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4290026e0e
7 changed files with 332 additions and 44 deletions
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@ -1,6 +1,6 @@
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<p align="center">
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<a href="https://www.hello-algo.com/">
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<img src="docs/index.assets/conceptual_rendering.png" width="220">
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<img src="docs/index.assets/conceptual_rendering.png" width="200">
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</a>
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</p>
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@ -14,7 +14,7 @@
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前往阅读 >>
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前往阅读 >
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<a href="https://www.hello-algo.com/">
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hello-algo.com
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</a>
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@ -45,6 +45,7 @@
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| 新增：查找算法 | 2022-11-19 |
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| 更新：Markdown Stylesheet</br>新增：冒泡排序、插入排序 | 2022-11-21 |
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| 新增：快速排序 | 2022-11-22 |
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| 新增：归并排序，更新：快速排序 | 2022-11-23 |
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## License
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48
codes/java/chapter_sorting/merge_sort.java
Normal file
48
codes/java/chapter_sorting/merge_sort.java
Normal file
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@ -0,0 +1,48 @@
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package chapter_sorting;
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import java.util.*;
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public class merge_sort {
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/**
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* 合并左子数组和右子数组
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* 左子数组区间 [left, mid]
|
||||
* 右子数组区间 [mid + 1, right]
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||||
*/
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||||
static void merge(int[] nums, int left, int mid, int right) {
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||||
int[] tmp = Arrays.copyOfRange(nums, left, right + 1); // 初始化辅助数组
|
||||
int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left, // 左子数组的起始索引和结束索引
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||||
rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left; // 右子数组的起始索引和结束索引
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||||
int i = leftStart, j = rightStart; // i,j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
|
||||
// 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
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||||
for (int k = left; k <= right; k++) {
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||||
// 若 “左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
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||||
if (i > leftEnd)
|
||||
nums[k] = tmp[j++];
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||||
// 否则，若 “右子数组已全部合并完” 或 “左子数组元素 < 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
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||||
else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j])
|
||||
nums[k] = tmp[i++];
|
||||
// 否则，若 “左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
|
||||
else
|
||||
nums[k] = tmp[j++];
|
||||
}
|
||||
}
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||||
/* 归并排序 */
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||||
static void mergeSort(int[] nums, int left, int right) {
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||||
// 终止条件
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||||
if (left >= right) return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
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// 划分阶段
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int mid = (left + right) / 2; // 计算中点
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mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
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||||
mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
|
||||
// 合并阶段
|
||||
merge(nums, left, mid, right);
|
||||
}
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||||
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||||
public static void main(String[] args) {
|
||||
/* 归并排序 */
|
||||
int[] nums = { 2, 4, 1, 0, 3, 5 };
|
||||
mergeSort(nums, 0, nums.length - 1);
|
||||
System.out.println("归并排序完成后 nums = " + Arrays.toString(nums));
|
||||
}
|
||||
}
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154
codes/java/chapter_sorting/quick_sort.java
Normal file
154
codes/java/chapter_sorting/quick_sort.java
Normal file
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@ -0,0 +1,154 @@
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|||
