feat: Add the section of permutations problem. (#476)

* Add the section of permutations problem.

* Update permutations_problem.md
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Yudong Jin 2023-04-24 03:33:30 +08:00 committed by GitHub
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@ -0,0 +1,48 @@
/**
* File: permutations_i.cpp
* Created Time: 2023-04-24
* Author: Krahets (krahets@163.com)
*/
#include "../include/include.hpp"
/* 回溯算法:全排列 I */
void backtrack(vector<int> &state, const vector<int> &choices, vector<bool> &selected, vector<vector<int>> &res) {
// 当状态长度等于元素数量时,记录解
if (state.size() == choices.size()) {
res.push_back(state);
return;
}
// 遍历所有选择
for (int i = 0; i < choices.size(); i++) {
int choice = choices[i];
// 剪枝:不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
if (!selected[i]) {
// 尝试
selected[i] = true; // 做出选择
state.push_back(choice); // 更新状态
backtrack(state, choices, selected, res);
// 回退
selected[i] = false; // 撤销选择
state.pop_back(); // 恢复到之前的状态
}
}
}
/* Driver Code */
int main() {
vector<int> nums = {1, 2, 3};
// 回溯算法
vector<int> state;
vector<bool> selected(nums.size(), false);
vector<vector<int>> res;
backtrack(state, nums, selected, res);
cout << "输入数组 nums = ";
printVector(nums);
cout << "所有排列 res = ";
printVectorMatrix(res);
return 0;
}

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@ -0,0 +1,50 @@
/**
* File: permutations_ii.cpp
* Created Time: 2023-04-24
* Author: Krahets (krahets@163.com)
*/
#include "../include/include.hpp"
/* 回溯算法:全排列 II */
void backtrack(vector<int> &state, const vector<int> &choices, vector<bool> &selected, vector<vector<int>> &res) {
// 当状态长度等于元素数量时,记录解
if (state.size() == choices.size()) {
res.push_back(state);
return;
}
// 遍历所有选择
unordered_set<int> duplicated;
for (int i = 0; i < choices.size(); i++) {
int choice = choices[i];
// 剪枝:不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
if (!selected[i] && duplicated.find(choice) == duplicated.end()) {
// 尝试
duplicated.emplace(choice); // 记录选择过的元素值
selected[i] = true; // 做出选择
state.push_back(choice); // 更新状态
backtrack(state, choices, selected, res);
// 回退
selected[i] = false; // 撤销选择
state.pop_back(); // 恢复到之前的状态
}
}
}
/* Driver Code */
int main() {
vector<int> nums = {1, 1, 2};
// 回溯算法
vector<int> state;
vector<bool> selected(nums.size(), false);
vector<vector<int>> res;
backtrack(state, nums, selected, res);
cout << "输入数组 nums = ";
printVector(nums);
cout << "所有排列 res = ";
printVectorMatrix(res);
return 0;
}

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@ -0,0 +1,45 @@
/**
* File: permutations_i.java
* Created Time: 2023-04-24
* Author: Krahets (krahets@163.com)
*/
package chapter_backtracking;
import java.util.*;
public class permutations_i {
/* 回溯算法:全排列 I */
public static void backtrack(List<Integer> state, int[] choices, boolean[] selected, List<List<Integer>> res) {
// 当状态长度等于元素数量时记录解
if (state.size() == choices.length) {
res.add(new ArrayList<Integer>(state));
return;
}
// 遍历所有选择
for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
int choice = choices[i];
// 剪枝不允许重复选择元素 不允许重复选择相等元素
if (!selected[i]) {
// 尝试
selected[i] = true; // 做出选择
state.add(choice); // 更新状态
backtrack(state, choices, selected, res);
// 回退
selected[i] = false; // 撤销选择
state.remove(state.size() - 1); // 恢复到之前的状态
}
}
}
public static void main(String[] args) {
int[] nums = { 1, 2, 3 };
List<List<Integer>> res = new ArrayList<List<Integer>>();
// 回溯算法
backtrack(new ArrayList<Integer>(), nums, new boolean[nums.length], res);
System.out.println("输入数组 nums = " + Arrays.toString(nums));
System.out.println("所有排列 res = " + res);
}
}

