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202
chapter_heap/build_heap.md
Normal file
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@ -0,0 +1,202 @@
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comments: true
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# 8.2. 建堆操作 *
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如果我们想要根据输入列表来生成一个堆，这样的操作被称为「建堆」。
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## 8.2.1. 两种建堆方法
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### 借助入堆方法实现
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最直接地，考虑借助「元素入堆」方法，先建立一个空堆，**再将列表元素依次入堆即可**。
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### 基于堆化操作实现
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然而，**存在一种更加高效的建堆方法**。设结点数量为 $n$ ，我们先将列表所有元素原封不动添加进堆，**然后迭代地对各个结点执行「从顶至底堆化」**。当然，**无需对叶结点执行堆化**，因为其没有子结点。
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=== "Java"
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```java title="my_heap.java"
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/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
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MaxHeap(List<Integer> nums) {
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// 将列表元素原封不动添加进堆
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||||
maxHeap = new ArrayList<>(nums);
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// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
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for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
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siftDown(i);
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}
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}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="my_heap.cpp"
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/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
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MaxHeap(vector<int> nums) {
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// 将列表元素原封不动添加进堆
|
||||
maxHeap = nums;
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||||
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
|
||||
for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
|
||||
siftDown(i);
|
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}
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}
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```
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=== "Python"
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```python title="my_heap.py"
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""" 构造方法 """
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def __init__(self, nums: List[int]):
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# 将列表元素原封不动添加进堆
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||||
self.max_heap = nums
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# 堆化除叶结点以外的其他所有结点
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||||
for i in range(self.parent(self.size() - 1), -1, -1):
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self.sift_down(i)
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```
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=== "Go"
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```go title="my_heap.go"
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/* 构造方法，根据切片建堆 */
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func newMaxHeap(nums []any) *maxHeap {
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||||
// 将列表元素原封不动添加进堆
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||||
h := &maxHeap{data: nums}
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for i := len(h.data) - 1; i >= 0; i-- {
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||||
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
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||||
h.siftDown(i)
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||||
}
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return h
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}
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```
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=== "JavaScript"
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```javascript title="my_heap.js"
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/* 构造方法，建立空堆或根据输入列表建堆 */
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||||
constructor(nums) {
|
||||
// 将列表元素原封不动添加进堆
|
||||
this.#maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
|
||||
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
|
||||
for (let i = this.#parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
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||||
this.#siftDown(i);
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}
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}
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```
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=== "TypeScript"
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```typescript title="my_heap.ts"
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||||
/* 构造方法，建立空堆或根据输入列表建堆 */
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||||
constructor(nums?: number[]) {
|
||||
// 将列表元素原封不动添加进堆
|
||||
this.maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
|
||||
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
|
||||
for (let i = this.parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
|
||||
this.siftDown(i);
|
||||
}
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||||
}
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```
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=== "C"
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```c title="my_heap.c"
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[class]{maxHeap}-[func]{newMaxHeap}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="my_heap.cs"
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||||
/* 构造函数，根据输入列表建堆 */
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||||
MaxHeap(IEnumerable<int> nums)
|
||||
{
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||||
// 将列表元素原封不动添加进堆
|
||||
maxHeap = new List<int>(nums);
|
||||
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
|
||||
var size = parent(this.size() - 1);
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||||
for (int i = size; i >= 0; i--)
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{
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siftDown(i);
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}
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}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="my_heap.swift"
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||||
/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
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||||
init(nums: [Int]) {
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||||
// 将列表元素原封不动添加进堆
|
||||
maxHeap = nums
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||||
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
|
||||
for i in stride(from: parent(i: size() - 1), through: 0, by: -1) {
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||||
siftDown(i: i)
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||||
}
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}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="my_heap.zig"
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// 构造方法，根据输入列表建堆
