Refactor the articles related to searching algorithm. Add the chapter of binary search. Add the section of searching algorithm revisited. (#464)

codes/c/CMakeLists.txt

@@ -8,8 +8,7 @@ include_directories(./include)
 add_subdirectory(include)
 add_subdirectory(chapter_computational_complexity)
 add_subdirectory(chapter_array_and_linkedlist)
-add_subdirectory(chapter_sorting)
-add_subdirectory(chapter_tree)
 add_subdirectory(chapter_stack_and_queue)
+add_subdirectory(chapter_binary_search)
 add_subdirectory(chapter_heap)
 add_subdirectory(chapter_searching)

codes/c/chapter_binary_search/CMakeLists.txt

@@ -0,0 +1 @@
+add_executable(linear_search linear_search.c)

codes/c/chapter_computational_complexity/CMakeLists.txt

@@ -1,4 +1,3 @@
 add_executable(time_complexity time_complexity.c)
 add_executable(worst_best_time_complexity worst_best_time_complexity.c)
-add_executable(leetcode_two_sum leetcode_two_sum.c)
 add_executable(space_complexity space_complexity.c)

codes/c/chapter_searching/CMakeLists.txt

@@ -1,3 +1,2 @@
-add_executable(binary_search binary_search.c )
+add_executable(binary_search binary_search.c)
-add_executable(linear_search linear_search.c)
+add_executable(leetcode_two_sum leetcode_two_sum.c)
-add_executable(hashing_search hashing_search.c)

codes/cpp/CMakeLists.txt

@@ -8,6 +8,7 @@ include_directories(./include)
 add_subdirectory(chapter_computational_complexity)
 add_subdirectory(chapter_array_and_linkedlist)
 add_subdirectory(chapter_stack_and_queue)
+add_subdirectory(chapter_binary_search)
 add_subdirectory(chapter_hashing)
 add_subdirectory(chapter_tree)
 add_subdirectory(chapter_heap)

codes/cpp/chapter_binary_search/CMakeLists.txt

@@ -0,0 +1 @@
+add_executable(binary_search binary_search.cpp)

codes/cpp/chapter_computational_complexity/CMakeLists.txt

@@ -1,4 +1,3 @@
-add_executable(leetcode_two_sum leetcode_two_sum.cpp)
+add_executable(space_complexity space_complexity.cpp)
-add_executable(space_complexity space_complexity.cpp )
 add_executable(time_complexity time_complexity.cpp)
 add_executable(worst_best_time_complexity worst_best_time_complexity.cpp)

codes/cpp/chapter_searching/CMakeLists.txt

@@ -1,3 +1,3 @@
-add_executable(binary_search binary_search.cpp)
 add_executable(hashing_search hashing_search.cpp)
+add_executable(leetcode_two_sum leetcode_two_sum.cpp)
 add_executable(linear_search linear_search.cpp)

codes/csharp/chapter_binary_search/binary_search.cs

@@ -6,7 +6,7 @@
 
 using NUnit.Framework;
 
-namespace hello_algo.chapter_searching;
+namespace hello_algo.chapter_binary_search;
 
 public class binary_search
 {

codes/csharp/chapter_searching/leetcode_two_sum.cs

@@ -6,7 +6,7 @@
 
 using NUnit.Framework;
 
-namespace hello_algo.chapter_computational_complexity;
+namespace hello_algo.chapter_searching;
 
 public class leetcode_two_sum
 {

codes/go/chapter_binary_search/binary_search.go

@@ -2,7 +2,7 @@
 // Created Time: 2022-12-05
 // Author: Slone123c (274325721@qq.com)
 
-package chapter_searching
+package chapter_binary_search
 
 /* 二分查找（双闭区间） */
 func binarySearch(nums []int, target int) int {

codes/go/chapter_binary_search/binary_search_test.go

@@ -2,7 +2,7 @@
 // Created Time: 2022-12-05
 // Author: Slone123c (274325721@qq.com)
 
-package chapter_searching
+package chapter_binary_search
 
 import (
 	"fmt"

codes/go/chapter_searching/leetcode_two_sum.go

@@ -2,7 +2,7 @@
 // Created Time: 2022-11-25
 // Author: reanon (793584285@qq.com)
 
-package chapter_computational_complexity
+package chapter_searching
 
 /* 方法一：暴力枚举 */
 func twoSumBruteForce(nums []int, target int) []int {

codes/go/chapter_searching/leetcode_two_sum_test.go

@@ -2,7 +2,7 @@
 // Created Time: 2022-11-25
 // Author: reanon (793584285@qq.com)
 
-package chapter_computational_complexity
+package chapter_searching
 
 import (
 	"fmt"

codes/java/chapter_backtracking/backtrack_find_constrained_paths.java

@@ -4,6 +4,8 @@
  * Author: Krahets (krahets@163.com)
  */
 
+package chapter_backtracking;
+
 import include.*;
 import java.util.*;
 

codes/java/chapter_backtracking/preorder_find_constrained_paths.java

@@ -4,6 +4,8 @@
  * Author: Krahets (krahets@163.com)
  */
 
+package chapter_backtracking;
+
 import include.*;
 import java.util.*;
 

codes/java/chapter_backtracking/preorder_find_nodes.java

@@ -4,6 +4,8 @@
  * Author: Krahets (krahets@163.com)
  */
 
+package chapter_backtracking;
+
 import include.*;
 import java.util.*;
 

codes/java/chapter_backtracking/preorder_find_paths.java

@@ -4,6 +4,8 @@
  * Author: Krahets (krahets@163.com)
  */
 
+package chapter_backtracking;
+
 import include.*;
 import java.util.*;
 

codes/java/chapter_binary_search/binary_search.java

@@ -4,7 +4,7 @@
  * Author: Krahets (krahets@163.com)
  */
 
-package chapter_searching;
+package chapter_binary_search;
 
