build

chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem.md

@@ -8,7 +8,7 @@ comments: true
 
     给定一个二叉树的前序遍历 `preorder` 和中序遍历 `inorder` ，请从中构建二叉树，返回二叉树的根节点。
 
-![构建二叉树的示例数据](build_binary_tree.assets/build_tree_example.png)
+![构建二叉树的示例数据](build_binary_tree_problem.assets/build_tree_example.png)
 
 <p align="center"> Fig. 构建二叉树的示例数据 </p>
 
@@ -31,7 +31,7 @@ comments: true
 2. 查找根节点在 `inorder` 中的索引，基于该索引可将 `inorder` 划分为 `[ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ]` ；
 3. 根据 `inorder` 划分结果，可得左子树和右子树分别有 1 个和 3 个节点，从而可将 `preorder` 划分为 `[ 3 | 9 | 2 1 7 ]` ；
 
-![在前序和中序遍历中划分子树](build_binary_tree.assets/build_tree_preorder_inorder_division.png)
+![在前序和中序遍历中划分子树](build_binary_tree_problem.assets/build_tree_preorder_inorder_division.png)
 
 <p align="center"> Fig. 在前序和中序遍历中划分子树 </p>
 
@@ -55,7 +55,7 @@ comments: true
 
 请注意，右子树根节点索引中的 $(m-l)$ 的含义是“左子树的节点数量”，建议配合下图理解。
 
-![根节点和左右子树的索引区间表示](build_binary_tree.assets/build_tree_division_pointers.png)
+![根节点和左右子树的索引区间表示](build_binary_tree_problem.assets/build_tree_division_pointers.png)
 
 <p align="center"> Fig. 根节点和左右子树的索引区间表示 </p>
 
@@ -88,7 +88,7 @@ comments: true
         l: int,
         r: int,
     ) -> TreeNode | None:
-        """构建二叉树 DFS"""
+        """构建二叉树：分治"""
         # 子树区间为空时终止
         if r - l < 0:
             return None
@@ -96,9 +96,9 @@ comments: true
         root = TreeNode(preorder[i])
         # 查询 m ，从而划分左右子树
         m = hmap[preorder[i]]
-        # 递归构建左子树
+        # 子问题：构建左子树
         root.left = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1, l, m - 1)
-        # 递归构建右子树
+        # 子问题：构建右子树
         root.right = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1 + m - l, m + 1, r)
         # 返回根节点
         return root
@@ -178,34 +178,34 @@ comments: true
 下图展示了构建二叉树的递归过程，各个节点是在向下“递”的过程中建立的，而各条边是在向上“归”的过程中建立的。
 
 === "<1>"
-    ![built_tree_step1](build_binary_tree.assets/built_tree_step1.png)
+    ![构建二叉树的递归过程](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step1.png)
 
 === "<2>"
-    ![built_tree_step2](build_binary_tree.assets/built_tree_step2.png)
+    ![built_tree_step2](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step2.png)
 
 === "<3>"
-    ![built_tree_step3](build_binary_tree.assets/built_tree_step3.png)
+    ![built_tree_step3](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step3.png)
 
 === "<4>"
-    ![built_tree_step4](build_binary_tree.assets/built_tree_step4.png)
+    ![built_tree_step4](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step4.png)
 
 === "<5>"
-    ![built_tree_step5](build_binary_tree.assets/built_tree_step5.png)
+    ![built_tree_step5](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step5.png)
 
 === "<6>"
-    ![built_tree_step6](build_binary_tree.assets/built_tree_step6.png)
+    ![built_tree_step6](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step6.png)
 
 === "<7>"
-    ![built_tree_step7](build_binary_tree.assets/built_tree_step7.png)
+    ![built_tree_step7](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step7.png)
 
 === "<8>"
-    ![built_tree_step8](build_binary_tree.assets/built_tree_step8.png)
+    ![built_tree_step8](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step8.png)
 
 === "<9>"
-    ![built_tree_step9](build_binary_tree.assets/built_tree_step9.png)
+    ![built_tree_step9](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step9.png)
 
 === "<10>"
-    ![built_tree_step10](build_binary_tree.assets/built_tree_step10.png)
+    ![built_tree_step10](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step10.png)
 