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||||
fn init(self: *Self, allocator: std.mem.Allocator, nums: []const T) !void {
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||||
if (self.maxHeap != null) return;
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||||
self.maxHeap = std.ArrayList(T).init(allocator);
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||||
// 将列表元素原封不动添加进堆
|
||||
try self.maxHeap.?.appendSlice(nums);
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||||
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
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||||
var i: usize = parent(self.size() - 1) + 1;
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while (i > 0) : (i -= 1) {
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try self.siftDown(i - 1);
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}
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}
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```
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## 8.2.2. 复杂度分析
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对于第一种建堆方法，元素入堆的时间复杂度为 $O(\log n)$ ，而平均长度为 $\frac{n}{2}$ ，因此该方法的总体时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
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||||
那么，第二种建堆方法的时间复杂度是多少呢？我们来展开推算一下。
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||||
- 完全二叉树中，设结点总数为 $n$ ，则叶结点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。因此在排除叶结点后，需要堆化结点数量为 $(n - 1)/2$ ，即为 $O(n)$ ；
|
||||
- 从顶至底堆化中，每个结点最多堆化至叶结点，因此最大迭代次数为二叉树高度 $O(\log n)$ ；
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||||
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||||
将上述两者相乘，可得时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。然而，该估算结果仍不够准确，因为我们没有考虑到 **二叉树底层结点远多于顶层结点** 的性质。
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||||
|
||||
下面我们来尝试展开计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个「完美二叉树」，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）结点数量为 $n$ ，树高度为 $h$ 。上文提到，**结点堆化最大迭代次数等于该结点到叶结点的距离，而这正是“结点高度”**。因此，我们将各层的“结点数量 $\times$ 结点高度”求和，即可得到所有结点的堆化的迭代次数总和。
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$$
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||||
T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1
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$$
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<p align="center"> Fig. 完美二叉树的各层结点数量 </p>
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化简上式需要借助中学的数列知识，先对 $T(h)$ 乘以 $2$ ，易得
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$$
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\begin{aligned}
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||||
T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{h-1}\times1 \newline
|
||||
2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \cdots + 2^{h}\times1 \newline
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||||
\end{aligned}
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$$
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||||
**使用错位相减法**，令下式 $2 T(h)$ 减去上式 $T(h)$ ，可得
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$$
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2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^{h-1} + 2^h
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$$
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||||
观察上式，$T(h)$ 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为
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$$
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\begin{aligned}
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||||
T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline
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& = 2^{h+1} - h \newline
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& = O(2^h)
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\end{aligned}
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$$
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||||
进一步地，高度为 $h$ 的完美二叉树的结点数量为 $n = 2^{h+1} - 1$ ，易得复杂度为 $O(2^h) = O(n)$。以上推算表明，**输入列表并建堆的时间复杂度为 $O(n)$ ，非常高效**。
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@ -1273,193 +1273,6 @@ comments: true
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}
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```
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### 输入数据并建堆 *
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如果我们想要直接输入一个列表并将其建堆，那么该怎么做呢？最直接地，考虑使用「元素入堆」方法，将列表元素依次入堆。元素入堆的时间复杂度为 $O(\log n)$ ，而平均长度为 $\frac{n}{2}$ ，因此该方法的总体时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
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|
||||
然而，存在一种更加优雅的建堆方法。设结点数量为 $n$ ，我们先将列表所有元素原封不动添加进堆，**然后迭代地对各个结点执行「从顶至底堆化」**。当然，**无需对叶结点执行堆化**，因为其没有子结点。
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=== "Java"
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||||
```java title="my_heap.java"
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||||
/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
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||||
MaxHeap(List<Integer> nums) {
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||||
// 将列表元素原封不动添加进堆
|
||||
maxHeap = new ArrayList<>(nums);
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||||
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
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||||
for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
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siftDown(i);
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}
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}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="my_heap.cpp"
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/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
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||||
MaxHeap(vector<int> nums) {
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||||
// 将列表元素原封不动添加进堆
|
||||
maxHeap = nums;
|
||||
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
|
||||
for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
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||||
siftDown(i);
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}
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||||
}
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```
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=== "Python"
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```python title="my_heap.py"
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""" 构造方法 """
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||||
def __init__(self, nums: List[int]):
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||||
# 将列表元素原封不动添加进堆
|
||||
self.max_heap = nums
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||||
# 堆化除叶结点以外的其他所有结点
|
||||
for i in range(self.parent(self.size() - 1), -1, -1):
|
||||
self.sift_down(i)
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```
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||||
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||||
=== "Go"
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||||
```go title="my_heap.go"
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/* 构造方法，根据切片建堆 */
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||||
func newMaxHeap(nums []any) *maxHeap {
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||||
// 将列表元素原封不动添加进堆
|
||||
h := &maxHeap{data: nums}
|
||||
for i := len(h.data) - 1; i >= 0; i-- {
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||||
