Add the section of iteration and recursion. (#693)

codes/cpp/chapter_computational_complexity/CMakeLists.txt

@@ -1,3 +1,5 @@
+add_executable(iteration iteration.cpp)
+add_executable(recursion recursion.cpp)
 add_executable(space_complexity space_complexity.cpp)
 add_executable(time_complexity time_complexity.cpp)
 add_executable(worst_best_time_complexity worst_best_time_complexity.cpp)

codes/cpp/chapter_computational_complexity/iteration.cpp

@@ -0,0 +1,76 @@
+/**
+ * File: iteration.cpp
+ * Created Time: 2023-08-24
+ * Author: Krahets (krahets@163.com)
+ */
+
+#include "../utils/common.hpp"
+
+/* for 循环 */
+int forLoop(int n) {
+    int res = 0;
+    // 循环求和 1, 2, ..., n-1, n
+    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
+        res += i;
+    }
+    return res;
+}
+
+/* while 循环 */
+int whileLoop(int n) {
+    int res = 0;
+    int i = 1; // 初始化条件变量
+    // 循环求和 1, 2, ..., n-1, n
+    while (i <= n) {
+        res += i;
+        i += 1; // 更新条件变量
+    }
+    return res;
+}
+
+/* while 循环（两次更新） */
+int whileLoopII(int n) {
+    int res = 0;
+    int i = 1; // 初始化条件变量
+    // 循环求和 1, 2, 4, 5...
+    while (i <= n) {
+        res += i;
+        i += 1; // 更新条件变量
+        res += i;
+        i *= 2; // 更新条件变量
+    }
+    return res;
+}
+
+/* 双层 for 循环 */
+string nestedForLoop(int n) {
+    ostringstream res;
+    // 循环 i = 1, 2, ..., n-1, n
+    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
+        // 循环 j = 1, 2, ..., n-1, n
+        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
+            res << "(" << i << ", " << j << "), ";
+        }
+    }
+    return res.str();
+}
+
+/* Driver Code */
+int main() {
+    int n = 5;
+    int res;
+
+    res = forLoop(n);
+    cout << "\nfor 循环的求和结果 res = " << res << endl;
+
+    res = whileLoop(n);
+    cout << "\nwhile 循环的求和结果 res = " << res << endl;
+
+    res = whileLoopII(n);
+    cout << "\nwhile 循环（两次更新）求和结果 res = " << res << endl;
+
+    string resStr = nestedForLoop(n);
+    cout << "\n双层 for 循环的遍历结果 " << resStr << endl;
+
+    return 0;
+}

codes/cpp/chapter_computational_complexity/recursion.cpp

@@ -0,0 +1,55 @@
+/**
+ * File: recursion.cpp
+ * Created Time: 2023-08-24
+ * Author: Krahets (krahets@163.com)
+ */
+
+#include "../utils/common.hpp"
+
+/* 递归 */
+int recur(int n) {
+    // 终止条件
+    if (n == 1)
+        return 1;
+    // 递：递归调用
+    int res = recur(n - 1);
+    // 归：返回结果
+    return n + res;
+}
+
+/* 尾递归 */
+int tailRecur(int n, int res) {
+    // 终止条件
+    if (n == 0)
+        return res;
+    // 尾递归调用
+    return tailRecur(n - 1, res + n);
+}
+
+/* 斐波那契数列：递归 */
+int fib(int n) {
+    // 终止条件 f(1) = 0, f(2) = 1
+    if (n == 1 || n == 2)
+        return n - 1;
+    // 递归调用 f(n) = f(n-1) + f(n-2)
+    int res = fib(n - 1) + fib(n - 2);
+    // 返回结果 f(n)
+    return res;
+}
+
+/* Driver Code */
+int main() {
+    int n = 5;
+    int res;
+
+    res = recur(n);
+    cout << "\n递归函数的求和结果 res = " << res << endl;
+
+    res = tailRecur(n, 0);
+    cout << "\n尾递归函数的求和结果 res = " << res << endl;
+
+    res = fib(n);
+    cout << "\n斐波那契数列的第 " << n << " 项为 " << res << endl;
+
+    return 0;
+}