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@ -0,0 +1,47 @@
/**
* File: permutations_ii.java
* Created Time: 2023-04-24
* Author: Krahets (krahets@163.com)
*/
package chapter_backtracking;
import java.util.*;
public class permutations_ii {
/* 回溯算法:全排列 II */
public static void backtrack(List<Integer> state, int[] choices, boolean[] selected, List<List<Integer>> res) {
// 当状态长度等于元素数量时记录解
if (state.size() == choices.length) {
res.add(new ArrayList<Integer>(state));
return;
}
// 遍历所有选择
Set<Integer> duplicated = new HashSet<Integer>();
for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
int choice = choices[i];
// 剪枝不允许重复选择元素 不允许重复选择相等元素
if (!selected[i] && !duplicated.contains(choice)) {
// 尝试
duplicated.add(choice); // 记录选择过的元素值
selected[i] = true; // 做出选择
state.add(choice); // 更新状态
backtrack(state, choices, selected, res);
// 回退
selected[i] = false; // 撤销选择
state.remove(state.size() - 1); // 恢复到之前的状态
}
}
}
public static void main(String[] args) {
int[] nums = { 1, 2, 2 };
List<List<Integer>> res = new ArrayList<List<Integer>>();
// 回溯算法
backtrack(new ArrayList<Integer>(), nums, new boolean[nums.length], res);
System.out.println("输入数组 nums = " + Arrays.toString(nums));
System.out.println("所有排列 res = " + res);
}
}

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@ -54,6 +54,9 @@ def traverse(nums: list[int]) -> None:
# 直接遍历数组
for num in nums:
count += 1
# 同时遍历数据索引和元素
for i, num in enumerate(nums):
count += 1
def find(nums: list[int], target: int) -> int:

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@ -0,0 +1,43 @@
"""
File: permutations_i.py
Created Time: 2023-04-15
Author: Krahets (krahets@163.com)
"""
import sys, os.path as osp
sys.path.append(osp.dirname(osp.dirname(osp.abspath(__file__))))
from modules import *
def backtrack(
state: list[int], choices: list[int], selected: list[bool], res: list[list[int]]
):
"""回溯算法:全排列 I"""
# 当状态长度等于元素数量时,记录解
if len(state) == len(choices):
res.append(list(state))
return
# 遍历所有选择
for i, choice in enumerate(choices):
# 剪枝:不允许重复选择元素
if not selected[i]:
# 尝试
selected[i] = True # 做出选择
state.append(choice) # 更新状态
backtrack(state, choices, selected, res)
# 回退
selected[i] = False # 撤销选择
state.pop() # 恢复到之前的状态
"""Driver Code"""
if __name__ == "__main__":
nums = [1, 2, 3]
res = []
# 回溯算法
backtrack(state=[], choices=nums, selected=[False] * len(nums), res=res)
print(f"输入数组 nums = {nums}")
print(f"所有排列 res = {res}")

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@ -0,0 +1,45 @@
"""
File: permutations_ii.py
Created Time: 2023-04-15
Author: Krahets (krahets@163.com)
"""
import sys, os.path as osp
sys.path.append(osp.dirname(osp.dirname(osp.abspath(__file__))))
from modules import *
def backtrack(
state: list[int], choices: list[int], selected: list[bool], res: list[list[int]]
):
"""回溯算法:全排列 II"""
# 当状态长度等于元素数量时,记录解
if len(state) == len(choices):
res.append(list(state))
return
# 遍历所有选择
duplicated = set[int]()
for i, choice in enumerate(choices):
# 剪枝:不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
if not selected[i] and choice not in duplicated:
# 尝试
duplicated.add(choice) # 记录选择过的元素值
selected[i] = True # 做出选择
state.append(choice) # 更新状态
backtrack(state, choices, selected, res)
# 回退
selected[i] = False # 撤销选择
state.pop() # 恢复到之前的状态
"""Driver Code"""
if __name__ == "__main__":
nums = [1, 2, 2]
res = []
# 回溯算法
backtrack(state=[], choices=nums, selected=[False] * len(nums), res=res)
print(f"输入数组 nums = {nums}")
print(f"所有排列 res = {res}")

