diff --git a/docs/chapter_array_and_linkedlist/array.md b/docs/chapter_array_and_linkedlist/array.md index 2cf096137..2251362d0 100644 --- a/docs/chapter_array_and_linkedlist/array.md +++ b/docs/chapter_array_and_linkedlist/array.md @@ -356,9 +356,9 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex **数组中插入或删除元素效率低下**。假设我们想要在数组中间某位置插入一个元素，由于数组元素在内存中是“紧挨着的”，它们之间没有空间再放任何数据。因此，我们不得不将此索引之后的所有元素都向后移动一位，然后再把元素赋值给该索引。删除元素也是类似，需要把此索引之后的元素都向前移动一位。总体看有以下缺点： -- **时间复杂度高：** 数组的插入和删除的平均时间复杂度均为 $O(N)$ ，其中 $N$ 为数组长度。 -- **丢失元素：** 由于数组的长度不可变，因此在插入元素后，超出数组长度范围的元素会被丢失。 -- **内存浪费：** 我们一般会初始化一个比较长的数组，只用前面一部分，这样在插入数据时，丢失的末尾元素都是我们不关心的，但这样做同时也会造成内存空间的浪费。 +- **时间复杂度高**：数组的插入和删除的平均时间复杂度均为 $O(N)$ ，其中 $N$ 为数组长度。 +- **丢失元素**：由于数组的长度不可变，因此在插入元素后，超出数组长度范围的元素会被丢失。 +- **内存浪费**：我们一般会初始化一个比较长的数组，只用前面一部分，这样在插入数据时，丢失的末尾元素都是我们不关心的，但这样做同时也会造成内存空间的浪费。 ![array_insert_remove_element](array.assets/array_insert_remove_element.png) diff --git a/docs/chapter_array_and_linkedlist/list.md b/docs/chapter_array_and_linkedlist/list.md index ca4774a04..a02ede876 100644 --- a/docs/chapter_array_and_linkedlist/list.md +++ b/docs/chapter_array_and_linkedlist/list.md @@ -599,9 +599,9 @@ comments: true 为了帮助加深对列表的理解，我们在此提供一个列表的简易版本的实现。需要关注三个核心点： -- **初始容量：** 选取一个合理的数组的初始容量 `initialCapacity` 。在本示例中，我们选择 10 作为初始容量。 -- **数量记录：** 需要声明一个变量 `size` ，用来记录列表当前有多少个元素，并随着元素插入与删除实时更新。根据此变量，可以定位列表的尾部，以及判断是否需要扩容。 -- **扩容机制：** 插入元素有可能导致超出列表容量，此时需要扩容列表，方法是建立一个更大的数组来替换当前数组。需要给定一个扩容倍数 `extendRatio` ，在本示例中，我们规定每次将数组扩容至之前的 2 倍。 +- **初始容量**：选取一个合理的数组的初始容量 `initialCapacity` 。在本示例中，我们选择 10 作为初始容量。 +- **数量记录**：需要声明一个变量 `size` ，用来记录列表当前有多少个元素，并随着元素插入与删除实时更新。根据此变量，可以定位列表的尾部，以及判断是否需要扩容。 +- **扩容机制**：插入元素有可能导致超出列表容量，此时需要扩容列表，方法是建立一个更大的数组来替换当前数组。需要给定一个扩容倍数 `extendRatio` ，在本示例中，我们规定每次将数组扩容至之前的 2 倍。 本示例是为了帮助读者对如何实现列表产生直观的认识。实际编程语言中，列表的实现远比以下代码复杂且标准，感兴趣的读者可以查阅源码学习。 diff --git a/docs/chapter_computational_complexity/performance_evaluation.md b/docs/chapter_computational_complexity/performance_evaluation.md index f75b4d8d4..9d6fd6628 100644 --- a/docs/chapter_computational_complexity/performance_evaluation.md +++ b/docs/chapter_computational_complexity/performance_evaluation.md @@ -13,8 +13,8 @@ comments: true 换言之，在可以解决问题的前提下，算法效率则是主要评价维度，包括： -- **时间效率** ，即算法的运行速度的快慢。 -- **空间效率** ，即算法占用的内存空间大小。 +- **时间效率**，即算法的运行速度的快慢。 +- **空间效率**，即算法占用的内存空间大小。 数据结构与算法追求“运行速度快、占用内存少”，而如何去评价算法效率则是非常重要的问题，因为只有知道如何评价算法，才能去做算法之间的对比分析，以及优化算法设计。 @@ -32,7 +32,7 @@ comments: true 既然实际测试具有很大的局限性，那么我们是否可以仅通过一些计算，就获知算法的效率水平呢？答案是肯定的，我们将此估算方法称为「复杂度分析 Complexity Analysis」或「渐近复杂度分析 Asymptotic Complexity Analysis」。 -**复杂度分析评估随着输入数据量的增长，算法的运行时间和占用空间的增长趋势** 。根据时间和空间两方面，复杂度可分为「时间复杂度 Time Complexity」和「空间复杂度 Space Complexity」。 +**复杂度分析评估随着输入数据量的增长，算法的运行时间和占用空间的增长趋势**。根据时间和空间两方面，复杂度可分为「时间复杂度 Time Complexity」和「空间复杂度 Space Complexity」。 **复杂度分析克服了实际测试方法的弊端**。