diff --git a/chapter_backtracking/backtracking_algorithm.md b/chapter_backtracking/backtracking_algorithm.md
index 83472611c..07710273a 100644
--- a/chapter_backtracking/backtracking_algorithm.md
+++ b/chapter_backtracking/backtracking_algorithm.md
@@ -481,24 +481,232 @@ comments: true
 
 设 `state` 为问题的当前状态，`choices` 表示当前状态下可以做出的选择，则可得到以下回溯算法的框架代码。
 
-```python
-def backtrack(state, choices, res):
-    """回溯算法框架"""
-    # 判断是否为解
-    if is_solution(state):
-        # 记录解
-        record_solution(state, res)
-        return
-    # 遍历所有选择
-    for choice in choices:
-        # 剪枝：判断选择是否合法
-        if is_valid(state, choice):
-            # 尝试：做出选择，更新状态
-            make_choice(state, choice)
-            backtrack(state, choices, res)
-            # 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
-            undo_choice(state, choice)
-```
+=== "Java"
+
+    ```java title=""
+    /* 回溯算法框架 */
+    void backtrack(State state, List<Choice> choices, List<State> res) {
+        // 判断是否为解
+        if (isSolution(state)) {
+            // 记录解
+            recordSolution(state, res);
+            return;
+        }
+        // 遍历所有选择
+        for (Choice choice : choices) {
+            // 剪枝：判断选择是否合法
+            if (isValid(state, choice)) {
+                // 尝试：做出选择，更新状态
+                makeChoice(state, choice);
+                backtrack(state, choices, res);
+                // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
+                undoChoice(state, choice);
+            }
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title=""
+    /* 回溯算法框架 */
+    void backtrack(State *state, vector<Choice *> &choices, vector<State *> &res) {
+        // 判断是否为解
+        if (isSolution(state)) {
+            // 记录解
+            recordSolution(state, res);
+            return;
+        }
+        // 遍历所有选择
+        for (Choice choice : choices) {
+            // 剪枝：判断选择是否合法
+            if (isValid(state, choice)) {
+                // 尝试：做出选择，更新状态
+                makeChoice(state, choice);
+                backtrack(state, choices, res);
+                // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
+                undoChoice(state, choice);
+            }
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title=""
+    def backtrack(state: State, choices: list[choice], res: list[state]) -> None:
+        """回溯算法框架"""
+        # 判断是否为解
+        if is_solution(state):
+            # 记录解
+            record_solution(state, res)
+            return
+        # 遍历所有选择
+        for choice in choices:
+            # 剪枝：判断选择是否合法
+            if is_valid(state, choice):
+                # 尝试：做出选择，更新状态
+                make_choice(state, choice)
+                backtrack(state, choices, res)
+                # 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
+                undo_choice(state, choice)
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title=""
+    /* 回溯算法框架 */
+    func backtrack(state *State, choices []Choice, res *[]State) {
+        // 判断是否为解
+        if isSolution(state) {
+            // 记录解
+            recordSolution(state, res)
+            return
+        }
+        // 遍历所有选择
+        for _, choice := range choices {
+            // 剪枝：判断选择是否合法
+            if isValid(state, choice) {
+                // 尝试：做出选择，更新状态
+                makeChoice(state, choice)
+                backtrack(state, choices, res)
+                // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
+                undoChoice(state, choice)
+            }
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```javascript title=""
+    /* 回溯算法框架 */
+    function backtrack(state, choices, res) {
+        // 判断是否为解
+        if (isSolution(state)) {
+            // 记录解
+            recordSolution(state, res);
+            return;
+        }
+        // 遍历所有选择
+        for (let choice of choices) {
+            // 剪枝：判断选择是否合法
+            if (isValid(state, choice)) {
+                // 尝试：做出选择，更新状态
+                makeChoice(state, choice);
+                backtrack(state, choices, res);
+                // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
+                undoChoice(state, choice);
+            }
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title=""
+    /* 回溯算法框架 */
+    function backtrack(state: State, choices: Choice[], res: State[]): void {
+        // 判断是否为解
+        if (isSolution(state)) {
+            // 记录解
+            recordSolution(state, res);
+            return;
+        }
+        // 遍历所有选择
+        for (let choice of choices) {
+            // 剪枝：判断选择是否合法
+            if (isValid(state, choice)) {
+                // 尝试：做出选择，更新状态
+                makeChoice(state, choice);
+                backtrack(state, choices, res);
+                // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
+                undoChoice(state, choice);
+            }
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title=""
+    /* 回溯算法框架 */
+    void backtrack(State *state, Choice *choices, int numChoices, State *res, int numRes) {
+        // 判断是否为解
+        if (isSolution(state)) {
+            // 记录解
+            recordSolution(state, res, numRes);
+            return;
+        }
+        // 遍历所有选择
+        for (int i = 0; i < numChoices; i++) {
+            // 剪枝：判断选择是否合法
+            if (isValid(state, &choices[i])) {
+                // 尝试：做出选择，更新状态
+                makeChoice(state, &choices[i]);
+                backtrack(state, choices, numChoices, res, numRes);
+                // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
+                undoChoice(state, &choices[i]);
+            }
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title=""
+    /* 回溯算法框架 */
+    void backtrack(State state, List<Choice> choices, List<State> res) {
+        // 判断是否为解
+        if (isSolution(state)) {
+            // 记录解
+            recordSolution(state, res);
+            return;
+        }
+        // 遍历所有选择
+        foreach (Choice choice in choices) {
+            // 剪枝：判断选择是否合法
+            if (isValid(state, choice)) {
+                // 尝试：做出选择，更新状态
+                makeChoice(state, choice);
+                backtrack(state, choices, res);
+                // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
+                undoChoice(state, choice);
+            }
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title=""
+    /* 回溯算法框架 */
+    func backtrack(state: inout State, choices: [Choice], res: inout [State]) {
+        // 判断是否为解
+        if isSolution(state: state) {
+            // 记录解
+            recordSolution(state: state, res: &res)
+            return
+        }
+        // 遍历所有选择
+        for choice in choices {
+            // 剪枝：判断选择是否合法
+            if isValid(state: state, choice: choice) {
+                // 尝试：做出选择，更新状态
+                makeChoice(state: &state, choice: choice)
+                backtrack(state: &state, choices: choices, res: &res)
+                // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
+                undoChoice(state: &state, choice: choice)
+            }
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title=""
+
+    ```
 