Binary file not shown.

After

Width:  |  Height:  |  Size: 55 KiB

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After

Width:  |  Height:  |  Size: 88 KiB

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After

Width:  |  Height:  |  Size: 61 KiB

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After

Width:  |  Height:  |  Size: 79 KiB

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After

Width:  |  Height:  |  Size: 73 KiB

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@ -0,0 +1,180 @@
# 全排列问题
全排列问题是回溯算法的一个典型应用。它的定义是在给定一个集合(如一个数组或字符串)的情况下,找出这个集合中元素的所有可能的排列。
如下表所示,展示了输入数组和对应的所有排列。
<div class="center-table" markdown>
| 输入数组 | 所有排列 |
| :-------- | :--------------------------------------------------------------- |
| [1] | [1] |
| [1, 2] | [1, 2], [2, 1] |
| [1, 2, 3] | [1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1] |
</div>
## 无重复的情况
!!! question "输入一个整数数组,数组中不包含重复元素,返回所有可能的排列。"
**从回溯算法的角度看,我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果**。假设输入数组为 `[1, 2, 3]` ,如果我们先选择 `1` 、再选择 `3` 、最后选择 `2` ,则获得排列 `[1, 3, 2]` 。回退表示撤销一个选择,之后继续尝试其他选择。
从回溯算法代码的角度看,候选集合 `choices` 是输入数组中的所有元素,状态 `state` 是直至目前已被选择的元素。注意,每个元素只允许被选择一次,**因此在遍历选择时,应当排除已经选择过的元素**。
如下图所示,我们可以将搜索过程展开成一个递归树,树中的每个节点代表当前状态 `state` 。从根节点开始,经过三轮选择后到达叶节点,每个叶节点都对应一个排列。
![全排列的递归树](permutations_problem.assets/permutations_i.png)
想清楚以上信息之后,我们就可以在框架代码中做“完形填空”了。为了缩短代码行数,我们不单独实现框架代码中的各个函数,而是将他们展开在 `backtrack()` 函数中。
=== "Java"
```java title="permutations_i.java"
[class]{permutations_i}-[func]{backtrack}
```
=== "C++"
```cpp title="permutations_i.cpp"
[class]{}-[func]{backtrack}
```
=== "Python"
```python title="permutations_i.py"
[class]{}-[func]{backtrack}
```
=== "Go"
```go title="permutations_i.go"
[class]{}-[func]{backtrack}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="permutations_i.js"
[class]{}-[func]{backtrack}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="permutations_i.ts"
[class]{}-[func]{backtrack}
```
=== "C"
```c title="permutations_i.c"
[class]{}-[func]{backtrack}
```
=== "C#"
```csharp title="permutations_i.cs"
[class]{permutations_i}-[func]{backtrack}
```
=== "Swift"
```swift title="permutations_i.swift"
[class]{}-[func]{backtrack}
```
=== "Zig"
```zig title="permutations_i.zig"
[class]{}-[func]{backtrack}
```
需要重点关注的是,我们引入了一个布尔型数组 `selected` ,它的长度与输入数组长度相等,其中 `selected[i]` 表示 `choices[i]` 是否已被选择。我们利用 `selected` 避免某个元素被重复选择,从而实现剪枝。
如下图所示,假设我们第一轮选择 1 ,第二轮选择 3 ,第三轮选择 2 ,则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支,在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。**从本质上理解,此剪枝操作可将搜索空间大小从 $O(n^n)$ 降低至 $O(n!)$** 。
