feat: Add the section of permutations problem. (#476)

* Add the section of permutations problem.

* Update permutations_problem.md

codes/cpp/chapter_backtracking/permutations_i.cpp

@@ -0,0 +1,48 @@
+/**
+ * File: permutations_i.cpp
+ * Created Time: 2023-04-24
+ * Author: Krahets (krahets@163.com)
+ */
+
+#include "../include/include.hpp"
+
+/* 回溯算法：全排列 I */
+void backtrack(vector<int> &state, const vector<int> &choices, vector<bool> &selected, vector<vector<int>> &res) {
+    // 当状态长度等于元素数量时，记录解
+    if (state.size() == choices.size()) {
+        res.push_back(state);
+        return;
+    }
+    // 遍历所有选择
+    for (int i = 0; i < choices.size(); i++) {
+        int choice = choices[i];
+        // 剪枝：不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
+        if (!selected[i]) {
+            // 尝试
+            selected[i] = true;      // 做出选择
+            state.push_back(choice); // 更新状态
+            backtrack(state, choices, selected, res);
+            // 回退
+            selected[i] = false; // 撤销选择
+            state.pop_back();    // 恢复到之前的状态
+        }
+    }
+}
+
+/* Driver Code */
+int main() {
+    vector<int> nums = {1, 2, 3};
+
+    // 回溯算法
+    vector<int> state;
+    vector<bool> selected(nums.size(), false);
+    vector<vector<int>> res;
+    backtrack(state, nums, selected, res);
+
+    cout << "输入数组 nums = ";
+    printVector(nums);
+    cout << "所有排列 res = ";
+    printVectorMatrix(res);
+
+    return 0;
+}

codes/cpp/chapter_backtracking/permutations_ii.cpp

@@ -0,0 +1,50 @@
+/**
+ * File: permutations_ii.cpp
+ * Created Time: 2023-04-24
+ * Author: Krahets (krahets@163.com)
+ */
+
+#include "../include/include.hpp"
+
+/* 回溯算法：全排列 II */
+void backtrack(vector<int> &state, const vector<int> &choices, vector<bool> &selected, vector<vector<int>> &res) {
+    // 当状态长度等于元素数量时，记录解
+    if (state.size() == choices.size()) {
+        res.push_back(state);
+        return;
+    }
+    // 遍历所有选择
+    unordered_set<int> duplicated;
+    for (int i = 0; i < choices.size(); i++) {
+        int choice = choices[i];
+        // 剪枝：不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
+        if (!selected[i] && duplicated.find(choice) == duplicated.end()) {
+            // 尝试
+            duplicated.emplace(choice); // 记录选择过的元素值
+            selected[i] = true;         // 做出选择
+            state.push_back(choice);    // 更新状态
+            backtrack(state, choices, selected, res);
+            // 回退
+            selected[i] = false; // 撤销选择
+            state.pop_back();    // 恢复到之前的状态
+        }
+    }
+}
+
+/* Driver Code */
+int main() {
+    vector<int> nums = {1, 1, 2};
+
+    // 回溯算法
+    vector<int> state;
+    vector<bool> selected(nums.size(), false);
+    vector<vector<int>> res;
+    backtrack(state, nums, selected, res);
+
+    cout << "输入数组 nums = ";
+    printVector(nums);
+    cout << "所有排列 res = ";
+    printVectorMatrix(res);
+
+    return 0;
+}

