diff --git a/codes/java/chapter_hashing/array_hash_map.java b/codes/java/chapter_hashing/array_hash_map.java index 68df1f3b9..980a00ab7 100644 --- a/codes/java/chapter_hashing/array_hash_map.java +++ b/codes/java/chapter_hashing/array_hash_map.java @@ -5,6 +5,7 @@ */ package chapter_hashing; + import java.util.*; /* 键值对 int->String */ diff --git a/codes/java/chapter_hashing/hash_map.java b/codes/java/chapter_hashing/hash_map.java index fe3f822f4..47f4823bf 100644 --- a/codes/java/chapter_hashing/hash_map.java +++ b/codes/java/chapter_hashing/hash_map.java @@ -5,6 +5,7 @@ */ package chapter_hashing; + import java.util.*; import include.*; diff --git a/codes/java/chapter_heap/heap.java b/codes/java/chapter_heap/heap.java index b964830fd..1a0c53b94 100644 --- a/codes/java/chapter_heap/heap.java +++ b/codes/java/chapter_heap/heap.java @@ -13,13 +13,13 @@ import java.util.*; public class heap { public static void testPush(Queue heap, int val) { heap.add(val); // 元素入堆 - System.out.format("\n添加元素 %d 后\n", val); + System.out.format("\n元素 %d 入堆后\n", val); PrintUtil.printHeap(heap); } public static void testPoll(Queue heap) { int val = heap.poll(); // 堆顶元素出堆 - System.out.format("\n出堆元素为 %d\n", val); + System.out.format("\n堆顶元素 %d 出堆后\n", val); PrintUtil.printHeap(heap); } @@ -46,6 +46,9 @@ public class heap { /* 堆顶元素出堆 */ testPoll(maxHeap); testPoll(maxHeap); + testPoll(maxHeap); + testPoll(maxHeap); + testPoll(maxHeap); /* 获取堆大小 */ int size = maxHeap.size(); @@ -58,7 +61,7 @@ public class heap { /* 输入列表并建堆 */ // 时间复杂度为 O(n) ，而非 O(nlogn) minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4)); - System.out.println("\n输入 [1, 3, 2, 5, 4] ，建立小顶堆"); + System.out.println("\n输入列表并建立小顶堆后"); PrintUtil.printHeap(minHeap); } } diff --git a/codes/java/chapter_heap/my_heap.java b/codes/java/chapter_heap/my_heap.java index 8fd748217..b80ce6d08 100644 --- a/codes/java/chapter_heap/my_heap.java +++ b/codes/java/chapter_heap/my_heap.java @@ -146,26 +146,25 @@ public class my_heap { } public static void main(String[] args) { - /* 初始化堆 */ - // 初始化大顶堆 - MaxHeap maxHeap = new MaxHeap(); - - System.out.println("\n以下测试样例为大顶堆"); - - /* 元素入堆 */ - testPush(maxHeap, 1); - testPush(maxHeap, 3); - testPush(maxHeap, 2); - testPush(maxHeap, 5); - testPush(maxHeap, 4); + /* 初始化大顶堆 */ + MaxHeap maxHeap = new MaxHeap(Arrays.asList(9, 8, 6, 6, 7, 5, 2, 1, 4, 3, 6, 2)); + System.out.println("\n输入列表并建堆后"); + maxHeap.print(); /* 获取堆顶元素 */ int peek = maxHeap.peek(); System.out.format("\n堆顶元素为 %d\n", peek); + /* 元素入堆 */ + int val = 7; + maxHeap.push(val); + System.out.format("\n元素 %d 入堆后\n", val); + maxHeap.print(); + /* 堆顶元素出堆 */ - testPoll(maxHeap); - testPoll(maxHeap); + peek = maxHeap.poll(); + System.out.format("\n堆顶元素 %d 出堆后\n", peek); + maxHeap.print(); /* 获取堆大小 */ int size = maxHeap.size(); @@ -174,10 +173,5 @@ public class my_heap { /* 判断堆是否为空 */ boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty(); System.out.format("\n堆是否为空 %b\n", isEmpty); - - /* 将输入列表堆化 */ - maxHeap = new MaxHeap(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4)); - System.out.println("\n输入 [1, 3, 2, 5, 4] ，建立大顶堆"); - maxHeap.print(); } } diff --git a/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step1.png b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step1.png new file mode 100644 index 000000000..f1a8d9050 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step1.png differ diff --git a/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step10.png b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step10.png new file mode 100644 index 000000000..027c7e187 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step10.png differ diff --git a/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step2.png