 设树的节点数量为 $n$ ，初始化每一个节点（执行一个递归函数 `dfs()` ）使用 $O(1)$ 时间。**因此总体时间复杂度为 $O(n)$** 。
 

chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer.md

@@ -2,7 +2,7 @@
 comments: true
 ---
 
-# 12.1.   分治
+# 12.1.   分治算法
 
 「分治 Divide and Conquer」，全称分而治之，是一种非常重要的算法策略。分治通常基于递归实现，包括“分”和“治”两部分，主要步骤如下：
 

chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md

@@ -0,0 +1,225 @@
+---
+comments: true
+---
+
+# 12.3.   汉诺塔问题
+
+在归并排序和构建二叉树中，我们将原问题分解为两个规模为原问题一半的子问题。然而，对于即将介绍的汉诺塔问题，我们采用不同的分解策略。
+
+!!! question
+
+    给定三根柱子，记为 `A` , `B` , `C` 。起始状态下，柱子 `A` 上套着 $n$ 个圆盘，它们从上到下按照从小到大的顺序排列。我们的任务是要把这 $n$ 个圆盘移到柱子 `C` 上，并保持它们的原有顺序不变。在移动圆盘的过程中，需要遵守以下规则：
+    
+    1. 圆盘只能从一个柱子顶部拿出，从另一个柱子顶部放入；
+    2. 每次只能移动一个圆盘；
+    3. 小圆盘必须时刻位于大圆盘之上；
+
+![汉诺塔问题示例](hanota_problem.assets/hanota_example.png)
+
+<p align="center"> Fig. 汉诺塔问题示例 </p>
+
+在本文中，**我们将规模为 $i$ 的汉诺塔问题记做 $f(i)$** 。例如 $f(3)$ 代表将 $3$ 个圆盘从 `A` 移动至 `C` 的汉诺塔问题。
+
+先考虑最简单的情况：对于问题 $f(1)$ ，即当只有一个圆盘时，则将它直接从 `A` 移动至 `C` 即可。
+
+=== "<1>"
+    ![规模为 1 问题的解](hanota_problem.assets/hanota_f1_step1.png)
+
+=== "<2>"
+    ![hanota_f1_step2](hanota_problem.assets/hanota_f1_step2.png)
+
+对于问题 $f(2)$ ，即当有两个圆盘时，**由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助 `B` 来完成移动**，包括三步：
+
+1. 先将上面的小圆盘从 `A` 移至 `B` ；
+2. 再将大圆盘从 `A` 移至 `C` ；
+3. 最后将小圆盘从 `B` 移至 `C` ；
+
+如下图所示，对于小圆盘的移动，**我们称 `C` 为目标柱、`B` 为缓冲柱**。
+
+=== "<1>"
+    ![规模为 2 问题的解](hanota_problem.assets/hanota_f2_step1.png)
+
+=== "<2>"
+    ![hanota_f2_step2](hanota_problem.assets/hanota_f2_step2.png)
+
+=== "<3>"
+    ![hanota_f2_step3](hanota_problem.assets/hanota_f2_step3.png)
+
+=== "<4>"
+    ![hanota_f2_step4](hanota_problem.assets/hanota_f2_step4.png)
+
+对于问题 $f(3)$ ，即当有三个圆盘时，情况变得稍微复杂了一些。由于已知 $f(1)$ 和 $f(2)$ 的解，我们可以从分治角度思考，**将 `A` 顶部的两个圆盘看做一个整体**，并执行以下步骤：
+
+1. 令 `B` 为目标柱、`C` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `A` 移动至 `B` ；
+2. 将 `A` 中剩余的一个圆盘从 `A` 移动至 `C` ；
+3. 令 `C` 为目标柱、`A` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `B` 移动至 `C` ；
+
+这样三个圆盘就被顺利地从 `A` 移动至 `C` 了。
+
+=== "<1>"
+    ![规模为 3 问题的解](hanota_problem.assets/hanota_f3_step1.png)
+
+=== "<2>"
+    ![hanota_f3_step2](hanota_problem.assets/hanota_f3_step2.png)
+
+=== "<3>"
+    ![hanota_f3_step3](hanota_problem.assets/hanota_f3_step3.png)
+
+=== "<4>"
+    ![hanota_f3_step4](hanota_problem.assets/hanota_f3_step4.png)
+
+本质上看，我们将问题 $f(3)$ 划分为两个子问题 $f(2)$ 和子问题 $f(1)$。按顺序解决这三个子问题之后，原问题随之得到解决。**以上分析说明了子问题的独立性，以及解是可以合并的**。
+
+至此，我们可总结出汉诺塔问题的分治策略：**将原问题 $f(n)$ 划分为两个子问题 $f(n-1)$ 和一个子问题 $f(1)$** 。子问题的解决顺序为：
+
+1. 将 $n-1$ 个圆盘借助 `C` 从 `A` 移至 `B` ；
+2. 将剩余 $1$ 个圆盘从 `A` 直接移至 `C` ；
+3. 将 $n-1$ 个圆盘借助 `A` 从 `B` 移至 `C` ；
+
+并且，对于这两个子问题 $f(n-1)$ ，**可以通过相同的方式进行递归划分**，直至达到最小子问题 $f(1)$ 。而 $f(1)$ 的解是已知的，只需一次移动操作即可。
+
+![汉诺塔问题的分治策略](hanota_problem.assets/hanota_divide_and_conquer.png)
+
+<p align="center"> Fig. 汉诺塔问题的分治策略 </p>
+
+在代码实现中，我们声明一个递归函数 `dfs(i, src, buf, tar)` ，它的作用是将柱 `src` 顶部的 $i$ 个圆盘借助缓冲柱 `buf` 移动至目标柱 `tar` 。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="hanota.java"
+    [class]{hanota}-[func]{move}
+
+    [class]{hanota}-[func]{dfs}
+
+    [class]{hanota}-[func]{hanota}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="hanota.cpp"
+    [class]{}-[func]{move}
+
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{hanota}
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="hanota.py"
+    def move(src: list[int], tar: list[int]):
+        """移动一个圆盘"""
+        # 从 src 顶部拿出一个圆盘
+        pan = src.pop()
+        # 将圆盘放入 tar 顶部
+        tar.append(pan)
+
+    def dfs(i: int, src: list[int], buf: list[int], tar: list[int]):
+        """求解汉诺塔：问题 f(i)"""
+        # 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
+        if i == 1:
+            move(src, tar)
+            return
+        # 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
+        dfs(i - 1, src, tar, buf)
+        # 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
+        move(src, tar)
+        # 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
+        dfs(i - 1, buf, src, tar)
+
+    def hanota(A: list[int], B: list[int], C: list[int]):
+        """求解汉诺塔"""
+        n = len(A)
+        # 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
+        dfs(n, A, B, C)
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="hanota.go"
+    [class]{}-[func]{move}
+
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{hanota}
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```javascript title="hanota.js"
+    [class]{}-[func]{move}
+
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{hanota}
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="hanota.ts"
+    [class]{}-[func]{move}
+
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{hanota}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="hanota.c"
+    [class]{}-[func]{move}
+
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{hanota}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="hanota.cs"
+    [class]{hanota}-[func]{move}
+
+    [class]{hanota}-[func]{dfs}
+
+    [class]{hanota}-[func]{hanota}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="hanota.swift"
+    [class]{}-[func]{move}
+
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{hanota}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="hanota.zig"
+    [class]{}-[func]{move}
+
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{hanota}
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="hanota.dart"
+    [class]{}-[func]{move}
+
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{hanota}
+    ```
+
+如下图所示，汉诺塔问题形成一个高度为 $n$ 的递归树，每个节点代表一个子问题、对应一个开启的 `dfs()` 函数，**因此时间复杂度为 $O(2^n)$ ，空间复杂度为 $O(n)$** 。
+
+![汉诺塔问题的递归树](hanota_problem.assets/hanota_recursive_tree.png)
+
+<p align="center"> Fig. 汉诺塔问题的递归树 </p>
+
+有趣的是，汉诺塔问题源自一种古老的传说故事。在古印度的一个寺庙里，僧侣们有三根高大的钻石柱子，以及 $64$ 个大小不一的金圆盘。僧侣们不断地移动原盘，他们相信在最后一个圆盘被正确放置的那一刻，这个世界就会结束。
+
+然而根据以上分析，即使僧侣们每秒钟移动一次，总共需要大约 $2^{64} \approx 1.84×10^{19}$ 秒，合约 $5850$ 亿年，远远超过了现在对宇宙年龄的估计。所以，倘若这个传说是真的，我们应该不需要担心世界末日的到来。

chapter_dynamic_programming/dp_problem_features.md

@@ -148,7 +148,23 @@ $$
 === "Zig"
 
     ```zig title="min_cost_climbing_stairs_dp.zig"
-    [class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDP}
+    // 爬楼梯最小代价：动态规划
+    fn minCostClimbingStairsDP(comptime cost: []i32) i32 {
+        comptime var n = cost.len - 1;
+        if (n == 1 or n == 2) {
+            return cost[n];
+        }
+        // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
+        var dp = [_]i32{-1} ** (n + 1);
+        // 初始状态：预设最小子问题的解
+        dp[1] = cost[1];
+        dp[2] = cost[2];
+        // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
+        for (3..n + 1) |i| {
+            dp[i] = @min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
+        }
+        return dp[n];
+    }
     ```
 
 === "Dart"
@@ -264,7 +280,22 @@ $$
 === "Zig"
 
     ```zig title="min_cost_climbing_stairs_dp.zig"
-    [class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDPComp}
+    // 爬楼梯最小代价：状态压缩后的动态规划
+    fn minCostClimbingStairsDPComp(cost: []i32) i32 {
+        var n = cost.len - 1;
+        if (n == 1 or n == 2) {
+            return cost[n];
+        }
+        var a = cost[1];
+        var b = cost[2];
+        // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
+        for (3..n + 1) |i| {
+            var tmp = b;
+            b = @min(a, tmp) + cost[i];