codes/java/chapter_backtracking/permutations_i.java

@@ -0,0 +1,45 @@
+/**
+ * File: permutations_i.java
+ * Created Time: 2023-04-24
+ * Author: Krahets (krahets@163.com)
+ */
+
+package chapter_backtracking;
+
+import java.util.*;
+
+public class permutations_i {
+    /* 回溯算法：全排列 I */
+    public static void backtrack(List<Integer> state, int[] choices, boolean[] selected, List<List<Integer>> res) {
+        // 当状态长度等于元素数量时，记录解
+        if (state.size() == choices.length) {
+            res.add(new ArrayList<Integer>(state));
+            return;
+        }
+        // 遍历所有选择
+        for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
+            int choice = choices[i];
+            // 剪枝：不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
+            if (!selected[i]) {
+                // 尝试
+                selected[i] = true; // 做出选择
+                state.add(choice); // 更新状态
+                backtrack(state, choices, selected, res);
+                // 回退
+                selected[i] = false; // 撤销选择
+                state.remove(state.size() - 1); // 恢复到之前的状态
+            }
+        }
+    }
+
+    public static void main(String[] args) {
+        int[] nums = { 1, 2, 3 };
+        List<List<Integer>> res = new ArrayList<List<Integer>>();
+
+        // 回溯算法
+        backtrack(new ArrayList<Integer>(), nums, new boolean[nums.length], res);
+        
+        System.out.println("输入数组 nums = " + Arrays.toString(nums));
+        System.out.println("所有排列 res = " + res);
+    }
+}

codes/java/chapter_backtracking/permutations_ii.java

@@ -0,0 +1,47 @@
+/**
+ * File: permutations_ii.java
+ * Created Time: 2023-04-24
+ * Author: Krahets (krahets@163.com)
+ */
+
+package chapter_backtracking;
+
+import java.util.*;
+
+public class permutations_ii {
+    /* 回溯算法：全排列 II */
+    public static void backtrack(List<Integer> state, int[] choices, boolean[] selected, List<List<Integer>> res) {
+        // 当状态长度等于元素数量时，记录解
+        if (state.size() == choices.length) {
+            res.add(new ArrayList<Integer>(state));
+            return;
+        }
+        // 遍历所有选择
+        Set<Integer> duplicated = new HashSet<Integer>();
+        for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
+            int choice = choices[i];
+            // 剪枝：不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
+            if (!selected[i] && !duplicated.contains(choice)) {
+                // 尝试
+                duplicated.add(choice); // 记录选择过的元素值
+                selected[i] = true; // 做出选择
+                state.add(choice); // 更新状态
+                backtrack(state, choices, selected, res);
+                // 回退
+                selected[i] = false; // 撤销选择
+                state.remove(state.size() - 1); // 恢复到之前的状态
+            }
+        }
+    }
+
+    public static void main(String[] args) {
+        int[] nums = { 1, 2, 2 };
+        List<List<Integer>> res = new ArrayList<List<Integer>>();
+
+        // 回溯算法
+        backtrack(new ArrayList<Integer>(), nums, new boolean[nums.length], res);
+
+        System.out.println("输入数组 nums = " + Arrays.toString(nums));
+        System.out.println("所有排列 res = " + res);
+    }
+}

codes/python/chapter_array_and_linkedlist/array.py

@@ -54,6 +54,9 @@ def traverse(nums: list[int]) -> None:
     # 直接遍历数组
     for num in nums:
         count += 1
+    # 同时遍历数据索引和元素
+    for i, num in enumerate(nums):
+        count += 1
 
 
 def find(nums: list[int], target: int) -> int:

codes/python/chapter_backtracking/permutations_i.py

@@ -0,0 +1,43 @@
+"""
+File: permutations_i.py
+Created Time: 2023-04-15
+Author: Krahets (krahets@163.com)
+"""
+
+import sys, os.path as osp
+
+sys.path.append(osp.dirname(osp.dirname(osp.abspath(__file__))))
+from modules import *
+
+
+def backtrack(
+    state: list[int], choices: list[int], selected: list[bool], res: list[list[int]]
+):
+    """回溯算法：全排列 I"""
+    # 当状态长度等于元素数量时，记录解
+    if len(state) == len(choices):
+        res.append(list(state))
+        return
+    # 遍历所有选择
+    for i, choice in enumerate(choices):
+        # 剪枝：不允许重复选择元素
+        if not selected[i]:
+            # 尝试
+            selected[i] = True  # 做出选择
+            state.append(choice)  # 更新状态
+            backtrack(state, choices, selected, res)
+            # 回退
+            selected[i] = False  # 撤销选择
+            state.pop()  # 恢复到之前的状态
+
+
+"""Driver Code"""
+if __name__ == "__main__":
+    nums = [1, 2, 3]
+    res = []
+
+    # 回溯算法
+    backtrack(state=[], choices=nums, selected=[False] * len(nums), res=res)
+
+    print(f"输入数组 nums = {nums}")
+    print(f"所有排列 res = {res}")

