Add the section of counting sort. (#427)
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codes/java/chapter_sorting/counting_sort.java
Normal file
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@ -0,0 +1,78 @@
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/**
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* File: bubble_sort.java
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* Created Time: 2023-03-17
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* Author: Krahets (krahets@163.com)
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*/
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package chapter_sorting;
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import java.util.*;
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public class counting_sort {
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/* 计数排序 */
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// 简单实现,无法用于排序对象
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static void countingSortNaive(int[] nums) {
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// 1. 统计数组最大元素 m
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int m = 0;
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for (int num : nums) {
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m = Math.max(m, num);
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}
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// 2. 统计各数字的出现次数
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// counter[num] 代表 num 的出现次数
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int[] counter = new int[m + 1];
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for (int num : nums) {
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counter[num]++;
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}
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// 3. 遍历 counter ,将各元素填入原数组 nums
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int i = 0;
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for (int num = 0; num < m + 1; num++) {
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for (int j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
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nums[i] = num;
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}
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}
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}
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/* 计数排序 */
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// 完整实现,可排序对象,并且是稳定排序
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static void countingSort(int[] nums) {
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// 1. 统计数组最大元素 m
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int m = 0;
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for (int num : nums) {
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m = Math.max(m, num);
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}
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// 2. 统计各数字的出现次数
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// counter[num] 代表 num 的出现次数
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int[] counter = new int[m + 1];
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for (int num : nums) {
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counter[num]++;
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}
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// 3. 求 counter 的前缀和,将“出现次数”转换为“尾索引”
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// 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引
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for (int i = 0; i < m; i++) {
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counter[i + 1] += counter[i];
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}
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// 4. 倒序遍历 nums ,将各元素填入结果数组 res
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// 初始化数组 res 用于记录结果
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int n = nums.length;
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int[] res = new int[n];
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for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
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int num = nums[i];
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res[counter[num] - 1] = num; // 将 num 放置到对应索引处
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counter[num]--; // 令前缀和自减 1 ,得到下次放置 num 的索引
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}
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// 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums
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for (int i = 0; i < n; i++) {
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nums[i] = res[i];
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}
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}
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public static void main(String[] args) {
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int[] nums = { 1, 0, 1, 2, 0, 4, 0, 2, 2, 4 };
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countingSortNaive(nums);
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System.out.println("计数排序(无法排序对象)完成后 nums = " + Arrays.toString(nums));
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countingSort(nums);
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System.out.println("计数排序完成后 nums = " + Arrays.toString(nums));
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}
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}
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After Width: | Height: | Size: 64 KiB |
After Width: | Height: | Size: 75 KiB |
After Width: | Height: | Size: 64 KiB |
After Width: | Height: | Size: 74 KiB |
After Width: | Height: | Size: 74 KiB |
After Width: | Height: | Size: 86 KiB |
After Width: | Height: | Size: 86 KiB |
After Width: | Height: | Size: 86 KiB |
After Width: | Height: | Size: 87 KiB |
After Width: | Height: | Size: 74 KiB |
After Width: | Height: | Size: 62 KiB |
209
docs/chapter_sorting/counting_sort.md
Normal file
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@ -0,0 +1,209 @@
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# 计数排序
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前面介绍的几种排序算法都属于 **基于比较的排序算法**,即通过比较元素之间的大小来实现排序,此类排序算法的时间复杂度无法超越 $O(n \log n)$ 。接下来,我们将学习一种 **非比较排序算法** ,名为「计数排序 Counting Sort」,其时间复杂度可以达到 $O(n)$ 。
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## 简单实现
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先看一个简单例子。给定一个长度为 $n$ 的数组 `nums` ,元素皆为 **非负整数**。计数排序的整体流程为:
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1. 统计数组的最大数字,记为 $m$ ,并建立一个长度为 $m + 1$ 的辅助数组 `counter` ;
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2. **借助 `counter` 统计 `nums` 中各数字的出现次数**,其中 `counter[num]` 对应数字 `num` 的出现次数。统计方法很简单,只需遍历 `nums` (设当前数字为 `num`),每轮将 `counter[num]` 自增 $1$ 即可。
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3. **由于 `counter` 的各个索引是天然有序的,因此相当于所有数字已经被排序好了**。接下来,我们遍历 `counter` ,根据各数字的出现次数,将各数字按从小到大的顺序填入 `nums` 即可。
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=== "<1>"
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![counting_sort_naive_step1](counting_sort.assets/counting_sort_naive_step1.png)
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=== "<2>"
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![counting_sort_naive_step2](counting_sort.assets/counting_sort_naive_step2.png)
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=== "<3>"
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![counting_sort_naive_step3](counting_sort.assets/counting_sort_naive_step3.png)
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以下是实现代码,计数排序名副其实,确实是通过“统计数量”来实现排序的。
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=== "Java"
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```java title="counting_sort.java"