codes/java/chapter_computational_complexity/iteration.java

@@ -0,0 +1,76 @@
+/**
+ * File: iteration.java
+ * Created Time: 2023-08-24
+ * Author: Krahets (krahets@163.com)
+ */
+
+package chapter_computational_complexity;
+
+public class iteration {
+    /* for 循环 */
+    public static int forLoop(int n) {
+        int res = 0;
+        // 循环求和 1, 2, ..., n-1, n
+        for (int i = 1; i <= n; i++) {
+            res += i;
+        }
+        return res;
+    }
+
+    /* while 循环 */
+    public static int whileLoop(int n) {
+        int res = 0;
+        int i = 1; // 初始化条件变量
+        // 循环求和 1, 2, ..., n-1, n
+        while (i <= n) {
+            res += i;
+            i += 1; // 更新条件变量
+        }
+        return res;
+    }
+
+    /* while 循环（两次更新） */
+    public static int whileLoopII(int n) {
+        int res = 0;
+        int i = 1; // 初始化条件变量
+        // 循环求和 1, 2, 4, 5...
+        while (i <= n) {
+            res += i;
+            i += 1; // 更新条件变量
+            res += i;
+            i *= 2; // 更新条件变量
+        }
+        return res;
+    }
+
+    /* 双层 for 循环 */
+    public static String nestedForLoop(int n) {
+        StringBuilder res = new StringBuilder();
+        // 循环 i = 1, 2, ..., n-1, n
+        for (int i = 1; i <= n; i++) {
+            // 循环 j = 1, 2, ..., n-1, n
+            for (int j = 1; j <= n; j++) {
+                res.append("(" + i + ", " + j + "), ");
+            }
+        }
+        return res.toString();
+    }
+
+    /* Driver Code */
+    public static void main(String[] args) {
+        int n = 5;
+        int res;
+
+        res = forLoop(n);
+        System.out.println("\nfor 循环的求和结果 res = " + res);
+
+        res = whileLoop(n);
+        System.out.println("\nwhile 循环的求和结果 res = " + res);
+
+        res = whileLoopII(n);
+        System.out.println("\nwhile 循环（两次更新）求和结果 res = " + res);
+
+        String resStr = nestedForLoop(n);
+        System.out.println("\n双层 for 循环的遍历结果 " + resStr);
+    }
+}

codes/java/chapter_computational_complexity/recursion.java

@@ -0,0 +1,55 @@
+/**
+ * File: recursion.java
+ * Created Time: 2023-08-24
+ * Author: Krahets (krahets@163.com)
+ */
+
+package chapter_computational_complexity;
+
+public class recursion {
+    /* 递归 */
+    public static int recur(int n) {
+        // 终止条件
+        if (n == 1)
+            return 1;
+        // 递：递归调用
+        int res = recur(n - 1);
+        // 归：返回结果
+        return n + res;
+    }
+
+    /* 尾递归 */
+    public static int tailRecur(int n, int res) {
+        // 终止条件
+        if (n == 0)
+            return res;
+        // 尾递归调用
+        return tailRecur(n - 1, res + n);
+    }
+
+    /* 斐波那契数列：递归 */
+    public static int fib(int n) {
+        // 终止条件 f(1) = 0, f(2) = 1
+        if (n == 1 || n == 2)
+            return n - 1;
+        // 递归调用 f(n) = f(n-1) + f(n-2)
+        int res = fib(n - 1) + fib(n - 2);
+        // 返回结果 f(n)
+        return res;
+    }
+
+    /* Driver Code */
+    public static void main(String[] args) {
+        int n = 5;
+        int res;
+
+        res = recur(n);
+        System.out.println("\n递归函数的求和结果 res = " + res);
+
+        res = tailRecur(n, 0);
+        System.out.println("\n尾递归函数的求和结果 res = " + res);
+
+        res = fib(n);
+        System.out.println("\n斐波那契数列的第 " + n + " 项为 " + res);
+    }
+}