![全排列剪枝示例](permutations_problem.assets/permutations_i_pruning.png)
## 考虑重复的情况
!!! question "输入一个整数数组,**数组中可能包含重复元素**,返回所有不重复的排列。"
假设输入数组为 `[1, 1, 2]` 。为了方便区分两个重复的元素 `1` ,接下来我们将第二个元素记为 `1'` 。如下图所示,上述方法生成的排列有一半都是重复的。
![重复排列](permutations_problem.assets/permutations_ii.png)
那么,如何去除重复的排列呢?最直接地,我们可以借助一个哈希表,直接对排列结果进行去重。然而,这样做不够优雅,因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的,应当被提前识别并剪枝,这样可以提升算法效率。
观察发现,在第一轮中,选择 `1` 或选择 `1'` 是等价的,因为在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此,我们应该把 `1'` 剪枝掉。同理,在第一轮选择 `2` 后,第二轮选择中的 `1``1'` 也会产生重复分支,因此也需要将第二轮的 `1'` 剪枝。
![重复排列剪枝](permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning.png)
本质上看,**我们的目标是实现在某一轮选择中,多个相等的元素仅被选择一次**。因此,在上一题的代码的基础上,我们考虑在每一轮选择中开启一个哈希表 `duplicated` ,用于记录该轮中已经尝试过的元素,并将重复元素剪枝。
=== "Java"
```java title="permutations_ii.java"
[class]{permutations_ii}-[func]{backtrack}
```
=== "C++"
```cpp title="permutations_ii.cpp"
[class]{}-[func]{backtrack}
```
=== "Python"
```python title="permutations_ii.py"
[class]{}-[func]{backtrack}
```
=== "Go"
```go title="permutations_ii.go"
[class]{}-[func]{backtrack}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="permutations_ii.js"
[class]{}-[func]{backtrack}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="permutations_ii.ts"
[class]{}-[func]{backtrack}
```
=== "C"
```c title="permutations_ii.c"
[class]{}-[func]{backtrack}
```
=== "C#"
```csharp title="permutations_ii.cs"
[class]{permutations_ii}-[func]{backtrack}
```
=== "Swift"
```swift title="permutations_ii.swift"
[class]{}-[func]{backtrack}
```
=== "Zig"
```zig title="permutations_ii.zig"
[class]{}-[func]{backtrack}
```
注意,虽然 `selected``duplicated` 都起到剪枝的作用,但他们剪掉的是不同的分支:
- **剪枝条件一**:整个搜索过程中只有一个 `selected` 。它记录的是当前状态中包含哪些元素,作用是避免某个元素在 `state` 中重复出现。
- **剪枝条件二**:每轮选择(即每个开启的 `backtrack` 函数)都包含一个 `duplicated` 。它记录的是在遍历中哪些元素已被选择过,作用是保证相等元素只被选择一次,以避免产生重复的搜索分支。
下图展示了两个剪枝条件的生效范围。注意,树中的每个节点代表一个选择,从根节点到叶节点的路径上的各个节点构成一个排列。
![两种剪枝条件的作用范围](permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning_summary.png)

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@ -189,6 +189,7 @@ nav:
- 12.3. &nbsp; 小结: chapter_searching/summary.md
- 13. &nbsp; &nbsp; 回溯算法:
- 13.1. &nbsp; 回溯算法New: chapter_backtracking/backtracking_algorithm.md
- 13.2. &nbsp; 全排列问题New: chapter_backtracking/permutations_problem.md
- 14. &nbsp; &nbsp; 附录:
- 14.1. &nbsp; 编程环境安装: chapter_appendix/installation.md
- 14.2. &nbsp; 一起参与创作: chapter_appendix/contribution.md