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
|
||||
h.siftDown(i)
|
||||
}
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||||
return h
|
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}
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```
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=== "JavaScript"
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||||
```javascript title="my_heap.js"
|
||||
/* 构造方法，建立空堆或根据输入列表建堆 */
|
||||
constructor(nums) {
|
||||
// 将列表元素原封不动添加进堆
|
||||
this.#maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
|
||||
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
|
||||
for (let i = this.#parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
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||||
this.#siftDown(i);
|
||||
}
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}
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```
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=== "TypeScript"
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```typescript title="my_heap.ts"
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||||
/* 构造方法，建立空堆或根据输入列表建堆 */
|
||||
constructor(nums?: number[]) {
|
||||
// 将列表元素原封不动添加进堆
|
||||
this.maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
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||||
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
|
||||
for (let i = this.parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
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||||
this.siftDown(i);
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}
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}
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```
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=== "C"
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```c title="my_heap.c"
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||||
[class]{maxHeap}-[func]{newMaxHeap}
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```
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||||
=== "C#"
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||||
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||||
```csharp title="my_heap.cs"
|
||||
/* 构造函数，根据输入列表建堆 */
|
||||
MaxHeap(IEnumerable<int> nums)
|
||||
{
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||||
// 将列表元素原封不动添加进堆
|
||||
maxHeap = new List<int>(nums);
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||||
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
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||||
var size = parent(this.size() - 1);
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||||
for (int i = size; i >= 0; i--)
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{
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siftDown(i);
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}
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}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="my_heap.swift"
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/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
|
||||
init(nums: [Int]) {
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// 将列表元素原封不动添加进堆
|
||||
maxHeap = nums
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||||
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
|
||||
for i in stride(from: parent(i: size() - 1), through: 0, by: -1) {
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siftDown(i: i)
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}
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}
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```
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=== "Zig"
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||||
```zig title="my_heap.zig"
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||||
// 构造方法，根据输入列表建堆
|
||||
fn init(self: *Self, allocator: std.mem.Allocator, nums: []const T) !void {
|
||||
if (self.maxHeap != null) return;
|
||||
self.maxHeap = std.ArrayList(T).init(allocator);
|
||||
// 将列表元素原封不动添加进堆
|
||||
try self.maxHeap.?.appendSlice(nums);
|
||||
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
|
||||
var i: usize = parent(self.size() - 1) + 1;
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while (i > 0) : (i -= 1) {
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try self.siftDown(i - 1);
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}
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}
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```
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那么，第二种建堆方法的时间复杂度时多少呢？我们来做一下简单推算。
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- 完全二叉树中，设结点总数为 $n$ ，则叶结点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。因此在排除叶结点后，需要堆化结点数量为 $(n - 1)/2$ ，即为 $O(n)$ ；
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||||
- 从顶至底堆化中，每个结点最多堆化至叶结点，因此最大迭代次数为二叉树高度 $O(\log n)$ ；
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将上述两者相乘，可得时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。然而，该估算结果仍不够准确，因为我们没有考虑到 **二叉树底层结点远多于顶层结点** 的性质。
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下面我们来尝试展开计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个「完美二叉树」，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）结点数量为 $n$ ，树高度为 $h$ 。上文提到，**结点堆化最大迭代次数等于该结点到叶结点的距离，而这正是“结点高度”**。因此，我们将各层的“结点数量 $\times$ 结点高度”求和，即可得到所有结点的堆化的迭代次数总和。
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$$
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T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1
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$$
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<p align="center"> Fig. 完美二叉树的各层结点数量 </p>
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化简上式需要借助中学的数列知识，先对 $T(h)$ 乘以 $2$ ，易得
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\begin{aligned}
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T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{h-1}\times1 \newline
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2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \cdots + 2^{h}\times1 \newline
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\end{aligned}
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$$
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**使用错位相减法**，令下式 $2 T(h)$ 减去上式 $T(h)$ ，可得
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$$
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2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^{h-1} + 2^h
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$$
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观察上式，$T(h)$ 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为
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\begin{aligned}
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T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline
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& = 2^{h+1} - h \newline
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& = O(2^h)
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\end{aligned}
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$$
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进一步地，高度为 $h$ 的完美二叉树的结点数量为 $n = 2^{h+1} - 1$ ，易得复杂度为 $O(2^h) = O(n)$。以上推算表明，**输入列表并建堆的时间复杂度为 $O(n)$ ，非常高效**。
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## 8.1.4. 堆常见应用
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- **优先队列**。堆常作为实现优先队列的首选数据结构，入队和出队操作时间复杂度为 $O(\log n)$ ，建队操作为 $O(n)$ ，皆非常高效。
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