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[class]{counting_sort}-[func]{countingSortNaive}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="counting_sort.cpp"
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[class]{}-[func]{countingSortNaive}
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```
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=== "Python"
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```python title="counting_sort.py"
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[class]{}-[func]{counting_sort_naive}
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```
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=== "Go"
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```go title="counting_sort.go"
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[class]{}-[func]{countingSortNaive}
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```
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=== "JavaScript"
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```javascript title="counting_sort.js"
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[class]{}-[func]{countingSortNaive}
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```
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=== "TypeScript"
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```typescript title="counting_sort.ts"
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[class]{}-[func]{countingSortNaive}
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```
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=== "C"
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```c title="counting_sort.c"
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[class]{}-[func]{countingSortNaive}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="counting_sort.cs"
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[class]{counting_sort}-[func]{countingSortNaive}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="counting_sort.swift"
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[class]{}-[func]{countingSortNaive}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="counting_sort.zig"
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[class]{}-[func]{countingSortNaive}
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```
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## 完整实现
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细心的同学可能发现,**如果输入数据是对象,上述步骤 `3.` 就失效了**。例如输入数据是商品对象,我们想要按照商品价格(类的成员变量)对商品进行排序,而上述算法只能给出价格的排序结果。
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那么如何才能得到原数据的排序结果呢?我们首先计算 `counter` 的「前缀和」,顾名思义,索引 `i` 处的前缀和 `prefix[i]` 等于数组前 `i` 个元素之和,即
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$$
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\text{prefix}[i] = \sum_{j=0}^i \text{counter[j]}
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$$
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**前缀和具有明确意义,`prefix[num] - 1` 代表元素 `num` 在结果数组 `res` 中最后一次出现的索引**。这个信息很关键,因为其给出了各个元素应该出现在结果数组的哪个位置。接下来,我们倒序遍历原数组 `nums` 的每个元素 `num` ,在每轮迭代中执行:
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1. 将 `num` 填入数组 `res` 的索引 `prefix[num] - 1` 处;
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2. 令前缀和 `prefix[num]` 自减 $1$ ,从而得到下次放置 `num` 的索引;
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完成遍历后,数组 `res` 中就是排序好的结果,最后使用 `res` 覆盖原数组 `nums` 即可;
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=== "<1>"
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![counting_sort_step1](counting_sort.assets/counting_sort_step1.png)
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=== "<2>"
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![counting_sort_step2](counting_sort.assets/counting_sort_step2.png)
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=== "<3>"
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![counting_sort_step3](counting_sort.assets/counting_sort_step3.png)
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=== "<4>"
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![counting_sort_step4](counting_sort.assets/counting_sort_step4.png)
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=== "<5>"
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![counting_sort_step5](counting_sort.assets/counting_sort_step5.png)
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=== "<6>"
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![counting_sort_step6](counting_sort.assets/counting_sort_step6.png)
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=== "<7>"
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![counting_sort_step7](counting_sort.assets/counting_sort_step7.png)
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=== "<8>"
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![counting_sort_step8](counting_sort.assets/counting_sort_step8.png)
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计数排序的实现代码如下所示。
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=== "Java"
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```java title="counting_sort.java"
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[class]{counting_sort}-[func]{countingSort}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="counting_sort.cpp"
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[class]{}-[func]{countingSort}
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```
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=== "Python"
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```python title="counting_sort.py"
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[class]{}-[func]{counting_sort}
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```
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=== "Go"
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```go title="counting_sort.go"
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[class]{}-[func]{countingSort}
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```
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=== "JavaScript"
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```javascript title="counting_sort.js"
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[class]{}-[func]{countingSort}
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```
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=== "TypeScript"
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```typescript title="counting_sort.ts"
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[class]{}-[func]{countingSort}
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```
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=== "C"
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```c title="counting_sort.c"
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[class]{}-[func]{countingSort}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="counting_sort.cs"
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[class]{counting_sort}-[func]{countingSort}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="counting_sort.swift"
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[class]{}-[func]{countingSort}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="counting_sort.zig"
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[class]{}-[func]{countingSort}
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```
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## 算法特性
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**时间复杂度 $O(n + m)$** :涉及遍历 `nums` 和遍历 `counter` ,都使用线性时间。一般情况下 $n \gg m$ ,此时使用线性 $O(n)$ 时间。
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**空间复杂度 $O(n + m)$** :数组 `res` 和 `counter` 长度分别为 $n$ , $m$ 。
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**非原地排序**:借助了辅助数组 `counter` 和结果数组 `res` 的额外空间。
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**稳定排序**:倒序遍历 `nums` 保持了相等元素的相对位置。
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**非自适应排序**:与元素分布无关。
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!!! question "为什么是稳定排序?"