一是独立于测试环境，分析结果适用于所有运行平台。二是可以体现不同数据量下的算法效率，尤其是可以反映大数据量下的算法性能。 diff --git a/docs/chapter_computational_complexity/space_complexity.md b/docs/chapter_computational_complexity/space_complexity.md index 6686aac50..e594bec8d 100644 --- a/docs/chapter_computational_complexity/space_complexity.md +++ b/docs/chapter_computational_complexity/space_complexity.md @@ -4,7 +4,7 @@ comments: true # 空间复杂度 -「空间复杂度 Space Complexity」统计 **算法使用内存空间随着数据量变大时的增长趋势** 。这个概念与时间复杂度很类似。 +「空间复杂度 Space Complexity」统计 **算法使用内存空间随着数据量变大时的增长趋势**。这个概念与时间复杂度很类似。 ## 算法相关空间 diff --git a/docs/chapter_data_structure/classification_of_data_structure.md b/docs/chapter_data_structure/classification_of_data_structure.md index 749542eb9..202af50a2 100644 --- a/docs/chapter_data_structure/classification_of_data_structure.md +++ b/docs/chapter_data_structure/classification_of_data_structure.md @@ -12,8 +12,8 @@ comments: true 我们一般将逻辑结构分为「线性」和「非线性」两种。“线性”这个概念很直观，即表明数据在逻辑关系上是排成一条线的；而如果数据之间的逻辑关系是非线形的（例如是网状或树状的），那么就是非线性数据结构。 -- **线性数据结构：** 数组、链表、栈、队列、哈希表； -- **非线性数据结构：** 树、图、堆、哈希表； +- **线性数据结构**：数组、链表、栈、队列、哈希表； +- **非线性数据结构**：树、图、堆、哈希表； ![classification_logic_structure](classification_of_data_structure.assets/classification_logic_structure.png) @@ -25,7 +25,7 @@ comments: true 若感到阅读困难，建议先看完下个章节「数组与链表」，再回过头来理解物理结构的含义。 -**「物理结构」反映了数据在计算机内存中的存储方式**。从本质上看，分别是 **数组的连续空间存储** 和 **链表的离散空间存储** 。物理结构从底层上决定了数据的访问、更新、增删等操作方法，在时间效率和空间效率方面呈现出此消彼长的特性。 +**「物理结构」反映了数据在计算机内存中的存储方式**。从本质上看，分别是 **数组的连续空间存储** 和 **链表的离散空间存储**。物理结构从底层上决定了数据的访问、更新、增删等操作方法，在时间效率和空间效率方面呈现出此消彼长的特性。 ![classification_phisical_structure](classification_of_data_structure.assets/classification_phisical_structure.png) @@ -33,8 +33,8 @@ comments: true **所有数据结构都是基于数组、或链表、或两者组合实现的**。例如栈和队列，既可以使用数组实现、也可以使用链表实现，而例如哈希表，其实现同时包含了数组和链表。 -- **基于数组可实现：** 栈、队列、堆、哈希表、矩阵、张量（维度 $\geq 3$ 的数组）等； -- **基于链表可实现：** 栈、队列、堆、哈希表、树、图等； +- **基于数组可实现**：栈、队列、堆、哈希表、矩阵、张量（维度 $\geq 3$ 的数组）等； +- **基于链表可实现**：栈、队列、堆、哈希表、树、图等； 基于数组实现的数据结构也被称为「静态数据结构」，这意味着该数据结构在在被初始化后，长度不可变。相反地，基于链表实现的数据结构被称为「动态数据结构」，该数据结构在被初始化后，我们也可以在程序运行中修改其长度。 diff --git a/docs/chapter_data_structure/data_and_memory.md b/docs/chapter_data_structure/data_and_memory.md index 59cb74e45..93147fb65 100644 --- a/docs/chapter_data_structure/data_and_memory.md +++ b/docs/chapter_data_structure/data_and_memory.md @@ -42,7 +42,7 @@ comments: true **「基本数据类型」与「数据结构」之间的联系与区别** -我们知道，数据结构是在计算机中 **组织与存储数据的方式** ，它的主语是“结构”，而不是“数据”。比如，我们想要表示“一排数字”，自然应该使用「数组」这个数据结构。数组的存储方式使之可以表示数字的相邻关系、先后关系等一系列我们需要的信息，但至于其中存储的是整数 int ，还是小数 float ，或是字符 char ，**则与所谓的数据的结构无关了**。 +我们知道，数据结构是在计算机中 **组织与存储数据的方式**，它的主语是“结构”，而不是“数据”。比如，我们想要表示“一排数字”，自然应该使用「数组」这个数据结构。数组的存储方式使之可以表示数字的相邻关系、先后关系等一系列我们需要的信息，但至于其中存储的是整数 int ，还是小数 float ，或是字符 char ，**则与所谓的数据的结构无关了**。 === "Java" diff --git a/docs/chapter_hashing/hash_collision.md b/docs/chapter_hashing/hash_collision.md index 05dc20881..45a529970 100644 --- a/docs/chapter_hashing/hash_collision.md +++ b/docs/chapter_hashing/hash_collision.md @@ -24,9 +24,9 @@ comments: true 在原始哈希表中，一个桶地址只能存储一个元素（即键值对）。**考虑将桶地址内的单个元素转变成一个链表，将所有冲突元素都存储在一个链表中**，此时哈希表操作方法为： -- **查询元素：** 先将 key 输入到哈希函数得到桶地址（即访问链表头部），再遍历链表来确定对应的 value 。 -- **添加元素：** 先通过哈希函数访问链表头部，再将元素直接添加到链表头部即可。 -- **删除元素：** 同样先访问链表头部，再遍历链表查找对应元素，删除之即可。 +- **查询元素**：先将 key 输入到哈希函数得到桶地址（即访问链表头部），再遍历链表来确定对应的 value 。 +- **添加元素**：先通过哈希函数访问链表头部，再将元素直接添加到链表头部即可。 +- **删除元素**：同样先访问链表头部，再遍历链表查找对应元素，删除之即可。 （图） @@ -46,9 +46,9 @@ comments: true 「线性探测」使用固定步长的线性查找来解决哈希冲突。 -**插入元素：** 如果出现哈希冲突，则从冲突位置向后线性遍历（步长一般取 1 ），直到找到一个空位，则将元素插入到该空位中。 +**插入元素**：如果出现哈希冲突，则从冲突位置向后线性遍历（步长一般取 1 ），直到找到一个空位，则将元素插入到该空位中。 -**查找元素：** 若出现哈希冲突，则使用相同步长执行线性查找，会遇到两种情况： +**查找元素**：若出现哈希冲突，则使用相同步长执行线性查找，会遇到两种情况： 1. 找到对应元素，返回 value 即可； 2. 若遇到空位，则说明查找键值对不在哈希表中； @@ -64,9 +64,9 @@ comments: true 顾名思义，「多次哈希」的思路是基于多个哈希函数 $f_1(x)$ , $f_2(x)$ , $f_3(x)$ , $\cdots$ 进行探测。 -**插入元素：** 若哈希函数 $f_1(x)$ 出现冲突，则尝试 $f_2(x)$ ，以此类推……直到找到空位后插入元素。 +**插入元素**：若哈希函数 $f_1(x)$ 出现冲突，则尝试 $f_2(x)$ ，以此类推……直到找到空位后插入元素。 -**查找元素：** 以相同的哈希函数顺序查找，存在两种情况： +**查找元素**：以相同的哈希函数顺序查找，存在两种情况： 1. 找到目标元素，则返回之； 2. 到空位或已尝试所有哈希函数，说明哈希表中无此元素； diff --git a/docs/chapter_hashing/hash_map.md b/docs/chapter_hashing/hash_map.md index 2d8a66a5d..cbb4ba049 100644 --- a/docs/chapter_hashing/hash_map.md +++ b/docs/chapter_hashing/hash_map.md @@ -16,10 +16,10 @@ comments: true 除了哈希表之外，还可以使用以下数据结构来实现上述查询功能： -1. **无序数组：** 每个元素为 `[学号, 姓名]` ； -2. **有序数组：** 将 `1.` 中的数组按照学号从小到大排序； -3. **链表：** 每个结点的值为 `[学号, 姓名]` ； -4. **二叉搜索树：** 每个结点的值为 `[学号, 姓名]` ，根据学号大小来构建树； +1. **无序数组**：每个元素为 `[学号, 姓名]` ； +2. **有序数组**：将 `1.` 中的数组按照学号从小到大排序； +3. **链表**：每个结点的值为 `[学号, 姓名]` ； +4. **二叉搜索树**：每个结点的值为 `[学号, 姓名]` ，根据学号大小来构建树； 使用上述方法，各项操作的时间复杂度如下表所示（在此不做赘述，详解可见 [二叉搜索树章节](https://www.hello-algo.com/chapter_tree/binary_search_tree/#_6)）。无论是查找元素、还是增删元素，哈希表的时间复杂度都是 $O(1)$ ，全面胜出！ diff --git a/docs/chapter_preface/about_the_book.md b/docs/chapter_preface/about_the_book.md index 2fba23502..c3209280c 100644 --- a/docs/chapter_preface/about_the_book.md +++ b/docs/chapter_preface/about_the_book.md @@ -44,13 +44,13 @@ comments: true 首先介绍数据结构与算法的评价维度、算法效率的评估方法，引出了计算复杂度概念。 -接下来，从 **函数渐近上界** 入手，分别介绍了 **时间复杂度** 和 **空间复杂度** ，包括推算方法、常见类型、示例等。同时，剖析了 **最差、最佳、平均** 时间复杂度的联系与区别。 +接下来，从 **函数渐近上界** 入手，分别介绍了 **时间复杂度** 和 **空间复杂度**，包括推算方法、常见类型、示例等。同时，剖析了 **最差、最佳、平均** 时间复杂度的联系与区别。 ### 数据结构 首先介绍了常用的 **基本数据类型** 、以及它们是如何在内存中存储的。 -接下来，介绍了两种 **数据结构分类方法** ，包括逻辑结构与物理结构。 +接下来，介绍了两种 **数据结构分类方法**，包括逻辑结构与物理结构。 后续展开介绍了 **数组、链表、栈、队列、散列表、树、堆、图** 等数据结构，关心以下内容： @@ -84,7 +84,7 @@ comments: true - 标题后标注 * 符号的是选读章节，如果你的时间有限，可以先跳过这些章节。 - 文章中的重要名词会用「」符号标注，例如「数组 Array」。名词混淆会导致不必要的歧义，因此最好可以记住这类名词（包括中文和英文），以便后续阅读文献时使用。 -- 重点内容、总起句、总结句会被 **加粗** ，此类文字值得特别关注。 +- 重点内容、总起句、总结句会被 **加粗**，此类文字值得特别关注。 - 专有名词和有特指含义的词句会使用 “ ” 标注，以避免歧义。 - 在工程应用中，每种语言都有注释规范；而本书放弃了一部分的注释规范性，以换取更加紧凑的内容排版。注释主要分为三种类型：标题注释、内容注释、多行注释。 diff --git a/docs/chapter_preface/suggestions.md b/docs/chapter_preface/suggestions.md index d4dbd24bc..b2e18905f 100644 --- a/docs/chapter_preface/suggestions.md +++ b/docs/chapter_preface/suggestions.md @@ -32,7 +32,7 @@ git clone https://github.com/krahets/hello-algo.git ### 运行源代码 -本书提供配套 Java, C++, Python 代码仓（后续可能拓展支持语言）。书中的代码栏上若标有 `*.java` , `*.cpp` , `*.py` ，则可在仓库 codes 文件夹中找到对应的 **代码源文件** 。 +本书提供配套 Java, C++, Python 代码仓（后续可能拓展支持语言）。书中的代码栏上若标有 `*.java` , `*.cpp` , `*.py` ，则可在仓库 codes 文件夹中找到对应的 **代码源文件**。 ![code_md_to_repo](suggestions.assets/code_md_to_repo.png) diff --git a/docs/chapter_searching/binary_search.md b/docs/chapter_searching/binary_search.md index 466e76658..2bd2d4396 100644 --- a/docs/chapter_searching/binary_search.md +++ b/docs/chapter_searching/binary_search.md @@ -9,7 +9,7 @@ comments: true 使用二分查找有两个前置条件： - **要求输入数据是有序的**，这样才能通过判断大小关系来排除一半的搜索区间； -- **二分查找仅适用于数组** ，而在链表中使用效率很低，因为其在循环中需要跳跃式（非连续地）访问元素。 +- **二分查找仅适用于数组**，而在链表中使用效率很低，因为其在循环中需要跳跃式（非连续地）访问元素。 ## 算法实现 @@ -480,9 +480,9 @@ $$ ## 复杂度分析 -**时间复杂度 $O(\log n)$ ：** 其中 $n$ 为数组或链表长度；每轮排除一半的区间，因此循环轮数为 $\log_2 n$ ，使用 $O(\log n)$ 时间。 +**时间复杂度 $O(\log n)$** ：其中 $n$ 为数组或链表长度；每轮排除一半的区间，因此循环轮数为 $\log_2 n$ ，使用 $O(\log n)$ 时间。 -**空间复杂度 $O(1)$ ：** 指针 `i` , `j` 使用常数大小空间。 +**空间复杂度 $O(1)$** ：指针 `i` , `j` 使用常数大小空间。 ## 优点与缺点 diff --git a/docs/chapter_searching/hashing_search.md b/docs/chapter_searching/hashing_search.md index 12746d2ef..076457303 100644 --- a/docs/chapter_searching/hashing_search.md +++ b/docs/chapter_searching/hashing_search.md @@ -193,9 +193,9 @@ comments: true ## 复杂度分析 -**时间复杂度：** $O(1)$ ，哈希表的查找操作使用 $O(1)$ 时间。 +**时间复杂度 $O(1)$** ：哈希表的查找操作使用 $O(1)$ 时间。 -**空间复杂度：** $O(n)$ ，其中 $n$ 为数组或链表长度。 +**空间复杂度 $O(n)$** ：其中 $n$ 为数组或链表长度。 ## 优点与缺点 diff --git a/docs/chapter_searching/linear_search.md b/docs/chapter_searching/linear_search.md index be98c013d..d9371ab2c 100644 --- a/docs/chapter_searching/linear_search.md +++ b/docs/chapter_searching/linear_search.md @@ -252,9 +252,9 @@ comments: true ## 复杂度分析 -**时间复杂度 $O(n)$ ：** 其中 $n$ 为数组或链表长度。 +**时间复杂度 $O(n)$** ：其中 $n$ 为数组或链表长度。 -**空间复杂度 $O(1)$ ：** 无需使用额外空间。 +**空间复杂度 $O(1)$** ：无需使用额外空间。 ## 优点与缺点 diff --git a/docs/chapter_sorting/bubble_sort.md b/docs/chapter_sorting/bubble_sort.md index 1dbc56475..e3e394b20 100644 --- a/docs/chapter_sorting/bubble_sort.md +++ b/docs/chapter_sorting/bubble_sort.md @@ -220,15 +220,15 @@ comments: true ## 算法特性 -**时间复杂度 $O(n^2)$ ：** 各轮「冒泡」遍历的数组长度为 $n - 1$ , $n - 2$ , $\cdots$ , $2$ , $1$ 次，求和为 $\frac{(n - 1) n}{2}$ ，因此使用 $O(n^2)$ 时间。 +**时间复杂度 $O(n^2)$** ：各轮「冒泡」遍历的数组长度为 $n - 1$ , $n - 2$ , $\cdots$ , $2$ , $1$ 次，求和为 $\frac{(n - 1) n}{2}$ ，因此使用 $O(n^2)$ 时间。 -**空间复杂度 $O(1)$ ：** 指针 $i$ , $j$ 使用常数大小的额外空间。 +**空间复杂度 $O(1)$** ：指针 $i$ , $j$ 使用常数大小的额外空间。 -**原地排序：** 指针变量仅使用常数大小额外空间。 +**原地排序**：指针变量仅使用常数大小额外空间。 -**稳定排序：** 不交换相等元素。 +**稳定排序**：不交换相等元素。 -**自适排序：** 引入 `flag` 优化后（见下文），最佳时间复杂度为 $O(N)$ 。 +**自适排序**：引入 `flag` 优化后（见下文），最佳时间复杂度为 $O(N)$ 。 ## 效率优化 diff --git a/docs/chapter_sorting/insertion_sort.md b/docs/chapter_sorting/insertion_sort.md index 679182f42..05ee7293e 100644 --- a/docs/chapter_sorting/insertion_sort.md +++ b/docs/chapter_sorting/insertion_sort.md @@ -183,15 +183,15 @@ comments: true ## 算法特性 -**时间复杂度 $O(n^2)$ ：** 最差情况下，各轮插入操作循环 $n - 1$ , $n-2$ , $\cdots$ , $2$ , $1$ 次，求和为 $\frac{(n - 1) n}{2}$ ，使用 $O(n^2)$ 时间。 +**时间复杂度 $O(n^2)$** ：最差情况下，各轮插入操作循环 $n - 1$ , $n-2$ , $\cdots$ , $2$ , $1$ 次，求和为 $\frac{(n - 1) n}{2}$ ，使用 $O(n^2)$ 时间。 -**空间复杂度 $O(1)$ ：** 指针 $i$ , $j$ 使用常数大小的额外空间。 +**空间复杂度 $O(1)$** ：指针 $i$ , $j$ 使用常数大小的额外空间。 -**原地排序：** 指针变量仅使用常数大小额外空间。 +**原地排序**：指针变量仅使用常数大小额外空间。 -**稳定排序：** 不交换相等元素。 +**稳定排序**：不交换相等元素。 -**自适应排序：** 最佳情况下，时间复杂度为 $O(n)$ 。 +**自适应排序**：最佳情况下，时间复杂度为 $O(n)$ 。 ## 插入排序 vs 冒泡排序 @@ -199,7 +199,7 @@ comments: true 虽然「插入排序」和「冒泡排序」的时间复杂度皆为 $O(n^2)$ ，但实际运行速度却有很大差别，这是为什么呢？ -回顾复杂度分析，两个方法的循环次数都是 $\frac{(n - 1) n}{2}$ 。但不同的是，「冒泡操作」是在做 **元素交换** ，需要借助一个临时变量实现，共 3 个单元操作；而「插入操作」是在做 **赋值** ，只需 1 个单元操作；因此，可以粗略估计出冒泡排序的计算开销约为插入排序的 3 倍。 +回顾复杂度分析，两个方法的循环次数都是 $\frac{(n - 1) n}{2}$ 。但不同的是，「冒泡操作」是在做 **元素交换**，需要借助一个临时变量实现，共 3 个单元操作；而「插入操作」是在做 **赋值**，只需 1 个单元操作；因此，可以粗略估计出冒泡排序的计算开销约为插入排序的 3 倍。 插入排序运行速度快，并且具有原地、稳定、自适应的优点，因此很受欢迎。实际上，包括 Java 在内的许多编程语言的排序库函数的实现都用到了插入排序。库函数的大致思路： diff --git a/docs/chapter_sorting/intro_to_sort.md b/docs/chapter_sorting/intro_to_sort.md index a3cb071dc..c4d50c535 100644 --- a/docs/chapter_sorting/intro_to_sort.md +++ b/docs/chapter_sorting/intro_to_sort.md @@ -7,7 +7,7 @@ comments: true 「排序算法 Sorting Algorithm」使得列表中的所有元素按照从小到大的顺序排列。 - 待排序的列表的 **元素类型** 可以是整数、浮点数、字符、或字符串； -- 排序算法可以根据需要设定 **判断规则** ，例如数字大小、字符 ASCII 码顺序、自定义规则； +- 排序算法可以根据需要设定 **判断规则**，例如数字大小、字符 ASCII 码顺序、自定义规则； ![sorting_examples](intro_to_sort.assets/sorting_examples.png) @@ -55,7 +55,7 @@ comments: true - 「自适应排序」的时间复杂度受输入数据影响，即最佳 / 最差 / 平均时间复杂度不相等。 - 「非自适应排序」的时间复杂度恒定，与输入数据无关。 -我们希望 **最差 = 平均** ，即不希望排序算法的运行效率在某些输入数据下发生劣化。 +我们希望 **最差 = 平均**，即不希望排序算法的运行效率在某些输入数据下发生劣化。 ### 比较类 diff --git a/docs/chapter_sorting/merge_sort.md b/docs/chapter_sorting/merge_sort.md index ae0cfc7c2..5895fcb8e 100644 --- a/docs/chapter_sorting/merge_sort.md +++ b/docs/chapter_sorting/merge_sort.md @@ -6,8 +6,8 @@ comments: true 「归并排序 Merge Sort」是算法中“分治思想”的典型体现，其有「划分」和「合并」两个阶段： -1. **划分阶段：** 通过递归不断 **将数组从中点位置划分开**，将长数组的排序问题转化为短数组的排序问题； -2. **合并阶段：** 划分到子数组长度为 1 时，开始向上合并，不断将 **左、右两个短排序数组** 合并为 **一个长排序数组**，直至合并至原数组时完成排序； +1. **划分阶段**：通过递归不断 **将数组从中点位置划分开**，将长数组的排序问题转化为短数组的排序问题； +2. **合并阶段**：划分到子数组长度为 1 时，开始向上合并，不断将 **左、右两个短排序数组** 合并为 **一个长排序数组**，直至合并至原数组时完成排序； ![merge_sort_preview](merge_sort.assets/merge_sort_preview.png) @@ -15,14 +15,14 @@ comments: true ## 算法流程 -**「递归划分」** 从顶至底递归地 **将数组从中点切为两个子数组** ，直至长度为 1 ； +**「递归划分」** 从顶至底递归地 **将数组从中点切为两个子数组**，直至长度为 1 ； 1. 