codes/python/chapter_computational_complexity/iteration.py

@@ -0,0 +1,65 @@
+"""
+File: iteration.py
+Created Time: 2023-08-24
+Author: Krahets (krahets@163.com)
+"""
+
+
+def for_loop(n: int) -> int:
+    """for 循环"""
+    res = 0
+    # 循环求和 1, 2, ..., n-1, n
+    for i in range(1, n + 1):
+        res += i
+    return res
+
+
+def while_loop(n: int) -> int:
+    """while 循环"""
+    res = 0
+    i = 1  # 初始化条件变量
+    # 循环求和 1, 2, ..., n-1, n
+    while i <= n:
+        res += i
+        i += 1  # 更新条件变量
+    return res
+
+
+def while_loop_ii(n: int) -> int:
+    """while 循环（两次更新）"""
+    res = 0
+    i = 1  # 初始化条件变量
+    # 循环求和 1, 2, 4, 5...
+    while i <= n:
+        res += i
+        i += 1  # 更新条件变量
+        res += i
+        i *= 2  # 更新条件变量
+    return res
+
+
+def nested_for_loop(n: int) -> str:
+    """双层 for 循环"""
+    res = ""
+    # 循环 i = 1, 2, ..., n-1, n
+    for i in range(1, n + 1):
+        # 循环 j = 1, 2, ..., n-1, n
+        for j in range(1, n + 1):
+            res += f"({i}, {j}), "
+    return res
+
+
+"""Driver Code"""
+if __name__ == "__main__":
+    n = 5
+    res = for_loop(n)
+    print(f"\nfor 循环的求和结果 res = {res}")
+
+    res = while_loop(n)
+    print(f"\nwhile 循环的求和结果 res = {res}")
+
+    res = while_loop_ii(n)
+    print(f"\nwhile 循环（两次更新）求和结果 res = {res}")
+
+    res = nested_for_loop(n)
+    print(f"\n双层 for 循环的遍历结果 {res}")

codes/python/chapter_computational_complexity/recursion.py

@@ -0,0 +1,49 @@
+"""
+File: recursion.py
+Created Time: 2023-08-24
+Author: Krahets (krahets@163.com)
+"""
+
+
+def recur(n: int) -> int:
+    """递归"""
+    # 终止条件
+    if n == 1:
+        return 1
+    # 递：递归调用
+    res = recur(n - 1)
+    # 归：返回结果
+    return n + res
+
+
+def tail_recur(n, res):
+    """尾递归"""
+    # 终止条件
+    if n == 0:
+        return res
+    # 尾递归调用
+    return tail_recur(n - 1, res + n)
+
+
+def fib(n: int) -> int:
+    """斐波那契数列：递归"""
+    # 终止条件 f(1) = 0, f(2) = 1
+    if n == 1 or n == 2:
+        return n - 1
+    # 递归调用 f(n) = f(n-1) + f(n-2)
+    res = fib(n - 1) + fib(n - 2)
+    # 返回结果 f(n)
+    return res
+
+
+"""Driver Code"""
+if __name__ == "__main__":
+    n = 5
+    res = recur(n)
+    print(f"\n递归函数的求和结果 res = {res}")
+
+    res = tail_recur(n, 0)
+    print(f"\n尾递归函数的求和结果 res = {res}")
+
+    res = fib(n)
+    print(f"\n斐波那契数列的第 {n} 项为 {res}")

