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<h1 id="163">16.3 术语表<a class="headerlink" href="#163" title="Permanent link">¶</a></h1>
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<p>表 16-1 列出了书中出现的重要术语。建议你同时记住它们的中英文叫法，以便阅读英文文献。</p>
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<p>表 16-1 列出了书中出现的重要术语。建议读者同时记住它们的中英文叫法，以便阅读英文文献。</p>
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<p align="center"> 表 16-1 数据结构与算法的重要名词 </p>
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<div class="center-table">
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<td>原码</td>
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<td>sign–magnitude</td>
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<td>sign-magnitude</td>
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<td>图</td>
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<td>graph</td>
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<h1 id="43">4.3 列表<a class="headerlink" href="#43" title="Permanent link">¶</a></h1>
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<p>「列表 list」是一个抽象的数据结构概念，它表示元素的有序集合，支持元素访问、修改、添加、删除和遍历等操作，无须使用者考虑容量限制的问题。列表可以基于链表或数组实现。</p>
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<ul>
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<li>链表天然可以被看作一个列表，其支持元素增删查改操作，并且可以灵活动态扩容。</li>
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<li>数组也支持元素增删查改，但由于其长度不可变，因此只能被看作一个具有长度限制的列表。</li>
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<li>链表天然可以看作一个列表，其支持元素增删查改操作，并且可以灵活动态扩容。</li>
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<li>数组也支持元素增删查改，但由于其长度不可变，因此只能看作一个具有长度限制的列表。</li>
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</ul>
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<p>当使用数组实现列表时，<strong>长度不可变的性质会导致列表的实用性降低</strong>。这是因为我们通常无法事先确定需要存储多少数据，从而难以选择合适的列表长度。若长度过小，则很可能无法满足使用需求；若长度过大，则会造成内存空间的浪费。</p>
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<p>当使用数组实现列表时，<strong>长度不可变的性质会导致列表的实用性降低</strong>。这是因为我们通常无法事先确定需要存储多少数据，从而难以选择合适的列表长度。若长度过小，则很可能无法满足使用需求；若长度过大，则会造成内存空间浪费。</p>
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<p>为解决此问题，我们可以使用「动态数组 dynamic array」来实现列表。它继承了数组的各项优点，并且可以在程序运行过程中进行动态扩容。</p>
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<p>实际上，<strong>许多编程语言中的标准库提供的列表都是基于动态数组实现的</strong>，例如 Python 中的 <code>list</code> 、Java 中的 <code>ArrayList</code> 、C++ 中的 <code>vector</code> 和 C# 中的 <code>List</code> 等。在接下来的讨论中，我们将把“列表”和“动态数组”视为等同的概念。</p>
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<p>实际上，<strong>许多编程语言中的标准库提供的列表是基于动态数组实现的</strong>，例如 Python 中的 <code>list</code> 、Java 中的 <code>ArrayList</code> 、C++ 中的 <code>vector</code> 和 C# 中的 <code>List</code> 等。在接下来的讨论中，我们将把“列表”和“动态数组”视为等同的概念。</p>
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<h2 id="431">4.3.1 列表常用操作<a class="headerlink" href="#431" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<h3 id="1">1. 初始化列表<a class="headerlink" href="#1" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<p>我们通常使用“无初始值”和“有初始值”这两种初始化方法：</p>
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<h1 id="44">4.4 内存与缓存 *<a class="headerlink" href="#44" title="Permanent link">¶</a></h1>
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<p>在本章的前两节中，我们探讨了数组和链表这两种基础且重要的数据结构，它们分别代表了“连续存储”和“分散存储”这两种不同的物理结构。</p>
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<p>在本章的前两节中，我们探讨了数组和链表这两种基础且重要的数据结构，它们分别代表了“连续存储”和“分散存储”两种物理结构。</p>
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<p>实际上，<strong>物理结构在很大程度上决定了程序对内存和缓存的使用效率</strong>，进而影响算法程序的整体性能。</p>
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<h2 id="441">4.4.1 计算机存储设备<a class="headerlink" href="#441" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>计算机中包括三种不同类型的存储设备：「硬盘 hard disk」、「内存 random-access memory, RAM」、「缓存 cache memory」。表 4-2 展示了它们在计算机系统中的不同角色和性能特点。</p>
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<p>计算机中包括三种类型的存储设备：「硬盘 hard disk」、「内存 random-access memory, RAM」、「缓存 cache memory」。表 4-2 展示了它们在计算机系统中的不同角色和性能特点。</p>
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<p align="center"> 表 4-2 计算机的存储设备 </p>
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<div class="center-table">
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</div>
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<p>我们可以将计算机存储系统想象为图 4-9 所示的金字塔结构。越靠近金字塔顶端的存储设备的速度越快、容量越小、成本越高。这种多层级的设计并非偶然，而是计算机科学家和工程师们经过深思熟虑的结果。</p>
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<ul>
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<li><strong>硬盘难以被内存取代</strong>。首先，内存中的数据在断电后会丢失，因此它不适合长期存储数据；其次，内存的成本大约是硬盘的几十倍，这使得它难以在消费者市场普及。</li>
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<li><strong>硬盘难以被内存取代</strong>。首先，内存中的数据在断电后会丢失，因此它不适合长期存储数据；其次，内存的成本是硬盘的几十倍，这使得它难以在消费者市场普及。</li>