计算数组中点 `mid` ，递归划分左子数组（区间 `[left, mid]` ）和右子数组（区间 `[mid + 1, right]` ）； 2. 递归执行 `1.` 步骤，直至子数组区间长度为 1 时，终止递归划分； **「回溯合并」** 从底至顶地将左子数组和右子数组合并为一个 **有序数组** ； -需要注意，由于从长度为 1 的子数组开始合并，所以 **每个子数组都是有序的** 。因此，合并任务本质是要 **将两个有序子数组合并为一个有序数组** 。 +需要注意，由于从长度为 1 的子数组开始合并，所以 **每个子数组都是有序的**。因此，合并任务本质是要 **将两个有序子数组合并为一个有序数组**。 === "Step1" ![merge_sort_step1](merge_sort.assets/merge_sort_step1.png) @@ -56,8 +56,8 @@ comments: true 观察发现，归并排序的递归顺序就是二叉树的「后序遍历」。 -- **后序遍历：** 先递归左子树、再递归右子树、最后处理根结点。 -- **归并排序：** 先递归左子树、再递归右子树、最后处理合并。 +- **后序遍历**：先递归左子树、再递归右子树、最后处理根结点。 +- **归并排序**：先递归左子树、再递归右子树、最后处理合并。 === "Java" @@ -406,11 +406,11 @@ comments: true ## 算法特性 -- **时间复杂度 $O(n \log n)$ ：** 划分形成高度为 $\log n$ 的递归树，每层合并的总操作数量为 $n$ ，总体使用 $O(n \log n)$ 时间。 -- **空间复杂度 $O(n)$ ：** 需借助辅助数组实现合并，使用 $O(n)$ 大小的额外空间；递归深度为 $\log n$ ，使用 $O(\log n)$ 大小的栈帧空间。 -- **非原地排序：** 辅助数组需要使用 $O(n)$ 额外空间。 -- **稳定排序：** 在合并时可保证相等元素的相对位置不变。 -- **非自适应排序：** 对于任意输入数据，归并排序的时间复杂度皆相同。 +- **时间复杂度 $O(n \log n)$** ：划分形成高度为 $\log n$ 的递归树，每层合并的总操作数量为 $n$ ，总体使用 $O(n \log n)$ 时间。 +- **空间复杂度 $O(n)$** ：需借助辅助数组实现合并，使用 $O(n)$ 大小的额外空间；递归深度为 $\log n$ ，使用 $O(\log n)$ 大小的栈帧空间。 +- **非原地排序**：辅助数组需要使用 $O(n)$ 额外空间。 +- **稳定排序**：在合并时可保证相等元素的相对位置不变。 +- **非自适应排序**：对于任意输入数据，归并排序的时间复杂度皆相同。 ## 链表排序 * diff --git a/docs/chapter_sorting/quick_sort.md b/docs/chapter_sorting/quick_sort.md index 3eeac9c65..a712a1bff 100644 --- a/docs/chapter_sorting/quick_sort.md +++ b/docs/chapter_sorting/quick_sort.md @@ -6,13 +6,13 @@ comments: true 「快速排序 Quick Sort」是一种基于“分治思想”的排序算法，速度很快、应用很广。 -快速排序的核心操作为「哨兵划分」，其目标为：选取数组某个元素为 **基准数** ，将所有小于基准数的元素移动至其左边，大于基准数的元素移动至其右边。「哨兵划分」的实现流程为： +快速排序的核心操作为「哨兵划分」，其目标为：选取数组某个元素为 **基准数**，将所有小于基准数的元素移动至其左边，大于基准数的元素移动至其右边。「哨兵划分」的实现流程为： 1. 以数组最左端元素作为基准数，初始化两个指针 `i` , `j` 指向数组两端； 2. 设置一个循环，每轮中使用 `i` / `j` 分别寻找首个比基准数大 / 小的元素，并交换此两元素； 3. 不断循环步骤 `2.` ，直至 `i` , `j` 相遇时跳出，最终把基准数交换至两个子数组的分界线； -「哨兵划分」执行完毕后，原数组被划分成两个部分，即 **左子数组** 和 **右子数组** ，且满足 **左子数组任意元素 < 基准数 < 右子数组任意元素**。因此，接下来我们只需要排序两个子数组即可。 +「哨兵划分」执行完毕后，原数组被划分成两个部分，即 **左子数组** 和 **右子数组**，且满足 **左子数组任意元素 < 基准数 < 右子数组任意元素**。因此，接下来我们只需要排序两个子数组即可。 === "Step 1" ![pivot_division_step1](quick_sort.assets/pivot_division_step1.png) @@ -235,9 +235,9 @@ comments: true ## 算法流程 -1. 首先，对数组执行一次「哨兵划分」，得到待排序的 **左子数组** 和 **右子数组** 。 +1. 首先，对数组执行一次「哨兵划分」，得到待排序的 **左子数组** 和 **右子数组**； 2. 接下来，对 **左子数组** 和 **右子数组** 分别 **递归执行**「哨兵划分」…… -3. 直至子数组长度为 1 时 **终止递归** ，即可完成对整个数组的排序。 +3. 直至子数组长度为 1 时 **终止递归**，即可完成对整个数组的排序； 观察发现，快速排序和「二分查找」的原理类似，都是以对数阶的时间复杂度来缩小处理区间。 @@ -373,31 +373,31 @@ comments: true ## 算法特性 -**平均时间复杂度 $O(n \log n)$ ：** 平均情况下，哨兵划分的递归层数为 $\log n$ ，每层中的总循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n \log n)$ 时间。 +**平均时间复杂度 $O(n \log n)$** ：平均情况下，哨兵划分的递归层数为 $\log n$ ，每层中的总循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n \log n)$ 时间。 -**最差时间复杂度 $O(n^2)$ ：** 最差情况下，哨兵划分操作将长度为 $n$ 的数组划分为长度为 $0$ 和 $n - 1$ 的两个子数组，此时递归层数达到 $n$ 层，每层中的循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n^2)$ 时间。 +**最差时间复杂度 $O(n^2)$** ：最差情况下，哨兵划分操作将长度为 $n$ 的数组划分为长度为 $0$ 和 $n - 1$ 的两个子数组，此时递归层数达到 $n$ 层，每层中的循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n^2)$ 时间。 -**空间复杂度 $O(n)$ ：** 输入数组完全倒序下，达到最差递归深度 $n$ 。 +**空间复杂度 $O(n)$** ：输入数组完全倒序下，达到最差递归深度 $n$ 。 -**原地排序：** 只在递归中使用 $O(\log n)$ 大小的栈帧空间。 +**原地排序**：只在递归中使用 $O(\log n)$ 大小的栈帧空间。 -**非稳定排序：** 哨兵划分操作可能改变相等元素的相对位置。 +**非稳定排序**：哨兵划分操作可能改变相等元素的相对位置。 -**自适应排序：** 最差情况下，时间复杂度劣化至 $O(n^2)$ 。 +**自适应排序**：最差情况下，时间复杂度劣化至 $O(n^2)$ 。 ## 快排为什么快？ -从命名能够看出，快速排序在效率方面一定“有两把刷子”。快速排序的平均时间复杂度虽然与「归并排序」和「堆排序」一致，但实际 **效率更高** ，这是因为： +从命名能够看出，快速排序在效率方面一定“有两把刷子”。快速排序的平均时间复杂度虽然与「归并排序」和「堆排序」一致，但实际 **效率更高**，这是因为： -- **出现最差情况的概率很低：** 虽然快速排序的最差时间复杂度为 $O(n^2)$ ，不如归并排序，但绝大部分情况下，快速排序可以达到 $O(n \log n)$ 的复杂度。 -- **缓存使用效率高：** 哨兵划分操作时，将整个子数组加载入缓存中，访问元素效率很高。而诸如「堆排序」需要跳跃式访问元素，因此不具有此特性。 -- **复杂度的常数系数低：** 在提及的三种算法中，快速排序的 **比较**、**赋值**、**交换** 三种操作的总体数量最少（类似于「插入排序」快于「冒泡排序」的原因）。 +- **出现最差情况的概率很低**：虽然快速排序的最差时间复杂度为 $O(n^2)$ ，不如归并排序，但绝大部分情况下，快速排序可以达到 $O(n \log n)$ 的复杂度。 +- **缓存使用效率高**：哨兵划分操作时，将整个子数组加载入缓存中，访问元素效率很高。而诸如「堆排序」需要跳跃式访问元素，因此不具有此特性。 +- **复杂度的常数系数低**：在提及的三种算法中，快速排序的 **比较**、**赋值**、**交换** 三种操作的总体数量最少（类似于「插入排序」快于「冒泡排序」的原因）。 ## 基准数优化 -**普通快速排序在某些输入下的时间效率变差**。举个极端例子，假设输入数组是完全倒序的，由于我们选取最左端元素为基准数，那么在哨兵划分完成后，基准数被交换至数组最右端，从而 **左子数组长度为 $n - 1$ 、右子数组长度为 $0$** 。这样进一步递归下去，**每轮哨兵划分后的右子数组长度都为 $0$** ，分治策略失效，快速排序退化为「冒泡排序」了。 +**普通快速排序在某些输入下的时间效率变差**。举个极端例子，假设输入数组是完全倒序的，由于我们选取最左端元素为基准数，那么在哨兵划分完成后，基准数被交换至数组最右端，从而 **左子数组长度为 $n - 1$、右子数组长度为 $0$** 。这样进一步递归下去，**每轮哨兵划分后的右子数组长度都为 $0$** ，分治策略失效，快速排序退化为「冒泡排序」了。 -为了尽量避免这种情况发生，我们可以优化一下基准数的选取策略。首先，在哨兵划分中，我们可以 **随机选取一个元素作为基准数** 。但如果运气很差，每次都选择到比较差的基准数，那么效率依然不好。 +为了尽量避免这种情况发生，我们可以优化一下基准数的选取策略。首先，在哨兵划分中，我们可以 **随机选取一个元素作为基准数**。但如果运气很差，每次都选择到比较差的基准数，那么效率依然不好。 进一步地，我们可以在数组中选取 3 个候选元素（一般为数组的首、尾、中点元素），**并将三个候选元素的中位数作为基准数**，这样基准数“既不大也不小”的概率就大大提升了。当然，如果数组很长的话，我们也可以选取更多候选元素，来进一步提升算法的稳健性。采取该方法后，时间复杂度劣化至 $O(n^2)$ 的概率极低。 diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.md b/docs/chapter_tree/avl_tree.md index 9944f29e8..6f6272645 100644 --- a/docs/chapter_tree/avl_tree.md +++ b/docs/chapter_tree/avl_tree.md @@ -106,7 +106,7 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit ``` -「结点高度」是最远叶结点到该结点的距离，即走过的「边」的数量。需要特别注意，**叶结点的高度为 0 ，空结点的高度为 -1** 。我们封装两个工具函数，分别用于获取与更新结点的高度。 +「结点高度」是最远叶结点到该结点的距离，即走过的「边」的数量。需要特别注意，**叶结点的高度为 0 ，空结点的高度为 -1**。我们封装两个工具函数，分别用于获取与更新结点的高度。 === "Java" @@ -310,7 +310,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影 ### Case 1 - 右旋 -如下图所示（结点下方为「平衡因子」），从底至顶看，二叉树中首个失衡结点是 **结点 3** 。