 下面，我们尝试基于此框架来解决例题三。在例题三中，状态 `state` 是节点遍历路径，选择 `choices` 是当前节点的左子节点和右子节点，结果 `res` 是路径列表，实现代码如下所示。
 
@@ -828,7 +1036,7 @@ def backtrack(state, choices, res):
     [class]{}-[func]{backtrack}
     ```
 
-相较于基于前序遍历的实现代码，基于回溯算法框架的实现代码虽然显得啰嗦，但通用性更好，适用于各种不同的回溯算法问题。实际上，**所有回溯问题都可以在该框架下解决**。我们只需要根据问题特点来定义框架中的各个变量，实现各个方法即可。
+相较于基于前序遍历的实现代码，基于回溯算法框架的实现代码虽然显得啰嗦，但通用性更好。实际上，**所有回溯问题都可以在该框架下解决**。我们需要根据具体问题来定义 `state` 和 `choices` ，并实现框架中的各个方法。
 
 ## 13.1.5. &nbsp; 典型例题
 
diff --git a/chapter_backtracking/permutations_problem.md b/chapter_backtracking/permutations_problem.md
index 90218dd13..0f20c6fc1 100644
--- a/chapter_backtracking/permutations_problem.md
+++ b/chapter_backtracking/permutations_problem.md
@@ -10,11 +10,11 @@ comments: true
 
 <div class="center-table" markdown>
 
-| 输入数组 | 所有排列                                                          |
-| :-------- | :--------------------------------------------------------------- |
-| [1]       | [1]                                                              |
-| [1, 2]    | [1, 2], [2, 1]                                                   |
-| [1, 2, 3] | [1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1] |
+| 输入数组    | 所有排列                                                           |
+| :---------- | :----------------------------------------------------------------- |
+| $[1]$       | $[1]$                                                              |
+| $[1, 2]$    | $[1, 2], [2, 1]$                                                   |
+| $[1, 2, 3]$ | $[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]$ |
 
 </div>
 
@@ -22,7 +22,7 @@ comments: true
 
 !!! question "输入一个整数数组，数组中不包含重复元素，返回所有可能的排列。"
 
-**从回溯算法的角度看，我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果**。假设输入数组为 `[1, 2, 3]` ，如果我们先选择 `1` 、再选择 `3` 、最后选择 `2` ，则获得排列 `[1, 3, 2]` 。回退表示撤销一个选择，之后继续尝试其他选择。
+**从回溯算法的角度看，我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果**。假设输入数组为 $[1, 2, 3]$ ，如果我们先选择 $1$ 、再选择 $3$ 、最后选择 $2$ ，则获得排列 $[1, 3, 2]$ 。回退表示撤销一个选择，之后继续尝试其他选择。
 
 从回溯算法代码的角度看，候选集合 `choices` 是输入数组中的所有元素，状态 `state` 是直至目前已被选择的元素。注意，每个元素只允许被选择一次，**因此在遍历选择时，应当排除已经选择过的元素**。
 
@@ -260,7 +260,7 @@ comments: true
 
 !!! question "输入一个整数数组，**数组中可能包含重复元素**，返回所有不重复的排列。"
 
-假设输入数组为 `[1, 1, 2]` 。为了方便区分两个重复的元素 `1` ，接下来我们将第二个元素记为 `1'` 。如下图所示，上述方法生成的排列有一半都是重复的。
+假设输入数组为 $[1, 1, 2]$ 。为了方便区分两个重复的元素 $1$ ，接下来我们将第二个元素记为 $\hat{1}$ 。如下图所示，上述方法生成的排列有一半都是重复的。
 
 ![重复排列](permutations_problem.assets/permutations_ii.png)
 
@@ -268,7 +268,7 @@ comments: true
 
 那么，如何去除重复的排列呢？最直接地，我们可以借助一个哈希表，直接对排列结果进行去重。然而，这样做不够优雅，因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的，应当被提前识别并剪枝，这样可以提升算法效率。
 
-观察发现，在第一轮中，选择 `1` 或选择 `1'` 是等价的，因为在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此，我们应该把 `1'` 剪枝掉。同理，在第一轮选择 `2` 后，第二轮选择中的 `1` 和 `1'` 也会产生重复分支，因此也需要将第二轮的 `1'` 剪枝。
+观察发现，在第一轮中，选择 $1$ 或选择 $\hat{1}$ 是等价的，因为在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此，我们应该把 $\hat{1}$ 剪枝掉。同理，在第一轮选择 $2$ 后，第二轮选择中的 $1$ 和 $\hat{1}$ 也会产生重复分支，因此也需要将第二轮的 $\hat{1}$ 剪枝。
 
 ![重复排列剪枝](permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning.png)