docs/chapter_computational_complexity/iteration_and_recursion.md

@@ -0,0 +1,631 @@
+# 迭代与递归
+
+在数据结构与算法中，重复执行某个任务是很常见的，其与算法的复杂度密切相关。而要重复执行某个任务，我们通常会选用两种基本的程序结构：迭代和递归。
+
+## 迭代
+
+「迭代 iteration」是一种重复执行某个任务的控制结构。在迭代中，程序会在满足一定的条件下重复执行某段代码，直到这个条件不再满足。
+
+### for 循环
+
+`for` 循环是最常见的迭代形式之一，**适合预先知道迭代次数时使用**。
+
+以下函数基于 `for` 循环实现了求和 $1 + 2 + \dots + n$ ，求和结果使用变量 `res` 记录。需要注意的是，Python 中 `range(a, b)` 对应的区间是“左闭右开”的，对应的遍历范围为 $a, a + 1, \dots, b-1$ 。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="iteration.java"
+    [class]{iteration}-[func]{forLoop}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="iteration.cpp"
+    [class]{}-[func]{forLoop}
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="iteration.py"
+    [class]{}-[func]{for_loop}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="iteration.go"
+    [class]{}-[func]{forLoop}
+    ```
+
+=== "JS"
+
+    ```javascript title="iteration.js"
+    [class]{}-[func]{forLoop}
+    ```
+
+=== "TS"
+
+    ```typescript title="iteration.ts"
+    [class]{}-[func]{forLoop}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="iteration.c"
+    [class]{}-[func]{forLoop}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="iteration.cs"
+    [class]{iteration}-[func]{forLoop}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="iteration.swift"
+    [class]{}-[func]{forLoop}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="iteration.zig"
+    [class]{}-[func]{forLoop}
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="iteration.dart"
+    [class]{}-[func]{forLoop}
+    ```
+
+=== "Rust"
+
+    ```rust title="iteration.rs"
+    [class]{}-[func]{for_loop}
+    ```
+
+下图展示了该求和函数的流程框图。
+
+![求和函数的流程框图](iteration_and_recursion.assets/iteration.png)
+
+此求和函数的操作数量与输入数据大小 $n$ 成正比，或者说成“线性关系”。实际上，**时间复杂度描述的就是这个“线性关系”**。相关内容将会在下一节中详细介绍。
+
+### while 循环
+
+与 `for` 循环类似，`while` 循环也是一种实现迭代的方法。在 `while` 循环中，程序每轮都会先检查条件，如果条件为真则继续执行，否则就结束循环。
+
+下面，我们用 `while` 循环来实现求和 $1 + 2 + \dots + n$ 。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="iteration.java"
+    [class]{iteration}-[func]{whileLoop}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="iteration.cpp"
+    [class]{}-[func]{whileLoop}
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="iteration.py"
+    [class]{}-[func]{while_loop}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="iteration.go"
+    [class]{}-[func]{whileLoop}
+    ```
+
+=== "JS"
+
+    ```javascript title="iteration.js"
+    [class]{}-[func]{whileLoop}
+    ```
+
+=== "TS"
+
+    ```typescript title="iteration.ts"
+    [class]{}-[func]{whileLoop}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="iteration.c"
+    [class]{}-[func]{whileLoop}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="iteration.cs"
+    [class]{iteration}-[func]{whileLoop}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="iteration.swift"
+    [class]{}-[func]{whileLoop}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="iteration.zig"
+    [class]{}-[func]{whileLoop}
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="iteration.dart"
+    [class]{}-[func]{whileLoop}
+    ```
+
+=== "Rust"
+
+    ```rust title="iteration.rs"
+    [class]{}-[func]{while_loop}
+    ```
+
+在 `while` 循环中，由于初始化和更新条件变量的步骤是独立在循环结构之外的，**因此它比 `for` 循环的自由度更高**。
+
+例如在以下代码中，条件变量 $i$ 每轮进行了两次更新，这种情况就不太方便用 `for` 循环实现。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="iteration.java"
+    [class]{iteration}-[func]{whileLoopII}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="iteration.cpp"
+    [class]{}-[func]{whileLoopII}
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="iteration.py"
+    [class]{}-[func]{while_loop_ii}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="iteration.go"
+    [class]{}-[func]{whileLoopII}
+    ```
+
+=== "JS"
+
+    ```javascript title="iteration.js"
+    [class]{}-[func]{whileLoopII}
+    ```
+
+=== "TS"
+
+    ```typescript title="iteration.ts"
+    [class]{}-[func]{whileLoopII}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="iteration.c"
+    [class]{}-[func]{whileLoopII}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="iteration.cs"
