From 57851ab11eb3c4da6bb4e0a4db6cf29ad8debdd5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: krahets Date: Sun, 27 Aug 2023 23:40:39 +0800 Subject: [PATCH] Update punctuation --- docs/chapter_array_and_linkedlist/linked_list.md | 8 ++++---- docs/chapter_array_and_linkedlist/list.md | 2 +- docs/chapter_array_and_linkedlist/summary.md | 6 +++--- docs/chapter_backtracking/n_queens_problem.md | 4 ++-- docs/chapter_backtracking/permutations_problem.md | 4 ++-- docs/chapter_backtracking/subset_sum_problem.md | 10 +++++----- .../space_complexity.md | 2 +- docs/chapter_computational_complexity/summary.md | 6 +++--- .../time_complexity.md | 6 +++--- docs/chapter_data_structure/basic_data_types.md | 12 ++++++------ docs/chapter_data_structure/character_encoding.md | 6 +++--- docs/chapter_data_structure/number_encoding.md | 2 +- docs/chapter_data_structure/summary.md | 6 +++--- .../binary_search_recur.md | 2 +- docs/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md | 2 +- .../dp_problem_features.md | 8 ++++---- .../edit_distance_problem.md | 6 +++--- .../intro_to_dynamic_programming.md | 6 +++--- docs/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md | 2 +- .../unbounded_knapsack_problem.md | 2 +- docs/chapter_graph/graph.md | 4 ++-- docs/chapter_graph/graph_operations.md | 2 +- docs/chapter_graph/graph_traversal.md | 2 +- docs/chapter_greedy/fractional_knapsack_problem.md | 2 +- docs/chapter_greedy/max_capacity_problem.md | 8 ++++---- docs/chapter_greedy/max_product_cutting_problem.md | 8 ++++---- docs/chapter_hashing/hash_algorithm.md | 4 ++-- docs/chapter_hashing/hash_collision.md | 2 +- docs/chapter_hashing/hash_map.md | 2 +- docs/chapter_hashing/summary.md | 2 +- docs/chapter_heap/summary.md | 2 +- docs/chapter_heap/top_k.md | 2 +- docs/chapter_preface/about_the_book.md | 2 +- docs/chapter_searching/binary_search.md | 2 +- docs/chapter_searching/binary_search_edge.md | 2 +- docs/chapter_searching/binary_search_insertion.md | 4 ++-- docs/chapter_sorting/bubble_sort.md | 4 ++-- docs/chapter_sorting/bucket_sort.md | 2 +- docs/chapter_sorting/counting_sort.md | 2 +- docs/chapter_sorting/heap_sort.md | 4 ++-- docs/chapter_sorting/insertion_sort.md | 4 ++-- docs/chapter_sorting/merge_sort.md | 4 ++-- docs/chapter_sorting/quick_sort.md | 6 +++--- docs/chapter_sorting/radix_sort.md | 4 ++-- docs/chapter_sorting/selection_sort.md | 4 ++-- docs/chapter_sorting/sorting_algorithm.md | 2 +- docs/chapter_sorting/summary.md | 2 +- docs/chapter_stack_and_queue/stack.md | 4 ++-- docs/chapter_tree/binary_tree.md | 4 ++-- docs/chapter_tree/summary.md | 2 +- 50 files changed, 100 insertions(+), 100 deletions(-) diff --git a/docs/chapter_array_and_linkedlist/linked_list.md b/docs/chapter_array_and_linkedlist/linked_list.md index 74efafb1f..0c58a0fbc 100755 --- a/docs/chapter_array_and_linkedlist/linked_list.md +++ b/docs/chapter_array_and_linkedlist/linked_list.md @@ -11,8 +11,8 @@ 观察上图，链表的组成单位是「节点 node」对象。每个节点都包含两项数据：节点的“值”和指向下一节点的“引用”。 - 链表的首个节点被称为“头节点”，最后一个节点被称为“尾节点”。 -- 尾节点指向的是“空”，它在 Java, C++, Python 中分别被记为 $\text{null}$ , $\text{nullptr}$ , $\text{None}$ 。 -- 在 C, C++, Go, Rust 等支持指针的语言中，上述的“引用”应被替换为“指针”。 +- 尾节点指向的是“空”，它在 Java、C++ 和 Python 中分别被记为 $\text{null}$、$\text{nullptr}$ 和 $\text{None}$ 。 +- 在 C、C++、Go 和 Rust 等支持指针的语言中，上述的“引用”应被替换为“指针”。 如以下代码所示，链表节点 `ListNode` 除了包含值，还需额外保存一个引用（指针）。因此在相同数据量下，**链表比数组占用更多的内存空间**。 @@ -395,11 +395,11 @@ n3.borrow_mut().next = Some(n4.clone()); ``` -数组整体是一个变量，比如数组 `nums` 包含元素 `nums[0]` , `nums[1]` 等，而链表是由多个独立的节点对象组成的。**我们通常将头节点当作链表的代称**，比如以上代码中的链表可被记做链表 `n0` 。 +数组整体是一个变量，比如数组 `nums` 包含元素 `nums[0]` 和 `nums[1]` 等，而链表是由多个独立的节点对象组成的。**我们通常将头节点当作链表的代称**，比如以上代码中的链表可被记做链表 `n0` 。 ### 插入节点 -在链表中插入节点非常容易。如下图所示，假设我们想在相邻的两个节点 `n0` , `n1` 之间插入一个新节点 `P` ，**则只需要改变两个节点引用（指针）即可**，时间复杂度为 $O(1)$ 。 +在链表中插入节点非常容易。如下图所示，假设我们想在相邻的两个节点 `n0` 和 `n1` 之间插入一个新节点 `P` ，**则只需要改变两个节点引用（指针）即可**，时间复杂度为 $O(1)$ 。 相比之下，在数组中插入元素的时间复杂度为 $O(n)$ ，在大数据量下的效率较低。 diff --git a/docs/chapter_array_and_linkedlist/list.md b/docs/chapter_array_and_linkedlist/list.md index 2df183ae4..196d0186f 100755 --- a/docs/chapter_array_and_linkedlist/list.md +++ b/docs/chapter_array_and_linkedlist/list.md @@ -852,7 +852,7 @@ ## 列表实现 -许多编程语言都提供内置的列表，例如 Java, C++, Python 等。它们的实现比较复杂，各个参数的设定也非常有考究，例如初始容量、扩容倍数等。感兴趣的读者可以查阅源码进行学习。 +许多编程语言都提供内置的列表，例如 Java、C++、Python 等。它们的实现比较复杂，各个参数的设定也非常有考究，例如初始容量、扩容倍数等。感兴趣的读者可以查阅源码进行学习。 为了加深对列表工作原理的理解，我们尝试实现一个简易版列表，包括以下三个重点设计。 diff --git a/docs/chapter_array_and_linkedlist/summary.md b/docs/chapter_array_and_linkedlist/summary.md index 5369d28bb..182c5d0f1 100644 --- a/docs/chapter_array_and_linkedlist/summary.md +++ b/docs/chapter_array_and_linkedlist/summary.md @@ -17,7 +17,7 @@ !!! question "为什么数组要求相同类型的元素，而在链表中却没有强调同类型呢？" - 链表由结点组成，结点之间通过引用（指针）连接，各个结点可以存储不同类型的数据，例如 int, double, string, object 等。 + 链表由结点组成，结点之间通过引用（指针）连接，各个结点可以存储不同类型的数据，例如 int、double、string、object 等。 相对地，数组元素则必须是相同类型的，这样才能通过计算偏移量来获取对应元素位置。例如，如果数组同时包含 int 和 long 两种类型，单个元素分别占用 4 bytes 和 8 bytes ，那么此时就不能用以下公式计算偏移量了，因为数组中包含了两种 `elementLength` 。 @@ -30,7 +30,7 @@ 不修改 `P.next` 也可以。从该链表的角度看，从头结点遍历到尾结点已经遇不到 `P` 了。这意味着结点 `P` 已经从链表中删除了，此时结点 `P` 指向哪里都不会对这条链表产生影响了。 - 从垃圾回收的角度看，对于 Java, Python, Go 等拥有自动垃圾回收的语言来说，节点 `P` 是否被回收取决于是否有仍存在指向它的引用，而不是 `P.next` 的值。在 C, C++ 等语言中，我们需要手动释放节点内存。 + 从垃圾回收的角度看，对于 Java、Python、Go 等拥有自动垃圾回收的语言来说，节点 `P` 是否被回收取决于是否有仍存在指向它的引用，而不是 `P.next` 的值。在 C 和 C++ 等语言中，我们需要手动释放节点内存。 !!! question "在链表中插入和删除操作的时间复杂度是 $O(1)$ 。但是增删之前都需要 $O(n)$ 查找元素，那为什么时间复杂度不是 $O(n)$ 呢？" @@ -40,7 +40,7 @@ 文中的示意图只是定性表示，定量表示需要根据具体情况进行分析。 - - 不同类型的结点值占用的空间是不同的，比如 int, long, double, 或者是类的实例等等。 + - 不同类型的结点值占用的空间是不同的，比如 int、long、double 和实例对象等。 - 指针变量占用的内存空间大小根据所使用的操作系统及编译环境而定，大多为 8 字节或 4 字节。 !!! question "在列表末尾添加元素是否时时刻刻都为 $O(1)$ ？" diff --git a/docs/chapter_backtracking/n_queens_problem.md b/docs/chapter_backtracking/n_queens_problem.md index 72d49d12d..f7269dcc0 100644 --- a/docs/chapter_backtracking/n_queens_problem.md +++ b/docs/chapter_backtracking/n_queens_problem.md @@ -136,6 +136,6 @@ [class]{}-[func]{n_queens} ``` -逐行放置 $n$ 次，考虑列约束，则从第一行到最后一行分别有 $n, n-1, \dots, 2, 1$ 个选择，**因此时间复杂度为 $O(n!)$** 。实际上，根据对角线约束的剪枝也能够大幅地缩小搜索空间，因而搜索效率往往优于以上时间复杂度。 +逐行放置 $n$ 次，考虑列约束，则从第一行到最后一行分别有 $n$、$n-1$、$\dots$、$2$、$1$ 个选择，**因此时间复杂度为 $O(n!)$** 。实际上，根据对角线约束的剪枝也能够大幅地缩小搜索空间，因而搜索效率往往优于以上时间复杂度。 -数组 `state` 使用 $O(n^2)$ 空间，数组 `cols` , `diags1` , `diags2` 皆使用 $O(n)$ 空间。最大递归深度为 $n$ ，使用 $O(n)$ 栈帧空间。因此，**空间复杂度为 $O(n^2)$** 。 +数组 `state` 使用 $O(n^2)$ 空间，数组 `cols`、`diags1` 和 `diags2` 皆使用 $O(n)$ 空间。最大递归深度为 $n$ ，使用 $O(n)$ 栈帧空间。因此，**空间复杂度为 $O(n^2)$** 。 diff --git a/docs/chapter_backtracking/permutations_problem.md b/docs/chapter_backtracking/permutations_problem.md index d141e58b9..9e88a3738 100644 --- a/docs/chapter_backtracking/permutations_problem.md +++ b/docs/chapter_backtracking/permutations_problem.md @@ -18,7 +18,7 @@ 输入一个整数数组，数组中不包含重复元素，返回所有可能的排列。 -从回溯算法的角度看，**我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果**。假设输入数组为 $[1, 2, 3]$ ，如果我们先选择 $1$ 、再选择 $3$ 、最后选择 $2$ ，则获得排列 $[1, 3, 2]$ 。回退表示撤销一个选择，之后继续尝试其他选择。 +从回溯算法的角度看，**我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果**。假设输入数组为 $[1, 2, 3]$ ，如果我们先选择 $1$、再选择 $3$、最后选择 $2$ ，则获得排列 $[1, 3, 2]$ 。回退表示撤销一个选择，之后继续尝试其他选择。 从回溯代码的角度看，候选集合 `choices` 是输入数组中的所有元素，状态 `state` 是直至目前已被选择的元素。请注意，每个元素只允许被选择一次，**因此 `state` 中的所有元素都应该是唯一的**。 @@ -33,7 +33,7 @@ - 在做出选择 `choice[i]` 后，我们就将 `selected[i]` 赋值为 $\text{True}$ ，代表它已被选择。 - 遍历选择列表 `choices` 时，跳过所有已被选择过的节点，即剪枝。 -如下图所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。 +如下图所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1 和元素 3 的分支。 ![全排列剪枝示例](permutations_problem.assets/permutations_i_pruning.png) diff --git a/docs/chapter_backtracking/subset_sum_problem.md b/docs/chapter_backtracking/subset_sum_problem.md index 42eff99b5..3e28fdb7b 100644 --- a/docs/chapter_backtracking/subset_sum_problem.md +++ b/docs/chapter_backtracking/subset_sum_problem.md @@ -128,18 +128,18 @@ **我们考虑在搜索过程中通过剪枝进行去重**。观察下图，重复子集是在以不同顺序选择数组元素时产生的，例如以下情况。 -1. 当第一轮和第二轮分别选择 $3$ , $4$ 时，会生成包含这两个元素的所有子集，记为 $[3, 4, \dots]$ 。 +1. 当第一轮和第二轮分别选择 $3$ 和 $4$ 时，会生成包含这两个元素的所有子集，记为 $[3, 4, \dots]$ 。 2. 之后，当第一轮选择 $4$ 时，**则第二轮应该跳过 $3$** ，因为该选择产生的子集 $[4, 3, \dots]$ 和 `1.` 中生成的子集完全重复。 在搜索中，每一层的选择都是从左到右被逐个尝试的，因此越靠右的分支被剪掉的越多。 -1. 前两轮选择 $3$ , $5$ ，生成子集 $[3, 5, \dots]$ 。 -2. 前两轮选择 $4$ , $5$ ，生成子集 $[4, 5, \dots]$ 。 -3. 若第一轮选择 $5$ ，**则第二轮应该跳过 $3$ 和 $4$** ，因为子集 $[5, 3, \dots]$ 和子集 $[5, 4, \dots]$ 和 `1.` , `2.` 中描述的子集完全重复。 +1. 前两轮选择 $3$ 和 $5$ ，生成子集 $[3, 5, \dots]$ 。 +2. 前两轮选择 $4$ 和 $5$ ，生成子集 $[4, 5, \dots]$ 。 +3. 若第一轮选择 $5$ ，**则第二轮应该跳过 $3$ 和 $4$** ，因为子集 $[5, 3, \dots]$ 和 $[5, 4, \dots]$ 与第 `1.` 和 `2.` 步中描述的子集完全重复。 ![不同选择顺序导致的重复子集](subset_sum_problem.assets/subset_sum_i_pruning.png) -总结来看，给定输入数组 $[x_1, x_2, \dots, x_n]$ ，设搜索过程中的选择序列为 $[x_{i_1}, x_{i_2}, \dots , x_{i_m}]$ ，则该选择序列需要满足 $i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m$ ，**不满足该条件的选择序列都会造成重复，应当剪枝**。 +总结来看，给定输入数组 $[x_1, x_2, \dots, x_n]$ ，设搜索过程中的选择序列为 $[x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_m}]$ ，则该选择序列需要满足 $i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m$ ，**不满足该条件的选择序列都会造成重复，应当剪枝**。 ### 代码实现 diff --git a/docs/chapter_computational_complexity/space_complexity.md b/docs/chapter_computational_complexity/space_complexity.md index 377f28b7c..1cbac9a32 100755 --- a/docs/chapter_computational_complexity/space_complexity.md +++ b/docs/chapter_computational_complexity/space_complexity.md @@ -999,7 +999,7 @@ $$ [class]{}-[func]{quadratic} ``` -如下图所示，该函数的递归深度为 $n$ ，在每个递归函数中都初始化了一个数组，长度分别为 $n, n-1, n-2, ..., 2, 1$ ，平均长度为 $n / 2$ ，因此总体占用 $O(n^2)$ 空间： +如下图所示，该函数的递归深度为 $n$ ，在每个递归函数中都初始化了一个数组，长度分别为 $n$、$n-1$、$\dots$、$2$、$1$ ，平均长度为 $n / 2$ ，因此总体占用 $O(n^2)$ 空间： === "Java" diff --git a/docs/chapter_computational_complexity/summary.md b/docs/chapter_computational_complexity/summary.md index 608fdf206..b8d53fd41 100644 --- a/docs/chapter_computational_complexity/summary.md +++ b/docs/chapter_computational_complexity/summary.md @@ -11,7 +11,7 @@ - 时间复杂度用于衡量算法运行时间随数据量增长的趋势，可以有效评估算法效率，但在某些情况下可能失效，如在输入的数据量较小或时间复杂度相同时，无法精确对比算法效率的优劣。 - 最差时间复杂度使用大 $O$ 符号表示，对应函数渐近上界，反映当 $n$ 趋向正无穷时，操作数量 $T(n)$ 的增长级别。 - 推算时间复杂度分为两步，首先统计操作数量，然后判断渐近上界。 -- 常见时间复杂度从小到大排列有 $O(1)$ 、$O(\log n)$ 、$O(n)$ 、$O(n \log n)$ 、$O(n^2)$ 、$O(2^n)$ 、$O(n!)$ 等。 +- 常见时间复杂度从小到大排列有 $O(1)$、$O(\log n)$、$O(n)$、$O(n \log n)$、$O(n^2)$、$O(2^n)$、$O(n!)$ 等。 - 某些算法的时间复杂度非固定，而是与输入数据的分布有关。时间复杂度分为最差、最佳、平均时间复杂度，最佳时间复杂度几乎不用，因为输入数据一般需要满足严格条件才能达到最佳情况。 - 平均时间复杂度反映算法在随机数据输入下的运行效率，最接近实际应用中的算法性能。计算平均时间复杂度需要统计输入数据分布以及综合后的数学期望。 @@ -20,13 +20,13 @@ - 空间复杂度的作用类似于时间复杂度，用于衡量算法占用空间随数据量增长的趋势。 - 算法运行过程中的相关内存空间可分为输入空间、暂存空间、输出空间。通常情况下，输入空间不计入空间复杂度计算。暂存空间可分为指令空间、数据空间、栈帧空间，其中栈帧空间通常仅在递归函数中影响空间复杂度。 - 我们通常只关注最差空间复杂度，即统计算法在最差输入数据和最差运行时间点下的空间复杂度。 -- 常见空间复杂度从小到大排列有 $O(1)$ 、$O(\log n)$ 、$O(n)$ 、$O(n^2)$ 、$O(2^n)$ 等。 +- 常见空间复杂度从小到大排列有 $O(1)$、$O(\log n)$、$O(n)$、$O(n^2)$、$O(2^n)$ 等。 ## Q & A !!! question "尾递归的空间复杂度是 $O(1)$ 吗？" - 理论上，尾递归函数的空间复杂度可以被优化至 $O(1)$ 。不过绝大多数编程语言（例如 Java 、Python 、C++ 、Go 、C# 等）都不支持自动优化尾递归，因此通常认为空间复杂度是 $O(n)$ 。 + 理论上，尾递归函数的空间复杂度可以被优化至 $O(1)$ 。不过绝大多数编程语言（例如 Java、Python、C++、Go、C# 等）都不支持自动优化尾递归，因此通常认为空间复杂度是 $O(n)$ 。 !!! question "函数和方法这两个术语的区别是什么？" diff --git a/docs/chapter_computational_complexity/time_complexity.md b/docs/chapter_computational_complexity/time_complexity.md index ffe899ec4..7cdbda901 100755 --- a/docs/chapter_computational_complexity/time_complexity.md +++ b/docs/chapter_computational_complexity/time_complexity.md @@ -189,7 +189,7 @@ $$ 时间复杂度分析统计的不是算法运行时间，**而是算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势**。 -“时间增长趋势”这个概念比较抽象，我们通过一个例子来加以理解。假设输入数据大小为 $n$ ，给定三个算法函数 `A` 、 `B` 和 `C` ： +“时间增长趋势”这个概念比较抽象，我们通过一个例子来加以理解。假设输入数据大小为 $n$ ，给定三个算法函数 `A`、`B` 和 `C` ： === "Java" @@ -432,7 +432,7 @@ $$ - 算法 `B` 中的打印操作需要循环 $n$ 次，算法运行时间随着 $n$ 增大呈线性增长。此算法的时间复杂度被称为“线性阶”。 - 算法 `C` 中的打印操作需要循环 $1000000$ 次，虽然运行时间很长，但它与输入数据大小 $n$ 无关。因此 `C` 的时间复杂度和 `A` 相同，仍为“常数阶”。 -![算法 A 、B 和 C 的时间增长趋势](time_complexity.assets/time_complexity_simple_example.png) +![算法 A、B 和 C 的时间增长趋势](time_complexity.assets/time_complexity_simple_example.png) 相较于直接统计算法运行时间，时间复杂度分析有哪些特点呢？ @@ -1210,7 +1210,7 @@ $$ ![常数阶、线性阶和平方阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_constant_linear_quadratic.png) -以冒泡排序为例，外层循环执行 $n - 1$ 次，内层循环执行 $n-1, n-2, \dots, 2, 1$ 次，平均为 $n / 2$ 次，因此时间复杂度为 $O((n - 1) n / 2) = O(n^2)$ 。 +以冒泡排序为例，外层循环执行 $n - 1$ 次，内层循环执行 $n-1$、$n-2$、$\dots$、$2$、$1$ 次，平均为 $n / 2$ 次，因此时间复杂度为 $O((n - 1) n / 2) = O(n^2)$ 。 === "Java" diff --git a/docs/chapter_data_structure/basic_data_types.md b/docs/chapter_data_structure/basic_data_types.md index f5bf1b08c..9e5ac667b 100644 --- a/docs/chapter_data_structure/basic_data_types.md +++ b/docs/chapter_data_structure/basic_data_types.md @@ -4,8 +4,8 @@ **基本数据类型是 CPU 可以直接进行运算的类型**，在算法中直接被使用，主要包括以下几种类型。 -- 整数类型 `byte` , `short` , `int` , `long` 。 -- 浮点数类型 `float` , `double` ，用于表示小数。 +- 整数类型 `byte`、`short`、`int`、`long` 。 +- 浮点数类型 `float`、`double` ，用于表示小数。 - 字符类型 `char` ，用于表示各种语言的字母、标点符号、甚至表情符号等。 - 布尔类型 `bool` ，用于表示“是”与“否”判断。 @@ -33,15 +33,15 @@ 对于上表，需要注意以下几点。 -- C, C++ 未明确规定基本数据类型大小，而因实现和平台各异。上表遵循 LP64 [数据模型](https://en.cppreference.com/w/cpp/language/types#Properties)，其用于 Unix 64 位操作系统（例如 Linux , macOS）。 -- 字符 `char` 的大小在 C, C++ 中为 1 字节，在大多数编程语言中取决于特定的字符编码方法，详见“字符编码”章节。 +- C 和 C++ 未明确规定基本数据类型大小，而因实现和平台各异。上表遵循 LP64 [数据模型](https://en.cppreference.com/w/cpp/language/types#Properties)，其用于包括 Linux 和 macOS 在内的 Unix 64 位操作系统。 +- 字符 `char` 的大小在 C 和 C++ 中为 1 字节，在大多数编程语言中取决于特定的字符编码方法，详见“字符编码”章节。 - 即使表示布尔量仅需 1 位（$0$ 或 $1$），它在内存中通常被存储为 1 字节。这是因为现代计算机 CPU 通常将 1 字节作为最小寻址内存单元。 那么，基本数据类型与数据结构之间有什么联系呢？我们知道，数据结构是在计算机中组织与存储数据的方式。它的主语是“结构”而非“数据”。 -如果想要表示“一排数字”，我们自然会想到使用数组。这是因为数组的线性结构可以表示数字的相邻关系和顺序关系，但至于存储的内容是整数 `int` 、小数 `float` 、还是字符 `char` ，则与“数据结构”无关。 +如果想要表示“一排数字”，我们自然会想到使用数组。这是因为数组的线性结构可以表示数字的相邻关系和顺序关系，但至于存储的内容是整数 `int`、小数 `float`或是字符 `char` ，则与“数据结构”无关。 -换句话说，**基本数据类型提供了数据的“内容类型”，而数据结构提供了数据的“组织方式”**。例如以下代码，我们用相同的数据结构（数组）来存储与表示不同的基本数据类型（`int` , `float` , `char`, `bool`）。 +换句话说，**基本数据类型提供了数据的“内容类型”，而数据结构提供了数据的“组织方式”**。例如以下代码，我们用相同的数据结构（数组）来存储与表示不同的基本数据类型，包括 `int`、`float`、`char`、`bool` 等。 === "Java" diff --git a/docs/chapter_data_structure/character_encoding.md b/docs/chapter_data_structure/character_encoding.md index 9e5ded15a..0885f2a83 100644 --- a/docs/chapter_data_structure/character_encoding.md +++ b/docs/chapter_data_structure/character_encoding.md @@ -4,7 +4,7 @@ ## ASCII 字符集 -「ASCII 码」是最早出现的字符集，全称为“美国标准信息交换代码”。它使用 7 位二进制数（即一个字节的低 7 位）表示一个字符，最多能够表示 128 个不同的字符。如下图所示，ASCII 码包括英文字母的大小写、数字 0-9 、一些标点符号，以及一些控制字符（如换行符和制表符）。 +「ASCII 码」是最早出现的字符集，全称为“美国标准信息交换代码”。它使用 7 位二进制数（即一个字节的低 7 位）表示一个字符，最多能够表示 128 个不同的字符。如下图所示，ASCII 码包括英文字母的大小写、数字 0 ~ 9、一些标点符号，以及一些控制字符（如换行符和制表符）。 ![ASCII 码](character_encoding.assets/ascii_table.png) @@ -42,8 +42,8 @@ Unicode 是一种字符集标准，本质上是给每个字符分配一个编号 UTF-8 的编码规则并不复杂，分为以下两种情况。 -- 对于长度为 1 字节的字符，将最高位设置为 $0$ 、其余 7 位设置为 Unicode 码点。值得注意的是，ASCII 字符在 Unicode 字符集中占据了前 128 个码点。也就是说，**UTF-8 编码可以向下兼容 ASCII 码**。这意味着我们可以使用 UTF-8 来解析年代久远的 ASCII 码文本。 -- 对于长度为 $n$ 字节的字符（其中 $n > 1$），将首个字节的高 $n$ 位都设置为 $1$ 、第 $n + 1$ 位设置为 $0$ ；从第二个字节开始，将每个字节的高 2 位都设置为 $10$ ；其余所有位用于填充字符的 Unicode 码点。 +- 对于长度为 1 字节的字符，将最高位设置为 $0$、其余 7 位设置为 Unicode 码点。值得注意的是，ASCII 字符在 Unicode 字符集中占据了前 128 个码点。也就是说，**UTF-8 编码可以向下兼容 ASCII 码**。这意味着我们可以使用 UTF-8 来解析年代久远的 ASCII 码文本。 +- 对于长度为 $n$ 字节的字符（其中 $n > 1$），将首个字节的高 $n$ 位都设置为 $1$、第 $n + 1$ 位设置为 $0$ ；从第二个字节开始，将每个字节的高 2 位都设置为 $10$ ；其余所有位用于填充字符的 Unicode 码点。 下图展示了“Hello算法”对应的 UTF-8 编码。观察发现，由于最高 $n$ 位都被设置为 $1$ ，因此系统可以通过读取最高位 $1$ 的个数来解析出字符的长度为 $n$ 。 diff --git a/docs/chapter_data_structure/number_encoding.md b/docs/chapter_data_structure/number_encoding.md index 6a3d4ffc4..323fce6db 100644 --- a/docs/chapter_data_structure/number_encoding.md +++ b/docs/chapter_data_structure/number_encoding.md @@ -118,7 +118,7 @@ $$ $$ \begin{aligned} -\mathrm{S} \in & \{ 0, 1\} , \quad \mathrm{E} \in \{ 1, 2, \dots, 254 \} \newline +\mathrm{S} \in & \{ 0, 1\}, \quad \mathrm{E} \in \{ 1, 2, \dots, 254 \} \newline (1 + \mathrm{N}) = & (1 + \sum_{i=1}^{23} b_{23-i} 2^{-i}) \subset [1, 2 - 2^{-23}] \end{aligned} $$ diff --git a/docs/chapter_data_structure/summary.md b/docs/chapter_data_structure/summary.md index 571a6ba8d..598f825f3 100644 --- a/docs/chapter_data_structure/summary.md +++ b/docs/chapter_data_structure/summary.md @@ -4,12 +4,12 @@ - 常见的逻辑结构包括线性、树状和网状等。通常我们根据逻辑结构将数据结构分为线性（数组、链表、栈、队列）和非线性（树、图、堆）两种。哈希表的实现可能同时包含线性和非线性结构。 - 当程序运行时，数据被存储在计算机内存中。每个内存空间都拥有对应的内存地址，程序通过这些内存地址访问数据。 - 物理结构主要分为连续空间存储（数组）和离散空间存储（链表）。所有数据结构都是由数组、链表或两者的组合实现的。 -- 计算机中的基本数据类型包括整数 `byte` , `short` , `int` , `long` 、浮点数 `float` , `double` 、字符 `char` 和布尔 `boolean` 。它们的取值范围取决于占用空间大小和表示方式。 +- 计算机中的基本数据类型包括整数 `byte`、`short`、`int`、`long` ，浮点数 `float`、`double` ，字符 `char` 和布尔 `boolean` 。它们的取值范围取决于占用空间大小和表示方式。 - 原码、反码和补码是在计算机中编码数字的三种方法，它们之间是可以相互转换的。整数的原码的最高位是符号位，其余位是数字的值。 - 整数在计算机中是以补码的形式存储的。在补码表示下，计算机可以对正数和负数的加法一视同仁，不需要为减法操作单独设计特殊的硬件电路，并且不存在正负零歧义的问题。 - 浮点数的编码由 1 位符号位、8 位指数位和 23 位分数位构成。由于存在指数位，浮点数的取值范围远大于整数，代价是牺牲了精度。 - ASCII 码是最早出现的英文字符集，长度为 1 字节，共收录 127 个字符。GBK 字符集是常用的中文字符集，共收录两万多个汉字。Unicode 致力于提供一个完整的字符集标准，收录世界内各种语言的字符，从而解决由于字符编码方法不一致而导致的乱码问题。 -- UTF-8 是最受欢迎的 Unicode 编码方法，通用性非常好。它是一种变长的编码方法，具有很好的扩展性，有效提升了存储空间的使用效率。UTF-16 和 UTF-32 是等长的编码方法。在编码中文时，UTF-16 比 UTF-8 的占用空间更小。Java, C# 等编程语言默认使用 UTF-16 编码。 +- UTF-8 是最受欢迎的 Unicode 编码方法，通用性非常好。它是一种变长的编码方法，具有很好的扩展性，有效提升了存储空间的使用效率。