+            a = tmp;
+        }
+        return b;
+    }
     ```
 
 === "Dart"
@@ -439,7 +470,25 @@ $$
 === "Zig"
 
     ```zig title="climbing_stairs_constraint_dp.zig"
-    [class]{}-[func]{climbingStairsConstraintDP}
+    // 带约束爬楼梯：动态规划
+    fn climbingStairsConstraintDP(comptime n: usize) i32 {
+        if (n == 1 or n == 2) {
+            return @intCast(n);
+        }
+        // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
+        var dp = [_][3]i32{ [_]i32{ -1, -1, -1 } } ** (n + 1);
+        // 初始状态：预设最小子问题的解
+        dp[1][1] = 1;
+        dp[1][2] = 0;
+        dp[2][1] = 0;
+        dp[2][2] = 1;
+        // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
+        for (3..n + 1) |i| {
+            dp[i][1] = dp[i - 1][2];
+            dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
+        }
+        return dp[n][1] + dp[n][2];
+    }
     ```
 
 === "Dart"

chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline.md

@@ -221,7 +221,22 @@ $$
 === "Zig"
 
     ```zig title="min_path_sum.zig"
-    [class]{}-[func]{minPathSumDFS}
+    // 最小路径和：暴力搜索
+    fn minPathSumDFS(grid: anytype, i: i32, j: i32) i32 {
+        // 若为左上角单元格，则终止搜索
+        if (i == 0 and j == 0) {
+            return grid[0][0];
+        }
+        // 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
+        if (i < 0 or j < 0) {
+            return std.math.maxInt(i32);
+        }
+        // 计算从左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路径代价
+        var left = minPathSumDFS(grid, i - 1, j);
+        var up = minPathSumDFS(grid, i, j - 1);
+        // 返回从左上角到 (i, j) 的最小路径代价
+        return @min(left, up) + grid[@as(usize, @intCast(i))][@as(usize, @intCast(j))];
+    }
     ```
 
 === "Dart"
@@ -379,7 +394,28 @@ $$
 === "Zig"
 
     ```zig title="min_path_sum.zig"
-    [class]{}-[func]{minPathSumDFSMem}
+    // 最小路径和：记忆化搜索
+    fn minPathSumDFSMem(grid: anytype, mem: anytype, i: i32, j: i32) i32 {
+        // 若为左上角单元格，则终止搜索
+        if (i == 0 and j == 0) {
+            return grid[0][0];
+        }
+        // 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
+        if (i < 0 or j < 0) {
+            return std.math.maxInt(i32);
+        }
+        // 若已有记录，则直接返回
+        if (mem[@as(usize, @intCast(i))][@as(usize, @intCast(j))] != -1) {
+            return mem[@as(usize, @intCast(i))][@as(usize, @intCast(j))];
+        }
+        // 计算从左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路径代价
+        var left = minPathSumDFSMem(grid, mem, i - 1, j);
+        var up = minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j - 1);
+        // 返回从左上角到 (i, j) 的最小路径代价
+        // 记录并返回左上角到 (i, j) 的最小路径代价
+        mem[@as(usize, @intCast(i))][@as(usize, @intCast(j))] = @min(left, up) + grid[@as(usize, @intCast(i))][@as(usize, @intCast(j))];
+        return mem[@as(usize, @intCast(i))][@as(usize, @intCast(j))];
+    }
     ```
 
 === "Dart"
@@ -534,7 +570,29 @@ $$
 === "Zig"
 
     ```zig title="min_path_sum.zig"
-    [class]{}-[func]{minPathSumDP}
+    // 最小路径和：动态规划
+    fn minPathSumDP(comptime grid: anytype) i32 {
+        comptime var n = grid.len;
+        comptime var m = grid[0].len;
+        // 初始化 dp 表
+        var dp = [_][m]i32{[_]i32{0} ** m} ** n;
+        dp[0][0] = grid[0][0];
+        // 状态转移：首行
+        for (1..m) |j| {
+            dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
+        }
+        // 状态转移：首列
+        for (1..n) |i| {
+            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
+        }
+        // 状态转移：其余行列
+        for (1..n) |i| {
+            for (1..m) |j| {
