feat: Add the section of n queens problem (#483)

* Add the section of n queens problem

* Update n_queens.py

* Update n_queens.java

* Update n_queens.cpp

* Update n_queens.java

codes/cpp/chapter_backtracking/n_queens.cpp

@@ -0,0 +1,65 @@
+/**
+ * File: n_queens.cpp
+ * Created Time: 2023-05-04
+ * Author: Krahets (krahets@163.com)
+ */
+
+#include "../utils/common.hpp"
+
+/* 回溯算法：N 皇后 */
+void backtrack(int row, int n, vector<vector<string>> &state, vector<vector<vector<string>>> &res, vector<bool> &cols,
+               vector<bool> &diags1, vector<bool> &diags2) {
+    // 当放置完所有行时，记录解
+    if (row == n) {
+        res.push_back(state);
+        return;
+    }
+    // 遍历所有列
+    for (int col = 0; col < n; col++) {
+        // 计算该格子对应的主对角线和副对角线
+        int diag1 = row - col + n - 1;
+        int diag2 = row + col;
+        // 剪枝：不允许该格子所在 (列 或 主对角线 或 副对角线) 包含皇后
+        if (!(cols[col] || diags1[diag1] || diags2[diag2])) {
+            // 尝试：将皇后放置在该格子
+            state[row][col] = "Q";
+            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = true;
+            // 放置下一行
+            backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2);
+            // 回退：将该格子恢复为空位
+            state[row][col] = "#";
+            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = false;
+        }
+    }
+}
+
+/* 求解 N 皇后 */
+vector<vector<vector<string>>> nQueens(int n) {
+    // 初始化 n*n 大小的棋盘，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
+    vector<vector<string>> state(n, vector<string>(n, "#"));
+    vector<bool> cols(n, false);           // 记录列是否有皇后
+    vector<bool> diags1(2 * n - 1, false); // 记录主对角线是否有皇后
+    vector<bool> diags2(2 * n - 1, false); // 记录副对角线是否有皇后
+    vector<vector<vector<string>>> res;
+
+    backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2);
+
+    return res;
+}
+
+/* Driver Code */
+int main() {
+    int n = 4;
+    vector<vector<vector<string>>> res = nQueens(n);
+
+    cout << "输入棋盘长宽为 " << n << endl;
+    cout << "皇后放置方案共有 " << res.size() << " 种" << endl;
+    for (const vector<vector<string>> &state : res) {
+        cout << "--------------------" << endl;
+        for (const vector<string> &row : state) {
+            printVector(row);
+        }
+    }
+
+    return 0;
+}

codes/java/chapter_backtracking/n_queens.java

@@ -0,0 +1,77 @@
+/**
+ * File: n_queens.java
+ * Created Time: 2023-05-04
+ * Author: Krahets (krahets@163.com)
+ */
+
+package chapter_backtracking;
+
+import java.util.*;
+
+public class n_queens {
+    /* 求解 N 皇后 */
+    public static List<List<List<String>>> nQueens(int n) {
+        // 初始化 n*n 大小的棋盘，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
+        List<List<String>> state = new ArrayList<>();
+        for (int i = 0; i < n; i++) {
+            List<String> row = new ArrayList<>();
+            for (int j = 0; j < n; j++) {
+                row.add("#");
+            }
+            state.add(row);
+        }
+        boolean[] cols = new boolean[n]; // 记录列是否有皇后
+        boolean[] diags1 = new boolean[2 * n - 1]; // 记录主对角线是否有皇后
+        boolean[] diags2 = new boolean[2 * n - 1]; // 记录副对角线是否有皇后
+        List<List<List<String>>> res = new ArrayList<>();
+
+        backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2);
+
+        return res;
+    }
+
+    /* 回溯算法：N 皇后 */
+    public static void backtrack(int row, int n, List<List<String>> state, List<List<List<String>>> res,
+            boolean[] cols, boolean[] diags1, boolean[] diags2) {
+        // 当放置完所有行时，记录解
+        if (row == n) {
+            List<List<String>> copyState = new ArrayList<>();
+            for (List<String> sRow : state) {
+                copyState.add(new ArrayList<>(sRow));
+            }
+            res.add(copyState);
+            return;
+        }
+        // 遍历所有列
+        for (int col = 0; col < n; col++) {
+            // 计算该格子对应的主对角线和副对角线
+            int diag1 = row - col + n - 1;
+            int diag2 = row + col;
+            // 剪枝：不允许该格子所在 (列 或 主对角线 或 副对角线) 包含皇后
+            if (!(cols[col] || diags1[diag1] || diags2[diag2])) {
+                // 尝试：将皇后放置在该格子
+                state.get(row).set(col, "Q");
+                cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = true;
+                // 放置下一行
+                backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2);
+                // 回退：将该格子恢复为空位
+                state.get(row).set(col, "#");
+                cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = false;
+            }
+        }
+    }
+
+    public static void main(String[] args) {
+        int n = 4;
+        List<List<List<String>>> res = nQueens(n);
+
+        System.out.println("输入棋盘长宽为 " + n);
+        System.out.println("皇后放置方案共有 " + res.size() + " 种");
+        for (List<List<String>> state : res) {
+            System.out.println("--------------------");
+            for (List<String> row : state) {
+                System.out.println(row);
+            }
+        }
+    }
+}