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<li><strong>缓存的大容量和高速度难以兼得</strong>。随着 L1、L2、L3 缓存的容量逐步增大，其物理尺寸会变大，与 CPU 核心之间的物理距离会变远，从而导致数据传输时间增加，元素访问延迟变高。在当前技术下，多层级的缓存结构是容量、速度和成本之间的最佳平衡点。</li>
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</ul>
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<p><a class="glightbox" href="../ram_and_cache.assets/storage_pyramid.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="计算机存储系统" class="animation-figure" src="../ram_and_cache.assets/storage_pyramid.png" /></a></p>
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<div class="admonition note">
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<p class="admonition-title">Note</p>
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<p>计算机的存储层次结构体现了速度、容量和成本三者之间的精妙平衡。实际上，这种权衡普遍存在于所有工业领域，它要求我们在不同的优势和限制之间找到最佳的平衡点。</p>
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<p>计算机的存储层次结构体现了速度、容量和成本三者之间的精妙平衡。实际上，这种权衡普遍存在于所有工业领域，它要求我们在不同的优势和限制之间找到最佳平衡点。</p>
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</div>
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<p>总的来说，<strong>硬盘用于长期存储大量数据，内存用于临时存储程序运行中正在处理的数据，而缓存则用于存储经常访问的数据和指令</strong>，以提高程序运行效率。这三者共同协作，确保计算机系统的高效运行。</p>
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<p>如图 4-10 所示，在程序运行时，数据会从硬盘中被读取到内存中，供给 CPU 计算使用。缓存可以看作 CPU 的一部分，<strong>它通过智能地从内存加载数据</strong>，给 CPU 提供高速的数据读取，从而显著提升程序的执行效率，减少对较慢的内存的依赖。</p>
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<p>总的来说，<strong>硬盘用于长期存储大量数据，内存用于临时存储程序运行中正在处理的数据，而缓存则用于存储经常访问的数据和指令</strong>，以提高程序运行效率。三者共同协作，确保计算机系统高效运行。</p>
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<p>如图 4-10 所示，在程序运行时，数据会从硬盘中被读取到内存中，供 CPU 计算使用。缓存可以看作 CPU 的一部分，<strong>它通过智能地从内存加载数据</strong>，给 CPU 提供高速的数据读取，从而显著提升程序的执行效率，减少对较慢的内存的依赖。</p>
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<p><a class="glightbox" href="../ram_and_cache.assets/computer_storage_devices.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="硬盘、内存和缓存之间的数据流通" class="animation-figure" src="../ram_and_cache.assets/computer_storage_devices.png" /></a></p>
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<p align="center"> 图 4-10 硬盘、内存和缓存之间的数据流通 </p>
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<h2 id="442">4.4.2 数据结构的内存效率<a class="headerlink" href="#442" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>在内存空间利用方面，数组和链表具有各自的优势和局限。</p>
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<p>一方面，<strong>内存是有限的，且同一块内存不能被多个程序共享</strong>，因此我们希望数据结构能够尽可能高效地利用空间。数组的元素紧密排列，不需要额外的空间来存储链表节点间的引用（指针），因此空间效率更高。然而，数组需要一次性分配足够的连续内存空间，这可能导致内存的浪费，数组扩容也需要额外的时间和空间成本。相比之下，链表以“节点”为单位进行动态内存分配和回收，这种方式提供了更大的灵活性。</p>
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<p>在内存空间利用方面，数组和链表各自具有优势和局限性。</p>
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<p>一方面，<strong>内存是有限的，且同一块内存不能被多个程序共享</strong>，因此我们希望数据结构能够尽可能高效地利用空间。数组的元素紧密排列，不需要额外的空间来存储链表节点间的引用（指针），因此空间效率更高。然而，数组需要一次性分配足够的连续内存空间，这可能导致内存浪费，数组扩容也需要额外的时间和空间成本。相比之下，链表以“节点”为单位进行动态内存分配和回收，提供了更大的灵活性。</p>
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<p>另一方面，在程序运行时，<strong>随着反复申请与释放内存，空闲内存的碎片化程度会越来越高</strong>，从而导致内存的利用效率降低。数组由于其连续的存储方式，相对不容易导致内存碎片化。相反，链表的元素是分散存储的，在频繁的插入与删除操作中，更容易导致内存碎片化。</p>
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<h2 id="443">4.4.3 数据结构的缓存效率<a class="headerlink" href="#443" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>缓存虽然在空间容量上远小于内存，但它比内存快得多，在程序执行速度上起着至关重要的作用。由于缓存的容量有限，它只能存储一小部分频繁访问的数据。因此，当 CPU 尝试访问的数据不在缓存中时，就会发生「缓存未命中 cache miss」，此时 CPU 不得不从速度较慢的内存中加载所需数据。</p>
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<p>缓存虽然在空间容量上远小于内存，但它比内存快得多，在程序执行速度上起着至关重要的作用。由于缓存的容量有限，只能存储一小部分频繁访问的数据，因此当 CPU 尝试访问的数据不在缓存中时，就会发生「缓存未命中 cache miss」，此时 CPU 不得不从速度较慢的内存中加载所需数据。</p>
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<p>显然，<strong>“缓存未命中”越少，CPU 读写数据的效率就越高</strong>，程序性能也就越好。我们将 CPU 从缓存中成功获取数据的比例称为「缓存命中率 cache hit rate」，这个指标通常用来衡量缓存效率。</p>
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<p>为了尽可能达到更高效率，缓存会采取以下数据加载机制。</p>
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<p>为了尽可能达到更高的效率，缓存会采取以下数据加载机制。</p>
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<ul>
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<li><strong>缓存行</strong>：缓存不是单个字节地存储与加载数据，而是以缓存行为单位。相比于单个字节的传输，缓存行的传输形式更加高效。</li>
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<li><strong>预取机制</strong>：处理器会尝试预测数据访问模式（例如顺序访问、固定步长跳跃访问等），并根据特定模式将数据加载至缓存之中，从而提升命中率。</li>
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<li><strong>空间局部性</strong>：如果一个数据被访问，那么它附近的数据可能也会近期被访问。因此，缓存在加载某一数据时，也会将其附近的数据加载进来，以提高命中率。</li>
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<li><strong>空间局部性</strong>：如果一个数据被访问，那么它附近的数据可能近期也会被访问。因此，缓存在加载某一数据时，也会加载其附近的数据，以提高命中率。</li>
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<li><strong>时间局部性</strong>：如果一个数据被访问，那么它在不久的将来很可能再次被访问。缓存利用这一原理，通过保留最近访问过的数据来提高命中率。</li>
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</ul>
