7 +731,39 @@ comments: true
 === "C++"
 
     ```cpp title="my_heap.cpp"
+    /* 元素出堆 */
+    int poll() {
+        // 判空处理
+        if (isEmpty())
+            throw out_of_range("堆已空\n");
+        // 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
+        swap(0, size() - 1);
+        // 删除结点
+        int val = maxHeap.back();
+        maxHeap.pop_back();
+        // 从顶至底堆化
+        siftDown(0);
+        // 返回堆顶元素
+        return val;
+    }
 
+    /* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
+    void siftDown(int i) {
+        while (true) {
+            // 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
+            int l = left(i), r = right(i), ma = i;
+            if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma])
+                ma = l;
+            if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma])
+                ma = r;
+            // 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
+            if (ma == i) break;
+            // 交换两结点
+            swap(i, ma);
+            // 循环向下堆化
+            i = ma;
+        }
+    }
     ```
 
 === "Python"
@@ -843,7 +915,16 @@ comments: true
 === "C++"
 
     ```cpp title="my_heap.cpp"
-
+    /* 构造函数，根据输入列表建堆 */
+    MaxHeap(vector<int> nums) {
+        // 将列表元素原封不动添加进堆
+        maxHeap = nums;
+        // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
+        for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
+            siftDown(i);
+        }
+    }
+    // Tip: std::make_heap() 函数可以原地建堆。
     ```
 
 === "Python"

docs/chapter_tree/avl_tree.md

@@ -31,18 +31,27 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
     ```java title="avl_tree.java"
     /* AVL 树结点类 */
     class TreeNode {
-        public int val;         // 结点值
+        public int val; // 结点值
-        public int height;      // 结点高度
+        public int height; // 结点高度
-        public TreeNode left;   // 左子结点
+        public TreeNode left; // 左子结点
-        public TreeNode right;  // 右子结点
+        public TreeNode right; // 右子结点
         public TreeNode(int x) { val = x; }
     }
-    ```
+
+````
 
 === "C++"
 
     ```cpp title="avl_tree.cpp"
-    
+    /* AVL 树结点类 */
+    struct TreeNode {
+        int val{};              // 结点值
+        int height = 0;         // 结点高度
+        TreeNode *left{};       // 左子结点
+        TreeNode *right{};      // 右子结点
+        TreeNode() = default;
+        explicit TreeNode(int x) : val(x){}
+    };
     ```
 
 === "Python"
@@ -55,7 +64,10 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
             self.height = 0     # 结点高度
             self.left = left    # 左子结点引用
             self.right = right  # 右子结点引用
-    ```
+
+
+
+````
 
 === "Go"
 
@@ -72,20 +84,22 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
 === "JavaScript"
 
     ```js title="avl_tree.js"
-    
+
-    ```
+````
 
 === "TypeScript"
 
     ```typescript title="avl_tree.ts"
-    
+
     ```
 
 === "C"
 
     ```c title="avl_tree.c"
-    
+
-    ```
+
+
+````
 
 === "C#"
 
@@ -115,7 +129,8 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
             height = 0
         }
     }
-    ```
+
+````
 
 === "Zig"
 
@@ -128,23 +143,36 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
 === "Java"
 
     ```java title="avl_tree.java"
-    /* 获取结点高度 */ 
+    /* 获取结点高度 */
     int height(TreeNode node) {
         // 空结点高度为 -1 ，叶结点高度为 0
         return node == null ? -1 : node.height;
     }
-    
+
     /* 更新结点高度 */
     void updateHeight(TreeNode node) {
         // 结点高度等于最高子树高度 + 1
-        node.height = Math.max(height(node.left), height(node.right)) + 1;  
+        node.height = Math.max(height(node.left), height(node.right)) + 1;
     }
-    ```
+
+
+
+````
 
 === "C++"
 
     ```cpp title="avl_tree.cpp"
-    
+    /* 获取结点高度 */
+    int height(TreeNode* node) {
+        // 空结点高度为 -1 ，叶结点高度为 0
+        return node == nullptr ? -1 : node->height;
+    }
+
+    /* 更新结点高度 */
+    void updateHeight(TreeNode* node) {
+        // 结点高度等于最高子树高度 + 1
+        node->height = max(height(node->left), height(node->right)) + 1;
+    }
     ```
 
 === "Python"
@@ -156,12 +184,13 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
         if node is not None:
             return node.height
         return -1
-    
+
     """ 更新结点高度 """
     def __update_height(self, node: Optional[TreeNode]):
         # 结点高度等于最高子树高度 + 1
         node.height = max([self.height(node.left), self.height(node.right)]) + 1
-    ```
+
+````
 