codes/python/chapter_backtracking/n_queens.py

@@ -0,0 +1,62 @@
+"""
+File: n_queens.py
+Created Time: 2023-04-26
+Author: Krahets (krahets@163.com)
+"""
+
+
+def backtrack(
+    row: int,
+    n: int,
+    state: list[list[str]],
+    res: list[list[list[str]]],
+    cols: list[bool],
+    diags1: list[bool],
+    diags2: list[bool],
+):
+    """回溯算法：N 皇后"""
+    # 当放置完所有行时，记录解
+    if row == n:
+        res.append([list(row) for row in state])
+        return
+    # 遍历所有列
+    for col in range(n):
+        # 计算该格子对应的主对角线和副对角线
+        diag1 = row - col + n - 1
+        diag2 = row + col
+        # 剪枝：不允许该格子所在 (列 或 主对角线 或 副对角线) 包含皇后
+        if not (cols[col] or diags1[diag1] or diags2[diag2]):
+            # 尝试：将皇后放置在该格子
+            state[row][col] = "Q"
+            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = True
+            # 放置下一行
+            backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2)
+            # 回退：将该格子恢复为空位
+            state[row][col] = "#"
+            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = False
+
+
+def n_queens(n: int) -> list[list[list[str]]]:
+    """求解 N 皇后"""
+    # 初始化 n*n 大小的棋盘，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
+    state = [["#" for _ in range(n)] for _ in range(n)]
+    cols = [False] * n  # 记录列是否有皇后
+    diags1 = [False] * (2 * n - 1)  # 记录主对角线是否有皇后
+    diags2 = [False] * (2 * n - 1)  # 记录副对角线是否有皇后
+    res = []
+    backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2)
+
+    return res
+
+
+"""Driver Code"""
+if __name__ == "__main__":
+    n = 4
+    res = n_queens(n)
+
+    print(f"输入棋盘长宽为 {n}")
+    print(f"皇后放置方案共有 {len(res)} 种")
+    for state in res:
+        print("--------------------")
+        for row in state:
+            print(row)