package chapter_sorting;
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||||
import java.util.*;
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||||
/* 快速排序类 */
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||||
class QuickSort {
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||||
/* 元素交换 */
|
||||
static void swap(int[] nums, int i, int j) {
|
||||
int tmp = nums[i];
|
||||
nums[i] = nums[j];
|
||||
nums[j] = tmp;
|
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}
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||||
/* 哨兵划分 */
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||||
static int partition(int[] nums, int left, int right) {
|
||||
// 以 nums[left] 作为基准数
|
||||
int i = left, j = right;
|
||||
while (i < j) {
|
||||
while (i < j && nums[j] >= nums[left])
|
||||
j--; // 从右向左找首个小于基准数的元素
|
||||
while (i < j && nums[i] <= nums[left])
|
||||
i++; // 从左向右找首个大于基准数的元素
|
||||
swap(nums, i, j); // 交换这两个元素
|
||||
}
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||||
swap(nums, i, left); // 将基准数交换至两子数组的分界线
|
||||
return i; // 返回基准数的索引
|
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}
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||||
/* 快速排序 */
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||||
public static void quickSort(int[] nums, int left, int right) {
|
||||
// 子数组长度为 1 时终止递归
|
||||
if (left >= right)
|
||||
return;
|
||||
// 哨兵划分
|
||||
int pivot = partition(nums, left, right);
|
||||
// 递归左子数组、右子数组
|
||||
quickSort(nums, left, pivot - 1);
|
||||
quickSort(nums, pivot + 1, right);
|
||||
}
|
||||
}
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||||
/* 快速排序类（中位基准数优化） */
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||||
class QuickSortMedian {
|
||||
/* 元素交换 */
|
||||
static void swap(int[] nums, int i, int j) {
|
||||
int tmp = nums[i];
|
||||
nums[i] = nums[j];
|
||||
nums[j] = tmp;
|
||||
}
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||||
/* 选取三个元素的中位数 */
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||||
static int medianThree(int[] nums, int left, int mid, int right) {
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||||
// 使用了异或操作来简化代码
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||||
// 异或规则为 0 ^ 0 = 1 ^ 1 = 0, 0 ^ 1 = 1 ^ 0 = 1
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||||
if ((nums[left] > nums[mid]) ^ (nums[left] > nums[right]))
|
||||
return left;
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||||
else if ((nums[mid] < nums[left]) ^ (nums[mid] < nums[right]))
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||||
return mid;
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||||
else
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||||
return right;
|
||||
}
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||||
/* 哨兵划分（三数取中值） */
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||||
static int partition(int[] nums, int left, int right) {
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||||
// 选取三个候选元素的中位数
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||||
int med = medianThree(nums, left, (left + right) / 2, right);
|
||||
// 将中位数交换至数组最左端
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||||
swap(nums, left, med);
|
||||
// 以 nums[left] 作为基准数
|
||||
int i = left, j = right;
|
||||
while (i < j) {
|
||||
while (i < j && nums[j] >= nums[left])
|
||||
j--; // 从右向左找首个小于基准数的元素
|
||||
while (i < j && nums[i] <= nums[left])
|
||||
i++; // 从左向右找首个大于基准数的元素
|
||||
swap(nums, i, j); // 交换这两个元素
|
||||
}
|
||||
swap(nums, i, left); // 将基准数交换至两子数组的分界线
|
||||
return i; // 返回基准数的索引
|
||||
}
|
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||||
/* 快速排序 */
|
||||
public static void quickSort(int[] nums, int left, int right) {
|
||||
// 子数组长度为 1 时终止递归
|
||||
if (left >= right)
|
||||
return;
|
||||
// 哨兵划分
|
||||
int pivot = partition(nums, left, right);
|
||||
// 递归左子数组、右子数组
|
||||
quickSort(nums, left, pivot - 1);
|
||||
quickSort(nums, pivot + 1, right);
|
||||
}
|
||||
}
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||||
/* 快速排序类（尾递归优化） */
|
||||
class QuickSortTailCall {
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||||
/* 元素交换 */
|
||||
static void swap(int[] nums, int i, int j) {
|
||||
int tmp = nums[i];
|
||||
nums[i] = nums[j];
|
||||
nums[j] = tmp;
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* 哨兵划分 */
|
||||
static int partition(int[] nums, int left, int right) {
|
||||
// 以 nums[left] 作为基准数
|
||||
int i = left, j = right;
|
||||
while (i < j) {
|
||||
while (i < j && nums[j] >= nums[left])
|
||||
j--; // 从右向左找首个小于基准数的元素
|
||||
while (i < j && nums[i] <= nums[left])
|
||||
i++; // 从左向右找首个大于基准数的元素
|
||||
swap(nums, i, j); // 交换这两个元素
|
||||
}
|
||||
swap(nums, i, left); // 将基准数交换至两子数组的分界线
|
||||
return i; // 返回基准数的索引
|
||||
}
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/* 快速排序（尾递归优化） */
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static void quickSort(int[] nums, int left, int right) {
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||||
// 子数组长度为 1 时终止
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while (left < right) {
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||||
// 哨兵划分操作