我们聚焦在以该失衡结点为根结点的子树上，将该结点记为 `node` ，将其左子节点记为 `child` ，执行「右旋」操作。完成右旋后，该子树已经恢复平衡，并且仍然为二叉搜索树。 +如下图所示（结点下方为「平衡因子」），从底至顶看，二叉树中首个失衡结点是 **结点 3**。我们聚焦在以该失衡结点为根结点的子树上，将该结点记为 `node` ，将其左子节点记为 `child` ，执行「右旋」操作。完成右旋后，该子树已经恢复平衡，并且仍然为二叉搜索树。 === "Step 1" ![right_rotate_step1](avl_tree.assets/right_rotate_step1.png) diff --git a/docs/chapter_tree/binary_search_tree.md b/docs/chapter_tree/binary_search_tree.md index a4c5a5d2a..a0322154e 100644 --- a/docs/chapter_tree/binary_search_tree.md +++ b/docs/chapter_tree/binary_search_tree.md @@ -202,8 +202,8 @@ comments: true 给定一个待插入元素 `num` ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根结点 < 右子树”的性质，插入操作分为两步： -1. **查找插入位置：** 与查找操作类似，我们从根结点出发，根据当前结点值和 `num` 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶结点（遍历到 $\text{null}$ ）时跳出循环； -2. **在该位置插入结点：** 初始化结点 `num` ，将该结点放到 $\text{null}$ 的位置 ； +1. **查找插入位置**：与查找操作类似，我们从根结点出发，根据当前结点值和 `num` 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶结点（遍历到 $\text{null}$ ）时跳出循环； +2. **在该位置插入结点**：初始化结点 `num` ，将该结点放到 $\text{null}$ 的位置 ； 二叉搜索树不允许存在重复结点，否则将会违背其定义。因此若待插入结点在树中已经存在，则不执行插入，直接返回即可。 @@ -442,15 +442,15 @@ comments: true 与插入结点一样，我们需要在删除操作后维持二叉搜索树的“左子树 < 根结点 < 右子树”的性质。首先，我们需要在二叉树中执行查找操作，获取待删除结点。接下来，根据待删除结点的子结点数量，删除操作需要分为三种情况： -**待删除结点的子结点数量 $= 0$ **。表明待删除结点是叶结点，直接删除即可。 +**当待删除结点的子结点数量 $= 0$ 时**，表明待删除结点是叶结点，直接删除即可。 ![bst_remove_case1](binary_search_tree.assets/bst_remove_case1.png) -**待删除结点的子结点数量 $= 1$ **。将待删除结点替换为其子结点。 +**当待删除结点的子结点数量 $= 1$ 时**，将待删除结点替换为其子结点即可。 ![bst_remove_case2](binary_search_tree.assets/bst_remove_case2.png) -**待删除结点的子结点数量 $= 2$ **。删除操作分为三步： +**当待删除结点的子结点数量 $= 2$ 时**，删除操作分为三步： 1. 找到待删除结点在 **中序遍历序列** 中的下一个结点，记为 `nex` ； 2. 在树中递归删除结点 `nex` ； @@ -830,17 +830,17 @@ comments: true 假设给定 $n$ 个数字，最常用的存储方式是「数组」，那么对于这串乱序的数字，常见操作的效率为： -- **查找元素：** 由于数组是无序的，因此需要遍历数组来确定，使用 $O(n)$ 时间； -- **插入元素：** 只需将元素添加至数组尾部即可，使用 $O(1)$ 时间； -- **删除元素：** 先查找元素，使用 $O(n)$ 时间，再在数组中删除该元素，使用 $O(n)$ 时间； -- **获取最小 / 最大元素：** 需要遍历数组来确定，使用 $O(n)$ 时间； +- **查找元素**：由于数组是无序的，因此需要遍历数组来确定，使用 $O(n)$ 时间； +- **插入元素**：只需将元素添加至数组尾部即可，使用 $O(1)$ 时间； +- **删除元素**：先查找元素，使用 $O(n)$ 时间，再在数组中删除该元素，使用 $O(n)$ 时间； +- **获取最小 / 最大元素**：需要遍历数组来确定，使用 $O(n)$ 时间； 为了得到先验信息，我们也可以预先将数组元素进行排序，得到一个「排序数组」，此时操作效率为： -- **查找元素：** 由于数组已排序，可以使用二分查找，平均使用 $O(\log n)$ 时间； -- **插入元素：** 先查找插入位置，使用 $O(\log n)$ 时间，再插入到指定位置，使用 $O(n)$ 时间； -- **删除元素：** 先查找元素，使用 $O(\log n)$ 时间，再在数组中删除该元素，使用 $O(n)$ 时间； -- **获取最小 / 最大元素：** 数组头部和尾部元素即是最小和最大元素，使用 $O(1)$ 时间； +- **查找元素**：由于数组已排序，可以使用二分查找，平均使用 $O(\log n)$ 时间； +- **插入元素**：先查找插入位置，使用 $O(\log n)$ 时间，再插入到指定位置，使用 $O(n)$ 时间； +- **删除元素**：先查找元素，使用 $O(\log n)$ 时间，再在数组中删除该元素，使用 $O(n)$ 时间； +- **获取最小 / 最大元素**：数组头部和尾部元素即是最小和最大元素，使用 $O(1)$ 时间； 观察发现，无序数组和有序数组中的各项操作的时间复杂度是“偏科”的，即有的快有的慢；**而二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，在数据量 $n$ 很大时有巨大优势**。