codes/python/chapter_backtracking/permutations_ii.py

@@ -0,0 +1,45 @@
+"""
+File: permutations_ii.py
+Created Time: 2023-04-15
+Author: Krahets (krahets@163.com)
+"""
+
+import sys, os.path as osp
+
+sys.path.append(osp.dirname(osp.dirname(osp.abspath(__file__))))
+from modules import *
+
+
+def backtrack(
+    state: list[int], choices: list[int], selected: list[bool], res: list[list[int]]
+):
+    """回溯算法：全排列 II"""
+    # 当状态长度等于元素数量时，记录解
+    if len(state) == len(choices):
+        res.append(list(state))
+        return
+    # 遍历所有选择
+    duplicated = set[int]()
+    for i, choice in enumerate(choices):
+        # 剪枝：不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
+        if not selected[i] and choice not in duplicated:
+            # 尝试
+            duplicated.add(choice)  # 记录选择过的元素值
+            selected[i] = True  # 做出选择
+            state.append(choice)  # 更新状态
+            backtrack(state, choices, selected, res)
+            # 回退
+            selected[i] = False  # 撤销选择
+            state.pop()  # 恢复到之前的状态
+
+
+"""Driver Code"""
+if __name__ == "__main__":
+    nums = [1, 2, 2]
+    res = []
+
+    # 回溯算法
+    backtrack(state=[], choices=nums, selected=[False] * len(nums), res=res)
+
+    print(f"输入数组 nums = {nums}")
+    print(f"所有排列 res = {res}")