b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step2.png new file mode 100644 index 000000000..abef7ca8c Binary files /dev/null and b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step2.png differ diff --git a/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step3.png b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step3.png new file mode 100644 index 000000000..4a2db29a5 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step3.png differ diff --git a/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step4.png b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step4.png new file mode 100644 index 000000000..64c4fd425 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step4.png differ diff --git a/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step5.png b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step5.png new file mode 100644 index 000000000..513d6fe8b Binary files /dev/null and b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step5.png differ diff --git a/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step6.png b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step6.png new file mode 100644 index 000000000..72f3ffac3 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step6.png differ diff --git a/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step7.png b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step7.png new file mode 100644 index 000000000..85263d5a4 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step7.png differ diff --git a/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step8.png b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step8.png new file mode 100644 index 000000000..9231963db Binary files /dev/null and b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step8.png differ diff --git a/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step9.png b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step9.png new file mode 100644 index 000000000..34b578f22 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_poll_step9.png differ diff --git a/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_push_step1.png b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_push_step1.png new file mode 100644 index 000000000..00489b07c Binary files /dev/null and b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_push_step1.png differ diff --git a/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_push_step2.png b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_push_step2.png new file mode 100644 index 000000000..a38eef32b Binary files /dev/null and b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_push_step2.png differ diff --git a/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_push_step3.png b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_push_step3.png new file mode 100644 index 000000000..014912070 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_push_step3.png differ diff --git a/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_push_step4.png b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_push_step4.png new file mode 100644 index 000000000..4379a31c3 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_push_step4.png differ diff --git a/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_push_step5.png b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_push_step5.png new file mode 100644 index 000000000..e810842ec Binary files /dev/null and b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_push_step5.png differ diff --git a/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_push_step6.png b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_push_step6.png new file mode 100644 index 000000000..66ea466a5 