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<p>实际上，<strong>数组和链表对缓存的利用效率也是不同的</strong>，主要体现在以下几个方面。</p>
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<p>实际上，<strong>数组和链表对缓存的利用效率是不同的</strong>，主要体现在以下几个方面。</p>
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<ul>
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<li><strong>占用空间</strong>：链表元素比数组元素占用空间更多，导致缓存中容纳的有效数据量更少。</li>
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<li><strong>缓存行</strong>：链表数据分散在内存各处，而缓存是“按行加载”的，因此加载到的无效数据的比例更高。</li>
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<li><strong>缓存行</strong>：链表数据分散在内存各处，而缓存是“按行加载”的，因此加载到无效数据的比例更高。</li>
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<li><strong>预取机制</strong>：数组比链表的数据访问模式更具“可预测性”，即系统更容易猜出即将被加载的数据。</li>
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<li><strong>空间局部性</strong>：数组被存储在集中的内存空间中，因此被加载数据的附近数据更有可能即将被访问。</li>
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<li><strong>空间局部性</strong>：数组被存储在集中的内存空间中，因此被加载数据附近的数据更有可能即将被访问。</li>
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</ul>
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<p>总体而言，<strong>数组具有更高的缓存命中率，因此它在操作效率上通常优于链表</strong>。这使得在解决算法问题时，基于数组实现的数据结构往往更受欢迎。</p>
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<p>需要注意的是，<strong>高缓存效率并不意味着数组在所有情况下都优于链表</strong>。实际应用中选择哪种数据结构，应根据具体需求来决定。例如，数组和链表都可以实现“栈”数据结构（下一章会详细介绍），但它们适用于不同场景。</p>
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<ul>
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<li>在做算法题时，我们会倾向于选择基于数组实现的栈，因为它提供了更高的操作效率和随机访问的能力，代价仅是需要预先为数组分配一定的内存空间。</li>
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<li>如果数据量非常大、动态性很高、栈的预期大小难以估计，那么基于链表实现的栈就更加合适。链表能够将大量数据分散存储于内存的不同部分，并且避免了数组扩容产生的额外开销。</li>
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<li>如果数据量非常大、动态性很高、栈的预期大小难以估计，那么基于链表实现的栈更加合适。链表能够将大量数据分散存储于内存的不同部分，并且避免了数组扩容产生的额外开销。</li>
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<li>常见的链表类型包括单向链表、环形链表、双向链表，它们分别具有各自的应用场景。</li>
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<li>列表是一种支持增删查改的元素有序集合，通常基于动态数组实现，其保留了数组的优势，同时可以灵活调整长度。</li>
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<li>列表的出现大幅地提高了数组的实用性，但可能导致部分内存空间浪费。</li>
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<li>程序运行时，数据主要存储在内存中。数组提供更高的内存空间效率，而链表则在内存使用上更加灵活。</li>
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<li>缓存通过缓存行、预取机制以及空间和时间局部性等数据加载机制，为 CPU 提供快速数据访问，显著提升程序的执行效率。</li>
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<li>程序运行时，数据主要存储在内存中。数组可提供更高的内存空间效率，而链表则在内存使用上更加灵活。</li>
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<li>缓存通过缓存行、预取机制以及空间局部性和时间局部性等数据加载机制，为 CPU 提供快速数据访问，显著提升程序的执行效率。</li>
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<li>由于数组具有更高的缓存命中率，因此它通常比链表更高效。在选择数据结构时，应根据具体需求和场景做出恰当选择。</li>
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</ul>
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<h3 id="2-q-a">2. Q & A<a class="headerlink" href="#2-q-a" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<div class="admonition question">
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<p class="admonition-title">数组存储在栈上和存储在堆上，对时间效率和空间效率是否有影响？</p>
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<p>存储在栈上和堆上的数组都被存储在连续内存空间内，数据操作效率是基本一致的。然而，栈和堆具有各自的特点，从而导致以下不同点。</p>
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<p>存储在栈上和堆上的数组都被存储在连续内存空间内，数据操作效率基本一致。然而，栈和堆具有各自的特点，从而导致以下不同点。</p>
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<ol>
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<li>分配和释放效率：栈是一块较小的内存，分配由编译器自动完成；而堆内存相对更大，可以在代码中动态分配，更容易碎片化。因此，堆上的分配和释放操作通常比栈上的慢。</li>
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<li>大小限制：栈内存相对较小，堆的大小一般受限于可用内存。因此堆更加适合存储大型数组。</li>
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<div class="admonition question">
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<p class="admonition-title">在删除节点中，需要断开该节点与其后继节点之间的引用指向吗？</p>
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<p>从数据结构与算法（做题）的角度看，不断开没有关系，只要保证程序的逻辑是正确的就行。从标准库的角度看，断开更加安全、逻辑更加清晰。如果不断开，假设被删除节点未被正常回收，那么它也会影响后继节点的内存回收。</p>
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<p>从数据结构与算法（做题）的角度看，不断开没有关系，只要保证程序的逻辑是正确的就行。从标准库的角度看，断开更加安全、逻辑更加清晰。如果不断开，假设被删除节点未被正常回收，那么它会影响后继节点的内存回收。</p>
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@ -3659,7 +3659,7 @@
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<h1 id="22">2.2 迭代与递归<a class="headerlink" href="#22" title="Permanent link">¶</a></h1>
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<p>在算法中，重复执行某个任务是很常见的，其与复杂度分析息息相关。因此，在展开介绍时间复杂度和空间复杂度之前，我们先来了解如何在程序中实现重复执行任务，即两种基本的程序控制结构：迭代、递归。</p>
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<p>在算法中，重复执行某个任务是很常见的，它与复杂度分析息息相关。因此，在介绍时间复杂度和空间复杂度之前，我们先来了解如何在程序中实现重复执行任务，即两种基本的程序控制结构：迭代、递归。</p>
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<h2 id="221">2.2.1 迭代<a class="headerlink" href="#221" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>「迭代 iteration」是一种重复执行某个任务的控制结构。在迭代中，程序会在满足一定的条件下重复执行某段代码，直到这个条件不再满足。</p>