 public class binary_search {
     /* 二分查找（双闭区间） */

codes/java/chapter_searching/leetcode_two_sum.java

@@ -4,7 +4,7 @@
  * Author: Krahets (krahets@163.com)
  */
 
-package chapter_computational_complexity;
+package chapter_searching;
 
 import java.util.*;
 

codes/zig/chapter_binary_search/binary_search.zig

@@ -62,4 +62,3 @@ pub fn main() !void {
 
     _ = try std.io.getStdIn().reader().readByte();
 }
-

docs/chapter_binary_search/binary_search.md

@@ -2,8 +2,6 @@
 
 「二分查找 Binary Search」利用数据的有序性，通过每轮减少一半搜索范围来定位目标元素。
 
-## 算法实现
-
 给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` ，元素按从小到大的顺序排列。数组索引的取值范围为：
 
 $$
@@ -12,10 +10,10 @@ $$
 
 我们通常使用以下两种方法来表示这个取值范围：
 
-1. **双闭区间 $[0, n-1]$** ，即两个边界都包含自身；在此方法下，区间 $[0, 0]$ 仍包含 $1$ 个元素；
+1. **双闭区间 $[0, n-1]$** ，即两个边界都包含自身；在此方法下，区间 $[i, i]$ 仍包含 $1$ 个元素；
-2. **左闭右开 $[0, n)$** ，即左边界包含自身、右边界不包含自身；在此方法下，区间 $[0, 0)$ 不包含元素；
+2. **左闭右开 $[0, n)$** ，即左边界包含自身、右边界不包含自身；在此方法下，区间 $[i, i)$ 不包含元素；
 
-### “双闭区间”实现
+## 双闭区间实现
 
 首先，我们采用“双闭区间”表示法，在数组 `nums` 中查找目标元素 `target` 的对应索引。
 
@@ -102,88 +100,7 @@ $$
     [class]{}-[func]{binarySearch}
     ```
 
-### “左闭右开”实现
+需要注意的是，**当数组长度非常大时，加法 $i + j$ 的结果可能会超出 `int` 类型的取值范围**。在这种情况下，我们需要采用一种更安全的计算中点的方法。
-
-此外，我们也可以采用“左闭右开”的表示法，编写具有相同功能的二分查找代码。
-
-=== "Java"
-
-    ```java title="binary_search.java"
-    [class]{binary_search}-[func]{binarySearch1}
-    ```
-
-=== "C++"
-
-    ```cpp title="binary_search.cpp"
-    [class]{}-[func]{binarySearch1}
-    ```
-
-=== "Python"
-
-    ```python title="binary_search.py"
-    [class]{}-[func]{binary_search1}
-    ```
-
-=== "Go"
-
-    ```go title="binary_search.go"
-    [class]{}-[func]{binarySearch1}
-    ```
-
-=== "JavaScript"
-
-    ```javascript title="binary_search.js"
-    [class]{}-[func]{binarySearch1}
-    ```
-
-=== "TypeScript"
-
-    ```typescript title="binary_search.ts"
-    [class]{}-[func]{binarySearch1}
-    ```
-
-=== "C"
-
-    ```c title="binary_search.c"
-    [class]{}-[func]{binarySearch1}
-    ```
-
-=== "C#"
-
-    ```csharp title="binary_search.cs"
-    [class]{binary_search}-[func]{binarySearch1}
-    ```
-
-=== "Swift"
-
-    ```swift title="binary_search.swift"
-    [class]{}-[func]{binarySearch1}
-    ```
-
-=== "Zig"
-
-    ```zig title="binary_search.zig"
-    [class]{}-[func]{binarySearch1}
-    ```
-
-### 两种表示对比
-
-对比这两种代码写法，我们可以发现以下不同点：
-
-<div class="center-table" markdown>
-
-| 表示方法            | 初始化指针          | 缩小区间                  | 循环终止条件 |
-| ------------------- | ------------------- | ------------------------- | ------------ |
-| 双闭区间 $[0, n-1]$ | $i = 0$ , $j = n-1$ | $i = m + 1$ , $j = m - 1$ | $i > j$      |
-| 左闭右开 $[0, n)$   | $i = 0$ , $j = n$   | $i = m + 1$ , $j = m$     | $i = j$      |
-
-</div>
-
-在“双闭区间”表示法中，由于对左右两边界的定义相同，因此缩小区间的 $i$ 和 $j$ 的处理方法也是对称的，这样更不容易出错。因此，**建议采用“双闭区间”的写法**。
-
-### 大数越界处理
-
-当数组长度非常大时，加法 $i + j$ 的结果可能会超出 `int` 类型的取值范围。在这种情况下，我们需要采用一种更安全的计算中点的方法。
 
 === "Java"
 