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int pivot = partition(nums, left, right);
|
||||
// 对两个子数组中较短的那个执行快排
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if (pivot - left < right - pivot) {
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||||
quickSort(nums, left, pivot - 1); // 递归排序左子数组
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||||
left = pivot + 1; // 剩余待排序区间为 [pivot + 1, right]
|
||||
} else {
|
||||
quickSort(nums, pivot + 1, right); // 递归排序右子数组
|
||||
right = pivot - 1; // 剩余待排序区间为 [left, pivot - 1]
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
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|
||||
public class quick_sort {
|
||||
public static void main(String[] args) {
|
||||
/* 快速排序 */
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||||
int[] nums = { 2, 4, 1, 0, 3, 5 };
|
||||
QuickSort.quickSort(nums, 0, nums.length - 1);
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||||
System.out.println("快速排序完成后 nums = " + Arrays.toString(nums));
|
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||||
/* 快速排序（中位基准数优化） */
|
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int[] nums1 = { 2, 4, 1, 0, 3, 5 };
|
||||
QuickSortMedian.quickSort(nums1, 0, nums1.length - 1);
|
||||
System.out.println("快速排序（中位基准数优化）完成后 nums1 = " + Arrays.toString(nums1));
|
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|
||||
/* 快速排序（尾递归优化） */
|
||||
int[] nums2 = { 2, 4, 1, 0, 3, 5 };
|
||||
QuickSortTailCall.quickSort(nums2, 0, nums2.length - 1);
|
||||
System.out.println("快速排序（尾递归优化）完成后 nums2 = " + Arrays.toString(nums2));
|
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}
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}
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@ -82,11 +82,11 @@ comments: true
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**空间复杂度 $O(1)$ ：** 指针 $i$ , $j$ 使用常数大小的额外空间。
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||||
**原地性：** 指针变量仅使用常数大小额外空间，因此是 **原地排序** 。
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**原地排序：** 指针变量仅使用常数大小额外空间。
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||||
**稳定性：** 不交换相等元素，因此是 **稳定排序** 。
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||||
**稳定排序：** 不交换相等元素。
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||||
**自适应：** 引入 `flag` 优化后（见下文），可在输入数组已排序下达到最优时间复杂度 $O(N)$ ，因此是 **自适应排序** 。
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**自适排序：** 引入 `flag` 优化后（见下文），最佳时间复杂度为 $O(N)$ 。
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## 效率优化
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@ -50,11 +50,11 @@ comments: true
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||||
**空间复杂度 $O(1)$ ：** 指针 $i$ , $j$ 使用常数大小的额外空间。
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|
||||
**原地性：** 指针变量仅使用常数大小额外空间，因此是 **原地排序** 。
|
||||
**原地排序：** 指针变量仅使用常数大小额外空间。
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|
||||
**稳定性：** 不交换相等元素，因此是 **稳定排序** 。
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||||
**稳定排序：** 不交换相等元素。
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**自适应：** 当输入数组完全有序时，每次插入操作（即内循环）仅循环一次，此时时间复杂度为 $O(n)$ 。
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**自适应排序：** 最佳情况下，时间复杂度为 $O(n)$ 。
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## 插入排序 vs 冒泡排序
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@ -4,3 +4,90 @@ comments: true
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# 归并排序
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「归并排序 Merge Sort」是算法中 “分治思想” 的典型体现，其有「划分」和「合并」两个阶段：
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1. **划分：** 不断递归地 **将数组从中点位置划分开**，将长数组的排序问题转化为短数组的排序问题；
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2. **合并：** 划分到子数组长度为 1 时，开始向上合并，不断将 **左 / 右两个短排序数组** 合并为 **一个长排序数组**，直至合并至原数组时完成排序；
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（图）
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## 算法流程
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**递归划分：** 从顶至底递归地 **将数组从中点切为两个子数组** ，直至长度为 1 ；
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1. 计算数组中点 `mid` ，递归划分左子数组（区间 `[left, mid]` ）和右子数组（区间 `[mid + 1, right]` ）；
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2. 递归执行 `1.` 步骤，直至子数组区间长度为 1 时，终止递归划分；
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**回溯合并：** 从底至顶将左子数组和右子数组合并为一个 **有序数组** ；由于是从长度为 1 的子数组开始合并的，因此 **每个子数组也是有序的** ，因此合并任务本质是要 **将两个有序子数组合并为一个有序数组** ；
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1. 初始化一个辅助数组 `tmp` 暂存待合并区间 `[left, right]` 内的元素，后序通过覆盖原数组 `nums` 的元素来实现合并；
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2. 初始化指针 `i` , `j` , `k` 分别指向左子数组、右子数组、原数组的首元素；
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||||
3. 循环判断 `tmp[i]` 和 `tmp[j]` 的大小，将较小的先覆盖至 `nums[k]` ，指针 `i` , `j` 根据判断结果交替前进（指针 `k` 也前进），直至两个子数组都遍历完，即可完成合并。
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合并代码的实现主要难点：
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- **`nums` 的待合并区间为 `[left, right]`** ，而由于 `tmp` 只复制了 `nums` 该区间元素，因此 **`tmp` 对应区间为 `[0, right - left]`** 。以下代码中的 `leftStart` , `leftEnd` , `rightStart` , `rightEnd` , `i` , `j` 都是根据 `tmp` 定义的，而 `k` 是根据 `nums` 定义的。
|
||||
- 判断 `tmp[i]` 和 `tmp[j]` 的大小的操作中，还 **需考虑当子数组遍历完成后的索引越界问题**，即 `i > leftEnd` 和 `j > rightEnd` 的情况，索引越界的优先级是最高的，例如如果左子数组已经被合并完了，那么不用继续判断，直接合并右子数组元素即可。