+                dp[i][j] = @min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
+            }
+        }
+        return dp[n - 1][m - 1];
+    }
     ```
 
 === "Dart"
@@ -718,7 +776,27 @@ $$
 === "Zig"
 
     ```zig title="min_path_sum.zig"
-    [class]{}-[func]{minPathSumDPComp}
+    // 最小路径和：状态压缩后的动态规划
+    fn minPathSumDPComp(comptime grid: anytype) i32 {
+        comptime var n = grid.len;
+        comptime var m = grid[0].len;
+        // 初始化 dp 表
+        var dp = [_]i32{0} ** m;
+        // 状态转移：首行
+        dp[0] = grid[0][0];
+        for (1..m) |j| {
+            dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j];
+        }
+        // 状态转移：其余行
+        for (1..n) |i| {
+            // 状态转移：首列
+            dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
+            for (1..m) |j| {
+                dp[j] = @min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j];
+            }
+        }
+        return dp[m - 1];
+    }
     ```
 
 === "Dart"

chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem.md

@@ -218,7 +218,32 @@ $$
 === "Zig"
 
     ```zig title="edit_distance.zig"
-    [class]{}-[func]{editDistanceDP}
+    // 编辑距离：动态规划
+    fn editDistanceDP(comptime s: []const u8, comptime t: []const u8) i32 {
+        comptime var n = s.len;
+        comptime var m = t.len;
+        var dp = [_][m + 1]i32{[_]i32{0} ** (m + 1)} ** (n + 1);
+        // 状态转移：首行首列
+        for (1..n + 1) |i| {
+            dp[i][0] = @intCast(i);
+        }
+        for (1..m + 1) |j| {
+            dp[0][j] = @intCast(j);
+        }
+        // 状态转移：其余行列
+        for (1..n + 1) |i| {
+            for (1..m + 1) |j| {
+                if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
+                    // 若两字符相等，则直接跳过此两字符
+                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
+                } else {
+                    // 最少编辑步数 = 插入、删除、替换这三种操作的最少编辑步数 + 1
+                    dp[i][j] = @min(@min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
+                }
+            }
+        }
+        return dp[n][m];
+    }
     ```
 
 === "Dart"
@@ -438,7 +463,35 @@ $$
 === "Zig"
 
     ```zig title="edit_distance.zig"
-    [class]{}-[func]{editDistanceDPComp}
+    // 编辑距离：状态压缩后的动态规划
+    fn editDistanceDPComp(comptime s: []const u8, comptime t: []const u8) i32 {
+        comptime var n = s.len;
+        comptime var m = t.len;
+        var dp = [_]i32{0} ** (m + 1);
+        // 状态转移：首行
+        for (1..m + 1) |j| {
+            dp[j] = @intCast(j);
+        }
+        // 状态转移：其余行
+        for (1..n + 1) |i| {
+            // 状态转移：首列
+            var leftup = dp[0]; // 暂存 dp[i-1, j-1]
+            dp[0] = @intCast(i);
+            // 状态转移：其余列
+            for (1..m + 1) |j| {
+                var temp = dp[j];
+                if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
+                    // 若两字符相等，则直接跳过此两字符
+                    dp[j] = leftup;
+                } else {
+                    // 最少编辑步数 = 插入、删除、替换这三种操作的最少编辑步数 + 1
+                    dp[j] = @min(@min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
+                }
+                leftup = temp; // 更新为下一轮的 dp[i-1, j-1]
+            }
+        }
+        return dp[m];
+    }
     ```
 
 === "Dart"

chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md

@@ -195,7 +195,16 @@ comments: true
         }
     }
 
-    [class]{}-[func]{climbingStairsBacktrack}
+    // 爬楼梯：回溯
+    fn climbingStairsBacktrack(n: usize) !i32 {
+        var choices = [_]i32{ 1, 2 }; // 可选择向上爬 1 或 2 阶
+        var state: i32 = 0; // 从第 0 阶开始爬
+        var res = std.ArrayList(i32).init(std.heap.page_allocator);
+        defer res.deinit();