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<h3 id="1-for">1. for 循环<a class="headerlink" href="#1-for" title="Permanent link">¶</a></h3>
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@ -4960,11 +4960,11 @@
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<p class="admonition-title">Tip</p>
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<p>如果感觉以下内容理解困难，可以在读完“栈”章节后再来复习。</p>
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</div>
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<p>那么，迭代和递归具有什么内在联系呢？以上述的递归函数为例，求和操作在递归的“归”阶段进行。这意味着最初被调用的函数实际上是最后完成其求和操作的，<strong>这种工作机制与栈的“先入后出”原则是异曲同工的</strong>。</p>
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<p>那么，迭代和递归具有什么内在联系呢？以上述递归函数为例，求和操作在递归的“归”阶段进行。这意味着最初被调用的函数实际上是最后完成其求和操作的，<strong>这种工作机制与栈的“先入后出”原则异曲同工</strong>。</p>
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<p>事实上，“调用栈”和“栈帧空间”这类递归术语已经暗示了递归与栈之间的密切关系。</p>
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<ol>
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<li><strong>递</strong>：当函数被调用时，系统会在“调用栈”上为该函数分配新的栈帧，用于存储函数的局部变量、参数、返回地址等数据。</li>
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<li><strong>归</strong>：当函数完成执行并返回时，对应的栈帧会从“调用栈”上被移除，恢复之前函数的执行环境。</li>
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<li><strong>归</strong>：当函数完成执行并返回时，对应的栈帧会被从“调用栈”上移除，恢复之前函数的执行环境。</li>
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</ol>
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<p>因此，<strong>我们可以使用一个显式的栈来模拟调用栈的行为</strong>，从而将递归转化为迭代形式：</p>
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<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="8:12"><input checked="checked" id="__tabbed_8_1" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_2" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_3" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_4" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_5" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_6" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_7" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_8" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_9" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_10" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_11" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_12" name="__tabbed_8" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_8_1">Python</label><label for="__tabbed_8_2">C++</label><label for="__tabbed_8_3">Java</label><label for="__tabbed_8_4">C#</label><label for="__tabbed_8_5">Go</label><label for="__tabbed_8_6">Swift</label><label for="__tabbed_8_7">JS</label><label for="__tabbed_8_8">TS</label><label for="__tabbed_8_9">Dart</label><label for="__tabbed_8_10">Rust</label><label for="__tabbed_8_11">C</label><label for="__tabbed_8_12">Zig</label></div>
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@ -5224,12 +5224,12 @@
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</div>
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</div>
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<p>观察以上代码，当递归被转换为迭代后，代码变得更加复杂了。尽管迭代和递归在很多情况下可以互相转换，但也不一定值得这样做，有以下两点原因。</p>
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<p>观察以上代码，当递归转化为迭代后，代码变得更加复杂了。尽管迭代和递归在很多情况下可以互相转化，但不一定值得这样做，有以下两点原因。</p>
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<ul>
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<li>转化后的代码可能更加难以理解，可读性更差。</li>
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<li>对于某些复杂问题，模拟系统调用栈的行为可能非常困难。</li>
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</ul>
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<p>总之，<strong>选择迭代还是递归取决于特定问题的性质</strong>。在编程实践中，权衡两者的优劣并根据情境选择合适的方法是至关重要的。</p>
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<p>总之，<strong>选择迭代还是递归取决于特定问题的性质</strong>。在编程实践中，权衡两者的优劣并根据情境选择合适的方法至关重要。</p>
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@ -5308,7 +5308,7 @@ O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n^2) < O(2^n) \newline
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<p align="center"> 图 2-18 递归函数产生的平方阶空间复杂度 </p>
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<h3 id="4-o2n">4. 指数阶 <span class="arithmatex">\(O(2^n)\)</span><a class="headerlink" href="#4-o2n" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<p>指数阶常见于二叉树。观察图 2-19 ，高度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的“满二叉树”的节点数量为 <span class="arithmatex">\(2^n - 1\)</span> ，占用 <span class="arithmatex">\(O(2^n)\)</span> 空间：</p>
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<p>指数阶常见于二叉树。观察图 2-19 ，层数为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的“满二叉树”的节点数量为 <span class="arithmatex">\(2^n - 1\)</span> ，占用 <span class="arithmatex">\(O(2^n)\)</span> 空间：</p>