UTF-16 和 UTF-32 是等长的编码方法。在编码中文时，UTF-16 比 UTF-8 的占用空间更小。Java 和 C# 等编程语言默认使用 UTF-16 编码。 ## Q & A @@ -19,4 +19,4 @@ !!! question "`char` 类型的长度是 1 byte 吗？" - `char` 类型的长度由编程语言采用的编码方法决定。例如，Java, JS, TS, C# 都采用 UTF-16 编码（保存 Unicode 码点），因此 char 类型的长度为 2 bytes 。 + `char` 类型的长度由编程语言采用的编码方法决定。例如，Java、JS、TS、C# 都采用 UTF-16 编码（保存 Unicode 码点），因此 char 类型的长度为 2 bytes 。 diff --git a/docs/chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur.md b/docs/chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur.md index 3cccc0830..15ebdd214 100644 --- a/docs/chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur.md +++ b/docs/chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur.md @@ -32,7 +32,7 @@ 1. 计算搜索区间 $[i, j]$ 的中点 $m$ ，根据它排除一半搜索区间。 2. 递归求解规模减小一半的子问题，可能为 $f(i, m-1)$ 或 $f(m+1, j)$ 。 -3. 循环第 `1.` , `2.` 步，直至找到 `target` 或区间为空时返回。 +3. 循环第 `1.` 和 `2.` 步，直至找到 `target` 或区间为空时返回。 下图展示了在数组中二分查找元素 $6$ 的分治过程。 diff --git a/docs/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md b/docs/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md index c2635f674..48d4819e9 100644 --- a/docs/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md +++ b/docs/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md @@ -4,7 +4,7 @@ !!! question - 给定三根柱子，记为 `A` , `B` , `C` 。起始状态下，柱子 `A` 上套着 $n$ 个圆盘，它们从上到下按照从小到大的顺序排列。我们的任务是要把这 $n$ 个圆盘移到柱子 `C` 上，并保持它们的原有顺序不变。在移动圆盘的过程中，需要遵守以下规则。 + 给定三根柱子，记为 `A`、`B` 和 `C` 。起始状态下，柱子 `A` 上套着 $n$ 个圆盘，它们从上到下按照从小到大的顺序排列。我们的任务是要把这 $n$ 个圆盘移到柱子 `C` 上，并保持它们的原有顺序不变。在移动圆盘的过程中，需要遵守以下规则。 1. 圆盘只能从一个柱子顶部拿出，从另一个柱子顶部放入。 2. 每次只能移动一个圆盘。 diff --git a/docs/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features.md b/docs/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features.md index 73d640479..7c735ac11 100644 --- a/docs/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features.md +++ b/docs/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features.md @@ -16,7 +16,7 @@ 给定一个楼梯，你每步可以上 $1$ 阶或者 $2$ 阶，每一阶楼梯上都贴有一个非负整数，表示你在该台阶所需要付出的代价。给定一个非负整数数组 $cost$ ，其中 $cost[i]$ 表示在第 $i$ 个台阶需要付出的代价，$cost[0]$ 为地面起始点。请计算最少需要付出多少代价才能到达顶部？ -如下图所示，若第 $1$ , $2$ , $3$ 阶的代价分别为 $1$ , $10$ , $1$ ，则从地面爬到第 $3$ 阶的最小代价为 $2$ 。 +如下图所示，若第 $1$、$2$、$3$ 阶的代价分别为 $1$、$10$、$1$ ，则从地面爬到第 $3$ 阶的最小代价为 $2$ 。 ![爬到第 3 阶的最小代价](dp_problem_features.assets/min_cost_cs_example.png) @@ -28,11 +28,11 @@ $$ 这便可以引出最优子结构的含义：**原问题的最优解是从子问题的最优解构建得来的**。 -本题显然具有最优子结构：我们从两个子问题最优解 $dp[i-1]$ , $dp[i-2]$ 中挑选出较优的那一个，并用它构建出原问题 $dp[i]$ 的最优解。 +本题显然具有最优子结构：我们从两个子问题最优解 $dp[i-1]$ 和 $dp[i-2]$ 中挑选出较优的那一个，并用它构建出原问题 $dp[i]$ 的最优解。 那么，上节的爬楼梯题目有没有最优子结构呢？它的目标是求解方案数量，看似是一个计数问题，但如果换一种问法：“求解最大方案数量”。我们意外地发现，**虽然题目修改前后是等价的，但最优子结构浮现出来了**：第 $n$ 阶最大方案数量等于第 $n-1$ 阶和第 $n-2$ 阶最大方案数量之和。所以说，最优子结构的解释方式比较灵活，在不同问题中会有不同的含义。 -根据状态转移方程，以及初始状态 $dp[1] = cost[1]$ , $dp[2] = cost[2]$ ，我们就可以得到动态规划代码。 +根据状态转移方程，以及初始状态 $dp[1] = cost[1]$ 和 $dp[2] = cost[2]$ ，我们就可以得到动态规划代码。 === "Java" @@ -298,7 +298,7 @@ $$ !!! question "爬楼梯与障碍生成" - 给定一个共有 $n$ 阶的楼梯，你每步可以上 $1$ 阶或者 $2$ 阶。**规定当爬到第 $i$ 阶时，系统自动会给第 $2i$ 阶上放上障碍物，之后所有轮都不允许跳到第 $2i$ 阶上**。例如，前两轮分别跳到了第 $2, 3$ 阶上，则之后就不能跳到第 $4, 6$ 阶上。请问有多少种方案可以爬到楼顶。 + 给定一个共有 $n$ 阶的楼梯，你每步可以上 $1$ 阶或者 $2$ 阶。**规定当爬到第 $i$ 阶时，系统自动会给第 $2i$ 阶上放上障碍物，之后所有轮都不允许跳到第 $2i$ 阶上**。例如，前两轮分别跳到了第 $2$、$3$ 阶上，则之后就不能跳到第 $4$、$6$ 阶上。请问有多少种方案可以爬到楼顶。 在这个问题中，下次跳跃依赖于过去所有的状态，因为每一次跳跃都会在更高的阶梯上设置障碍，并影响未来的跳跃。对于这类问题，动态规划往往难以解决。 diff --git a/docs/chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem.md b/docs/chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem.md index 6e6b08281..4c2a02344 100644 --- a/docs/chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem.md +++ b/docs/chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem.md @@ -31,7 +31,7 @@ - 若 $s[n-1]$ 和 $t[m-1]$ 相同，我们可以跳过它们，直接考虑 $s[n-2]$ 和 $t[m-2]$ 。 - 若 $s[n-1]$ 和 $t[m-1]$ 不同，我们需要对 $s$ 进行一次编辑（插入、删除、替换），使得两字符串尾部的字符相同，从而可以跳过它们，考虑规模更小的问题。 -也就是说，我们在字符串 $s$ 中进行的每一轮决策（编辑操作），都会使得 $s$ 和 $t$ 中剩余的待匹配字符发生变化。因此，状态为当前在 $s$ , $t$ 中考虑的第 $i$ , $j$ 个字符，记为 $[i, j]$ 。 +也就是说，我们在字符串 $s$ 中进行的每一轮决策（编辑操作），都会使得 $s$ 和 $t$ 中剩余的待匹配字符发生变化。因此，状态为当前在 $s$ 和 $t$ 中考虑的第 $i$ 和 $j$ 个字符，记为 $[i, j]$ 。 状态 $[i, j]$ 对应的子问题：**将 $s$ 的前 $i$ 个字符更改为 $t$ 的前 $j$ 个字符所需的最少编辑步数**。 @@ -47,7 +47,7 @@ ![编辑距离的状态转移](edit_distance_problem.assets/edit_distance_state_transfer.png) -根据以上分析，可得最优子结构：$dp[i, j]$ 的最少编辑步数等于 $dp[i, j-1]$ , $dp[i-1, j]$ , $dp[i-1, j-1]$ 三者中的最少编辑步数，再加上本次的编辑步数 $1$ 。对应的状态转移方程为： +根据以上分析，可得最优子结构：$dp[i, j]$ 的最少编辑步数等于 $dp[i, j-1]$、$dp[i-1, j]$、$dp[i-1, j-1]$ 三者中的最少编辑步数，再加上本次的编辑步数 $1$ 。对应的状态转移方程为： $$ dp[i, j] = \min(dp[i, j-1], dp[i-1, j], dp[i-1, j-1]) + 1 @@ -188,7 +188,7 @@ $$ ### 空间优化 -由于 $dp[i,j]$ 是由上方 $dp[i-1, j]$ 、左方 $dp[i, j-1]$ 、左上方状态 $dp[i-1, j-1]$ 转移而来，而正序遍历会丢失左上方 $dp[i-1, j-1]$ ，倒序遍历无法提前构建 $dp[i, j-1]$ ，因此两种遍历顺序都不可取。 +由于 $dp[i,j]$ 是由上方 $dp[i-1, j]$、左方 $dp[i, j-1]$、左上方状态 $dp[i-1, j-1]$ 转移而来，而正序遍历会丢失左上方 $dp[i-1, j-1]$ ，倒序遍历无法提前构建 $dp[i, j-1]$ ，因此两种遍历顺序都不可取。 为此，我们可以使用一个变量 `leftup` 来暂存左上方的解 $dp[i-1, j-1]$ ，从而只需考虑左方和上方的解。此时的情况与完全背包问题相同，可使用正序遍历。 diff --git a/docs/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md b/docs/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md index 0dd66497f..323ce3f7d 100644 --- a/docs/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md +++ b/docs/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md @@ -117,7 +117,7 @@ 我们可以尝试从问题分解的角度分析这道题。设爬到第 $i$ 阶共有 $dp[i]$ 种方案，那么 $dp[i]$ 就是原问题，其子问题包括: $$ -dp[i-1] , dp[i-2] , \dots , dp[2] , dp[1] +dp[i-1], dp[i-2], \dots, dp[2], dp[1] $$ 由于每轮只能上 $1$ 阶或 $2$ 阶，因此当我们站在第 $i$ 阶楼梯上时，上一轮只可能站在第 $i - 1$ 阶或第 $i - 2$ 阶上。换句话说，我们只能从第 $i -1$ 阶或第 $i - 2$ 阶前往第 $i$ 阶。 @@ -132,7 +132,7 @@ $$ ![方案数量递推关系](intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_state_transfer.png) -我们可以根据递推公式得到暴力搜索解法。以 $dp[n]$ 为起始点，**递归地将一个较大问题拆解为两个较小问题的和**，直至到达最小子问题 $dp[1]$ 和 $dp[2]$ 时返回。其中，最小子问题的解是已知的，即 $dp[1] = 1$ , $dp[2] = 2$ ，表示爬到第 $1$ , $2$ 阶分别有 $1$ , $2$ 种方案。 +我们可以根据递推公式得到暴力搜索解法。以 $dp[n]$ 为起始点，**递归地将一个较大问题拆解为两个较小问题的和**，直至到达最小子问题 $dp[1]$ 和 $dp[2]$ 时返回。其中，最小子问题的解是已知的，即 $dp[1] = 1$、$dp[2] = 2$ ，表示爬到第 $1$、$2$ 阶分别有 $1$、$2$ 种方案。 观察以下代码，它和标准回溯代码都属于深度优先搜索，但更加简洁。 @@ -436,7 +436,7 @@ $$ 根据以上内容，我们可以总结出动态规划的常用术语。 - 将数组 `dp` 称为「$dp$ 表」，$dp[i]$ 表示状态 $i$ 对应子问题的解。 -- 将最小子问题对应的状态（即第 $1$ , $2$ 阶楼梯）称为「初始状态」。 +- 将最小子问题对应的状态（即第 $1$ 和 $2$ 阶楼梯）称为「初始状态」。 - 将递推公式 $dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]$ 称为「状态转移方程」。 ## 空间优化 diff --git a/docs/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md b/docs/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md index ad3422e19..11b5fd798 100644 --- a/docs/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md +++ b/docs/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md @@ -6,7 +6,7 @@ !!! question - 给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$ 、价值为 $val[i-1]$ ，和一个容量为 $cap$ 的背包。每个物品只能选择一次，问在不超过背包容量下能放入物品的最大价值。 + 给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$、价值为 $val[i-1]$ ，和一个容量为 $cap$ 的背包。每个物品只能选择一次，问在不超过背包容量下能放入物品的最大价值。 观察下图，由于物品编号 $i$ 从 $1$ 开始计数，数组索引从 $0$ 开始计数，因此物品 $i$ 对应重量 $wgt[i-1]$ 和价值 $val[i-1]$ 。 diff --git a/docs/chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem.md b/docs/chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem.md index 95b507910..e18a5001a 100644 --- a/docs/chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem.md +++ b/docs/chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem.md @@ -6,7 +6,7 @@ !!! question - 给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$ 、价值为 $val[i-1]$ ，和一个容量为 $cap$ 的背包。**每个物品可以重复选取**，问在不超过背包容量下能放入物品的最大价值。 + 给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$、价值为 $val[i-1]$ ，和一个容量为 $cap$ 的背包。**每个物品可以重复选取**，问在不超过背包容量下能放入物品的最大价值。 ![完全背包问题的示例数据](unbounded_knapsack_problem.assets/unbounded_knapsack_example.png) diff --git a/docs/chapter_graph/graph.md b/docs/chapter_graph/graph.md index d60783e1e..4877fd910 100644 --- a/docs/chapter_graph/graph.md +++ b/docs/chapter_graph/graph.md @@ -48,7 +48,7 @@ $$ 设图的顶点数量为 $n$ ，「邻接矩阵 adjacency matrix」使用一个 $n \times n$ 大小的矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，用 $1$ 或 $0$ 表示两个顶点之间是否存在边。 -如下图所示，设邻接矩阵为 $M$ 、顶点列表为 $V$ ，那么矩阵元素 $M[i, j] = 1$ 表示顶点 $V[i]$ 到顶点 $V[j]$ 之间存在边，反之 $M[i, j] = 0$ 表示两顶点之间无边。 +如下图所示，设邻接矩阵为 $M$、顶点列表为 $V$ ，那么矩阵元素 $M[i, j] = 1$ 表示顶点 $V[i]$ 到顶点 $V[j]$ 之间存在边，反之 $M[i, j] = 0$ 表示两顶点之间无边。 ![图的邻接矩阵表示](graph.assets/adjacency_matrix.png) @@ -56,7 +56,7 @@ $$ - 顶点不能与自身相连，因此邻接矩阵主对角线元素没有意义。 - 对于无向图，两个方向的边等价，此时邻接矩阵关于主对角线对称。 -- 将邻接矩阵的元素从 $1$ , $0$ 替换为权重，则可表示有权图。 +- 将邻接矩阵的元素从 $1$ 和 $0$ 替换为权重，则可表示有权图。 使用邻接矩阵表示图时，我们可以直接访问矩阵元素以获取边，因此增删查操作的效率很高，时间复杂度均为 $O(1)$ 。然而，矩阵的空间复杂度为 $O(n^2)$ ，内存占用较多。 diff --git a/docs/chapter_graph/graph_operations.md b/docs/chapter_graph/graph_operations.md index e0e47dec3..182a46ddc 100644 --- a/docs/chapter_graph/graph_operations.md +++ b/docs/chapter_graph/graph_operations.md @@ -102,7 +102,7 @@ ## 基于邻接表的实现 -设无向图的顶点总数为 $n$ 、边总数为 $m$ ，则可根据下图所示的方法实现各种操作。 +设无向图的顶点总数为 $n$、边总数为 $m$ ，则可根据下图所示的方法实现各种操作。 - **添加边**：在顶点对应链表的末尾添加边即可，使用 $O(1)$ 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。 - **删除边**：在顶点对应链表中查找并删除指定边，使用 $O(m)$ 时间。在无向图中，需要同时删除两个方向的边。 diff --git a/docs/chapter_graph/graph_traversal.md b/docs/chapter_graph/graph_traversal.md index b62304a96..ea8a862fb 100644 --- a/docs/chapter_graph/graph_traversal.md +++ b/docs/chapter_graph/graph_traversal.md @@ -133,7 +133,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这 !!! question "广度优先遍历的序列是否唯一？" - 不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历，**而多个相同距离的顶点的遍历顺序是允许被任意打乱的**。以上图为例，顶点 $1$ , $3$ 的访问顺序可以交换、顶点 $2$ , $4$ , $6$ 的访问顺序也可以任意交换。 + 不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历，**而多个相同距离的顶点的遍历顺序是允许被任意打乱的**。以上图为例，顶点 $1$、$3$ 的访问顺序可以交换、顶点 $2$、$4$、$6$ 的访问顺序也可以任意交换。 ### 复杂度分析 diff --git a/docs/chapter_greedy/fractional_knapsack_problem.md b/docs/chapter_greedy/fractional_knapsack_problem.md index 4d62c3efe..23675b032 100644 --- a/docs/chapter_greedy/fractional_knapsack_problem.md +++ b/docs/chapter_greedy/fractional_knapsack_problem.md @@ -2,7 +2,7 @@ !!! question - 给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$ 、价值为 $val[i-1]$ ，和一个容量为 $cap$ 的背包。每个物品只能选择一次，**但可以选择物品的一部分，价值根据选择的重量比例计算**，问在不超过背包容量下背包中物品的最大价值。 + 给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$、价值为 $val[i-1]$ ，和一个容量为 $cap$ 的背包。每个物品只能选择一次，**但可以选择物品的一部分，价值根据选择的重量比例计算**，问在不超过背包容量下背包中物品的最大价值。 ![分数背包问题的示例数据](fractional_knapsack_problem.assets/fractional_knapsack_example.png) diff --git a/docs/chapter_greedy/max_capacity_problem.md b/docs/chapter_greedy/max_capacity_problem.md index 1df0cb9df..c07282b1d 100644 --- a/docs/chapter_greedy/max_capacity_problem.md +++ b/docs/chapter_greedy/max_capacity_problem.md @@ -22,7 +22,7 @@ $$ ### 贪心策略确定 -这道题还有更高效率的解法。如下图所示，现选取一个状态 $[i, j]$ ，其满足索引 $i < j$ 且高度 $ht[i] < ht[j]$ ，即 $i$ 为短板、 $j$ 为长板。 +这道题还有更高效率的解法。如下图所示，现选取一个状态 $[i, j]$ ，其满足索引 $i < j$ 且高度 $ht[i] < ht[j]$ ，即 $i$ 为短板、$j$ 为长板。 ![初始状态](max_capacity_problem.assets/max_capacity_initial_state.png) @@ -40,10 +40,10 @@ $$ 下图展示了贪心策略的执行过程。 -1. 初始状态下，指针 $i$ , $j$ 分列与数组两端。 +1. 初始状态下，指针 $i$ 和 $j$ 分列与数组两端。 2. 计算当前状态的容量 $cap[i, j]$ ，并更新最大容量。 3. 比较板 $i$ 和 板 $j$ 的高度，并将短板向内移动一格。 -4. 循环执行第 `2.` , `3.` 步，直至 $i$ 和 $j$ 相遇时结束。 +4. 循环执行第 `2.` 和 `3.` 步，直至 $i$ 和 $j$ 相遇时结束。 === "<1>" ![最大容量问题的贪心过程](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step1.png) @@ -76,7 +76,7 @@ $$ 代码循环最多 $n$ 轮，**因此时间复杂度为 $O(n)$** 。 -变量 $i$ , $j$ , $res$ 使用常数大小额外空间，**因此空间复杂度为 $O(1)$** 。 +变量 $i$、$j$、$res$ 使用常数大小额外空间，**因此空间复杂度为 $O(1)$** 。 === "Java" diff --git a/docs/chapter_greedy/max_product_cutting_problem.md b/docs/chapter_greedy/max_product_cutting_problem.md index 8f291828a..8af95be9b 100644 --- a/docs/chapter_greedy/max_product_cutting_problem.md +++ b/docs/chapter_greedy/max_product_cutting_problem.md @@ -34,11 +34,11 @@ $$ 如下图所示，当 $n \geq 4$ 时，切分出一个 $2$ 后乘积会变大，**这说明大于等于 $4$ 的整数都应该被切分**。 -**贪心策略一**：如果切分方案中包含 $\geq 4$ 的因子，那么它就应该被继续切分。最终的切分方案只应出现 $1$ , $2$ , $3$ 这三种因子。 +**贪心策略一**：如果切分方案中包含 $\geq 4$ 的因子，那么它就应该被继续切分。最终的切分方案只应出现 $1$、$2$、$3$ 这三种因子。 ![切分导致乘积变大](max_product_cutting_problem.assets/max_product_cutting_greedy_infer1.png) -接下来思考哪个因子是最优的。在 $1$ , $2$ , $3$ 这三个因子中，显然 $1$ 是最差的，因为 $1 \times (n-1) < n$ 恒成立，即切分出 $1$ 反而会导致乘积减小。 +接下来思考哪个因子是最优的。在 $1$、$2$、$3$ 这三个因子中，显然 $1$ 是最差的，因为 $1 \times (n-1) < n$ 恒成立，即切分出 $1$ 反而会导致乘积减小。 如下图所示，当 $n = 6$ 时，有 $3 \times 3 > 2 \times 2 \times 2$ 。**这意味着切分出 $3$ 比切分出 $2$ 更优**。 @@ -48,7 +48,7 @@ $$ 总结以上，可推出以下贪心策略。 -1. 输入整数 $n$ ，从其不断地切分出因子 $3$ ，直至余数为 $0$ , $1$ , $2$ 。 +1. 输入整数 $n$ ，从其不断地切分出因子 $3$ ，直至余数为 $0$、$1$、$2$ 。 2. 当余数为 $0$ 时，代表 $n$ 是 $3$ 的倍数，因此不做任何处理。 3. 当余数为 $2$ 时，不继续划分，保留之。 4. 当余数为 $1$ 时，由于 $2 \times 2 > 1 \times 3$ ，因此应将最后一个 $3$ 替换为 $2$ 。 @@ -142,7 +142,7 @@ $$ - 运算符 `**` 和函数 `pow()` 的时间复杂度均为 $O(\log⁡ a)$ 。 - 函数 `math.pow()` 内部调用 C 语言库的 `pow()` 函数，其执行浮点取幂，时间复杂度为 $O(1)$ 。 -变量 $a$ , $b$ 使用常数大小的额外空间，**因此空间复杂度为 $O(1)$** 。 +变量 $a$ 和 $b$ 使用常数大小的额外空间，**因此空间复杂度为 $O(1)$** 。 ### 正确性证明 diff --git a/docs/chapter_hashing/hash_algorithm.md b/docs/chapter_hashing/hash_algorithm.md index 31146cd7f..864d1d0ef 100644 --- a/docs/chapter_hashing/hash_algorithm.md +++ b/docs/chapter_hashing/hash_algorithm.md @@ -193,7 +193,7 @@ index = hash(key) % capacity 先抛出结论：**当我们使用大质数作为模数时，可以最大化地保证哈希值的均匀分布**。因为质数不会与其他数字存在公约数，可以减少因取模操作而产生的周期性模式，从而避免哈希冲突。 -举个例子，假设我们选择合数 $9$ 作为模数，它可以被 $3$ 整除。那么所有可以被 $3$ 整除的 `key` 都会被映射到 $0$ , $3$ , $6$ 这三个哈希值。 +举个例子，假设我们选择合数 $9$ 作为模数，它可以被 $3$ 整除。那么所有可以被 $3$ 整除的 `key` 都会被映射到 $0$、$3$、$6$ 这三个哈希值。 $$ \begin{aligned} @@ -221,7 +221,7 @@ $$ 不难发现，以上介绍的简单哈希算法都比较“脆弱”，远远没有达到哈希算法的设计目标。例如，由于加法和异或满足交换律，因此加法哈希和异或哈希无法区分内容相同但顺序不同的字符串，这可能会加剧哈希冲突，并引起一些安全问题。 -在实际中，我们通常会用一些标准哈希算法，例如 MD5 , SHA-1 , SHA-2 , SHA3 等。它们可以将任意长度的输入数据映射到恒定长度的哈希值。 +在实际中，我们通常会用一些标准哈希算法，例如 MD5、SHA-1、SHA-2、SHA3 等。它们可以将任意长度的输入数据映射到恒定长度的哈希值。 近一个世纪以来，哈希算法处在不断升级与优化的过程中。一部分研究人员努力提升哈希算法的性能，另一部分研究人员和黑客则致力于寻找哈希算法的安全性问题。 diff --git a/docs/chapter_hashing/hash_collision.md b/docs/chapter_hashing/hash_collision.md index c6796e75f..023775370 100644 --- a/docs/chapter_hashing/hash_collision.md +++ b/docs/chapter_hashing/hash_collision.md @@ -206,7 +206,7 @@ ### 多次哈希 -顾名思义，多次哈希方法是使用多个哈希函数 $f_1(x)$ , $f_2(x)$ , $f_3(x)$ , $\dots$ 进行探测。 +顾名思义，多次哈希方法是使用多个哈希函数 $f_1(x)$、$f_2(x)$、$f_3(x)$、$\dots$ 进行探测。 - **插入元素**：若哈希函数 $f_1(x)$ 出现冲突，则尝试 $f_2(x)$ ，以此类推，直到找到空位后插入元素。 - **查找元素**：在相同的哈希函数顺序下进行查找，直到找到目标元素时返回；或遇到空位或已尝试所有哈希函数，说明哈希表中不存在该元素，则返回 $\text{None}$ 。 diff --git a/docs/chapter_hashing/hash_map.md b/docs/chapter_hashing/hash_map.md index cc3e27e96..d5224d7a1 100755 --- a/docs/chapter_hashing/hash_map.md +++ b/docs/chapter_hashing/hash_map.md @@ -452,7 +452,7 @@ index = hash(key) % capacity 随后，我们就可以利用 `index` 在哈希表中访问对应的桶，从而获取 `value` 。 -设数组长度 `capacity = 100` 、哈希算法 `hash(key) = key` ，易得哈希函数为 `key % 100` 。下图以 `key` 学号和 `value` 姓名为例，展示了哈希函数的工作原理。 +设数组长度 `capacity = 100`、哈希算法 `hash(key) = key` ，易得哈希函数为 `key % 100` 。下图以 `key` 学号和 `value` 姓名为例，展示了哈希函数的工作原理。 ![哈希函数工作原理](hash_map.assets/hash_function.png) diff --git a/docs/chapter_hashing/summary.md b/docs/chapter_hashing/summary.md index d587a791b..1f10d0bbb 100644 --- a/docs/chapter_hashing/summary.md +++ b/docs/chapter_hashing/summary.md @@ -11,7 +11,7 @@ - 不同编程语言采取了不同的哈希表实现。例如，Java 的 `HashMap` 使用链式地址，而 Python 的 `Dict` 采用开放寻址。 - 在哈希表中，我们希望哈希算法具有确定性、高效率和均匀分布的特点。在密码学中，哈希算法还应该具备抗碰撞性和雪崩效应。 - 哈希算法通常采用大质数作为模数，以最大化地保证哈希值的均匀分布，减少哈希冲突。 -- 常见的哈希算法包括 MD5, SHA-1, SHA-2, SHA3 等。MD5 常用于校验文件完整性，SHA-2 常用于安全应用与协议。 +- 常见的哈希算法包括 MD5、SHA-1、SHA-2 和 SHA3 等。MD5 常用于校验文件完整性，SHA-2 常用于安全应用与协议。 - 编程语言通常会为数据类型提供内置哈希算法，用于计算哈希表中的桶索引。通常情况下，只有不可变对象是可哈希的。 ## Q & A diff --git a/docs/chapter_heap/summary.md b/docs/chapter_heap/summary.md index bf6425ddd..73d834134 100644 --- a/docs/chapter_heap/summary.md +++ b/docs/chapter_heap/summary.md @@ -2,7 +2,7 @@ - 堆是一棵完全二叉树，根据成立条件可分为大顶堆和小顶堆。大（小）顶堆的堆顶元素是最大（小）的。 - 优先队列的定义是具有出队优先级的队列，通常使用堆来实现。 -- 堆的常用操作及其对应的时间复杂度包括：元素入堆 $O(\log n)$ 、堆顶元素出堆 $O(\log n)$ 和访问堆顶元素 $O(1)$ 等。 +- 堆的常用操作及其对应的时间复杂度包括：元素入堆 $O(\log n)$、堆顶元素出堆 $O(\log n)$ 和访问堆顶元素 $O(1)$ 等。 - 完全二叉树非常适合用数组表示，因此我们通常使用数组来存储堆。 - 堆化操作用于维护堆的性质，在入堆和出堆操作中都会用到。 - 输入 $n$ 个元素并建堆的时间复杂度可以优化至 $O(n)$ ，非常高效。 diff --git a/docs/chapter_heap/top_k.md b/docs/chapter_heap/top_k.md index 5ed49f75d..25093df0e 100644 --- a/docs/chapter_heap/top_k.md +++ b/docs/chapter_heap/top_k.md @@ -8,7 +8,7 @@ ## 方法一：遍历选择 -我们可以进行下图所示的 $k$ 轮遍历，分别在每轮中提取第 $1$ , $2$ , $\dots$ , $k$ 大的元素，时间复杂度为 $O(nk)$ 。 +我们可以进行下图所示的 $k$ 轮遍历，分别在每轮中提取第 $1$、$2$、$\dots$、$k$ 大的元素，时间复杂度为 $O(nk)$ 。 此方法只适用于 $k \ll n$ 的情况，因为当 $k$ 与 $n$ 比较接近时，其时间复杂度趋向于 $O(n^2)$ ，非常耗时。 diff --git a/docs/chapter_preface/about_the_book.md b/docs/chapter_preface/about_the_book.md index c054c657b..76294ac2e 100644 --- a/docs/chapter_preface/about_the_book.md +++ b/docs/chapter_preface/about_the_book.md @@ -3,7 +3,7 @@ 本项目旨在创建一本开源免费、新手友好的数据结构与算法入门教程。 - 全书采用动画图解，结构化地讲解数据结构与算法知识，内容清晰易懂、学习曲线平滑。 -- 算法源代码皆可一键运行，支持 Java, C++, Python, Go, JS, TS, C#, Swift, Zig 等语言。 +- 算法源代码皆可一键运行，支持 Java、C++、Python、Go、JS、TS、C#、Swift、Rust、Dart、Zig 等语言。 - 鼓励读者在章节讨论区互帮互助、共同进步，提问与评论通常可在两日内得到回复。 ## 读者对象 diff --git a/docs/chapter_searching/binary_search.md b/docs/chapter_searching/binary_search.md index a4910e37d..564f30252 100755 --- a/docs/chapter_searching/binary_search.md +++ b/docs/chapter_searching/binary_search.md @@ -117,7 +117,7 @@ 时间复杂度为 $O(\log n)$ 。每轮缩小一半区间，因此二分循环次数为 $\log_2 n$ 。 -空间复杂度为 $O(1)$ 。指针 `i` , `j` 使用常数大小空间。 +空间复杂度为 $O(1)$ 。指针 $i$ 和 $j$ 使用常数大小空间。 ## 区间表示方法 diff --git a/docs/chapter_searching/binary_search_edge.md b/docs/chapter_searching/binary_search_edge.md index ed73e0a6b..9075b1133 100644 --- a/docs/chapter_searching/binary_search_edge.md +++ b/docs/chapter_searching/binary_search_edge.md @@ -177,7 +177,7 @@ ### 转化为查找元素 -我们知道，当数组不包含 `target` 时，最后 $i$ , $j$ 会分别指向首个大于、小于 `target` 的元素。 +我们知道，当数组不包含 `target` 时，最终 $i$ 和 $j$ 会分别指向首个大于、小于 `target` 的元素。 因此，如下图所示，我们可以构造一个数组中不存在的元素，用于查找左右边界。 diff --git a/docs/chapter_searching/binary_search_insertion.md b/docs/chapter_searching/binary_search_insertion.md index ecfdb7b18..8b1ba62f4 100644 --- a/docs/chapter_searching/binary_search_insertion.md +++ b/docs/chapter_searching/binary_search_insertion.md @@ -222,6 +222,6 @@ 本节的代码都是“双闭区间”写法。有兴趣的读者可以自行实现“左闭右开”写法。 -总的来看，二分查找无非就是给指针 $i$ , $j$ 分别设定搜索目标，目标可能是一个具体的元素（例如 `target` ），也可能是一个元素范围（例如小于 `target` 的元素）。 +总的来看，二分查找无非就是给指针 $i$ 和 $j$ 分别设定搜索目标，目标可能是一个具体的元素（例如 `target` ），也可能是一个元素范围（例如小于 `target` 的元素）。 -在不断的循环二分中，指针 $i$ , $j$ 都逐渐逼近预先设定的目标。最终，它们或是成功找到答案，或是越过边界后停止。 +在不断的循环二分中，指针 $i$ 和 $j$ 都逐渐逼近预先设定的目标。最终，它们或是成功找到答案，或是越过边界后停止。 diff --git a/docs/chapter_sorting/bubble_sort.md b/docs/chapter_sorting/bubble_sort.md index 214eae862..90a33ed12 100755 --- a/docs/chapter_sorting/bubble_sort.md +++ b/docs/chapter_sorting/bubble_sort.md @@ -188,6 +188,6 @@ ## 算法特性 -- **时间复杂度为 $O(n^2)$ 、自适应排序** ：各轮“冒泡”遍历的数组长度依次为 $n - 1$ , $n - 2$ , $\dots$ , $2$ , $1$ ，总和为 $(n - 1) n / 2$ 。在引入 `flag` 优化后，最佳时间复杂度可达到 $O(n)$ 。 -- **空间复杂度为 $O(1)$ 、原地排序**：指针 $i$ , $j$ 使用常数大小的额外空间。 +- **时间复杂度为 $O(n^2)$、自适应排序**：各轮“冒泡”遍历的数组长度依次为 $n - 1$、$n - 2$、$\dots$、$2$、$1$ ，总和为 $(n - 1) n / 2$ 。在引入 `flag` 优化后，最佳时间复杂度可达到 $O(n)$ 。 +- **空间复杂度为 $O(1)$、原地排序**：指针 $i$ 和 $j$ 使用常数大小的额外空间。 - **稳定排序**：由于在“冒泡”中遇到相等元素不交换。 diff --git a/docs/chapter_sorting/bucket_sort.md b/docs/chapter_sorting/bucket_sort.md index b49e23028..968c13164 100644 --- a/docs/chapter_sorting/bucket_sort.md +++ b/docs/chapter_sorting/bucket_sort.md @@ -94,7 +94,7 @@ - **时间复杂度 $O(n + k)$** ：假设元素在各个桶内平均分布，那么每个桶内的元素数量为 $\frac{n}{k}$ 。假设排序单个桶使用 $O(\frac{n}{k} \log\frac{n}{k})$ 时间，则排序所有桶使用 $O(n \log\frac{n}{k})$ 时间。**当桶数量 $k$ 比较大时，时间复杂度则趋向于 $O(n)$** 。合并结果时需要遍历所有桶和元素，花费 $O(n + k)$ 时间。 - **自适应排序**：在最坏情况下，所有数据被分配到一个桶中，且排序该桶使用 $O(n^2)$ 时间。 -- **空间复杂度 $O(n + k)$ 、非原地排序** ：需要借助 $k$ 个桶和总共 $n$ 个元素的额外空间。 +- **空间复杂度 $O(n + k)$、非原地排序**：需要借助 $k$ 个桶和总共 $n$ 个元素的额外空间。 - 桶排序是否稳定取决于排序桶内元素的算法是否稳定。 ## 如何实现平均分配 diff --git a/docs/chapter_sorting/counting_sort.md b/docs/chapter_sorting/counting_sort.md index ded4db482..f249c4219 100644 --- a/docs/chapter_sorting/counting_sort.md +++ b/docs/chapter_sorting/counting_sort.md @@ -206,7 +206,7 @@ $$ ## 算法特性 - **时间复杂度 $O(n + m)$** ：涉及遍历 `nums` 和遍历 `counter` ，都使用线性时间。一般情况下 $n \gg m$ ，时间复杂度趋于 $O(n)$ 。 -- **空间复杂度 $O(n + m)$ 、非原地排序** ：借助了长度分别为 $n$ 和 $m$ 的数组 `res` 和 `counter` 。 +- **空间复杂度 $O(n + m)$、非原地排序**：借助了长度分别为 $n$ 和 $m$ 的数组 `res` 和 `counter` 。 - **稳定排序**：由于向 `res` 中填充元素的顺序是“从右向左”的，因此倒序遍历 `nums` 可以避免改变相等元素之间的相对位置，从而实现稳定排序。实际上，正序遍历 `nums` 也可以得到正确的排序结果，但结果是非稳定的。 ## 局限性 diff --git a/docs/chapter_sorting/heap_sort.md b/docs/chapter_sorting/heap_sort.md index 2608dc9cd..f048c8f90 100644 --- a/docs/chapter_sorting/heap_sort.md +++ b/docs/chapter_sorting/heap_sort.md @@ -160,6 +160,6 @@ ## 算法特性 -- **时间复杂度 $O(n \log n)$ 、非自适应排序** ：建堆操作使用 $O(n)$ 时间。从堆中提取最大元素的时间复杂度为 $O(\log n)$ ，共循环 $n - 1$ 轮。 -- **空间复杂度 $O(1)$ 、原地排序** ：几个指针变量使用 $O(1)$ 空间。元素交换和堆化操作都是在原数组上进行的。 +- **时间复杂度 $O(n \log n)$、非自适应排序**：建堆操作使用 $O(n)$ 时间。从堆中提取最大元素的时间复杂度为 $O(\log n)$ ，共循环 $n - 1$ 轮。 +- **空间复杂度 $O(1)$、原地排序**：几个指针变量使用 $O(1)$ 空间。元素交换和堆化操作都是在原数组上进行的。 - **非稳定排序**：在交换堆顶元素和堆底元素时，相等元素的相对位置可能发生变化。 diff --git a/docs/chapter_sorting/insertion_sort.md b/docs/chapter_sorting/insertion_sort.md index c4b903880..6865538bd 100755 --- a/docs/chapter_sorting/insertion_sort.md +++ b/docs/chapter_sorting/insertion_sort.md @@ -93,8 +93,8 @@ ## 算法特性 -- **时间复杂度 $O(n^2)$ 、自适应排序** ：最差情况下，每次插入操作分别需要循环 $n - 1$ , $n-2$ , $\dots$ , $2$ , $1$ 次，求和得到 $(n - 1) n / 2$ ，因此时间复杂度为 $O(n^2)$ 。在遇到有序数据时，插入操作会提前终止。当输入数组完全有序时，插入排序达到最佳时间复杂度 $O(n)$ 。 -- **空间复杂度 $O(1)$ 、原地排序** ：指针 $i$ , $j$ 使用常数大小的额外空间。 +- **时间复杂度 $O(n^2)$、自适应排序**：最差情况下，每次插入操作分别需要循环 $n - 1$、$n-2$、$\dots$、$2$、$1$ 次，求和得到 $(n - 1) n / 2$ ，因此时间复杂度为 $O(n^2)$ 。在遇到有序数据时，插入操作会提前终止。当输入数组完全有序时，插入排序达到最佳时间复杂度 $O(n)$ 。 +- **空间复杂度 $O(1)$、原地排序**：指针 $i$ 和 $j$ 使用常数大小的额外空间。 - **稳定排序**：在插入操作过程中，我们会将元素插入到相等元素的右侧，不会改变它们的顺序。 ## 插入排序优势 diff --git a/docs/chapter_sorting/merge_sort.md b/docs/chapter_sorting/merge_sort.md index 5b8b475ca..c895f0ca4 100755 --- a/docs/chapter_sorting/merge_sort.md +++ b/docs/chapter_sorting/merge_sort.md @@ -154,8 +154,8 @@ ## 算法特性 -- **时间复杂度 $O(n \log n)$ 、非自适应排序** ：划分产生高度为 $\log n$ 的递归树，每层合并的总操作数量为 $n$ ，因此总体时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。 -- **空间复杂度 $O(n)$ 、非原地排序** ：递归深度为 $\log n$ ，使用 $O(\log n)$ 大小的栈帧空间。合并操作需要借助辅助数组实现，使用 $O(n)$ 大小的额外空间。 +- **时间复杂度 $O(n \log n)$、非自适应排序**：划分产生高度为 $\log n$ 的递归树，每层合并的总操作数量为 $n$ ，因此总体时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。 +- **空间复杂度 $O(n)$、非原地排序**：递归深度为 $\log n$ ，使用 $O(\log n)$ 大小的栈帧空间。合并操作需要借助辅助数组实现，使用 $O(n)$ 大小的额外空间。 - **稳定排序**：在合并过程中，相等元素的次序保持不变。 ## 链表排序 * diff --git a/docs/chapter_sorting/quick_sort.md b/docs/chapter_sorting/quick_sort.md index d39522129..f1a3dc163 100755 --- a/docs/chapter_sorting/quick_sort.md +++ b/docs/chapter_sorting/quick_sort.md @@ -215,8 +215,8 @@ ## 算法特性 -- **时间复杂度 $O(n \log n)$ 、自适应排序** ：在平均情况下，哨兵划分的递归层数为 $\log n$ ，每层中的总循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n \log n)$ 时间。在最差情况下，每轮哨兵划分操作都将长度为 $n$ 的数组划分为长度为 $0$ 和 $n - 1$ 的两个子数组，此时递归层数达到 $n$ 层，每层中的循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n^2)$ 时间。 -- **空间复杂度 $O(n)$ 、原地排序** ：在输入数组完全倒序的情况下，达到最差递归深度 $n$ ，使用 $O(n)$ 栈帧空间。排序操作是在原数组上进行的，未借助额外数组。 +- **时间复杂度 $O(n \log n)$、自适应排序**：在平均情况下，哨兵划分的递归层数为 $\log n$ ，每层中的总循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n \log n)$ 时间。