feat: Add the section of binary search edge. (#508)

* Add the section of binary search edge.

* Delete binary_search_rotation.py
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Yudong Jin 2023-05-21 19:04:21 +08:00 committed by GitHub
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commit b5eb9ca271
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GPG key ID: 4AEE18F83AFDEB23
17 changed files with 356 additions and 8 deletions

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@ -0,0 +1,57 @@
/**
* File: binary_search_edge.cpp
* Created Time: 2023-05-21
* Author: Krahets (krahets@163.com)
*/
#include "../utils/common.hpp"
/* 二分查找最左一个元素 */
int binarySearchLeftEdge(vector<int> &nums, int target) {
int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target)
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
else if (nums[m] > target)
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
else
j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
}
if (i == nums.size() || nums[i] != target)
return -1; // 未找到目标元素,返回 -1
return i;
}
/* 二分查找最右一个元素 */
int binarySearchRightEdge(vector<int> &nums, int target) {
int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target)
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
else if (nums[m] > target)
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
else
i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
}
if (j < 0 || nums[j] != target)
return -1; // 未找到目标元素,返回 -1
return j;
}
/* Driver Code */
int main() {
int target = 6;
vector<int> nums = {1, 3, 6, 6, 6, 6, 6, 10, 12, 15};
// 二分查找最左一个元素
int indexLeft = binarySearchLeftEdge(nums, target);
cout << "数组中最左一个元素 6 的索引 = " << indexLeft << endl;
// 二分查找最右一个元素
int indexRight = binarySearchRightEdge(nums, target);
cout << "数组中最右一个元素 6 的索引 = " << indexRight << endl;
return 0;
}

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@ -0,0 +1,56 @@
/**
* File: binary_search_edge.java
* Created Time: 2023-05-21
* Author: Krahets (krahets@163.com)
*/
package chapter_binary_search;
public class binary_search_edge {
/* 二分查找最左一个元素 */
static int binarySearchLeftEdge(int[] nums, int target) {
int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target)
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j]
else if (nums[m] > target)
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1]
else
j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1]
}
if (i == nums.length || nums[i] != target)
return -1; // 未找到目标元素返回 -1
return i;
}
/* 二分查找最右一个元素 */
static int binarySearchRightEdge(int[] nums, int target) {
int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target)
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j]
else if (nums[m] > target)
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1]
else
i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j]
}
if (j < 0 || nums[j] != target)
return -1; // 未找到目标元素返回 -1
return j;
}
public static void main(String[] args) {
int target = 6;
int[] nums = { 1, 3, 6, 6, 6, 6, 6, 10, 12, 15 };
// 二分查找最左一个元素
int indexLeft = binarySearchLeftEdge(nums, target);
System.out.println("数组中最左一个元素 6 的索引 = " + indexLeft);
// 二分查找最右一个元素
int indexRight = binarySearchRightEdge(nums, target);
System.out.println("数组中最右一个元素 6 的索引 = " + indexRight);
}
}

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@ -11,6 +11,7 @@ def binary_search(nums: list[int], target: int) -> int:
i, j = 0, len(nums) - 1
# 循环,当搜索区间为空时跳出(当 i > j 时为空)
while i <= j:
# 理论上 Python 的数字可以无限大(取决于内存大小),无需考虑大数越界问题
m = (i + j) // 2 # 计算中点索引 m
if nums[m] < target:
i = m + 1 # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中

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@ -0,0 +1,53 @@
"""
File: binary_search_edge.py
Created Time: 2023-05-18
Author: Krahets (krahets@163.com)
"""
def binary_search_left_edge(nums: list[int], target: int) -> int:
"""二分查找最左一个元素"""
# 初始化双闭区间 [0, n-1] ,即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
i, j = 0, len(nums) - 1
while i <= j:
m = (i + j) // 2 # 计算中点索引 m
if nums[m] < target:
i = m + 1 # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
elif nums[m] > target:
j = m - 1 # 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
else:
j = m - 1 # 此情况说明首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
if i == len(nums) or nums[i] != target:
return -1 # 未找到目标元素,返回 -1
return i
def binary_search_right_edge(nums: list[int], target: int) -> int:
"""二分查找最右一个元素"""
# 初始化双闭区间 [0, n-1] ,即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
i, j = 0, len(nums) - 1
while i <= j:
m = (i + j) // 2 # 计算中点索引 m
if nums[m] < target:
i = m + 1 # target 在区间 [m+1, j] 中
elif nums[m] > target:
j = m - 1 # target 在区间 [i, m-1] 中
else:
i = m + 1 # 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
if j == len(nums) or nums[j] != target:
return -1 # 未找到目标元素,返回 -1
return j
"""Driver Code"""
if __name__ == "__main__":
target: int = 6
nums: list[int] = [1, 3, 6, 6, 6, 6, 6, 10, 12, 15]
# 二分查找最左一个元素
index_left = binary_search_left_edge(nums, target)
print("数组中最左一个元素 6 的索引 = ", index_left)
# 二分查找最右一个元素
index_right = binary_search_right_edge(nums, target)
print("数组中最右一个元素 6 的索引 = ", index_right)