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<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="9:12"><input checked="checked" id="__tabbed_9_1" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_2" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_3" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_4" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_5" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_6" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_7" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_8" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_9" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_10" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_11" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_12" name="__tabbed_9" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_9_1">Python</label><label for="__tabbed_9_2">C++</label><label for="__tabbed_9_3">Java</label><label for="__tabbed_9_4">C#</label><label for="__tabbed_9_5">Go</label><label for="__tabbed_9_6">Swift</label><label for="__tabbed_9_7">JS</label><label for="__tabbed_9_8">TS</label><label for="__tabbed_9_9">Dart</label><label for="__tabbed_9_10">Rust</label><label for="__tabbed_9_11">C</label><label for="__tabbed_9_12">Zig</label></div>
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<div class="tabbed-content">
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<div class="tabbed-block">
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@ -3532,7 +3532,7 @@
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</tbody>
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</table>
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</div>
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<p>请注意，表 3-1 针对的是 Java 的基本数据类型的情况。每种编程语言有各自的数据类型定义，它们的占用空间、取值范围和默认值可能会有所不同。</p>
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<p>请注意，表 3-1 针对的是 Java 的基本数据类型的情况。每种编程语言都有各自的数据类型定义，它们的占用空间、取值范围和默认值可能会有所不同。</p>
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<ul>
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<li>在 Python 中，整数类型 <code>int</code> 可以是任意大小，只受限于可用内存；浮点数 <code>float</code> 是双精度 64 位；没有 <code>char</code> 类型，单个字符实际上是长度为 1 的字符串 <code>str</code> 。</li>
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<li>C 和 C++ 未明确规定基本数据类型大小，而因实现和平台各异。表 3-1 遵循 LP64 <a href="https://en.cppreference.com/w/cpp/language/types#Properties">数据模型</a>，其用于包括 Linux 和 macOS 在内的 Unix 64 位操作系统。</li>
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@ -3621,7 +3621,7 @@
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<p>由于以上编程语言对字符数量的低估，它们不得不采取“代理对”的方式来表示超过 16 位长度的 Unicode 字符。这是一个不得已为之的无奈之举。一方面，包含代理对的字符串中，一个字符可能占用 2 字节或 4 字节，从而丧失了等长编码的优势。另一方面，处理代理对需要增加额外代码，这提高了编程的复杂性和调试难度。</p>
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<p>出于以上原因，部分编程语言提出了一些不同的编码方案。</p>
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<ul>
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<li>Python 中的 <code>str</code> 使用 Unicode 编码，并采用一种灵活的字符串表示，存储的字符长度取决于字符串中最大的 Unicode 码点。若字符串中全部是 ASCII 字符，则每个字符占用 1 个字节；如果有字符超出了 ASCII 范围，但全部在基本多语言平面（BMP）内，则每个字符占用 2 个字节；如果有超出 BMP 的字符，则每个字符占用 4 个字节。</li>
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<li>Python 中的 <code>str</code> 使用 Unicode 编码，并采用一种灵活的字符串表示，存储的字符长度取决于字符串中最大的 Unicode 码点。若字符串中全部是 ASCII 字符，则每个字符占用 1 字节；如果有字符超出了 ASCII 范围，但全部在基本多语言平面（BMP）内，则每个字符占用 2 字节；如果有超出 BMP 的字符，则每个字符占用 4 字节。</li>
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<li>Go 语言的 <code>string</code> 类型在内部使用 UTF-8 编码。Go 语言还提供了 <code>rune</code> 类型，它用于表示单个 Unicode 码点。</li>
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<li>Rust 语言的 str 和 String 类型在内部使用 UTF-8 编码。Rust 也提供了 <code>char</code> 类型，用于表示单个 Unicode 码点。</li>
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</ul>
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@ -3527,14 +3527,14 @@
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<li><strong>网状结构</strong>：图，元素之间是多对多的关系。</li>
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</ul>
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<h2 id="312">3.1.2 物理结构：连续与分散<a class="headerlink" href="#312" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p><strong>当算法程序运行时，正在处理的数据主要被存储在内存中</strong>。图 3-2 展示了一个计算机内存条，其中每个黑色方块都包含一块内存空间。我们可以将内存想象成一个巨大的 Excel 表格，其中每个单元格都可以存储一定大小的数据。</p>
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<p><strong>当算法程序运行时，正在处理的数据主要存储在内存中</strong>。图 3-2 展示了一个计算机内存条，其中每个黑色方块都包含一块内存空间。我们可以将内存想象成一个巨大的 Excel 表格，其中每个单元格都可以存储一定大小的数据。</p>
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<p><strong>系统通过内存地址来访问目标位置的数据</strong>。如图 3-2 所示，计算机根据特定规则为表格中的每个单元格分配编号，确保每个内存空间都有唯一的内存地址。有了这些地址，程序便可以访问内存中的数据。</p>
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<p><a class="glightbox" href="../classification_of_data_structure.assets/computer_memory_location.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="内存条、内存空间、内存地址" class="animation-figure" src="../classification_of_data_structure.assets/computer_memory_location.png" /></a></p>
