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chapter_sorting/bucket_sort.md

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-# 桶排序
+---
+comments: true
+---
 
-「桶排序 Bucket Sort」考虑设置 $k$ 个桶，并将 $n$ 个元素根据大小分配到 $k$ 个桶中，**并在每个桶内部分别执行排序**，由于桶之间的大小关系的确定的，因此最后按照桶之间的顺序将元素依次展开即可。
+# 11.7.   桶排序
 
-假设元素平均分布在各个桶内，则每个桶内元素数量为 $\frac{n}{k}$ ；如果使用「快速排序」来实现桶内排序，则排序单个桶使用 $O(\frac{n}{k} \log\frac{n}{k})$ 时间，排序所有桶使用 $O(n \log\frac{n}{k})$ 时间。**当桶数量 $k$ 比较大时，时间复杂度则趋向于 $O(n)$** 。
+「桶排序 Bucket Sort」是分治思想的典型体现，其通过设置一些桶，将数据平均分配到各个桶中，并在每个桶内部分别执行排序，最终根据桶之间天然的大小顺序将各个桶内元素合并，从而得到排序结果。
 
-!!! note 计数排序与桶排序的关系
+## 11.7.1.   算法流程
 
-    **计数排序可以看作是桶排序的一种特例**。我们可以把计数排序中 `counter` 的每个索引想象成一个桶，将统计数量的过程想象成把 $n$ 个元素分配到对应的桶中，再根据桶之间的有序性输出结果，从而实现排序。
+输入一个长度为 $n$ 的数组，元素是范围 $[0, 1)$ 的浮点数，桶排序流程为：
 
-（图）
+1. 初始化 $k$ 个桶，将 $n$ 个元素分配至 $k$ 个桶中；
+2. 对每个桶分别执行排序（本文采用编程语言的内置排序函数）；
+3. 按照桶的从小到大的顺序，合并结果；
 
-理论上桶排序的时间复杂度是 $O(n)$ ，**但前提是需要将元素均匀分配到各个桶中**，而这并不容易做到。假设想要把淘宝的 $100$ 万件商品根据价格范围平均分配到 $100$ 个桶中，而商品价格不是均匀分布的，例如 $100$ 元以下的商品非常多、$1000$ 元以上的商品非常少等。如果我们将价格区间平均划分为 $100$ 份，那么各个桶内的商品数量差距会非常大。为了实现平均分配，我们一般这样做：
+![桶排序算法流程](bucket_sort.assets/bucket_sort_overview.png)
 
-- 先粗略设置分界线，将元素分配完后，**把元素较多的桶继续划分为多个桶**，直至所有桶内元素数量合理为止；该做法本质上是一个递归树；
+<p align="center"> Fig. 桶排序算法流程 </p>
-- 如果我们提前知道商品价格的概率分布，**则可以根据已知分布来设置每个桶的价格分界线**；值得说明的是，数据分布不一定需要特意统计，也可以根据数据特点采用某种常见概率模型来近似，例如自然界的正态分布等；
 
-（图）
+=== "Java"
 