docs/chapter_backtracking/n_queens_problem.md

@@ -0,0 +1,115 @@
+# N 皇后问题
+
+!!! question "根据国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。给定 $n$ 个皇后和一个 $n \times n$ 大小的棋盘，寻找使得所有皇后之间无法相互攻击的摆放方案。"
+
+如下图所示，当 $n = 4$ 时，共可以找到两个解。从回溯算法的角度看，$n \times n$ 大小的棋盘共有 $n^2$ 个格子，给出了所有的选择 `choices` 。在逐个放置皇后的过程中，棋盘状态在不断地变化，每个时刻的棋盘就是状态 `state` 。
+
+![4 皇后问题的解](n_queens_problem.assets/solution_4_queens.png)
+
+本题共有三个约束条件：**多个皇后不能在同一行、同一列和同一对角线**。值得注意的是，对角线分为主对角线 `\` 和副对角线 `/` 两种。
+
+![n 皇后问题的约束条件](n_queens_problem.assets/n_queens_constraints.png)
+
+皇后的数量和棋盘的行数都为 $n$ ，因此我们容易得到第一个推论：**棋盘每行都允许且只允许放置一个皇后**。这意味着，我们可以采取逐行放置策略：从第一行开始，在每行放置一个皇后，直至最后一行结束。**此策略起到了剪枝的作用**，它避免了同一行出现多个皇后的所有搜索分支。
+
+下图展示了 $4$ 皇后问题的逐行放置过程。受篇幅限制，下图仅展开了第一行的一个搜索分支。在搜索过程中，我们将不满足列约束和对角线约束的方案都剪枝了。
+
+![逐行放置策略](n_queens_problem.assets/n_queens_placing.png)
+
+为了实现根据列约束剪枝，我们可以利用一个长度为 $n$ 的布尔型数组 `cols` 记录每一列是否有皇后。在每次决定放置前，我们通过 `cols` 将已有皇后的列剪枝，并在回溯中动态更新 `cols` 的状态。
+
+那么，如何处理对角线约束呢？设棋盘中某个格子的行列索引为 `(row, col)` ，观察矩阵的某条主对角线，**我们发现该对角线上所有格子的行索引减列索引相等**，即 `row - col` 为恒定值。换句话说，若两个格子满足 `row1 - col1 == row2 - col2` ，则这两个格子一定处在一条主对角线上。
+
+利用该性质，我们可以借助一个数组 `diag1` 来记录每条主对角线上是否有皇后。注意，$n$ 维方阵 `row - col` 的范围是 $[-n + 1, n - 1]$ ，因此共有 $2n - 1$ 条主对角线。
+
+![处理列约束和对角线约束](n_queens_problem.assets/n_queens_cols_diagonals.png)
+
+同理，**次对角线上的所有格子的 `row + col` 是恒定值**。我们可以使用同样的方法，借助数组 `diag2` 来处理次对角线约束。
+
+根据以上分析，我们便可以写出 $n$ 皇后的解题代码。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="n_queens.java"
+    [class]{n_queens}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{n_queens}-[func]{nQueens}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="n_queens.cpp"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{}-[func]{nQueens}
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="n_queens.py"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{}-[func]{n_queens}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="n_queens.go"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{}-[func]{nQueens}
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```javascript title="n_queens.js"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{}-[func]{nQueens}
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="n_queens.ts"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{}-[func]{nQueens}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="n_queens.c"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{}-[func]{nQueens}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="n_queens.cs"
+    [class]{n_queens}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{n_queens}-[func]{nQueens}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="n_queens.swift"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{}-[func]{nQueens}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="n_queens.zig"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{}-[func]{nQueens}
+    ```
+
+## 复杂度分析
+
+逐行放置 $n$ 次，考虑列约束，则从第一行到最后一行分别有 $n, n-1, \cdots, 2, 1$ 个选择，**因此时间复杂度为 $O(n!)$** 。实际上，根据对角线约束的剪枝也能够大幅地缩小搜索空间，因而搜索效率往往优于以上时间复杂度。
+
+`state` 使用 $O(n^2)$ 空间，`cols` , `diags1` , `diags2` 皆使用 $O(n)$ 空间。最大递归深度为 $n$ ，使用 $O(n)$ 栈帧空间。因此，**空间复杂度为 $O(n^2)$** 。

docs/chapter_backtracking/permutations_problem.md

@@ -218,3 +218,9 @@
 下图展示了两个剪枝条件的生效范围。注意，树中的每个节点代表一个选择，从根节点到叶节点的路径上的各个节点构成一个排列。
 
 ![两种剪枝条件的作用范围](permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning_summary.png)
+
+## 复杂度分析
+
+假设元素两两之间互不相同，则 $n$ 个元素共有 $n!$  种排列（阶乘）；在记录结果时，需要复制长度为 $n$ 的列表，使用 $O(n)$ 时间。因此，**时间复杂度为 $O(n!n)$** 。
+
+最大递归深度为 $n$ ，使用 $O(n)$ 栈帧空间。`selected` 使用 $O(n)$ 空间。同一时刻最多共有 $n$ 个 `duplicated` ，使用 $O(n^2)$ 空间。因此，**全排列 I 的空间复杂度为 $O(n)$ ，全排列 II 的空间复杂度为 $O(n^2)$** 。

mkdocs.yml

@@ -190,6 +190,7 @@ nav:
   - 13.     回溯算法:
     - 13.1.   回溯算法（New）: chapter_backtracking/backtracking_algorithm.md
     - 13.2.   全排列问题（New）: chapter_backtracking/permutations_problem.md
+    - 13.3.   n 皇后问题（New）: chapter_backtracking/n_queens_problem.md
   - 14.     附录:
     - 14.1.   编程环境安装: chapter_appendix/installation.md
     - 14.2.   一起参与创作: chapter_appendix/contribution.md