@@ -267,6 +184,83 @@ $$
 
     ```
 
+## 左闭右开实现
+
+我们可以采用“左闭右开”的表示法，编写具有相同功能的二分查找代码。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="binary_search.java"
+    [class]{binary_search}-[func]{binarySearch1}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="binary_search.cpp"
+    [class]{}-[func]{binarySearch1}
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="binary_search.py"
+    [class]{}-[func]{binary_search1}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="binary_search.go"
+    [class]{}-[func]{binarySearch1}
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```javascript title="binary_search.js"
+    [class]{}-[func]{binarySearch1}
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="binary_search.ts"
+    [class]{}-[func]{binarySearch1}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="binary_search.c"
+    [class]{}-[func]{binarySearch1}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="binary_search.cs"
+    [class]{binary_search}-[func]{binarySearch1}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="binary_search.swift"
+    [class]{}-[func]{binarySearch1}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="binary_search.zig"
+    [class]{}-[func]{binarySearch1}
+    ```
+
+对比这两种代码写法，我们可以发现以下不同点：
+
+<div class="center-table" markdown>
+
+| 表示方法            | 初始化指针          | 缩小区间                  | 循环终止条件 |
+| ------------------- | ------------------- | ------------------------- | ------------ |
+| 双闭区间 $[0, n-1]$ | $i = 0$ , $j = n-1$ | $i = m + 1$ , $j = m - 1$ | $i > j$      |
+| 左闭右开 $[0, n)$   | $i = 0$ , $j = n$   | $i = m + 1$ , $j = m$     | $i = j$      |
+
+</div>
+
+在“双闭区间”表示法中，由于对左右两边界的定义相同，因此缩小区间的 $i$ 和 $j$ 的处理方法也是对称的，这样更不容易出错。因此，**建议采用“双闭区间”的写法**。
+
 ## 复杂度分析
 
 **时间复杂度 $O(\log n)$** ：其中 $n$ 为数组长度；每轮排除一半的区间，因此循环轮数为 $\log_2 n$ ，使用 $O(\log n)$ 时间。

docs/chapter_computational_complexity/space_complexity.md

@@ -961,3 +961,11 @@ $$
 例如“归并排序”算法，输入长度为 $n$ 的数组，每轮递归将数组从中点划分为两半，形成高度为 $\log n$ 的递归树，使用 $O(\log n)$ 栈帧空间。
 
 再例如“数字转化为字符串”，输入任意正整数 $n$ ，它的位数为 $\log_{10} n$ ，即对应字符串长度为 $\log_{10} n$ ，因此空间复杂度为 $O(\log_{10} n) = O(\log n)$ 。
+
+## 权衡时间与空间
+
+理想情况下，我们希望算法的时间复杂度和空间复杂度都能达到最优。然而在实际情况中，同时优化时间复杂度和空间复杂度通常是非常困难的。
+
+**降低时间复杂度通常需要以提升空间复杂度为代价，反之亦然**。我们将牺牲内存空间来提升算法运行速度的思路称为“以空间换时间”；反之，则称为“以时间换空间”。
+
+选择哪种思路取决于我们更看重哪个方面。在大多数情况下，时间比空间更宝贵，因此以空间换时间通常是更常用的策略。当然，在数据量很大的情况下，控制空间复杂度也是非常重要的。

docs/chapter_computational_complexity/summary.md

@@ -1,12 +1,12 @@
 # 小结
 
-### 算法效率评估
+**算法效率评估**
 
 - 时间效率和空间效率是评价算法性能的两个关键维度。
 - 我们可以通过实际测试来评估算法效率，但难以消除测试环境的影响，且会耗费大量计算资源。
 - 复杂度分析可以克服实际测试的弊端，分析结果适用于所有运行平台，并且能够揭示算法在不同数据规模下的效率。
 
-### 时间复杂度
+**时间复杂度**
 
 - 时间复杂度用于衡量算法运行时间随数据量增长的趋势，可以有效评估算法效率，但在某些情况下可能失效，如在输入数据量较小或时间复杂度相同时，无法精确对比算法效率的优劣。
 - 最差时间复杂度使用大 $O$ 符号表示，即函数渐近上界，反映当 $n$ 趋向正无穷时，$T(n)$ 的增长级别。
@@ -15,7 +15,7 @@
 - 某些算法的时间复杂度非固定，而是与输入数据的分布有关。时间复杂度分为最差、最佳、平均时间复杂度，最佳时间复杂度几乎不用，因为输入数据一般需要满足严格条件才能达到最佳情况。
 - 平均时间复杂度反映算法在随机数据输入下的运行效率，最接近实际应用中的算法性能。计算平均时间复杂度需要统计输入数据分布以及综合后的数学期望。
 
-### 空间复杂度
+**空间复杂度**
 
 - 类似于时间复杂度，空间复杂度用于衡量算法占用空间随数据量增长的趋势。
 - 算法运行过程中的相关内存空间可分为输入空间、暂存空间、输出空间。通常情况下，输入空间不计入空间复杂度计算。暂存空间可分为指令空间、数据空间、栈帧空间，其中栈帧空间通常仅在递归函数中影响空间复杂度。

docs/chapter_hashing/hash_map.md

@@ -6,24 +6,17 @@
 
 ![哈希表的抽象表示](hash_map.assets/hash_map.png)
 
-## 哈希表效率
+除哈希表外，我们还可以使用数组或链表实现查询功能，各项操作的时间复杂度如下表所示。
 
-除哈希表外，还可以使用以下数据结构来实现上述查询功能：
+在哈希表中增删查改的时间复杂度都是 $O(1)$ ，全面胜出！因此，哈希表常用于对查找效率要求较高的场景。
-
-1. **无序数组**：每个元素为  `[学号, 姓名]` ；
-2. **有序数组**：将 `1.` 中的数组按照学号从小到大排序；
-3. **链表**：每个节点的值为 `[学号, 姓名]` ；
-4. **二叉搜索树**：每个节点的值为 `[学号, 姓名]` ，根据学号大小来构建树；
-