-另外，排序桶内元素需要选择一种合适的排序算法，比如快速排序。
+    ```java title="bucket_sort.java"
+    /* 桶排序 */
+    void bucketSort(float[] nums) {
+        // 初始化 k = n/3 个桶，预期向每个桶分配 3 个元素
+        int k = nums.length / 2;
+        List<List<Float>> buckets = new ArrayList<>();
+        for (int i = 0; i < k; i++) {
+            buckets.add(new ArrayList<>());
+        }
+        // 1. 将数组元素分配到各个桶中
+        for (float num : nums) {
+            // 输入数据范围 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
+            int i = (int) num * k;
+            // 将 num 添加进桶 i
+            buckets.get(i).add(num);
+        }
+        // 2. 对各个桶执行排序
+        for (List<Float> bucket : buckets) {
+            // 使用内置排序函数，也可以替换成其它排序算法
+            Collections.sort(bucket);
+        }
+        // 3. 遍历桶合并结果
+        int i = 0;
+        for (List<Float> bucket : buckets) {
+            for (float num : bucket) {
+                nums[i++] = num;
+            }
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="bucket_sort.cpp"
+    [class]{}-[func]{bucketSort}
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="bucket_sort.py"
+    [class]{}-[func]{bucket_sort}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="bucket_sort.go"
+    [class]{}-[func]{bucketSort}
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```javascript title="bucket_sort.js"
+    [class]{}-[func]{bucketSort}
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="bucket_sort.ts"
+    [class]{}-[func]{bucketSort}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="bucket_sort.c"
+    [class]{}-[func]{bucketSort}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="bucket_sort.cs"
+    [class]{bucket_sort}-[func]{bucketSort}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="bucket_sort.swift"
+    [class]{}-[func]{bucketSort}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="bucket_sort.zig"
+    [class]{}-[func]{bucketSort}
+    ```
+
+!!! note "桶排序是计数排序的一种推广"
+
+    从桶排序的角度，我们可以把计数排序中计数数组 `counter` 的每个索引想象成一个桶，将统计数量的过程想象成把各个元素分配到对应的桶中，再根据桶之间的有序性输出结果，从而实现排序。
+
+## 11.7.2. &nbsp; 算法特性
+
+**时间复杂度 $O(n + k)$** ：假设元素平均分布在各个桶内，则每个桶内元素数量为 $\frac{n}{k}$ 。假设排序单个桶使用 $O(\frac{n}{k} \log\frac{n}{k})$ 时间，则排序所有桶使用 $O(n \log\frac{n}{k})$ 时间，**当桶数量 $k$ 比较大时，时间复杂度则趋向于 $O(n)$** 。最后合并结果需要遍历 $n$ 个桶，使用 $O(k)$ 时间。
+
+最差情况下，所有数据被分配到一个桶中，且排序算法退化至 $O(n^2)$ ，此时使用 $O(n^2)$ 时间，因此是“自适应排序”。
+
+**空间复杂度 $O(n + k)$** ：需要借助 $k$ 个桶和共 $n$ 个元素的额外空间，是“非原地排序”。
+
+桶排序是否稳定取决于排序桶内元素的算法是否稳定。
+
+## 11.7.3. &nbsp; 如何实现平均分配
+
+桶排序的时间复杂度理论上可以达到 $O(n)$ ，**难点是需要将元素均匀分配到各个桶中**，因为现实中的数据往往都不是均匀分布的。举个例子，假设我们想要把淘宝的所有商品根据价格范围平均分配到 10 个桶中，然而商品价格不是均匀分布的，100 元以下非常多、1000 元以上非常少；如果我们将价格区间平均划为 10 份，那么各个桶内的商品数量差距会非常大。
+
+为了实现平均分配，我们可以先大致设置一个分界线，将数据粗略分到 3 个桶，分配完后，**再把商品较多的桶继续划分为 3 个桶，直至所有桶内元素数量大致平均为止**。此方法本质上是生成一个递归树，让叶结点的值尽量平均。当然，不一定非要划分为 3 个桶，可以根据数据特点灵活选取。
+
+![递归划分桶](bucket_sort.assets/scatter_in_buckets_recursively.png)
+
+<p align="center"> Fig. 递归划分桶 </p>
+
+如果我们提前知道商品价格的概率分布，**那么也可以根据数据概率分布来设置每个桶的价格分界线**。注意，数据分布不一定需要特意去统计，也可以根据数据特点采用某种概率模型来近似。如下图所示，我们假设商品价格服从正态分布，就可以合理设置价格区间，将商品平均分配到各个桶中。
+
+![根据概率分布划分桶](bucket_sort.assets/scatter_in_buckets_distribution.png)
+
+<p align="center"> Fig. 根据概率分布划分桶 </p>

chapter_sorting/quick_sort.md

@@ -461,7 +461,9 @@ comments: true
 
 ## 11.4.2.   算法特性
 
-**时间复杂度 $O(n \log n)$** ：平均情况下，哨兵划分的递归层数为 $\log n$ ，每层中的总循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n \log n)$ 时间。最差情况下，每轮哨兵划分操作都将长度为 $n$ 的数组划分为长度为 $0$ 和 $n - 1$ 的两个子数组，此时递归层数达到 $n$ 层，每层中的循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n^2)$ 时间，因此是“非稳定排序”。
+**时间复杂度 $O(n \log n)$** ：平均情况下，哨兵划分的递归层数为 $\log n$ ，每层中的总循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n \log n)$ 时间。
+
+最差情况下，每轮哨兵划分操作都将长度为 $n$ 的数组划分为长度为 $0$ 和 $n - 1$ 的两个子数组，此时递归层数达到 $n$ 层，每层中的循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n^2)$ 时间，因此是“非稳定排序”。
 
 **空间复杂度 $O(n)$** ：输入数组完全倒序下，达到最差递归深度 $n$ 。由于未借助辅助数组空间，因此是“原地排序”。
 

chapter_sorting/summary.md

@@ -2,7 +2,7 @@
 comments: true
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-# 11.7.   小结
+# 11.8.   小结
 
 - 冒泡排序通过交换相邻元素来实现排序。通过增加标志位实现提前返回，我们可将冒泡排序的最佳时间复杂度优化至 $O(N)$ 。
 - 插入排序每轮将待排序区间内元素插入至已排序区间的正确位置，从而实现排序。插入排序的时间复杂度虽为 $O(N^2)$ ，但因为总体操作少而很受欢迎，一般用于小数据量的排序工作。