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_heap/heap.assets/heap_push_step6.png differ diff --git a/docs/chapter_heap/heap.assets/heapify_count.png b/docs/chapter_heap/heap.assets/heapify_count.png new file mode 100644 index 000000000..944aab543 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_heap/heap.assets/heapify_count.png differ diff --git a/docs/chapter_heap/heap.assets/min_heap_and_max_heap.png b/docs/chapter_heap/heap.assets/min_heap_and_max_heap.png new file mode 100644 index 000000000..fe1720d94 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_heap/heap.assets/min_heap_and_max_heap.png differ diff --git a/docs/chapter_heap/heap.assets/representation_of_heap.png b/docs/chapter_heap/heap.assets/representation_of_heap.png new file mode 100644 index 000000000..5a9cac200 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_heap/heap.assets/representation_of_heap.png differ diff --git a/docs/chapter_heap/heap.md b/docs/chapter_heap/heap.md index f41826159..37e5aaf66 100644 --- a/docs/chapter_heap/heap.md +++ b/docs/chapter_heap/heap.md @@ -9,15 +9,13 @@ comments: true - 「大顶堆 Max Heap」，任意结点的值 $\geq$ 其子结点的值； - 「小顶堆 Min Heap」，任意结点的值 $\leq$ 其子结点的值； -由于堆是完全二叉树，因此最底层结点靠左填充，其它层结点皆被填满。 +![min_heap_and_max_heap](heap.assets/min_heap_and_max_heap.png) -对于大顶堆（小顶堆），其根结点的值最大（最小）。根结点被称为「堆顶」。 +## 堆术语与性质 -（图） - -!!! tip - - 大顶堆和小顶堆的定义、性质、操作本质上是相同的，区别只是大、小顶堆分别在求最大、最小值。若无特别说明，本文将使用大顶堆来举例。 +- 由于堆是完全二叉树，因此最底层结点靠左填充，其它层结点皆被填满。 +- 二叉树中的根结点对应「堆顶」，底层最靠右结点对应「堆底」。 +- 对于大顶堆 / 小顶堆，其堆顶元素（即根结点）的值最大 / 最小。 ## 堆常用操作 @@ -43,6 +41,10 @@ comments: true 我们可以直接使用编程语言提供的堆类（或优先队列类）。 +!!! tip + + 类似于排序中“从小到大排列”和“从大到小排列”，“大顶堆”和“小顶堆”可仅通过修改 Comparator 来互相转换。 + === "Java" ```java title="heap.java" @@ -60,10 +62,15 @@ comments: true maxHeap.add(4); /* 获取堆顶元素 */ - int peek = maxHeap.peek(); + int peek = maxHeap.peek(); // 5 /* 堆顶元素出堆 */ - int val = heap.poll(); + // 出堆元素会形成一个从大到小的序列 + peek = heap.poll(); // 5 + peek = heap.poll(); // 4 + peek = heap.poll(); // 3 + peek = heap.poll(); // 2 + peek = heap.poll(); // 1 /* 获取堆大小 */ int size = maxHeap.size(); @@ -77,19 +84,19 @@ comments: true ## 堆的实现 -!!! tip - - 下文使用「大顶堆」来举例，将所有 $>$ ($<$) 替换为 $<$ ($>$) 即可实现「小顶堆」。 +下文实现的是「大顶堆」，若想转换为「小顶堆」，将所有大小逻辑判断取逆（例如将 $\geq$ 替换为 $\leq$ ）即可，有兴趣的同学可自行实现。 ### 堆的存储与表示 -在二叉树章节我们学过，「完全二叉树」非常适合使用「数组」来表示，而堆恰好是一颗完全二叉树，因而我们一般使用「数组」来存储「堆」。 +在二叉树章节我们学过，「完全二叉树」非常适合使用「数组」来表示，而堆恰好是一颗完全二叉树，**因而我们采用「数组」来存储「堆」**。 **二叉树指针**。使用数组表示二叉树时，元素代表结点值，索引代表结点在二叉树中的位置，**而结点指针通过索引映射公式来实现**。 -具体地，给定索引 $i$ ，那么其左子结点索引为 $2i + 1$ 、右子结点索引为 $2i + 2$ 、父结点索引为 $(i - 1) / 2$ （向下整除）。当索引越界时，代表空结点或结点不存在。我们将以上映射公式封装成函数，以便后续使用。 +具体地，给定索引 $i$ ，那么其左子结点索引为 $2i + 1$ 、右子结点索引为 $2i + 2$ 、父结点索引为 $(i - 1) / 2$ （向下整除）。当索引越界时，代表空结点或结点不存在。 -（图） +![representation_of_heap](heap.assets/representation_of_heap.png) + +我们将索引映射公式封装成函数，以便后续使用。 === "Java" @@ -133,13 +140,29 @@ comments: true ### 元素入堆 -给定元素 `val` ，我们先将其添加到堆的末尾。由于 `val` 可能大于堆中其它元素，此时堆的成立条件可能已经被破坏，**因此需要修复从插入结点到根结点这条路径上的各个结点**，该操作被称为「堆化 Heapify」。 +给定元素 `val` ，我们先将其添加到堆底。添加后，由于 `val` 可能大于堆中其它元素，此时堆的成立条件可能已经被破坏，**因此需要修复从插入结点到根结点这条路径上的各个结点**，该操作被称为「堆化 Heapify」。 考虑从入堆结点开始，**从底至顶执行堆化**。具体地，比较插入结点与其父结点的值，若插入结点更大则将它们交换；并循环以上操作，从底至顶地修复堆中的各个结点；直至越过根结点时结束，或当遇到无需交换的结点时提前结束。 -设结点总数为 $n$ ，则树的高度为 $O(\log n)$ ，易得堆化操作的循环轮数最多为 $O(\log n)$ ，**因而元素入堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$** 。 +=== "Step 1" + ![heap_push_step1](heap.assets/heap_push_step1.png) -（图） +=== "Step 2" + ![heap_push_step2](heap.assets/heap_push_step2.png) + +=== "Step 3" + ![heap_push_step3](heap.assets/heap_push_step3.png) + +=== "Step 4" + ![heap_push_step4](heap.assets/heap_push_step4.png) + +=== "Step 5" + ![heap_push_step5](heap.assets/heap_push_step5.png) + +=== "Step 6" + ![heap_push_step6](heap.assets/heap_push_step6.png) + +设结点总数为 $n$ ，则树的高度为 $O(\log n)$ ，易得堆化操作的循环轮数最多为 $O(\log n)$ ，**因而元素入堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$** 。 === "Java" @@ -172,13 +195,43 @@ comments: true 堆顶元素是二叉树根结点，即列表首元素，如果我们直接将首元素从列表中删除，则二叉树中所有结点都会随之发生移位（索引发生变化），这样后续使用堆化修复就很麻烦了。为了尽量减少元素索引变动，采取以下操作步骤： -1. 交换列表首元素与尾元素（即交换根结点与最右叶结点）； -2. 交换完成后，将尾元素从列表中删除（此时堆顶元素已被删除）； -3. 从根结点开始，从顶至底堆化； +1. 交换堆顶元素与堆底元素（即交换根结点与最右叶结点）； +2. 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，因为已经交换，实际上删除的是原来的堆顶元素）； +3. 从根结点开始，**从顶至底执行堆化**； 顾名思义，**从顶至底堆化的操作方向与从底至顶堆化相反**，我们比较根结点的值与其两个子结点的值，将最大的子结点与根结点执行交换，并循环以上操作，直到越过叶结点时结束，或当遇到无需交换的结点时提前结束。 -（图） +=== "Step 1" + ![heap_poll_step1](heap.assets/heap_poll_step1.png) + +=== "Step 2" + ![heap_poll_step2](heap.assets/heap_poll_step2.png) + +=== "Step 3" + ![heap_poll_step3](heap.assets/heap_poll_step3.png) + +=== "Step 4" + ![heap_poll_step4](heap.assets/heap_poll_step4.png) + +=== "Step 5" + ![heap_poll_step5](heap.assets/heap_poll_step5.png) + +=== "Step 6" + ![heap_poll_step6](heap.assets/heap_poll_step6.png) + +=== "Step 7" + ![heap_poll_step7](heap.assets/heap_poll_step7.png) + +=== "Step 8" + ![heap_poll_step8](heap.assets/heap_poll_step8.png) + +=== "Step 9" + ![heap_poll_step9](heap.assets/heap_poll_step9.png) + +=== "Step 10" + ![heap_poll_step10](heap.assets/heap_poll_step10.png) + +与元素入堆操作类似，**堆顶元素出堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$** 。 === "Java" @@ -237,48 +290,47 @@ comments: true } ``` -!!! tip +那么，第二种建堆方法的时间复杂度时多少呢？我们来做一下简单推算。 - 完全二叉树中，设结点总数为 $n$ ，则叶结点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。 +- 完全二叉树中，设结点总数为 $n$ ，则叶结点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。因此在排除叶结点后，需要堆化结点数量为 $(n - 1)/2$ ，即为 $O(n)$ ； +- 从顶至底堆化中，每个结点最多堆化至叶结点，因此最大迭代次数为二叉树高度 $O(\log n)$ ； -那么，第二种建堆方法的时间复杂度时多少呢？我们来做一下简单推算。排除叶结点后，需要堆化结点数量为 $(n - 1)/2$ ，即为 $O(n)$ ，而二叉树高度为 $O(\log n)$ ，因此可得时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。 +将上述两者相乘，可得时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。然而，该估算结果仍不够准确，因为我们没有考虑到 **二叉树底层结点远多于顶层结点** 的性质。 -然而，该估算结果仍不够准确，因为我们没有考虑到 **二叉树底层结点远多于顶层结点** 的特点。下面我们来换种方法推导。 - -设二叉树（即堆）结点数量为 $n$ ，树高度为 $h$ 。如下图所示，我们将各层的“结点数量 $\times$ 子树高度”进行求和，即可得到准确的操作数量。 +下面我们来尝试展开计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个「完美二叉树」，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）结点数量为 $n$ ，树高度为 $h$ 。上文提到，**结点堆化最大迭代次数等于该结点到叶结点的距离，而这正是“结点高度”**。因此，我们将各层的“结点数量 $\times$ 结点高度”求和，即可得到所有结点的堆化的迭代次数总和。 $$ -S = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1 +T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1 $$ -（图） +![heapify_count](heap.assets/heapify_count.png) -求解上式需要借助中学的数列知识，先对 $S$ 乘以 $2$ ，可得 +化简上式需要借助中学的数列知识，先对 $T(h)$ 乘以 $2$ ，易得 $$ \begin{aligned} -S & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{h-1}\times1 \newline -2S & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \cdots + 2^{h}\times1 \newline +T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{h-1}\times1 \newline +2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \cdots + 2^{h}\times1 \newline \end{aligned} $$ -令下式 $2S$ 与上式 $S$ 错位相减，易得 +**使用错位相减法**，令下式 $2 T(h)$ 减去上式 $T(h)$ ，可得 $$ -2S - S = S = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^{h-1} + 2^h +2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^{h-1} + 2^h $$ -观察发现，$S$ 是一个等比数列，可直接借助公式求和。并且，对于高度为 $h$ 的完全二叉树，结点数量范围为 $n \in [2^h, 2^{h+1} - 1]$ ，复杂度为 $n = O(n) = O(2^h)$。 +观察上式，$T(h)$ 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为 $$ \begin{aligned} -S & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline +T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline & = 2^{h+1} - h \newline -& = O(2^h) = O(n) +& = O(2^h) \end{aligned} $$ -以上推算表明，输入列表并建堆的时间复杂度为 $O(n)$ ，非常高效。 +进一步地，高度为 $h$ 的完美二叉树的结点数量为 $n = 2^{h+1} - 1$ ，易得复杂度为 $O(2^h) = O(n)$。以上推算表明，**输入列表并建堆的时间复杂度为 $O(n)$ ，非常高效**。 ## 堆常见应用