-各项操作的时间复杂度如下表所示（详解可见[二叉搜索树章节](https://www.hello-algo.com/chapter_tree/binary_search_tree/)）。无论是查找元素还是增删元素，哈希表的时间复杂度都是 $O(1)$ ，全面胜出！
 
 <div class="center-table" markdown>
 
-|          | 无序数组 | 有序数组    | 链表   | 二叉搜索树  | 哈希表 |
+|          | 数组   | 链表   | 哈希表 |
-| -------- | -------- | ----------- | ------ | ----------- | ------ |
+| -------- | ------ | ------ | ------ |
-| 查找元素 | $O(n)$   | $O(\log n)$ | $O(n)$ | $O(\log n)$ | $O(1)$ |
+| 查找元素 | $O(n)$ | $O(n)$ | $O(1)$ |
-| 插入元素 | $O(1)$   | $O(n)$      | $O(1)$ | $O(\log n)$ | $O(1)$ |
+| 插入元素 | $O(1)$ | $O(1)$ | $O(1)$ |
-| 删除元素 | $O(n)$   | $O(n)$      | $O(n)$ | $O(\log n)$ | $O(1)$ |
+| 删除元素 | $O(n)$ | $O(n)$ | $O(1)$ |
 
 </div>
 

docs/chapter_searching/hashing_search.md

@@ -1,152 +0,0 @@
-# 哈希查找
-
-「哈希查找 Hash Searching」通过使用哈希表来存储所需的键值对，从而可在 $O(1)$ 时间内完成“键 $\rightarrow$ 值”的查找操作。
-
-与线性查找相比，哈希查找通过利用额外空间来提高效率，体现了“以空间换时间”的算法思想。
-
-## 算法实现
-
-例如，若我们想要在给定数组中找到目标元素 `target` 的索引，则可以使用哈希查找来实现。
-
-![哈希查找数组索引](hashing_search.assets/hash_search_index.png)
-
-=== "Java"
-
-    ```java title="hashing_search.java"
-    [class]{hashing_search}-[func]{hashingSearchArray}
-    ```
-
-=== "C++"
-
-    ```cpp title="hashing_search.cpp"
-    [class]{}-[func]{hashingSearchArray}
-    ```
-
-=== "Python"
-
-    ```python title="hashing_search.py"
-    [class]{}-[func]{hashing_search_array}
-    ```
-
-=== "Go"
-
-    ```go title="hashing_search.go"
-    [class]{}-[func]{hashingSearchArray}
-    ```
-
-=== "JavaScript"
-
-    ```javascript title="hashing_search.js"
-    [class]{}-[func]{hashingSearchArray}
-    ```
-
-=== "TypeScript"
-
-    ```typescript title="hashing_search.ts"
-    [class]{}-[func]{hashingSearchArray}
-    ```
-
-=== "C"
-
-    ```c title="hashing_search.c"
-    [class]{}-[func]{hashingSearchArray}
-    ```
-
-=== "C#"
-
-    ```csharp title="hashing_search.cs"
-    [class]{hashing_search}-[func]{hashingSearchArray}
-    ```
-
-=== "Swift"
-
-    ```swift title="hashing_search.swift"
-    [class]{}-[func]{hashingSearchArray}
-    ```
-
-=== "Zig"
-
-    ```zig title="hashing_search.zig"
-    [class]{}-[func]{hashingSearchArray}
-    ```
-
-同样，若要根据目标节点值 target 查找对应的链表节点对象，也可以采用哈希查找方法。
-
-![哈希查找链表节点](hashing_search.assets/hash_search_listnode.png)
-
-=== "Java"
-
-    ```java title="hashing_search.java"
-    [class]{hashing_search}-[func]{hashingSearchLinkedList}
-    ```
-
-=== "C++"
-
-    ```cpp title="hashing_search.cpp"
-    [class]{}-[func]{hashingSearchLinkedList}
-    ```
-
-=== "Python"
-
-    ```python title="hashing_search.py"
-    [class]{}-[func]{hashing_search_linkedlist}
-    ```
-
-=== "Go"
-
-    ```go title="hashing_search.go"
-    [class]{}-[func]{hashingSearchLinkedList}
-    ```
-
-=== "JavaScript"
-
-    ```javascript title="hashing_search.js"
-    [class]{}-[func]{hashingSearchLinkedList}
-    ```
-
-=== "TypeScript"
-
-    ```typescript title="hashing_search.ts"
-    [class]{}-[func]{hashingSearchLinkedList}
-    ```
-
-=== "C"
-
-    ```c title="hashing_search.c"
-    [class]{}-[func]{hashingSearchLinkedList}
-    ```
-
-=== "C#"
-
-    ```csharp title="hashing_search.cs"
-    [class]{hashing_search}-[func]{hashingSearchLinkedList}
-    ```
-
-=== "Swift"
-
-    ```swift title="hashing_search.swift"
-    [class]{}-[func]{hashingSearchLinkedList}
-    ```
-
-=== "Zig"
-
-    ```zig title="hashing_search.zig"
-    [class]{}-[func]{hashingSearchLinkedList}
-    ```
-
-## 复杂度分析
-
-**时间复杂度 $O(1)$** ：哈希表的查找操作使用 $O(1)$ 时间。
-
-**空间复杂度 $O(n)$** ：其中 $n$ 是数组或链表的长度。
-
-## 优点与局限性
-