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由于向 `res` 中填充元素的顺序是“从右向左”的,因此倒序遍历 `nums` 可以避免改变相等元素之间的相对位置,从而实现“稳定排序”;其实正序遍历 `nums` 也可以得到正确的排序结果,但结果“非稳定”。
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## 局限性
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看到这里,你也许会觉得计数排序太妙了,咔咔一通操作,时间复杂度就下来了。但实际上与其它算法一样,计数排序也无法摆脱“此消彼长”的宿命,**时间复杂度优化的代价是通用型变差**。
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**计数排序只适用于非负整数**。若想要用在其他类型数据上,则要求该数据必须可以被转化为非负整数,并且不能改变各个元素之间的相对大小关系。例如,对于包含负数的整数数组,可以先给所有数字加上一个常数,将全部数字转化为正数,排序完成后再转换回去即可。
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**计数排序只适用于数据范围不大的情况**。比如,上述示例中 $m$ 不能太大,否则占用空间太多;而当 $n \ll m$ 时,计数排序使用 $O(m)$ 时间,有可能比 $O(n \log n)$ 的排序算法还要慢。
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@ -169,7 +169,7 @@ nav:
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- 9. 图:
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- 9. 图:
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- 9.1. 图: chapter_graph/graph.md
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- 9.1. 图: chapter_graph/graph.md
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- 9.2. 图基础操作: chapter_graph/graph_operations.md
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- 9.2. 图基础操作: chapter_graph/graph_operations.md
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- 9.3. 图的遍历: chapter_graph/graph_traversal.md
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- 9.3. 图的遍历(New): chapter_graph/graph_traversal.md
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- 9.4. 小结: chapter_graph/summary.md
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- 9.4. 小结: chapter_graph/summary.md
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- 10. 查找算法:
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- 10. 查找算法:
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- 10.1. 线性查找: chapter_searching/linear_search.md
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- 10.1. 线性查找: chapter_searching/linear_search.md
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@ -182,7 +182,8 @@ nav:
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- 11.3. 插入排序: chapter_sorting/insertion_sort.md
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- 11.3. 插入排序: chapter_sorting/insertion_sort.md
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- 11.4. 快速排序: chapter_sorting/quick_sort.md
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- 11.4. 快速排序: chapter_sorting/quick_sort.md
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- 11.5. 归并排序: chapter_sorting/merge_sort.md
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- 11.5. 归并排序: chapter_sorting/merge_sort.md
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- 11.6. 小结: chapter_sorting/summary.md
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- 11.6. 计数排序(New): chapter_sorting/counting_sort.md
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- 11.7. 小结: chapter_sorting/summary.md
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- 12. 附录:
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- 12. 附录:
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- 12.1. 编程环境安装: chapter_appendix/installation.md
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- 12.1. 编程环境安装: chapter_appendix/installation.md
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- 12.2. 一起参与创作: chapter_appendix/contribution.md
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- 12.2. 一起参与创作: chapter_appendix/contribution.md
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