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（动画）
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=== "Java"
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```java title="merge_sort.java"
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/**
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||||
* 合并左子数组和右子数组
|
||||
* 左子数组区间 [left, mid]
|
||||
* 右子数组区间 [mid + 1, right]
|
||||
*/
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||||
void merge(int[] nums, int left, int mid, int right) {
|
||||
int[] tmp = Arrays.copyOfRange(nums, left, right + 1); // 初始化辅助数组
|
||||
int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left, // 左子数组的起始索引和结束索引
|
||||
rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left; // 右子数组的起始索引和结束索引
|
||||
int i = leftStart, j = rightStart; // i,j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
|
||||
// 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
|
||||
for (int k = left; k <= right; k++) {
|
||||
// 若 “左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
|
||||
if (i > leftEnd)
|
||||
nums[k] = tmp[j++];
|
||||
// 否则，若 “右子数组已全部合并完” 或 “左子数组元素 < 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
|
||||
else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j])
|
||||
nums[k] = tmp[i++];
|
||||
// 否则，若 “左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
|
||||
else
|
||||
nums[k] = tmp[j++];
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* 归并排序 */
|
||||
void mergeSort(int[] nums, int left, int right) {
|
||||
// 终止条件
|
||||
if (left >= right) return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
|
||||
// 递归划分
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||||
int mid = (left + right) / 2; // 计算数组中点
|
||||
mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
|
||||
mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
|
||||
// 回溯合并
|
||||
merge(nums, left, mid, right);
|
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}
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```
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## 算法特性
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- **时间复杂度 $O(n \log n)$ ：** 划分形成高度为 $\log n$ 的递归树，每层合并的总操作数量为 $n$ ，总体使用 $O(n \log n)$ 时间。
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||||
- **空间复杂度 $O(n)$ ：** 需借助辅助数组实现合并，使用 $O(n)$ 大小的额外空间；递归深度为 $\log n$ ，使用 $O(\log n)$ 大小的栈帧空间。
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||||
- **非原地排序：** 辅助数组需要使用 $O(n)$ 额外空间。
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||||
- **稳定排序：** 在合并时可保证相等元素的相对位置不变。
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||||
- **非自适应排序：** 对于任意输入数据，归并排序的时间复杂度皆相同。
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## 链表排序 *
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归并排序有一个很特别的优势，用于排序链表时有很好的性能表现，**空间复杂度可被优化至 $O(1)$** ，这是因为：
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- 由于链表可仅通过改变指针来实现结点增删，因此 “将两个短有序链表合并为一个长有序链表” 无需使用额外空间，即回溯合并阶段不用像排序数组一样建立辅助数组 `tmp` ；
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- 通过使用「迭代」代替「递归划分」，可省去递归使用的栈帧空间；
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!!! quote
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详情参考：[148. 排序链表](https://leetcode-cn.com/problems/sort-list/solution/sort-list-gui-bing-pai-xu-lian-biao-by-jyd/)
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@ -4,7 +4,7 @@ comments: true
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# 快速排序
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「快速排序 Quick Sort」是一种基于分治思想的排序算法，速度很快、应用很广。
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「快速排序 Quick Sort」是一种基于 “分治思想” 的排序算法，速度很快、应用很广。
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||||
快速排序的核心操作为「哨兵划分」，其目标为：选取数组某个元素为 **基准数** ，将所有小于基准数的元素移动至其左边，大于基准数的元素移动至其右边。「哨兵划分」的实现流程为：
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@ -37,7 +37,14 @@ comments: true
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=== "Java"
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``` java
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``` java title="quick_sort.java"
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/* 元素交换 */
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void swap(int[] nums, int i, int j) {
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int tmp = nums[i];
|
||||
nums[i] = nums[j];
|
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nums[j] = tmp;
|
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}
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||||
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||||
/* 哨兵划分 */
|
||||
int partition(int[] nums, int left, int right) {
|
||||
// 以 nums[left] 作为基准数
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@ -52,13 +59,6 @@ comments: true
|
|||
swap(nums, i, left); // 将基准数交换至两子数组的分界线
|
||||
return i; // 返回基准数的索引
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* 元素交换 */
|
||||
void swap(int[] nums, int i, int j) {
|
||||
int tmp = nums[i];
|
||||
nums[i] = nums[j];
|
||||
nums[j] = tmp;
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
!!! note "快速排序的分治思想"
|
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@ -79,10 +79,12 @@ comments: true
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||||