-哈希查找的性能表现相当优秀，查找、插入、删除操作的平均时间复杂度均为 $O(1)$ 。尽管如此，哈希查找仍然存在一些问题：
-
-- 辅助哈希表需要占用 $O(n)$ 的额外空间，意味着需要预留更多的计算机内存；
-- 构建和维护哈希表需要时间，因此哈希查找不适用于高频增删、低频查找的场景；
-- 当哈希冲突严重时，哈希表可能退化为链表，导致时间复杂度劣化至 $O(n)$ ；
-- 当数据量较小时，线性查找可能比哈希查找更快。这是因为计算哈希函数可能比遍历一个小型数组更慢；
-
-因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况灵活选择解决方案。

docs/chapter_searching/linear_search.md

@@ -1,143 +0,0 @@
-# 线性查找
-
-「线性查找 Linear Search」是一种简单的查找方法，其从数据结构的一端开始，逐个访问每个元素，直至另一端为止。
-
-## 算法实现
-
-例如，若我们想要在数组 `nums` 中查找目标元素 `target` 的对应索引，可以采用线性查找方法。
-
-![在数组中线性查找元素](linear_search.assets/linear_search.png)
-
-=== "Java"
-
-    ```java title="linear_search.java"
-    [class]{linear_search}-[func]{linearSearchArray}
-    ```
-
-=== "C++"
-
-    ```cpp title="linear_search.cpp"
-    [class]{}-[func]{linearSearchArray}
-    ```
-
-=== "Python"
-
-    ```python title="linear_search.py"
-    [class]{}-[func]{linear_search_array}
-    ```
-
-=== "Go"
-
-    ```go title="linear_search.go"
-    [class]{}-[func]{linearSearchArray}
-    ```
-
-=== "JavaScript"
-
-    ```javascript title="linear_search.js"
-    [class]{}-[func]{linearSearchArray}
-    ```
-
-=== "TypeScript"
-
-    ```typescript title="linear_search.ts"
-    [class]{}-[func]{linearSearchArray}
-    ```
-
-=== "C"
-
-    ```c title="linear_search.c"
-    [class]{}-[func]{linearSearchArray}
-    ```
-
-=== "C#"
-
-    ```csharp title="linear_search.cs"
-    [class]{linear_search}-[func]{linearSearchArray}
-    ```
-
-=== "Swift"
-
-    ```swift title="linear_search.swift"
-    [class]{}-[func]{linearSearchArray}
-    ```
-
-=== "Zig"
-
-    ```zig title="linear_search.zig"
-    [class]{}-[func]{linearSearchArray}
-    ```
-
-另一个例子，若需要在链表中查找给定目标节点值 `target` 并返回该节点对象，同样可以使用线性查找。
-
-=== "Java"
-
-    ```java title="linear_search.java"
-    [class]{linear_search}-[func]{linearSearchLinkedList}
-    ```
-
-=== "C++"
-
-    ```cpp title="linear_search.cpp"
-    [class]{}-[func]{linearSearchLinkedList}
-    ```
-
-=== "Python"
-
-    ```python title="linear_search.py"
-    [class]{}-[func]{linear_search_linkedlist}
-    ```
-
-=== "Go"
-
-    ```go title="linear_search.go"
-    [class]{}-[func]{linearSearchLinkedList}
-    ```
-
-=== "JavaScript"
-
-    ```javascript title="linear_search.js"
-    [class]{}-[func]{linearSearchLinkedList}
-    ```
-
-=== "TypeScript"
-
-    ```typescript title="linear_search.ts"
-    [class]{}-[func]{linearSearchLinkedList}
-    ```
-
-=== "C"
-
-    ```c title="linear_search.c"
-    [class]{}-[func]{linearSearchLinkedList}
-    ```
-
-=== "C#"
-
-    ```csharp title="linear_search.cs"
-    [class]{linear_search}-[func]{linearSearchLinkedList}
-    ```
-
-=== "Swift"
-
-    ```swift title="linear_search.swift"
-    [class]{}-[func]{linearSearchLinkedList}
-    ```
-
-=== "Zig"
-
-    ```zig title="linear_search.zig"
-    [class]{}-[func]{linearSearchLinkedList}
-    ```
-
-## 复杂度分析
-
-**时间复杂度 $O(n)$** ：其中 $n$ 代表数组或链表的长度。
-
-**空间复杂度 $O(1)$** ：无需借助额外的存储空间。
-
-## 优点与局限性
-
-**线性查找具有极佳的通用性**。由于线性查找是逐个访问元素的，没有跳跃式访问，因此适用于数组和链表的查找。
-
-**线性查找的时间复杂度较高**。当数据量 $n$ 较大时，线性查找的效率较低。

docs/chapter_searching/replace_linear_by_hashing.md

@@ -1,14 +1,6 @@
-# 权衡时间与空间
+# 哈希优化策略
 
-理想情况下，我们希望算法的时间复杂度和空间复杂度都能达到最优。然而在实际情况中，同时优化时间复杂度和空间复杂度通常是非常困难的。
+在算法题中，**我们时常通过将线性查找替换为哈希查找来降低算法的时间复杂度**。以 LeetCode 全站第一题 [两数之和](https://leetcode.cn/problems/two-sum/) 为例。
-
-**降低时间复杂度通常需要以提升空间复杂度为代价，反之亦然**。我们将牺牲内存空间来提升算法运行速度的思路称为「以空间换时间」；反之，则称之为「以时间换空间」。
-
-选择哪种思路取决于我们更看重哪个方面。在大多数情况下，时间比空间更宝贵，因此以空间换时间通常是更常用的策略。当然，在数据量很大的情况下，控制空间复杂度也是非常重要的。
-
-## 示例题目 *
-
-以 LeetCode 全站第一题 [两数之和](https://leetcode.cn/problems/two-sum/) 为例。
 