 === "Go"
 
@@ -191,20 +220,22 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
 === "JavaScript"
 
     ```js title="avl_tree.js"
-    
+
-    ```
+
+
+````
 
 === "TypeScript"
 
     ```typescript title="avl_tree.ts"
-    
+
     ```
 
 === "C"
 
     ```c title="avl_tree.c"
-    
+
-    ```
+````
 
 === "C#"
 
@@ -215,7 +246,7 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
         // 空结点高度为 -1 ，叶结点高度为 0
         return node == null ? -1 : node.height;
     }
-    
+
     /* 更新结点高度 */
     private void updateHeight(TreeNode node)
     {
@@ -238,7 +269,10 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
         // 结点高度等于最高子树高度 + 1
         node?.height = max(height(node: node?.left), height(node: node?.right)) + 1
     }
-    ```
+
+
+
+````
 
 === "Zig"
 
@@ -253,19 +287,26 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
 === "Java"
 
     ```java title="avl_tree.java"
-    /* 获取结点平衡因子 */ 
+    /* 获取结点平衡因子 */
     public int balanceFactor(TreeNode node) {
         // 空结点平衡因子为 0
         if (node == null) return 0;
         // 结点平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度
         return height(node.left) - height(node.right);
     }
-    ```
+
+````
 
 === "C++"
 
     ```cpp title="avl_tree.cpp"
-    
+    /* 获取平衡因子 */
+    int balanceFactor(TreeNode* node) {
+        // 空结点平衡因子为 0
+        if (node == nullptr) return 0;
+        // 结点平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度
+        return height(node->left) - height(node->right);
+    }
     ```
 
 === "Python"
@@ -278,7 +319,10 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
             return 0
         # 结点平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度
         return self.height(node.left) - self.height(node.right)
-    ```
+
+
+
+````
 
 === "Go"
 
@@ -297,20 +341,22 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
 === "JavaScript"
 
     ```js title="avl_tree.js"
-    
+
-    ```
+````
 
 === "TypeScript"
 
     ```typescript title="avl_tree.ts"
-    
+
     ```
 
 === "C"
 
     ```c title="avl_tree.c"
-    
+
-    ```
+
+
+````
 
 === "C#"
 
@@ -335,7 +381,8 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
         // 结点平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度
         return height(node: node.left) - height(node: node.right)
     }
-    ```
+
+````
 
 === "Zig"
 
@@ -358,15 +405,22 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 如下图所示（结点下方为「平衡因子」），从底至顶看，二叉树中首个失衡结点是 **结点 3**。我们聚焦在以该失衡结点为根结点的子树上，将该结点记为 `node` ，将其左子节点记为 `child` ，执行「右旋」操作。完成右旋后，该子树已经恢复平衡，并且仍然为二叉搜索树。
 
 === "Step 1"
-    ![right_rotate_step1](avl_tree.assets/right_rotate_step1.png)
-=== "Step 2"
-    ![right_rotate_step2](avl_tree.assets/right_rotate_step2.png)
-=== "Step 3"
-    ![right_rotate_step3](avl_tree.assets/right_rotate_step3.png)
-=== "Step 4"
-    ![right_rotate_step4](avl_tree.assets/right_rotate_step4.png)
 
-进而，如果结点 `child` 本身有右子结点（记为 `grandChild`），则需要在「右旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的左子结点。
+![right_rotate_step1](avl_tree.assets/right_rotate_step1.png)
+
+=== "Step 2"
+
+![right_rotate_step2](avl_tree.assets/right_rotate_step2.png)
+
+=== "Step 3"
+
+![right_rotate_step3](avl_tree.assets/right_rotate_step3.png)
+
+=== "Step 4"
+
+![right_rotate_step4](avl_tree.assets/right_rotate_step4.png)
+
+进而，如果结点 `child` 本身有右子结点（记为 `grandChild` ），则需要在「右旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的左子结点。
 