+        try res.append(0); // 使用 res[0] 记录方案数量
+        backtrack(&choices, state, @intCast(n), res);
+        return res.items[0];
+    }
     ```
 
 === "Dart"
@@ -362,7 +371,10 @@ $$
         return count;
     }
 
-    [class]{}-[func]{climbingStairsDFS}
+    // 爬楼梯：搜索
+    fn climbingStairsDFS(comptime n: usize) i32 {
+        return dfs(n);
+    }
     ```
 
 === "Dart"
@@ -552,7 +564,12 @@ $$
         return count;
     }
 
-    [class]{}-[func]{climbingStairsDFSMem}
+    // 爬楼梯：记忆化搜索
+    fn climbingStairsDFSMem(comptime n: usize) i32 {
+        // mem[i] 记录爬到第 i 阶的方案总数，-1 代表无记录
+        var mem = [_]i32{ -1 } ** (n + 1);
+        return dfs(n, &mem);
+    }
     ```
 
 === "Dart"
@@ -687,7 +704,23 @@ $$
 === "Zig"
 
     ```zig title="climbing_stairs_dp.zig"
-    [class]{}-[func]{climbingStairsDP}
+    // 爬楼梯：动态规划
+    fn climbingStairsDP(comptime n: usize) i32 {
+        // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
+        if (n == 1 or n == 2) {
+            return @intCast(n);
+        }
+        // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
+        var dp = [_]i32{-1} ** (n + 1);
+        // 初始状态：预设最小子问题的解
+        dp[1] = 1;
+        dp[2] = 2;
+        // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
+        for (3..n + 1) |i| {
+            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
+        }
+        return dp[n];
+    }
     ```
 
 === "Dart"
@@ -805,7 +838,20 @@ $$
 === "Zig"
 
     ```zig title="climbing_stairs_dp.zig"
-    [class]{}-[func]{climbingStairsDPComp}
+    // 爬楼梯：状态压缩后的动态规划
+    fn climbingStairsDPComp(comptime n: usize) i32 {
+        if (n == 1 or n == 2) {
+            return @intCast(n);
+        }
+        var a: i32 = 1;
+        var b: i32 = 2;
+        for (3..n + 1) |_| {
+            var tmp = b;
+            b = a + b;
+            a = tmp;
+        }
+        return b;
+    }
     ```
 
 === "Dart"

chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md

@@ -177,7 +177,22 @@ $$
 === "Zig"
 
     ```zig title="knapsack.zig"
-    [class]{}-[func]{knapsackDFS}
+    // 0-1 背包：暴力搜索
+    fn knapsackDFS(wgt: []i32, val: []i32, i: usize, c: usize) i32 {
+        // 若已选完所有物品或背包无容量，则返回价值 0
+        if (i == 0 or c == 0) {
+            return 0;
+        }
+        // 若超过背包容量，则只能不放入背包
+        if (wgt[i - 1] > c) {
+            return knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
+        }
+        // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
+        var no = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
+        var yes = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c - @as(usize, @intCast(wgt[i - 1]))) + val[i - 1];
+        // 返回两种方案中价值更大的那一个
+        return @max(no, yes);
+    }
     ```
 
 === "Dart"
@@ -333,7 +348,27 @@ $$
 === "Zig"
 
     ```zig title="knapsack.zig"
-    [class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
+    // 0-1 背包：记忆化搜索
+    fn knapsackDFSMem(wgt: []i32, val: []i32, mem: anytype, i: usize, c: usize) i32 {
+        // 若已选完所有物品或背包无容量，则返回价值 0
+        if (i == 0 or c == 0) {
+            return 0;
+        }
+        // 若已有记录，则直接返回
+        if (mem[i][c] != -1) {
+            return mem[i][c];
+        }
+        // 若超过背包容量，则只能不放入背包
+        if (wgt[i - 1] > c) {
+            return knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
+        }
+        // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
+        var no = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
+        var yes = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c - @as(usize, @intCast(wgt[i - 1]))) + val[i - 1];