 !!! question "两数之和"
 
@@ -18,11 +10,11 @@
 
     你可以按任意顺序返回答案。
 
-「暴力枚举」和「辅助哈希表」分别对应“空间最优”和“时间最优”的两种解法。遵循时间比空间更宝贵的原则，后者是本题的最佳解法。
+## 线性查找：以时间换空间
 
-### 方法一：暴力枚举
+考虑直接遍历所有可能的组合。开启一个两层循环，在每轮中判断两个整数的和是否为 `target` ，若是，则返回它们的索引。
 
-考虑直接遍历所有可能的组合。通过开启一个两层循环，判断两个整数的和是否为 `target` ，若是，则返回它们的索引（即下标）。
+（图）
 
 === "Java"
 
@@ -84,15 +76,17 @@
     [class]{}-[func]{twoSumBruteForce}
     ```
 
-该方法的时间复杂度为 $O(n^2)$ ，空间复杂度为 $O(1)$ ，**属于以时间换空间**。此方法时间复杂度太高，在大数据量下非常耗时。
+此方法的时间复杂度为 $O(n^2)$ ，空间复杂度为 $O(1)$ ，在大数据量下非常耗时。
 
-### 方法二：辅助哈希表
+## 哈希查找：以空间换时间
 
-考虑借助一个哈希表，key-value 分别为数组元素和元素索引。循环遍历数组中的每个元素 num，并执行：
+考虑借助一个哈希表，将数组元素和元素索引构建为键值对。循环遍历数组中的每个元素 `num` 并执行：
 
 1. 判断数字 `target - num` 是否在哈希表中，若是则直接返回该两个元素的索引；
 2. 将元素 `num` 和其索引添加进哈希表；
 
+（图）
+
 === "Java"
 
     ```java title="leetcode_two_sum.java"
@@ -153,4 +147,6 @@
     [class]{}-[func]{twoSumHashTable}
     ```
 
-该方法的时间复杂度为 $O(N)$ ，空间复杂度为 $O(N)$ ，**体现了以空间换时间**。尽管此方法引入了额外的空间使用，但在时间和空间的整体效率更为均衡，因此它是本题的最优解法。
+此方法通过哈希查找将时间复杂度从 $O(n^2)$ 降低至 $O(n)$ ，大幅提升运行效率。
+
+由于需要维护一个额外的哈希表，因此空间复杂度为 $O(n)$ 。**尽管如此，该方法的整体时空效率更为均衡，因此它是本题的最优解法**。

docs/chapter_searching/searching_algorithm_revisited.md

@@ -0,0 +1,81 @@
+# 搜索算法
+
+「搜索算法 Searching Algorithm」用于在数据结构（例如数组、链表、树或图）中搜索一个或一组满足特定条件的元素。
+
+我们已经学过数组、链表、树和图的遍历方法，也学过哈希表、二叉搜索树等可用于实现查询的复杂数据结构。因此，搜索算法对于我们来说并不陌生。在本节，我们将从更加系统的视角切入，重新审视搜索算法。
+
+## 暴力搜索
+
+暴力搜索通过遍历数据结构的每个元素来定位目标元素。
+
+- 「线性搜索」适用于数组和链表等线性数据结构。它从数据结构的一端开始，逐个访问元素，直到找到目标元素或到达另一端仍没有找到目标元素为止。
+- 「广度优先搜索」和「深度优先搜索」是图和树的两种遍历策略。广度优先搜索从初始节点开始逐层搜索，由近及远地访问各个节点。深度优先搜索是从初始节点开始，沿着一条路径走到头为止，再回溯并尝试其他路径，直到遍历完整个数据结构。
+
+暴力搜索的优点是简单且通用性好，**无需对数据做预处理和借助额外的数据结构**。
+
+然而，**此类算法的时间复杂度为 $O(n)$** ，其中 $n$ 为元素数量，因此在数据量较大的情况下性能较差。
+
+## 自适应搜索
+
+自适应搜索利用数据的特有属性（例如有序性）来优化搜索过程，从而更高效地定位目标元素。
+
+- 「二分查找」利用数据的有序性实现高效查找，仅适用于数组。
+- 「哈希查找」利用哈希表将搜索数据和目标数据建立为键值对映射，从而实现查询操作。
+- 「树查找」在特定的树结构（例如二叉搜索树）中，基于比较节点值来快速排除节点，从而定位目标元素。
+
+此类算法的优点是效率高，**时间复杂度可达到 $O(\log n)$ 甚至 $O(1)$** 。
+
+然而，**使用这些算法往往需要对数据进行预处理**。例如，二分查找需要预先对数组进行排序，哈希查找和树查找都需要借助额外的数据结构，维护这些数据结构也需要额外的时间和空间开支。
+
+!!! note
+
+    自适应搜索算法常被称为查找算法，**主要关注在特定数据结构中快速检索目标元素**。
+
+## 搜索方法选取
+
+给定大小为 $n$ 的一组数据，我们可以使用线性搜索、二分查找、树查找、哈希查找等多种方法在该数据中搜索目标元素。各个方法的工作原理如下图所示。
+
+![多种搜索策略](searching_algorithm_revisited.assets/searching_algorithms.png)
+
+上述几种方法的操作效率与特性如下表所示。
+
+<div class="center-table" markdown>
+
+|              | 线性搜索 | 二分查找           | 树查找             | 哈希查找        |
+| ------------ | -------- | ------------------ | ------------------ | --------------- |
+| 查找元素     | $O(n)$   | $O(\log n)$        | $O(\log n)$        | $O(1)$          |
+| 插入元素     | $O(1)$   | $O(n)$             | $O(\log n)$        | $O(1)$          |
+| 删除元素     | $O(n)$   | $O(n)$             | $O(\log n)$        | $O(1)$          |
+| 额外空间     | $O(1)$   | $O(1)$             | $O(n)$             | $O(n)$          |
+| 数据预处理   | /        | 排序 $O(n \log n)$ | 建树 $O(n \log n)$ | 建哈希表 $O(n)$ |
+| 数据是否有序 | 无序     | 有序               | 有序               | 无序            |
+
+</div>
+
+除了以上表格内容，搜索算法的选择还取决于数据体量、搜索性能要求、数据查询与更新频率等。
+
+**线性搜索**
+
+- 通用性较好，无需任何数据预处理操作。加入我们仅需查询一次数据，那么其他三种方法的数据预处理的时间比线性搜索的时间还要更长。
+- 适用于体量较小的数据，此情况下时间复杂度对效率影响较小。
+- 适用于数据更新频率较高的场景，因为该方法不需要对数据进行任何额外维护。
+
+**二分查找**
+
+- 适用于大数据量的情况，效率表现稳定，最差时间复杂度为 $O(\log n)$ 。
+- 数据量不能过大，因为存储数组需要连续的内存空间。
+- 不适用于高频增删数据的场景，因为维护有序数组的开销较大。
+
+**哈希查找**
+
+- 适合对查询性能要求很高的场景，平均时间复杂度为 $O(1)$ 。
+- 不适合需要有序数据或范围查找的场景，因为哈希表无法维护数据的有序性。
+- 对哈希函数和哈希冲突处理策略的依赖性较高，具有较大的性能劣化风险。
+- 不适合数据量过大的情况，因为哈希表需要额外空间来最大程度地减少冲突，从而提供良好的查询性能。
+
+**树查找**
+
+- 适用于海量数据，因为树节点在内存中是离散存储的。
+- 适合需要维护有序数据或范围查找的场景。