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<p align="center"> 图 3-2 内存条、内存空间、内存地址 </p>
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<div class="admonition tip">
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<p class="admonition-title">Tip</p>
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<p>值得说明的是，将内存比作 Excel 表格是一个简化的类比，实际内存的工作机制比较复杂，涉及到地址空间、内存管理、缓存机制、虚拟和物理内存等概念。</p>
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<p>值得说明的是，将内存比作 Excel 表格是一个简化的类比，实际内存的工作机制比较复杂，涉及地址空间、内存管理、缓存机制、虚拟内存和物理内存等概念。</p>
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</div>
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<p>内存是所有程序的共享资源，当某块内存被某个程序占用时，则无法被其他程序同时使用了。<strong>因此在数据结构与算法的设计中，内存资源是一个重要的考虑因素</strong>。比如，算法所占用的内存峰值不应超过系统剩余空闲内存；如果缺少连续大块的内存空间，那么所选用的数据结构必须能够存储在分散的内存空间内。</p>
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<p>如图 3-3 所示，<strong>物理结构反映了数据在计算机内存中的存储方式</strong>，可分为连续空间存储（数组）和分散空间存储（链表）。物理结构从底层决定了数据的访问、更新、增删等操作方法，两种物理结构在时间效率和空间效率方面呈现出互补的特点。</p>
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@ -3525,7 +3525,7 @@
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<p><a class="glightbox" href="../number_encoding.assets/1s_2s_complement.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="原码、反码与补码之间的相互转换" class="animation-figure" src="../number_encoding.assets/1s_2s_complement.png" /></a></p>
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<p align="center"> 图 3-4 原码、反码与补码之间的相互转换 </p>
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<p>「原码 sign–magnitude」虽然最直观，但存在一些局限性。一方面，<strong>负数的原码不能直接用于运算</strong>。例如在原码下计算 <span class="arithmatex">\(1 + (-2)\)</span> ，得到的结果是 <span class="arithmatex">\(-3\)</span> ，这显然是不对的。</p>
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<p>「原码 sign-magnitude」虽然最直观，但存在一些局限性。一方面，<strong>负数的原码不能直接用于运算</strong>。例如在原码下计算 <span class="arithmatex">\(1 + (-2)\)</span> ，得到的结果是 <span class="arithmatex">\(-3\)</span> ，这显然是不对的。</p>
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<div class="arithmatex">\[
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\begin{aligned}
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& 1 + (-2) \newline
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@ -3525,20 +3525,20 @@
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<h3 id="2-q-a">2. Q & A<a class="headerlink" href="#2-q-a" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<div class="admonition question">
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<p class="admonition-title">为什么哈希表同时包含线性数据结构和非线性数据结构？</p>
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<p>哈希表底层是数组，而为了解决哈希冲突，我们可能会使用“链式地址”（后续哈希表章节会讲）：数组中每个桶指向一个链表，当链表长度超过一定阈值时，又可能被转化为树（通常为红黑树）。
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从存储的角度来看，哈希表的底层是数组，其中每一个桶槽位可能包含一个值，也可能包含一个链表或树。因此，哈希表可能同时包含线性（数组、链表）和非线性（树）数据结构。</p>
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<p>哈希表底层是数组，而为了解决哈希冲突，我们可能会使用“链式地址”（后续“哈希冲突”章节会讲）：数组中每个桶指向一个链表，当链表长度超过一定阈值时，又可能被转化为树（通常为红黑树）。
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||||
从存储的角度来看，哈希表的底层是数组，其中每一个桶槽位可能包含一个值，也可能包含一个链表或一棵树。因此，哈希表可能同时包含线性数据结构（数组、链表）和非线性数据结构（树）。</p>
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</div>
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<div class="admonition question">
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<p class="admonition-title"><code>char</code> 类型的长度是 1 byte 吗？</p>
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<p><code>char</code> 类型的长度由编程语言采用的编码方法决定。例如，Java、JavaScript、TypeScript、C# 都采用 UTF-16 编码（保存 Unicode 码点），因此 char 类型的长度为 2 bytes 。</p>
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<p><code>char</code> 类型的长度由编程语言采用的编码方法决定。例如，Java、JavaScript、TypeScript、C# 都采用 UTF-16 编码（保存 Unicode 码点），因此 char 类型的长度为 2 bytes。</p>
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</div>
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<div class="admonition question">
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<p class="admonition-title">基于数组实现的数据结构也被称为“静态数据结构” 是否有歧义？因为栈也可以进行出栈和入栈等操作，这些操作都是“动态”的。</p>
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<p>栈确实可以实现动态的数据操作，但数据结构仍然是“静态”（长度不可变）的。尽管基于数组的数据结构可以动态地添加或删除元素，但它们的容量是固定的。如果数据量超出了预分配的大小，就需要创建一个新的更大的数组，并将老数组的内容复制到新数组中。</p>
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<p class="admonition-title">基于数组实现的数据结构也称“静态数据结构” 是否有歧义？因为栈也可以进行出栈和入栈等操作，这些操作都是“动态”的。</p>
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<p>栈确实可以实现动态的数据操作，但数据结构仍然是“静态”（长度不可变）的。尽管基于数组的数据结构可以动态地添加或删除元素，但它们的容量是固定的。如果数据量超出了预分配的大小，就需要创建一个新的更大的数组，并将旧数组的内容复制到新数组中。</p>
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</div>
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<div class="admonition question">