 ![right_rotate_with_grandchild](avl_tree.assets/right_rotate_with_grandchild.png)
 
@@ -375,7 +429,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 === "Java"
 
     ```java title="avl_tree.java"
-    /* 右旋操作 */ 
+    /* 右旋操作 */
     TreeNode rightRotate(TreeNode node) {
         TreeNode child = node.left;
         TreeNode grandChild = child.right;
@@ -388,12 +442,27 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         // 返回旋转后子树的根节点
         return child;
     }
-    ```
+
+
+
+````
 
 === "C++"
 
     ```cpp title="avl_tree.cpp"
-    
+    /* 右旋操作 */
+    TreeNode* rightRotate(TreeNode* node) {
+        TreeNode* child = node->left;
+        TreeNode* grandChild = child->right;
+        // 以 child 为原点，将 node 向右旋转
+        child->right = node;
+        node->left = grandChild;
+        // 更新结点高度
+        updateHeight(node);
+        updateHeight(child);
+        // 返回旋转后子树的根节点
+        return child;
+    }
     ```
 
 === "Python"
@@ -411,7 +480,8 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         self.__update_height(child)
         # 返回旋转后子树的根节点
         return child
-    ```
+
+````
 
 === "Go"
 
@@ -434,20 +504,22 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 === "JavaScript"
 
     ```js title="avl_tree.js"
-    
+
-    ```
+
+
+````
 
 === "TypeScript"
 
     ```typescript title="avl_tree.ts"
-    
+
     ```
 
 === "C"
 
     ```c title="avl_tree.c"
-    
+
-    ```
+````
 
 === "C#"
 
@@ -466,7 +538,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         // 返回旋转后子树的根节点
         return child;
     }
-    
+
     ```
 
 === "Swift"
@@ -485,7 +557,10 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         // 返回旋转后子树的根节点
         return child
     }
-    ```
+
+
+
+````
 
 === "Zig"
 
@@ -499,7 +574,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 
 ![left_rotate](avl_tree.assets/left_rotate.png)
 
-同理，若结点 `child` 本身有左子结点（记为 `grandChild`），则需要在「左旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的右子结点。
+同理，若结点 `child` 本身有左子结点（记为 `grandChild` ），则需要在「左旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的右子结点。
 
 ![left_rotate_with_grandchild](avl_tree.assets/left_rotate_with_grandchild.png)
 
@@ -508,7 +583,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 === "Java"
 
     ```java title="avl_tree.java"
-    /* 左旋操作 */ 
+    /* 左旋操作 */
     private TreeNode leftRotate(TreeNode node) {
         TreeNode child = node.right;
         TreeNode grandChild = child.left;
@@ -521,12 +596,25 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         // 返回旋转后子树的根节点
         return child;
     }
-    ```
+
+````
 
 === "C++"
 
     ```cpp title="avl_tree.cpp"
-    
+    /* 左旋操作 */
+    TreeNode* leftRotate(TreeNode* node) {
+        TreeNode* child = node->right;
+        TreeNode* grandChild = child->left;
+        // 以 child 为原点，将 node 向左旋转
+        child->left = node;
+        node->right = grandChild;
+        // 更新结点高度
+        updateHeight(node);
+        updateHeight(child);
+        // 返回旋转后子树的根节点
+        return child;
+    }
     ```
 
 === "Python"
@@ -544,7 +632,10 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         self.__update_height(child)
         # 返回旋转后子树的根节点
         return child
-    ```
+
+
+
+````
 
 === "Go"
 
@@ -567,20 +658,22 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 === "JavaScript"
 
     ```js title="avl_tree.js"
-    
+
-    ```
+````
 
 === "TypeScript"
 
     ```typescript title="avl_tree.ts"
-    
+
     ```
 
 === "C"
 
     ```c title="avl_tree.c"
-    
+
-    ```
+
+
+````
 
 === "C#"
 
@@ -617,7 +710,8 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         // 返回旋转后子树的根节点
         return child
     }
-    ```
+
+````
 
 === "Zig"
 
@@ -690,12 +784,43 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         // 平衡树，无需旋转，直接返回
         return node;
     }
-    ```
+
+
+
+````
 
 === "C++"
 