+- 在持续增删节点的过程中，二叉搜索树可能产生倾斜，时间复杂度劣化至 $O(n)$ 。
+- 若使用 AVL 树或红黑树，则各项操作可在 $O(\log n)$ 效率下稳定运行，但维护树平衡的操作会增加额外开销。

docs/chapter_searching/summary.md

@@ -1,16 +1,8 @@
 # 小结
 
-- 线性查找通过遍历数据结构并进行条件判断来完成查找任务。
 - 二分查找依赖于数据的有序性，通过循环逐步缩减一半搜索区间来实现查找。它要求输入数据有序，且仅适用于数组或基于数组实现的数据结构。
-- 哈希查找利用哈希表实现常数阶时间复杂度的查找操作，体现了空间换时间的算法思维。
+- 暴力搜索通过遍历数据结构来定位数据。线性搜索适用于数组和链表，广度优先搜索和深度优先搜索适用于图和树。此类算法通用性好，无需对数据预处理，但时间复杂度 $O(n)$ 较高。
-- 下表概括并对比了三种查找算法的特性和时间复杂度。
+- 哈希查找、树查找和二分查找属于高效搜索方法，可在特定数据结构中快速定位目标元素。此类算法效率高，时间复杂度可达 $O(\log n)$ 甚至 $O(1)$ ，但通常需要借助额外数据结构。
-
+- 实际中，我们需要对数据体量、搜索性能要求、数据查询和更新频率等因素进行具体分析，从而选择合适的搜索方法。
-<div class="center-table" markdown>
+- 线性搜索适用于小型或频繁更新的数据；二分查找适用于大型、排序的数据；哈希查找适合对查询效率要求较高且无需范围查询的数据；树查找适用于需要维护顺序和支持范围查询的大型动态数据。
-
+- 用哈希查找替换线性查找是一种常用的优化运行时间的策略，可将时间复杂度从 $O(n)$ 降低至 $O(1)$ 。 
-|                                       | 线性查找                 | 二分查找                      | 哈希查找                 |
-| ------------------------------------- | ------------------------ | ----------------------------- | ------------------------ |
-| 适用数据结构                           | 数组、链表               | 有序数组                          | 数组、链表               |
-| 时间复杂度</br>（查找，插入，删除）        | $O(n)$ , $O(1)$ , $O(n)$ | $O(\log n)$ , $O(n)$ , $O(n)$ | $O(1)$ , $O(1)$ , $O(1)$ |
-| 空间复杂度                             | $O(1)$                   | $O(1)$                        | $O(n)$                   |
-
-</div>

docs/chapter_tree/binary_search_tree.md

@@ -268,36 +268,21 @@
 
 ## 二叉搜索树的效率
 
-假设给定 $n$ 个数字，最常见的存储方式是「数组」。对于这串乱序的数字，常见操作的效率如下：
+给定一组数据，我们考虑使用数组或二叉搜索树存储。
 
-- **查找元素**：由于数组是无序的，因此需要遍历数组来确定，使用 $O(n)$ 时间；
+观察可知，二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，具有稳定且高效的性能表现。只有在高频添加、低频查找删除的数据适用场景下，数组比二叉搜索树的效率更高。
-- **插入元素**：只需将元素添加至数组尾部即可，使用 $O(1)$ 时间；
-- **删除元素**：先查找元素，使用 $O(n)$ 时间，再在数组中删除该元素，使用 $O(n)$ 时间；
-- **获取最小 / 最大元素**：需要遍历数组来确定，使用 $O(n)$ 时间；
-
-为了获得先验信息，我们可以预先将数组元素进行排序，得到一个「排序数组」。此时操作效率如下：
-
-- **查找元素**：由于数组已排序，可以使用二分查找，平均使用 $O(\log n)$ 时间；
-- **插入元素**：先查找插入位置，使用 $O(\log n)$ 时间，再插入到指定位置，使用 $O(n)$ 时间；
-- **删除元素**：先查找元素，使用 $O(\log n)$ 时间，再在数组中删除该元素，使用 $O(n)$ 时间；
-- **获取最小 / 最大元素**：数组头部和尾部元素即是最小和最大元素，使用 $O(1)$ 时间；
-
-观察可知，无序数组和有序数组中的各项操作的时间复杂度呈现“偏科”的特点，即有的快有的慢。**然而，二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，在数据量 $n$ 较大时具有显著优势**。
 
 <div class="center-table" markdown>
 
-|                     | 无序数组 | 有序数组    | 二叉搜索树  |
+|          | 无序数组 | 二叉搜索树  |
-| ------------------- | -------- | ----------- | ----------- |
+| -------- | -------- | ----------- |
-| 查找指定元素        | $O(n)$   | $O(\log n)$ | $O(\log n)$ |
+| 查找元素 | $O(n)$   | $O(\log n)$ |
-| 插入元素            | $O(1)$   | $O(n)$      | $O(\log n)$ |
+| 插入元素 | $O(1)$   | $O(\log n)$ |
-| 删除元素            | $O(n)$   | $O(n)$      | $O(\log n)$ |
+| 删除元素 | $O(n)$   | $O(\log n)$ |
-| 获取最小 / 最大元素 | $O(n)$   | $O(1)$      | $O(\log n)$ |
 
 </div>
 
-## 二叉搜索树的退化
+在理想情况下，二叉搜索树是“平衡”的，这样就可以在 $\log n$ 轮循环内查找任意节点。
-
-在理想情况下，我们希望二叉搜索树是“平衡”的，这样就可以在 $\log n$ 轮循环内查找任意节点。
 
 然而，如果我们在二叉搜索树中不断地插入和删除节点，可能导致二叉树退化为链表，这时各种操作的时间复杂度也会退化为 $O(n)$ 。
 

mkdocs.yml

@@ -136,8 +136,7 @@ nav:
     - 2.1.   算法效率评估: chapter_computational_complexity/performance_evaluation.md
     - 2.2.   时间复杂度: chapter_computational_complexity/time_complexity.md
     - 2.3.   空间复杂度: chapter_computational_complexity/space_complexity.md
-    - 2.4.   权衡时间与空间: chapter_computational_complexity/space_time_tradeoff.md
+    - 2.4.   小结: chapter_computational_complexity/summary.md
-    - 2.5.   小结: chapter_computational_complexity/summary.md
   - 3.     数据结构简介:
     - 3.1.   数据与内存: chapter_data_structure/data_and_memory.md