在最差情况下，每轮哨兵划分操作都将长度为 $n$ 的数组划分为长度为 $0$ 和 $n - 1$ 的两个子数组，此时递归层数达到 $n$ 层，每层中的循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n^2)$ 时间。 +- **空间复杂度 $O(n)$、原地排序**：在输入数组完全倒序的情况下，达到最差递归深度 $n$ ，使用 $O(n)$ 栈帧空间。排序操作是在原数组上进行的，未借助额外数组。 - **非稳定排序**：在哨兵划分的最后一步，基准数可能会被交换至相等元素的右侧。 ## 快排为什么快？ @@ -229,7 +229,7 @@ ## 基准数优化 -**快速排序在某些输入下的时间效率可能降低**。举一个极端例子，假设输入数组是完全倒序的，由于我们选择最左端元素作为基准数，那么在哨兵划分完成后，基准数被交换至数组最右端，导致左子数组长度为 $n - 1$ 、右子数组长度为 $0$ 。如此递归下去，每轮哨兵划分后的右子数组长度都为 $0$ ，分治策略失效，快速排序退化为“冒泡排序”。 +**快速排序在某些输入下的时间效率可能降低**。举一个极端例子，假设输入数组是完全倒序的，由于我们选择最左端元素作为基准数，那么在哨兵划分完成后，基准数被交换至数组最右端，导致左子数组长度为 $n - 1$、右子数组长度为 $0$ 。如此递归下去，每轮哨兵划分后的右子数组长度都为 $0$ ，分治策略失效，快速排序退化为“冒泡排序”。 为了尽量避免这种情况发生，**我们可以优化哨兵划分中的基准数的选取策略**。例如，我们可以随机选取一个元素作为基准数。然而，如果运气不佳，每次都选到不理想的基准数，效率仍然不尽如人意。 diff --git a/docs/chapter_sorting/radix_sort.md b/docs/chapter_sorting/radix_sort.md index 964adfb0c..2c8365328 100644 --- a/docs/chapter_sorting/radix_sort.md +++ b/docs/chapter_sorting/radix_sort.md @@ -152,6 +152,6 @@ $$ 相较于计数排序，基数排序适用于数值范围较大的情况，**但前提是数据必须可以表示为固定位数的格式，且位数不能过大**。例如，浮点数不适合使用基数排序，因为其位数 $k$ 过大，可能导致时间复杂度 $O(nk) \gg O(n^2)$ 。 -- **时间复杂度 $O(nk)$** ：设数据量为 $n$ 、数据为 $d$ 进制、最大位数为 $k$ ，则对某一位执行计数排序使用 $O(n + d)$ 时间，排序所有 $k$ 位使用 $O((n + d)k)$ 时间。通常情况下，$d$ 和 $k$ 都相对较小，时间复杂度趋向 $O(n)$ 。 -- **空间复杂度 $O(n + d)$ 、非原地排序** ：与计数排序相同，基数排序需要借助长度为 $n$ 和 $d$ 的数组 `res` 和 `counter` 。 +- **时间复杂度 $O(nk)$**：设数据量为 $n$、数据为 $d$ 进制、最大位数为 $k$ ，则对某一位执行计数排序使用 $O(n + d)$ 时间，排序所有 $k$ 位使用 $O((n + d)k)$ 时间。通常情况下，$d$ 和 $k$ 都相对较小，时间复杂度趋向 $O(n)$ 。 +- **空间复杂度 $O(n + d)$、非原地排序**：与计数排序相同，基数排序需要借助长度为 $n$ 和 $d$ 的数组 `res` 和 `counter` 。 - **稳定排序**：与计数排序相同。 diff --git a/docs/chapter_sorting/selection_sort.md b/docs/chapter_sorting/selection_sort.md index d3a18c577..43074e91e 100644 --- a/docs/chapter_sorting/selection_sort.md +++ b/docs/chapter_sorting/selection_sort.md @@ -119,8 +119,8 @@ ## 算法特性 -- **时间复杂度为 $O(n^2)$ 、非自适应排序**：外循环共 $n - 1$ 轮，第一轮的未排序区间长度为 $n$ ，最后一轮的未排序区间长度为 $2$ ，即各轮外循环分别包含 $n$ , $n - 1$ , $\dots$ , $2$ 轮内循环，求和为 $\frac{(n - 1)(n + 2)}{2}$ 。 -- **空间复杂度 $O(1)$ 、原地排序**：指针 $i$ , $j$ 使用常数大小的额外空间。 +- **时间复杂度为 $O(n^2)$、非自适应排序**：外循环共 $n - 1$ 轮，第一轮的未排序区间长度为 $n$ ，最后一轮的未排序区间长度为 $2$ ，即各轮外循环分别包含 $n$、$n - 1$、$\dots$、$3$、$2$ 轮内循环，求和为 $\frac{(n - 1)(n + 2)}{2}$ 。 +- **空间复杂度 $O(1)$、原地排序**：指针 $i$ 和 $j$ 使用常数大小的额外空间。 - **非稳定排序**：如下图所示，元素 `nums[i]` 有可能被交换至与其相等的元素的右边，导致两者相对顺序发生改变。 ![选择排序非稳定示例](selection_sort.assets/selection_sort_instability.png) diff --git a/docs/chapter_sorting/sorting_algorithm.md b/docs/chapter_sorting/sorting_algorithm.md index 2f2f203bf..04a3d6328 100644 --- a/docs/chapter_sorting/sorting_algorithm.md +++ b/docs/chapter_sorting/sorting_algorithm.md @@ -39,7 +39,7 @@ 自适应性需要根据具体情况来评估。如果最差时间复杂度差于平均时间复杂度，说明排序算法在某些数据下性能可能劣化，因此被视为负面属性；而如果最佳时间复杂度优于平均时间复杂度，则被视为正面属性。 -**是否基于比较**：「基于比较的排序」依赖于比较运算符（$<$ , $=$ , $>$）来判断元素的相对顺序，从而排序整个数组，理论最优时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。而「非比较排序」不使用比较运算符，时间复杂度可达 $O(n)$ ，但其通用性相对较差。 +**是否基于比较**：「基于比较的排序」依赖于比较运算符（$<$、$=$、$>$）来判断元素的相对顺序，从而排序整个数组，理论最优时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。而「非比较排序」不使用比较运算符，时间复杂度可达 $O(n)$ ，但其通用性相对较差。 ## 理想排序算法 diff --git a/docs/chapter_sorting/summary.md b/docs/chapter_sorting/summary.md index b19fd8d47..a91d8a32e 100644 --- a/docs/chapter_sorting/summary.md +++ b/docs/chapter_sorting/summary.md @@ -36,7 +36,7 @@ 递归深度就是当前未返回的递归方法的数量。每轮哨兵划分我们将原数组划分为两个子数组。在尾递归优化后，向下递归的子数组长度最大为原数组的一半长度。假设最差情况，一直为一半长度，那么最终的递归深度就是 $\log n$ 。 - 回顾原始的快速排序，我们有可能会连续地递归长度较大的数组，最差情况下为 $n, n - 1, n - 2, ..., 2, 1$ ，从而递归深度为 $n$ 。尾递归优化可以避免这种情况的出现。 + 回顾原始的快速排序，我们有可能会连续地递归长度较大的数组，最差情况下为 $n$、$n - 1$、$\dots$、$2$、$1$ ，递归深度为 $n$ 。尾递归优化可以避免这种情况的出现。 !!! question "当数组中所有元素都相等时，快速排序的时间复杂度是 $O(n^2)$ 吗？该如何处理这种退化情况？" diff --git a/docs/chapter_stack_and_queue/stack.md b/docs/chapter_stack_and_queue/stack.md index 9102385ab..287eda6af 100755 --- a/docs/chapter_stack_and_queue/stack.md +++ b/docs/chapter_stack_and_queue/stack.md @@ -10,7 +10,7 @@ ## 栈常用操作 -栈的常用操作如下表所示，具体的方法名需要根据所使用的编程语言来确定。在此，我们以常见的 `push()` , `pop()` , `peek()` 命名为例。 +栈的常用操作如下表所示，具体的方法名需要根据所使用的编程语言来确定。在此，我们以常见的 `push()`、`pop()`、`peek()` 命名为例。

表   栈的操作效率

@@ -475,7 +475,7 @@ 在链表实现中，链表的扩容非常灵活，不存在上述数组扩容时效率降低的问题。但是，入栈操作需要初始化节点对象并修改指针，因此效率相对较低。不过，如果入栈元素本身就是节点对象，那么可以省去初始化步骤，从而提高效率。 -综上所述，当入栈与出栈操作的元素是基本数据类型（如 `int` , `double` ）时，我们可以得出以下结论。 +综上所述，当入栈与出栈操作的元素是基本数据类型时，例如 `int` 或 `double` ，我们可以得出以下结论。 - 基于数组实现的栈在触发扩容时效率会降低，但由于扩容是低频操作，因此平均效率更高。 - 基于链表实现的栈可以提供更加稳定的效率表现。 diff --git a/docs/chapter_tree/binary_tree.md b/docs/chapter_tree/binary_tree.md index faa3a1bd6..a8c4fa003 100644 --- a/docs/chapter_tree/binary_tree.md +++ b/docs/chapter_tree/binary_tree.md @@ -175,9 +175,9 @@ - 「叶节点 leaf node」：没有子节点的节点，其两个指针均指向 $\text{None}$ 。 - 「边 edge」：连接两个节点的线段，即节点引用（指针）。 - 节点所在的「层 level」：从顶至底递增，根节点所在层为 1 。 -- 节点的「度 degree」：节点的子节点的数量。在二叉树中，度的取值范围是 0, 1, 2 。 +- 节点的「度 degree」：节点的子节点的数量。在二叉树中，度的取值范围是 0、1、2 。 - 二叉树的「高度 height」：从根节点到最远叶节点所经过的边的数量。 -- 节点的「深度 depth」 ：从根节点到该节点所经过的边的数量。 +- 节点的「深度 depth」：从根节点到该节点所经过的边的数量。 - 节点的「高度 height」：从最远叶节点到该节点所经过的边的数量。 ![二叉树的常用术语](binary_tree.assets/binary_tree_terminology.png) diff --git a/docs/chapter_tree/summary.md b/docs/chapter_tree/summary.md index f43af88b5..156da434f 100644 --- a/docs/chapter_tree/summary.md +++ b/docs/chapter_tree/summary.md @@ -26,7 +26,7 @@ DFS 的前、中、后序遍历和访问数组的顺序类似，是遍历二叉树的基本方法，利用这三种遍历方法，我们可以得到一个特定顺序的遍历结果。例如在二叉搜索树中，由于结点大小满足 `左子结点值 < 根结点值 < 右子结点值` ，因此我们只要按照 `左->根->右` 的优先级遍历树，就可以获得有序的节点序列。 -!!! question "右旋操作是处理失衡节点 `node` , `child` , `grand_child` 之间的关系，那 `node` 的父节点和 `node` 原来的连接不需要维护吗？右旋操作后岂不是断掉了？" +!!! question "右旋操作是处理失衡节点 `node`、`child`、`grand_child` 之间的关系，那 `node` 的父节点和 `node` 原来的连接不需要维护吗？右旋操作后岂不是断掉了？" 我们需要从递归的视角来看这个问题。右旋操作 `right_rotate(root)` 传入的是子树的根节点，最终 `return child` 返回旋转之后的子树的根节点。子树的根节点和其父节点的连接是在该函数返回后完成的，不属于右旋操作的维护范围。