     ```cpp title="avl_tree.cpp"
-    
+    /* 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+    TreeNode* rotate(TreeNode* node) {
+        // 获取结点 node 的平衡因子
+        int _balanceFactor = balanceFactor(node);
+        // 左偏树
+        if (_balanceFactor > 1) {
+            if (balanceFactor(node->left) >= 0) {
+                // 右旋
+                return rightRotate(node);
+            } else {
+                // 先左旋后右旋
+                node->left = leftRotate(node->left);
+                return rightRotate(node);
+            }
+        }
+        // 右偏树
+        if (_balanceFactor < -1) {
+            if (balanceFactor(node->right) <= 0) {
+                // 左旋
+                return leftRotate(node);
+            } else {
+                // 先右旋后左旋
+                node->right = rightRotate(node->right);
+                return leftRotate(node);
+            }
+        }
+        // 平衡树，无需旋转，直接返回
+        return node;
+    }
     ```
 
 === "Python"
@@ -725,7 +850,8 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
                 return self.__left_rotate(node)
         # 平衡树，无需旋转，直接返回
         return node
-    ```
+
+````
 
 === "Go"
 
@@ -765,20 +891,22 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 === "JavaScript"
 
     ```js title="avl_tree.js"
-    
+
-    ```
+
+
+````
 
 === "TypeScript"
 
     ```typescript title="avl_tree.ts"
-    
+
     ```
 
 === "C"
 
     ```c title="avl_tree.c"
-    
+
-    ```
+````
 
 === "C#"
 
@@ -855,7 +983,10 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         // 平衡树，无需旋转，直接返回
         return node
     }
-    ```
+
+
+
+````
 
 === "Zig"
 
@@ -877,7 +1008,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         root = insertHelper(root, val);
         return root;
     }
-    
+
     /* 递归插入结点（辅助函数） */
     TreeNode insertHelper(TreeNode node, int val) {
         if (node == null) return new TreeNode(val);
@@ -886,6 +1017,34 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
             node.left = insertHelper(node.left, val);
         else if (val > node.val)
             node.right = insertHelper(node.right, val);
+        else
+            return node; // 重复结点不插入，直接返回
+        updateHeight(node); // 更新结点高度
+        /* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+        node = rotate(node);
+        // 返回子树的根节点
+        return node;
+    }
+
+````
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="avl_tree.cpp"
+    /* 插入结点 */
+    TreeNode* insert(int val) {
+        root = insertHelper(root, val);
+        return root;
+    }
+
+    /* 递归插入结点（辅助函数） */
+    TreeNode* insertHelper(TreeNode* node, int val) {
+        if (node == nullptr) return new TreeNode(val);
+        /* 1. 查找插入位置，并插入结点 */
+        if (val < node->val)
+            node->left = insertHelper(node->left, val);
+        else if (val > node->val)
+            node->right = insertHelper(node->right, val);
         else
             return node;     // 重复结点不插入，直接返回
         updateHeight(node);  // 更新结点高度
@@ -896,12 +1055,6 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
     }
     ```
 
-=== "C++"
-
-    ```cpp title="avl_tree.cpp"
-    
-    ```
-
 === "Python"
 
     ```python title="avl_tree.py"
@@ -909,7 +1062,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
     def insert(self, val) -> TreeNode:
         self.root = self.__insert_helper(self.root, val)
         return self.root
-    
+
     """ 递归插入结点（辅助函数）"""
     def __insert_helper(self, node: Optional[TreeNode], val: int) -> TreeNode:
         if node is None:
@@ -926,7 +1079,10 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         self.__update_height(node)
         # 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡
         return self.__rotate(node)
-    ```
+
+
+
+````
 
 === "Go"
 
@@ -962,20 +1118,22 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 === "JavaScript"
 
     ```js title="avl_tree.js"
-    
+
-    ```
+````
 
 === "TypeScript"
 
     ```typescript title="avl_tree.ts"
-    
+
     ```
 
 === "C"
 
     ```c title="avl_tree.c"
-    
+
-    ```
+
+
+````
 
 === "C#"
 
@@ -986,7 +1144,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         root = insertHelper(root, val);
         return root;
     }
-    
+
     /* 递归插入结点（辅助函数） */
     private TreeNode? insertHelper(TreeNode? node, int val)
     {
@@ -1036,7 +1194,8 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         // 返回子树的根节点
         return node
     }
-    ```
+
+````
 