+    [class]{iteration}-[func]{whileLoopII}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="iteration.swift"
+    [class]{}-[func]{whileLoopII}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="iteration.zig"
+    [class]{}-[func]{whileLoopII}
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="iteration.dart"
+    [class]{}-[func]{whileLoopII}
+    ```
+
+=== "Rust"
+
+    ```rust title="iteration.rs"
+    [class]{}-[func]{while_loop_ii}
+    ```
+
+总的来说，**`for` 循环的代码更加紧凑，`while` 循环更加灵活**，两者都可以实现迭代结构。选择使用哪一个应该根据特定问题的需求来决定。
+
+### 嵌套循环
+
+我们可以在一个循环结构内嵌套另一个循环结构，以 `for` 循环为例：
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="iteration.java"
+    [class]{iteration}-[func]{nestedForLoop}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="iteration.cpp"
+    [class]{}-[func]{nestedForLoop}
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="iteration.py"
+    [class]{}-[func]{nested_for_loop}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="iteration.go"
+    [class]{}-[func]{nestedForLoop}
+    ```
+
+=== "JS"
+
+    ```javascript title="iteration.js"
+    [class]{}-[func]{nestedForLoop}
+    ```
+
+=== "TS"
+
+    ```typescript title="iteration.ts"
+    [class]{}-[func]{nestedForLoop}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="iteration.c"
+    [class]{}-[func]{nestedForLoop}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="iteration.cs"
+    [class]{iteration}-[func]{nestedForLoop}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="iteration.swift"
+    [class]{}-[func]{nestedForLoop}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="iteration.zig"
+    [class]{}-[func]{nestedForLoop}
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="iteration.dart"
+    [class]{}-[func]{nestedForLoop}
+    ```
+
+=== "Rust"
+
+    ```rust title="iteration.rs"
+    [class]{}-[func]{nested_for_loop}
+    ```
+
+下图给出了该嵌套循环的流程框图。
+
+![嵌套循环的流程框图](iteration_and_recursion.assets/nested_iteration.png)
+
+在这种情况下，函数的操作数量与 $n^2$ 成正比，或者说算法运行时间和输入数据大小 $n$ 成“平方关系”。
+
+我们可以继续添加嵌套循环，每一次嵌套都是一次“升维”，将会使时间复杂度提高至“立方关系”、“四次方关系”、以此类推。
+
+## 递归
+
+ 「递归 recursion」是一种算法策略，通过函数调用自身来解决问题。它主要包含两个阶段。
+
+1. **递**：程序不断深入地调用自身，通常传入更小或更简化的参数，直到达到“终止条件”。
+2. **归**：触发“终止条件”后，程序从最深层的递归函数开始逐层返回，汇聚每一层的结果。
+
+而从实现的角度看，递归代码主要包含三个要素。
+
+1. **终止条件**：用于决定什么时候由“递”转“归”。
+2. **递归调用**：对应“递”，函数调用自身，通常输入更小或更简化的参数。
+3. **返回结果**：对应“归”，将当前递归层级的结果返回至上一层。
+
+观察以下代码，我们只需调用函数 `recur(n)`  ，就可以完成 $1 + 2 + \dots + n$ 的计算：
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="recursion.java"
+    [class]{recursion}-[func]{recur}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="recursion.cpp"
+    [class]{}-[func]{recur}
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="recursion.py"
+    [class]{}-[func]{recur}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="recursion.go"
+    [class]{}-[func]{recur}
+    ```
+
+=== "JS"
+
+    ```javascript title="recursion.js"
+    [class]{}-[func]{recur}
+    ```
+
+=== "TS"
+
+    ```typescript title="recursion.ts"
+    [class]{}-[func]{recur}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="recursion.c"
+    [class]{}-[func]{recur}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="recursion.cs"
+    [class]{recursion}-[func]{recur}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="recursion.swift"
+    [class]{}-[func]{recur}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="recursion.zig"
+    [class]{}-[func]{recur}
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="recursion.dart"
+    [class]{}-[func]{recur}
+    ```
+
+=== "Rust"
+
+    ```rust title="recursion.rs"
+    [class]{}-[func]{recur}
+    ```
+
+下图展示了该函数的递归过程。
+
+![求和函数的递归过程](iteration_and_recursion.assets/recursion_sum.png)
+
+虽然从计算角度看，迭代与递归可以得到相同的结果，**但它们代表了两种完全不同的思考和解决问题的范式**。
+
+- **迭代**：“自下而上”地解决问题。从最基础的步骤开始，然后不断重复或累加这些步骤，直到任务完成。
+- **递归**：“自上而下”地解决问题。将原问题分解为更小的子问题，这些子问题和原问题具有相同的形式。接下来将子问题继续分解为更小的子问题，直到基本情况时停止（基本情况的解是已知的）。
+
+以上述的求和函数为例，设问题 $f(n) = 1 + 2 + \dots + n$ 。
+
+- **迭代**：在循环中模拟求和过程，从 $1$ 遍历到 $n$ ，每轮执行求和操作，即可求得 $f(n)$ 。
+- **递归**：将问题分解为子问题 $f(n) = n + f(n-1)$ ，不断（递归地）分解下去，直至基本情况 $f(0) = 0$ 时终止。
+
+### 调用栈
+