docs/chapter_backtracking/permutations_problem.md

@@ -0,0 +1,180 @@
+# 全排列问题
+
+全排列问题是回溯算法的一个典型应用。它的定义是在给定一个集合（如一个数组或字符串）的情况下，找出这个集合中元素的所有可能的排列。
+
+如下表所示，展示了输入数组和对应的所有排列。
+
+<div class="center-table" markdown>
+
+| 输入数组 | 所有排列                                                          |
+| :-------- | :--------------------------------------------------------------- |
+| [1]       | [1]                                                              |
+| [1, 2]    | [1, 2], [2, 1]                                                   |
+| [1, 2, 3] | [1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1] |
+
+</div>
+
+## 无重复的情况
+
+!!! question "输入一个整数数组，数组中不包含重复元素，返回所有可能的排列。"
+
+**从回溯算法的角度看，我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果**。假设输入数组为 `[1, 2, 3]` ，如果我们先选择 `1` 、再选择 `3` 、最后选择 `2` ，则获得排列 `[1, 3, 2]` 。回退表示撤销一个选择，之后继续尝试其他选择。
+
+从回溯算法代码的角度看，候选集合 `choices` 是输入数组中的所有元素，状态 `state` 是直至目前已被选择的元素。注意，每个元素只允许被选择一次，**因此在遍历选择时，应当排除已经选择过的元素**。
+
+如下图所示，我们可以将搜索过程展开成一个递归树，树中的每个节点代表当前状态 `state` 。从根节点开始，经过三轮选择后到达叶节点，每个叶节点都对应一个排列。
+
+![全排列的递归树](permutations_problem.assets/permutations_i.png)
+
+想清楚以上信息之后，我们就可以在框架代码中做“完形填空”了。为了缩短代码行数，我们不单独实现框架代码中的各个函数，而是将他们展开在 `backtrack()` 函数中。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="permutations_i.java"
+    [class]{permutations_i}-[func]{backtrack}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="permutations_i.cpp"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="permutations_i.py"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="permutations_i.go"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```javascript title="permutations_i.js"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="permutations_i.ts"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="permutations_i.c"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="permutations_i.cs"
+    [class]{permutations_i}-[func]{backtrack}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="permutations_i.swift"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="permutations_i.zig"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+    ```
+
+需要重点关注的是，我们引入了一个布尔型数组 `selected` ，它的长度与输入数组长度相等，其中 `selected[i]` 表示 `choices[i]` 是否已被选择。我们利用 `selected` 避免某个元素被重复选择，从而实现剪枝。
+
+如下图所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。**从本质上理解，此剪枝操作可将搜索空间大小从 $O(n^n)$ 降低至 $O(n!)$** 。
+
+![全排列剪枝示例](permutations_problem.assets/permutations_i_pruning.png)
+
+## 考虑重复的情况
+
+!!! question "输入一个整数数组，**数组中可能包含重复元素**，返回所有不重复的排列。"
+
+假设输入数组为 `[1, 1, 2]` 。为了方便区分两个重复的元素 `1` ，接下来我们将第二个元素记为 `1'` 。如下图所示，上述方法生成的排列有一半都是重复的。
+
+![重复排列](permutations_problem.assets/permutations_ii.png)
+
+那么，如何去除重复的排列呢？最直接地，我们可以借助一个哈希表，直接对排列结果进行去重。然而，这样做不够优雅，因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的，应当被提前识别并剪枝，这样可以提升算法效率。
+
+观察发现，在第一轮中，选择 `1` 或选择 `1'` 是等价的，因为在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此，我们应该把 `1'` 剪枝掉。同理，在第一轮选择 `2` 后，第二轮选择中的 `1` 和 `1'` 也会产生重复分支，因此也需要将第二轮的 `1'` 剪枝。
+
+![重复排列剪枝](permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning.png)
+
+本质上看，**我们的目标是实现在某一轮选择中，多个相等的元素仅被选择一次**。因此，在上一题的代码的基础上，我们考虑在每一轮选择中开启一个哈希表 `duplicated` ，用于记录该轮中已经尝试过的元素，并将重复元素剪枝。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="permutations_ii.java"
+    [class]{permutations_ii}-[func]{backtrack}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="permutations_ii.cpp"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="permutations_ii.py"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="permutations_ii.go"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```javascript title="permutations_ii.js"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="permutations_ii.ts"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="permutations_ii.c"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="permutations_ii.cs"
+    [class]{permutations_ii}-[func]{backtrack}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="permutations_ii.swift"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="permutations_ii.zig"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+    ```
+
+注意，虽然 `selected` 和 `duplicated` 都起到剪枝的作用，但他们剪掉的是不同的分支：
+
+- **剪枝条件一**：整个搜索过程中只有一个 `selected` 。它记录的是当前状态中包含哪些元素，作用是避免某个元素在 `state` 中重复出现。
+- **剪枝条件二**：每轮选择（即每个开启的 `backtrack` 函数）都包含一个 `duplicated` 。它记录的是在遍历中哪些元素已被选择过，作用是保证相等元素只被选择一次，以避免产生重复的搜索分支。
+
+下图展示了两个剪枝条件的生效范围。注意，树中的每个节点代表一个选择，从根节点到叶节点的路径上的各个节点构成一个排列。
+
+![两种剪枝条件的作用范围](permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning_summary.png)

mkdocs.yml

@@ -189,6 +189,7 @@ nav:
     - 12.3.   小结: chapter_searching/summary.md
   - 13.     回溯算法:
     - 13.1.   回溯算法（New）: chapter_backtracking/backtracking_algorithm.md
+    - 13.2.   全排列问题（New）: chapter_backtracking/permutations_problem.md
   - 14.     附录:
     - 14.1.   编程环境安装: chapter_appendix/installation.md
     - 14.2.   一起参与创作: chapter_appendix/contribution.md