     - 3.2.   数据结构分类: chapter_data_structure/classification_of_data_structure.md
@@ -152,44 +151,45 @@ nav:
     - 5.2.   队列: chapter_stack_and_queue/queue.md
     - 5.3.   双向队列: chapter_stack_and_queue/deque.md
     - 5.4.   小结: chapter_stack_and_queue/summary.md
-  - 6.     散列表:
+  - 6.     二分查找:
-    - 6.1.   哈希表: chapter_hashing/hash_map.md
+    - 6.1.   二分查找: chapter_binary_search/binary_search.md
-    - 6.2.   哈希冲突处理: chapter_hashing/hash_collision.md
+  - 7.     散列表:
-    - 6.3.   小结: chapter_hashing/summary.md
+    - 7.1.   哈希表: chapter_hashing/hash_map.md
-  - 7.     树:
+    - 7.2.   哈希冲突处理: chapter_hashing/hash_collision.md
-    - 7.1.   二叉树: chapter_tree/binary_tree.md
+    - 7.3.   小结: chapter_hashing/summary.md
-    - 7.2.   二叉树遍历: chapter_tree/binary_tree_traversal.md
+  - 8.     树:
-    - 7.3.   二叉搜索树: chapter_tree/binary_search_tree.md
+    - 8.1.   二叉树: chapter_tree/binary_tree.md
-    - 7.4.   AVL 树 *: chapter_tree/avl_tree.md
+    - 8.2.   二叉树遍历: chapter_tree/binary_tree_traversal.md
-    - 7.5.   小结: chapter_tree/summary.md
+    - 8.3.   二叉搜索树: chapter_tree/binary_search_tree.md
-  - 8.     堆:
+    - 8.4.   AVL 树 *: chapter_tree/avl_tree.md
-    - 8.1.   堆: chapter_heap/heap.md
+    - 8.5.   小结: chapter_tree/summary.md
-    - 8.2.   建堆操作 *: chapter_heap/build_heap.md
+  - 9.     堆:
-    - 8.3.   小结: chapter_heap/summary.md
+    - 9.1.   堆: chapter_heap/heap.md
-  - 9.     图:
+    - 9.2.   建堆操作 *: chapter_heap/build_heap.md
-    - 9.1.   图: chapter_graph/graph.md
+    - 9.3.   小结: chapter_heap/summary.md
-    - 9.2.   图基础操作: chapter_graph/graph_operations.md
+  - 10.     图:
-    - 9.3.   图的遍历: chapter_graph/graph_traversal.md
+    - 10.1.   图: chapter_graph/graph.md
-    - 9.4.   小结: chapter_graph/summary.md
+    - 10.2.   图基础操作: chapter_graph/graph_operations.md
-  - 10.     查找算法:
+    - 10.3.   图的遍历: chapter_graph/graph_traversal.md
-    - 10.1.   线性查找: chapter_searching/linear_search.md
+    - 10.4.   小结: chapter_graph/summary.md
-    - 10.2.   二分查找: chapter_searching/binary_search.md
-    - 10.3.   哈希查找: chapter_searching/hashing_search.md
-    - 10.4.   小结: chapter_searching/summary.md
   - 11.     排序算法:
     - 11.1.   排序算法: chapter_sorting/sorting_algorithm.md
     - 11.2.   冒泡排序: chapter_sorting/bubble_sort.md
     - 11.3.   插入排序: chapter_sorting/insertion_sort.md
     - 11.4.   快速排序: chapter_sorting/quick_sort.md
     - 11.5.   归并排序: chapter_sorting/merge_sort.md
-    - 11.6.   桶排序（New）: chapter_sorting/bucket_sort.md
+    - 11.6.   桶排序: chapter_sorting/bucket_sort.md
-    - 11.7.   计数排序（New）: chapter_sorting/counting_sort.md
+    - 11.7.   计数排序: chapter_sorting/counting_sort.md
-    - 11.8.   基数排序（New）: chapter_sorting/radix_sort.md
+    - 11.8.   基数排序: chapter_sorting/radix_sort.md
     - 11.9.   小结: chapter_sorting/summary.md
-  - 12.     回溯算法:
+  - 12.     搜索算法:
-    - 12.1.   回溯算法（New）: chapter_backtracking/backtracking_algorithm.md
+    - 12.1.   搜索算法（New）: chapter_searching/searching_algorithm_revisited.md
-  - 13.     附录:
+    - 12.2.   哈希优化策略: chapter_searching/replace_linear_by_hashing.md
-    - 13.1.   编程环境安装: chapter_appendix/installation.md
+    - 12.3.   小结: chapter_searching/summary.md
-    - 13.2.   一起参与创作: chapter_appendix/contribution.md
+  - 13.     回溯算法:
+    - 13.1.   回溯算法（New）: chapter_backtracking/backtracking_algorithm.md
+  - 14.     附录:
+    - 14.1.   编程环境安装: chapter_appendix/installation.md
+    - 14.2.   一起参与创作: chapter_appendix/contribution.md
   - 参考文献:
     - chapter_reference/index.md