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@ -1,6 +1,6 @@
# 二分查找
「二分查找 Binary Search」是一种基于分治思想的高效搜索算法。它利用数据的有序性每轮减少一半搜索范围实现定位目标元素
「二分查找 Binary Search」是一种基于分治思想的高效搜索算法。它利用数据的有序性每轮减少一半搜索范围直至找到目标元素或搜索区间为空为止
我们先来求解一个简单的二分查找问题。
@ -18,7 +18,7 @@
**若数组不包含目标元素,搜索区间最终会缩小为空**,即达到 $i > j$ 。此时,终止循环并返回 $-1$ 即可。
为了更清晰地表示区间,我们在下图中以折线图的形式表示数组。
如下图所示,为了更清晰地表示区间,我们以折线图的形式表示数组。
=== "<0>"
![二分查找步骤](binary_search.assets/binary_search_step0.png)
@ -46,8 +46,6 @@
值得注意的是,**当数组长度 $n$ 很大时,加法 $i + j$ 的结果可能会超出 `int` 类型的取值范围**。为了避免大数越界,我们通常采用公式 $m = \lfloor {i + (j - i) / 2} \rfloor$ 来计算中点。
有趣的是,理论上 Python 的数字可以无限大(取决于内存大小),因此无需考虑大数越界问题。
=== "Java"
```java title="binary_search.java"
@ -186,12 +184,12 @@
## 优点与局限性
二分查找效率很高,主要体现在:
二分查找在时间和空间方面都有较好的性能
- **二分查找的时间复杂度较低**。对数阶在大数据量情况下具有显著优势。例如,当数据大小 $n = 2^{20}$ 时,线性查找需要 $2^{20} = 1048576$ 轮循环,而二分查找仅需 $\log_2 2^{20} = 20$ 轮循环。
- **二分查找无需额外空间**与哈希查找相比,二分查找更加节省空间。
- **二分查找的时间效率高**。在大数据量下,对数阶的时间复杂度具有显著优势。例如,当数据大小 $n = 2^{20}$ 时,线性查找需要 $2^{20} = 1048576$ 轮循环,而二分查找仅需 $\log_2 2^{20} = 20$ 轮循环。
- **二分查找无需额外空间**相较于需要借助额外空间的搜索算法(例如哈希查找),二分查找更加节省空间。
然而,并非所有情况下都可使用二分查找,原因如下:
然而,二分查找并非适用于所有情况,原因如下:
- **二分查找仅适用于有序数据**。若输入数据无序,为了使用二分查找而专门进行排序,得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 $O(n \log n)$ ,比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景,为保持数组有序性,需要将元素插入到特定位置,时间复杂度为 $O(n)$ ,也是非常昂贵的。
- **二分查找仅适用于数组**。二分查找需要跳跃式(非连续地)访问元素,而在链表中执行跳跃式访问的效率较低,因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。

Binary file not shown.

After

Width:  |  Height:  |  Size: 45 KiB

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After

Width:  |  Height:  |  Size: 62 KiB

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After

Width:  |  Height:  |  Size: 55 KiB

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After

Width:  |  Height:  |  Size: 64 KiB

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Width:  |  Height:  |  Size: 55 KiB

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Width:  |  Height:  |  Size: 63 KiB

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Width:  |  Height:  |  Size: 55 KiB

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Width:  |  Height:  |  Size: 60 KiB

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After

Width:  |  Height:  |  Size: 53 KiB

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After

Width:  |  Height:  |  Size: 81 KiB

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@ -0,0 +1,182 @@
# 二分查找边界
上一节规定目标元素在数组中是唯一的。如果目标元素在数组中多次出现,上节介绍的方法只能保证返回其中一个目标元素的索引,**而无法确定该索引的左边和右边还有多少目标元素**。
为了查找最左一个 `target` ,我们可以先进行二分查找,找到任意一个目标元素,**再加一个向左遍历的线性查找**,找到最左的 `target` 返回即可。然而,由于加入了线性查找,这个方法的时间复杂度可能会劣化至 $O(n)$ 。
![线性查找最左元素](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_naive.png)
## 查找最左一个元素
!!! question "查找并返回元素 `target` 在有序数组 `nums` 中首次出现的索引。若数组中不包含该元素,则返回 $-1$ 。数组可能包含重复元素。"
实际上,我们可以仅通过二分查找解决以上问题。方法的整体框架不变,先计算中点索引 `m` ,再判断 `target``nums[m]` 大小关系:
- 当 `nums[m] < target``nums[m] > target` 时,说明还没有找到 `target` ,因此采取与上节代码相同的缩小区间操作。
- 当 `nums[m] == target` 时,说明找到了一个目标元素,此时应该如何缩小区间?
对于该情况,**我们可以将查找目标想象为 `leftarget`**,其中 `leftarget` 表示从右到左首个小于 `target` 的元素。具体来说:
- 当 `nums[m] == target` 时,说明 `leftarget` 在区间 `[i, m - 1]` 中,因此采用 `j = m - 1` 来缩小区间,**从而使指针 `j``leftarget` 收缩靠近**。
- 二分查找完成后,`i` 指向最左一个 `target` `j` 指向 `leftarget` ,因此最终返回索引 `i` 即可。
=== "<1>"
![二分查找最左元素的步骤](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step1.png)