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<p class="admonition-title">在构建栈（队列）的时候，未指定它的大小，为什么它们是“静态数据结构”呢？</p>
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<p>在高级编程语言中，我们无须人工指定栈（队列）的初始容量，这个工作是由类内部自动完成的。例如，Java 的 ArrayList 的初始容量通常为 10 。另外，扩容操作也是自动实现的。详见本书的“列表”章节。</p>
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<p>在高级编程语言中，我们无须人工指定栈（队列）的初始容量，这个工作由类内部自动完成。例如，Java 的 ArrayList 的初始容量通常为 10。另外，扩容操作也是自动实现的。详见后续的“列表”章节。</p>
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</div>
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<!-- Source file information -->
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@ -3999,7 +3999,7 @@ dp[i] = \min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost[i]
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<p>在该问题中，如果上一轮是跳 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 阶上来的，那么下一轮就必须跳 <span class="arithmatex">\(2\)</span> 阶。这意味着，<strong>下一步选择不能由当前状态（当前所在楼梯阶数）独立决定，还和前一个状态（上轮所在楼梯阶数）有关</strong>。</p>
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<p>不难发现，此问题已不满足无后效性，状态转移方程 <span class="arithmatex">\(dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]\)</span> 也失效了，因为 <span class="arithmatex">\(dp[i-1]\)</span> 代表本轮跳 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 阶，但其中包含了许多“上一轮是跳 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 阶上来的”方案，而为了满足约束，我们就不能将 <span class="arithmatex">\(dp[i-1]\)</span> 直接计入 <span class="arithmatex">\(dp[i]\)</span> 中。</p>
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<p>为此，我们需要扩展状态定义：<strong>状态 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> 表示处在第 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 阶并且上一轮跳了 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 阶</strong>，其中 <span class="arithmatex">\(j \in \{1, 2\}\)</span> 。此状态定义有效地区分了上一轮跳了 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 阶还是 <span class="arithmatex">\(2\)</span> 阶，我们可以据此来判断当前状态是从何而来的。</p>
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<p>为此，我们需要扩展状态定义：<strong>状态 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> 表示处在第 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 阶并且上一轮跳了 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 阶</strong>，其中 <span class="arithmatex">\(j \in \{1, 2\}\)</span> 。此状态定义有效地区分了上一轮跳了 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 阶还是 <span class="arithmatex">\(2\)</span> 阶，我们可以据此判断当前状态是从何而来的。</p>
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<ul>
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<li>当上一轮跳了 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 阶时，上上一轮只能选择跳 <span class="arithmatex">\(2\)</span> 阶，即 <span class="arithmatex">\(dp[i, 1]\)</span> 只能从 <span class="arithmatex">\(dp[i-1, 2]\)</span> 转移过来。</li>
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<li>当上一轮跳了 <span class="arithmatex">\(2\)</span> 阶时，上上一轮可选择跳 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 阶或跳 <span class="arithmatex">\(2\)</span> 阶，即 <span class="arithmatex">\(dp[i, 2]\)</span> 可以从 <span class="arithmatex">\(dp[i-2, 1]\)</span> 或 <span class="arithmatex">\(dp[i-2, 2]\)</span> 转移过来。</li>
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@ -6374,10 +6374,10 @@
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<p>平方探测与线性探测类似，都是开放寻址的常见策略之一。当发生冲突时，平方探测不是简单地跳过一个固定的步数，而是跳过“探测次数的平方”的步数，即 <span class="arithmatex">\(1, 4, 9, \dots\)</span> 步。</p>
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<p>平方探测主要具有以下优势。</p>
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<ul>
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<li>平方探测通过跳过平方的距离，试图缓解线性探测的聚集效应。</li>
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<li>平方探测通过跳过探测次数平方的距离，试图缓解线性探测的聚集效应。</li>
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<li>平方探测会跳过更大的距离来寻找空位置，有助于数据分布得更加均匀。</li>
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</ul>
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<p>然而，平方探测也并不是完美的。</p>
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<p>然而，平方探测并不是完美的。</p>
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<ul>
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<li>仍然存在聚集现象，即某些位置比其他位置更容易被占用。</li>
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<li>由于平方的增长，平方探测可能不会探测整个哈希表，这意味着即使哈希表中有空桶，平方探测也可能无法访问到它。</li>
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@ -6394,7 +6394,7 @@
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<p>请注意，开放寻址（线性探测、平方探测和多次哈希）哈希表都存在“不能直接删除元素”的问题。</p>
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</div>
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<h2 id="623">6.2.3 编程语言的选择<a class="headerlink" href="#623" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>各个编程语言采取了不同的哈希表实现策略，以下举几个例子。</p>
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<p>各种编程语言采取了不同的哈希表实现策略，下面举几个例子。</p>