 === "Zig"
 
@@ -1056,7 +1215,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         root = removeHelper(root, val);
         return root;
     }
-    
+
     /* 递归删除结点（辅助函数） */
     TreeNode removeHelper(TreeNode node, int val) {
         if (node == null) return null;
@@ -1081,6 +1240,54 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
                 node.val = temp.val;
             }
         }
+        updateHeight(node); // 更新结点高度
+        /* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+        node = rotate(node);
+        // 返回子树的根节点
+        return node;
+    }
+
+
+
+````
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="avl_tree.cpp"
+    /* 删除结点 */
+    TreeNode* remove(int val) {
+        root = removeHelper(root, val);
+        return root;
+    }
+
+    /* 递归删除结点（辅助函数） */
+    TreeNode* removeHelper(TreeNode* node, int val) {
+        if (node == nullptr) return nullptr;
+        /* 1. 查找结点，并删除之 */
+        if (val < node->val)
+            node->left = removeHelper(node->left, val);
+        else if (val > node->val)
+            node->right = removeHelper(node->right, val);
+        else {
+            if (node->left == nullptr || node->right == nullptr) {
+                TreeNode* child = node->left != nullptr ? node->left : node->right;
+                // 子结点数量 = 0 ，直接删除 node 并返回
+                if (child == nullptr) {
+                    delete node;
+                    return nullptr;
+                }
+                // 子结点数量 = 1 ，直接删除 node
+                else {
+                    delete node;
+                    node = child;
+                }
+            } else {
+                // 子结点数量 = 2 ，则将中序遍历的下个结点删除，并用该结点替换当前结点
+                TreeNode* temp = getInOrderNext(node->right);
+                node->right = removeHelper(node->right, temp->val);
+                node->val = temp->val;
+            }
+        }
         updateHeight(node);  // 更新结点高度
         /* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
         node = rotate(node);
@@ -1089,12 +1296,6 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
     }
     ```
 
-=== "C++"
-
-    ```cpp title="avl_tree.cpp"
-    
-    ```
-
 === "Python"
 
     ```python title="avl_tree.py"
@@ -1102,7 +1303,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
     def remove(self, val: int):
         root = self.__remove_helper(self.root, val)
         return root
-    
+
     """ 递归删除结点（辅助函数） """
     def __remove_helper(self, node: Optional[TreeNode], val: int) -> Optional[TreeNode]:
         if node is None:
@@ -1129,7 +1330,8 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         self.__update_height(node)
         # 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡
         return self.__rotate(node)
-    ```
+
+````
 
 === "Go"
 
@@ -1139,7 +1341,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         root := removeHelper(t.root, val)
         return root
     }
-    
+
     /* 递归删除结点（辅助函数） */
     func removeHelper(node *TreeNode, val int) *TreeNode {
         if node == nil {
@@ -1182,20 +1384,22 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 === "JavaScript"
 
     ```js title="avl_tree.js"
-    
+
-    ```
+
+
+````
 
 === "TypeScript"
 
     ```typescript title="avl_tree.ts"
-    
+
     ```
 
 === "C"
 
     ```c title="avl_tree.c"
-    
+
-    ```
+````
 
 === "C#"
 
@@ -1206,7 +1410,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         root = removeHelper(root, val);
         return root;
     }
-    
+
     /* 递归删除结点（辅助函数） */
     private TreeNode? removeHelper(TreeNode? node, int val)
     {
@@ -1289,7 +1493,10 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         // 返回子树的根节点
         return node
     }
-    ```
+
+
+
+````
 
 === "Zig"
 
@@ -1303,8 +1510,8 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 
 ## 7.4.4. AVL 树典型应用
 
-- 组织存储大型数据，适用于高频查找、低频增删场景；
+-   组织存储大型数据，适用于高频查找、低频增删场景；
-- 用于建立数据库中的索引系统；
+-   用于建立数据库中的索引系统；
 
 !!! question "为什么红黑树比 AVL 树更受欢迎？"
-    红黑树的平衡条件相对宽松，因此在红黑树中插入与删除结点所需的旋转操作相对更少，结点增删操作相比 AVL 树的效率更高。
+红黑树的平衡条件相对宽松，因此在红黑树中插入与删除结点所需的旋转操作相对更少，结点增删操作相比 AVL 树的效率更高。