+        // 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
+        mem[i][c] = @max(no, yes);
+        return mem[i][c];
+    }
     ```
 
 === "Dart"
@@ -477,7 +512,25 @@ $$
 === "Zig"
 
     ```zig title="knapsack.zig"
-    [class]{}-[func]{knapsackDP}
+    // 0-1 背包：动态规划
+    fn knapsackDP(comptime wgt: []i32, val: []i32, comptime cap: usize) i32 {
+        comptime var n = wgt.len;
+        // 初始化 dp 表
+        var dp = [_][cap + 1]i32{[_]i32{0} ** (cap + 1)} ** (n + 1);
+        // 状态转移
+        for (1..n + 1) |i| {
+            for (1..cap + 1) |c| {
+                if (wgt[i - 1] > c) {
+                    // 若超过背包容量，则不选物品 i
+                    dp[i][c] = dp[i - 1][c];
+                } else {
+                    // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
+                    dp[i][c] = @max(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - @as(usize, @intCast(wgt[i - 1]))] + val[i - 1]);
+                }
+            }
+        }
+        return dp[n][cap];
+    }
     ```
 
 === "Dart"
@@ -679,7 +732,24 @@ $$
 === "Zig"
 
     ```zig title="knapsack.zig"
-    [class]{}-[func]{knapsackDPComp}
+    // 0-1 背包：状态压缩后的动态规划
+    fn knapsackDPComp(wgt: []i32, val: []i32, comptime cap: usize) i32 {
+        var n = wgt.len;
+        // 初始化 dp 表
+        var dp = [_]i32{0} ** (cap + 1);
+        // 状态转移
+        for (1..n + 1) |i| {
+            // 倒序遍历
+            var c = cap;
+            while (c > 0) : (c -= 1) {
+                if (wgt[i - 1] < c) {
+                    // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
+                    dp[c] = @max(dp[c], dp[c - @as(usize, @intCast(wgt[i - 1]))] + val[i - 1]);
+                }
+            }
+        }
+        return dp[cap];
+    }
     ```
 
 === "Dart"

chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem.md

@@ -159,7 +159,25 @@ $$
 === "Zig"
 
     ```zig title="unbounded_knapsack.zig"
-    [class]{}-[func]{unboundedKnapsackDP}
+    // 完全背包：动态规划
+    fn unboundedKnapsackDP(comptime wgt: []i32, val: []i32, comptime cap: usize) i32 {
+        comptime var n = wgt.len;
+        // 初始化 dp 表
+        var dp = [_][cap + 1]i32{[_]i32{0} ** (cap + 1)} ** (n + 1);
+        // 状态转移
+        for (1..n + 1) |i| {
+            for (1..cap + 1) |c| {
+                if (wgt[i - 1] > c) {
+                    // 若超过背包容量，则不选物品 i
+                    dp[i][c] = dp[i - 1][c];
+                } else {
+                    // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
+                    dp[i][c] = @max(dp[i - 1][c], dp[i][c - @as(usize, @intCast(wgt[i - 1]))] + val[i - 1]);
+                }
+            }
+        }
+        return dp[n][cap];
+    }
     ```
 
 === "Dart"
@@ -316,7 +334,25 @@ $$
 === "Zig"
 
     ```zig title="unbounded_knapsack.zig"
-    [class]{}-[func]{unboundedKnapsackDPComp}
+    // 完全背包：状态压缩后的动态规划
+    fn unboundedKnapsackDPComp(comptime wgt: []i32, val: []i32, comptime cap: usize) i32 {
+        comptime var n = wgt.len;
+        // 初始化 dp 表
+        var dp = [_]i32{0} ** (cap + 1);
+        // 状态转移
+        for (1..n + 1) |i| {
+            for (1..cap + 1) |c| {
+                if (wgt[i - 1] > c) {
+                    // 若超过背包容量，则不选物品 i
+                    dp[c] = dp[c];
+                } else {
+                    // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
+                    dp[c] = @max(dp[c], dp[c - @as(usize, @intCast(wgt[i - 1]))] + val[i - 1]);
+                }
+            }
+        }
+        return dp[cap];
+    }
     ```
 
 === "Dart"
@@ -516,7 +552,34 @@ $$
 === "Zig"
 
     ```zig title="coin_change.zig"
-    [class]{}-[func]{coinChangeDP}