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<ul>
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<li>Python 采用开放寻址。字典 dict 使用伪随机数进行探测。</li>
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<li>Java 采用链式地址。自 JDK 1.8 以来，当 HashMap 内数组长度达到 64 且链表长度达到 8 时，链表会转换为红黑树以提升查找性能。</li>
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@ -3527,7 +3527,7 @@
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</ul>
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<h3 id="2-q-a">2. Q & A<a class="headerlink" href="#2-q-a" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<div class="admonition question">
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<p class="admonition-title">哈希表的时间复杂度为什么不是 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> ？</p>
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<p class="admonition-title">哈希表的时间复杂度在什么情况下是 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> ？</p>
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<p>当哈希冲突比较严重时，哈希表的时间复杂度会退化至 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 。当哈希函数设计得比较好、容量设置比较合理、冲突比较平均时，时间复杂度是 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 。我们使用编程语言内置的哈希表时，通常认为时间复杂度是 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 。</p>
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</div>
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<div class="admonition question">
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@ -3535,12 +3535,12 @@
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<h2 id="822">8.2.2 通过遍历堆化实现<a class="headerlink" href="#822" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>实际上，我们可以实现一种更为高效的建堆方法，共分为两步。</p>
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<ol>
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<li>将列表所有元素原封不动添加到堆中，此时堆的性质尚未得到满足。</li>
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<li>倒序遍历堆（即层序遍历的倒序），依次对每个非叶节点执行“从顶至底堆化”。</li>
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||||
<li>将列表所有元素原封不动地添加到堆中，此时堆的性质尚未得到满足。</li>
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<li>倒序遍历堆（层序遍历的倒序），依次对每个非叶节点执行“从顶至底堆化”。</li>
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</ol>
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<p><strong>每当堆化一个节点后，以该节点为根节点的子树就形成一个合法的子堆</strong>。而由于是倒序遍历，因此堆是“自下而上”构建的。</p>
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<p>之所以选择倒序遍历，是因为这样能够保证当前节点之下的子树已经是合法的子堆，这样堆化当前节点才是有效的。</p>
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<p>值得说明的是，<strong>叶节点没有子节点，天然就是合法的子堆，因此无须堆化</strong>。如以下代码所示，最后一个非叶节点是最后一个节点的父节点，我们从它开始倒序遍历并执行堆化。</p>
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||||
<p>值得说明的是，<strong>由于叶节点没有子节点，因此它们天然就是合法的子堆，无须堆化</strong>。如以下代码所示，最后一个非叶节点是最后一个节点的父节点，我们从它开始倒序遍历并执行堆化：</p>
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||||
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:12"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_10" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_11" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_12" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">Python</label><label for="__tabbed_1_2">C++</label><label for="__tabbed_1_3">Java</label><label for="__tabbed_1_4">C#</label><label for="__tabbed_1_5">Go</label><label for="__tabbed_1_6">Swift</label><label for="__tabbed_1_7">JS</label><label for="__tabbed_1_8">TS</label><label for="__tabbed_1_9">Dart</label><label for="__tabbed_1_10">Rust</label><label for="__tabbed_1_11">C</label><label for="__tabbed_1_12">Zig</label></div>
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<div class="tabbed-content">
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<div class="tabbed-block">
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@ -3532,7 +3532,7 @@
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</div>
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<div class="admonition question">
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<p class="admonition-title">撤销（undo）和反撤销（redo）具体是如何实现的？</p>
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<p>使用两个堆栈，栈 <code>A</code> 用于撤销，栈 <code>B</code> 用于反撤销。</p>
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<p>使用两个栈，栈 <code>A</code> 用于撤销，栈 <code>B</code> 用于反撤销。</p>
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<ol>
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<li>每当用户执行一个操作，将这个操作压入栈 <code>A</code> ，并清空栈 <code>B</code> 。</li>
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<li>当用户执行“撤销”时，从栈 <code>A</code> 中弹出最近的操作，并将其压入栈 <code>B</code> 。</li>
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File diff suppressed because one or more lines are too long
208
sitemap.xml
208
sitemap.xml
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@ -2,522 +2,522 @@
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