=== "<2>"
![binary_search_left_edge_step2](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step2.png)
=== "<3>"
![binary_search_left_edge_step3](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step3.png)
=== "<4>"
![binary_search_left_edge_step4](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step4.png)
=== "<5>"
![binary_search_left_edge_step5](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step5.png)
=== "<6>"
![binary_search_left_edge_step6](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step6.png)
=== "<7>"
![binary_search_left_edge_step7](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step7.png)
=== "<8>"
![binary_search_left_edge_step8](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step8.png)
注意,数组可能不包含目标元素 `target` 。因此在函数返回前,我们需要先判断 `nums[i]``target` 是否相等。另外,当 `target` 大于数组中的所有元素时,索引 `i` 会越界,因此也需要额外判断。
=== "Java"
```java title="binary_search_edge.java"
[class]{binary_search_edge}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_edge.cpp"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "Python"
```python title="binary_search_edge.py"
[class]{}-[func]{binary_search_left_edge}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_edge.go"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="binary_search_edge.js"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="binary_search_edge.ts"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "C"
```c title="binary_search_edge.c"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_edge.cs"
[class]{binary_search_edge}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_edge.swift"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_edge.zig"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
## 查找最右一个元素
类似地,我们也可以二分查找最右一个元素。设首个大于 `target` 的元素为 `rightarget`
- 当 `nums[m] == target` 时,说明 `rightarget` 在区间 `[m + 1, j]` 中,因此执行 `i = m + 1` 将搜索区间向右收缩。
- 完成二分后,`i` 指向 `rightarget` `j` 指向最右一个 `target` ,因此最终返回索引 `j` 即可。
=== "Java"
```java title="binary_search_edge.java"
[class]{binary_search_edge}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_edge.cpp"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "Python"
```python title="binary_search_edge.py"
[class]{}-[func]{binary_search_right_edge}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_edge.go"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="binary_search_edge.js"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="binary_search_edge.ts"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "C"
```c title="binary_search_edge.c"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_edge.cs"
[class]{binary_search_edge}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_edge.swift"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_edge.zig"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
观察下图,搜索最右元素时指针 `j` 起到了搜索最左元素时指针 `i` 的作用,反之亦然。本质上看,**搜索最左元素和最右元素的实现是镜像对称的**。
![二分查找最左元素和最右元素](binary_search_edge.assets/binary_search_left_right_edge.png)
!!! tip
以上代码采取的都是“双闭区间”写法。有兴趣的读者可以自行实现“左闭右开”写法。

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- 5.4. &nbsp; 小结: chapter_stack_and_queue/summary.md
- 6. &nbsp; &nbsp; 二分查找:
- 6.1. &nbsp; 二分查找: chapter_binary_search/binary_search.md
- 6.2. &nbsp; 二分查找边界: chapter_binary_search/binary_search_edge.md
- 7. &nbsp; &nbsp; 散列表:
- 7.1. &nbsp; 哈希表: chapter_hashing/hash_map.md
- 7.2. &nbsp; 哈希冲突处理: chapter_hashing/hash_collision.md