=== "Java"
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||||
|
||||
```java
|
||||
```java title="quick_sort.java"
|
||||
/* 快速排序 */
|
||||
void quickSort(int[] nums, int left, int right) {
|
||||
// 子数组长度为 1 时终止递归
|
||||
if (l >= r) return;
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if (left >= right)
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return;
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// 哨兵划分
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int pivot = partition(nums, left, right);
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// 递归左子数组、右子数组
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@ -99,11 +101,11 @@ comments: true
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**空间复杂度 $O(n)$ ：** 输入数组完全倒序下，达到最差递归深度 $n$ 。
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**原地性：** 只在递归中使用 $O(\log n)$ 大小的栈帧空间，为 **原地排序** 。
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**原地排序：** 只在递归中使用 $O(\log n)$ 大小的栈帧空间。
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**稳定性：** 哨兵划分操作可能改变相等元素的相对位置，为 **非稳定排序** 。
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**非稳定排序：** 哨兵划分操作可能改变相等元素的相对位置。
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**自适应：** 最差时间复杂度是 $O(n^2)$ ，为 **自适应排序** 。
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**自适应排序：** 最差情况下，时间复杂度劣化至 $O(n^2)$ 。
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## 快排为什么快？
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@ -123,7 +125,7 @@ comments: true
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=== "Java"
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```java
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```java title="quick_sort.java"
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/* 选取三个元素的中位数 */
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int medianThree(int[] nums, int left, int mid, int right) {
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// 使用了异或操作来简化代码
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@ -136,14 +138,14 @@ comments: true
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return right;
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}
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/* 哨兵划分 */
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/* 哨兵划分（三数取中值） */
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int partition(int[] nums, int left, int right) {
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// 选取三个候选元素的中位数
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int med = medianThree(nums, left, (left + right) / 2, right);
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// 将中位数交换至数组最左端
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swap(left, med);
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||||
// 继续以 nums[left] 作为基准数
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// 下同...
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swap(nums, left, med);
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||||
// 以 nums[left] 作为基准数
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||||
// 下同省略...
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||||
}
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```
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@ -155,7 +157,7 @@ comments: true
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=== "Java"
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```java
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```java title="quick_sort.java"
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/* 快速排序（尾递归优化） */
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void quickSort(int[] nums, int left, int right) {
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// 子数组长度为 1 时终止
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@ -164,15 +166,11 @@ comments: true
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int pivot = partition(nums, left, right);
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||||
// 对两个子数组中较短的那个执行快排
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if (pivot - left < right - pivot) {
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// 递归排序左子数组
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quickSort(nums, left, pivot - 1);
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||||
// 剩余待排序区间为 [pivot + 1, right]
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||||
left = pivot + 1;
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||||
quickSort(nums, left, pivot - 1); // 递归排序左子数组
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||||
left = pivot + 1; // 剩余待排序区间为 [pivot + 1, right]
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||||
} else {
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||||
// 递归排序右子数组
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||||
quickSort(nums, pivot + 1, right);
|
||||
// 剩余待排序区间为 [left, pivot - 1]
|
||||
right = pivot - 1;
|
||||
quickSort(nums, pivot + 1, right); // 递归排序右子数组
|
||||
right = pivot - 1; // 剩余待排序区间为 [left, pivot - 1]
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
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||||
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