+    // 零钱兑换：动态规划
+    fn coinChangeDP(comptime coins: []i32, comptime amt: usize) i32 {
+        comptime var n = coins.len;
+        comptime var max = amt + 1;
+        // 初始化 dp 表
+        var dp = [_][amt + 1]i32{[_]i32{0} ** (amt + 1)} ** (n + 1);
+        // 状态转移：首行首列
+        for (1..amt + 1) |a| {
+            dp[0][a] = max;
+        }
+        // 状态转移：其余行列
+        for (1..n + 1) |i| {
+            for (1..amt + 1) |a| {
+                if (coins[i - 1] > @as(i32, @intCast(a))) {
+                    // 若超过背包容量，则不选硬币 i
+                    dp[i][a] = dp[i - 1][a];
+                } else {
+                    // 不选和选硬币 i 这两种方案的较小值
+                    dp[i][a] = @min(dp[i - 1][a], dp[i][a - @as(usize, @intCast(coins[i - 1]))] + 1);
+                }
+            }
+        }
+        if (dp[n][amt] != max) {
+            return @intCast(dp[n][amt]);
+        } else {
+            return -1;
+        }
+    }
     ```
 
 === "Dart"
@@ -710,7 +773,32 @@ $$
 === "Zig"
 
     ```zig title="coin_change.zig"
-    [class]{}-[func]{coinChangeDPComp}
+    // 零钱兑换：状态压缩后的动态规划
+    fn coinChangeDPComp(comptime coins: []i32, comptime amt: usize) i32 {
+        comptime var n = coins.len;
+        comptime var max = amt + 1;
+        // 初始化 dp 表
+        var dp = [_]i32{0} ** (amt + 1);
+        @memset(&dp, max);
+        dp[0] = 0;
+        // 状态转移
+        for (1..n + 1) |i| {
+            for (1..amt + 1) |a| {
+                if (coins[i - 1] > @as(i32, @intCast(a))) {
+                    // 若超过背包容量，则不选硬币 i
+                    dp[a] = dp[a];
+                } else {
+                    // 不选和选硬币 i 这两种方案的较小值
+                    dp[a] = @min(dp[a], dp[a - @as(usize, @intCast(coins[i - 1]))] + 1);
+                }
+            }
+        }
+        if (dp[amt] != max) {
+            return @intCast(dp[amt]);
+        } else {
+            return -1;
+        }
+    }
     ```
 
 === "Dart"
@@ -879,7 +967,29 @@ $$
 === "Zig"
 
     ```zig title="coin_change_ii.zig"
-    [class]{}-[func]{coinChangeIIDP}
+    // 零钱兑换 II：动态规划
+    fn coinChangeIIDP(comptime coins: []i32, comptime amt: usize) i32 {
+        comptime var n = coins.len;
+        // 初始化 dp 表
+        var dp = [_][amt + 1]i32{[_]i32{0} ** (amt + 1)} ** (n + 1);
+        // 初始化首列
+        for (0..n + 1) |i| {
+            dp[i][0] = 1;
+        }
+        // 状态转移
+        for (1..n + 1) |i| {
+            for (1..amt + 1) |a| {
+                if (coins[i - 1] > @as(i32, @intCast(a))) {
+                    // 若超过背包容量，则不选硬币 i
+                    dp[i][a] = dp[i - 1][a];
+                } else {
+                    // 不选和选硬币 i 这两种方案的较小值
+                    dp[i][a] = dp[i - 1][a] + dp[i][a - @as(usize, @intCast(coins[i - 1]))];
+                }
+            }
+        }
+        return dp[n][amt];
+    }
     ```
 
 === "Dart"
@@ -1020,7 +1130,26 @@ $$
 === "Zig"
 
     ```zig title="coin_change_ii.zig"
-    [class]{}-[func]{coinChangeIIDPComp}
+    // 零钱兑换 II：状态压缩后的动态规划
+    fn coinChangeIIDPComp(comptime coins: []i32, comptime amt: usize) i32 {
+        comptime var n = coins.len;
+        // 初始化 dp 表
+        var dp = [_]i32{0} ** (amt + 1);
+        dp[0] = 1;
+        // 状态转移
+        for (1..n + 1) |i| {
+            for (1..amt + 1) |a| {
+                if (coins[i - 1] > @as(i32, @intCast(a))) {
+                    // 若超过背包容量，则不选硬币 i
+                    dp[a] = dp[a];
+                } else {
+                    // 不选和选硬币 i 这两种方案的较小值
+                    dp[a] = dp[a] + dp[a - @as(usize, @intCast(coins[i - 1]))];
+                }
+            }
+        }
+        return dp[amt];
+    }
     ```
 
 === "Dart"