+递归函数每次调用自身时，系统都会为新开启的函数分配内存，以存储局部变量、调用地址和其他信息等。这将导致两方面的结果。
+
+- 函数的上下文数据都存储在称为“栈帧空间”的内存区域中，直至函数返回后才会被释放。因此，**递归通常比迭代更加耗费内存空间**。
+- 递归调用函数会产生额外的开销。**因此递归通常比循环的时间效率更低**。
+
+如下图所示，在触发终止条件前，同时存在 $n$ 个未返回的递归函数，**递归深度为 $n$** 。
+
+![递归调用深度](iteration_and_recursion.assets/recursion_sum_depth.png)
+
+在实际中，编程语言允许的递归深度通常是有限的，过深的递归可能导致栈溢出报错。
+
+### 尾递归
+
+有趣的是，**如果函数在返回前的最后一步才进行递归调用**，则该函数可以被编译器或解释器优化，使其在空间效率上与迭代相当。这种情况被称为「尾递归 tail recursion」。
+
+- **普通递归**：当函数返回到上一层级的函数后，需要继续执行代码，因此系统需要保存上一层调用的上下文。
+- **尾递归**：递归调用是函数返回前的最后一个操作，这意味着函数返回到上一层级后，无需继续执行其他操作，因此系统无需保存上一层函数的上下文。
+
+以计算 $1 + 2 + \dots + n$ 为例，我们可以将结果变量 `res` 设为函数参数，从而实现尾递归。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="recursion.java"
+    [class]{recursion}-[func]{tailRecur}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="recursion.cpp"
+    [class]{}-[func]{tailRecur}
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="recursion.py"
+    [class]{}-[func]{tail_recur}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="recursion.go"
+    [class]{}-[func]{tailRecur}
+    ```
+
+=== "JS"
+
+    ```javascript title="recursion.js"
+    [class]{}-[func]{tailRecur}
+    ```
+
+=== "TS"
+
+    ```typescript title="recursion.ts"
+    [class]{}-[func]{tailRecur}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="recursion.c"
+    [class]{}-[func]{tailRecur}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="recursion.cs"
+    [class]{recursion}-[func]{tailRecur}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="recursion.swift"
+    [class]{}-[func]{tailRecur}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="recursion.zig"
+    [class]{}-[func]{tailRecur}
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="recursion.dart"
+    [class]{}-[func]{tailRecur}
+    ```
+
+=== "Rust"
+
+    ```rust title="recursion.rs"
+    [class]{}-[func]{tail_recur}
+    ```
+
+两种递归的过程对比如下图所示。
+
+- **普通递归**：求和操作是在“归”的过程中执行的，每层返回后都要再执行一次求和操作。
+- **尾递归**：求和操作是在“递”的过程中执行的，“归”的过程只需层层返回。
+
+![尾递归过程](iteration_and_recursion.assets/tail_recursion_sum.png)
+
+请注意，许多编译器或解释器并不支持尾递归优化。例如，Python 默认不支持尾递归优化，因此即使函数是尾递归形式，但仍然可能会遇到栈溢出问题。
+
+### 递归树
+
+当处理与“分治”相关的算法问题时，递归往往比迭代的思路更加直观、代码更加易读。以“斐波那契数列”为例。
+
+!!! question
+
+    给定一个斐波那契数列 $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$ ，求该数列的第 $n$ 个数字。
+
+设斐波那契数列的第 $n$ 个数字为 $f(n)$ ，易得两个结论。
+
+- 数列的前两个数字为 $f(1) = 0$ 和 $f(2) = 1$ 。
+- 数列中的每个数字是前两个数字的和，即 $f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)$ 。
+
+按照递推关系进行递归调用，将前两个数字作为终止条件，便可写出递归代码。调用 `fib(n)` 即可得到斐波那契数列的第 $n$ 个数字。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="recursion.java"
+    [class]{recursion}-[func]{fib}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="recursion.cpp"
+    [class]{}-[func]{fib}
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="recursion.py"
+    [class]{}-[func]{fib}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="recursion.go"
+    [class]{}-[func]{fib}
+    ```
+
+=== "JS"
+
+    ```javascript title="recursion.js"
+    [class]{}-[func]{fib}
+    ```
+
+=== "TS"
+
+    ```typescript title="recursion.ts"
+    [class]{}-[func]{fib}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="recursion.c"
+    [class]{}-[func]{fib}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="recursion.cs"
+    [class]{recursion}-[func]{fib}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="recursion.swift"
+    [class]{}-[func]{fib}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="recursion.zig"
+    [class]{}-[func]{fib}
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="recursion.dart"
+    [class]{}-[func]{fib}
+    ```
+
+=== "Rust"
+
+    ```rust title="recursion.rs"
+    [class]{}-[func]{fib}
+    ```
+
+观察以上代码，我们在函数内递归调用了两个函数，**这意味着从一个调用产生了两个调用分支**。如下图所示，这样不断递归调用下去，最终将产生一个层数为 $n$ 的「递归树 recursion tree」。
+
+![斐波那契数列的递归树](iteration_and_recursion.assets/recursion_tree.png)
+
+本质上看，递归体现“将问题分解为更小子问题”的思维范式，这种分治策略是至关重要的。
+
+- 从算法角度看，搜索、排序、回溯、分治、动态规划等许多重要算法策略都直接或间接地应用这种思维方式。
+- 从数据结构角度看，递归天然适合处理链表、树和图的相关问题，因为它们非常适合用分治思想进行分析。

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   - 第 3 章   数据结构:
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