图 12-8 构建二叉树的递归过程
+每个递归函数内的前序遍历 `preorder` 和中序遍历 `inorder` 的划分结果如图 12-9 所示。 + + + +图 12-9 built_tree_overall
+ 设树的节点数量为 $n$ ，初始化每一个节点（执行一个递归函数 `dfs()` ）使用 $O(1)$ 时间。**因此总体时间复杂度为 $O(n)$** 。 哈希表存储 `inorder` 元素到索引的映射，空间复杂度为 $O(n)$ 。最差情况下，即二叉树退化为链表时，递归深度达到 $n$ ，使用 $O(n)$ 的栈帧空间。**因此总体空间复杂度为 $O(n)$** 。 diff --git a/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md b/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md index 04c85246e..95d20da0f 100644 --- a/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md +++ b/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md @@ -17,13 +17,13 @@ status: new  -图 12-9 汉诺塔问题示例
+图 12-10 汉诺塔问题示例
**我们将规模为 $i$ 的汉诺塔问题记做 $f(i)$** 。例如 $f(3)$ 代表将 $3$ 个圆盘从 `A` 移动至 `C` 的汉诺塔问题。 ### 1. 考虑基本情况 -如图 12-10 所示，对于问题 $f(1)$ ，即当只有一个圆盘时，我们将它直接从 `A` 移动至 `C` 即可。 +如图 12-11 所示，对于问题 $f(1)$ ，即当只有一个圆盘时，我们将它直接从 `A` 移动至 `C` 即可。 === "<1>"  @@ -31,9 +31,9 @@ status: new === "<2>"  -图 12-10 规模为 1 问题的解
+图 12-11 规模为 1 问题的解
-如图 12-11 所示，对于问题 $f(2)$ ，即当有两个圆盘时，**由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助 `B` 来完成移动**。 +如图 12-12 所示，对于问题 $f(2)$ ，即当有两个圆盘时，**由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助 `B` 来完成移动**。 1. 先将上面的小圆盘从 `A` 移至 `B` 。 2. 再将大圆盘从 `A` 移至 `C` 。 @@ -51,7 +51,7 @@ status: new === "<4>"  -图 12-11 规模为 2 问题的解
+图 12-12 规模为 2 问题的解
解决问题 $f(2)$ 的过程可总结为：**将两个圆盘借助 `B` 从 `A` 移至 `C`** 。其中，`C` 称为目标柱、`B` 称为缓冲柱。 @@ -59,7 +59,7 @@ status: new 对于问题 $f(3)$ ，即当有三个圆盘时，情况变得稍微复杂了一些。 -因为已知 $f(1)$ 和 $f(2)$ 的解，所以我们可从分治角度思考，**将 `A` 顶部的两个圆盘看做一个整体**，执行图 12-12 所示的步骤。这样三个圆盘就被顺利地从 `A` 移动至 `C` 了。 +因为已知 $f(1)$ 和 $f(2)$ 的解，所以我们可从分治角度思考，**将 `A` 顶部的两个圆盘看做一个整体**，执行图 12-13 所示的步骤。这样三个圆盘就被顺利地从 `A` 移动至 `C` 了。 1. 令 `B` 为目标柱、`C` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `A` 移动至 `B` 。 2. 将 `A` 中剩余的一个圆盘从 `A` 直接移动至 `C` 。 @@ -77,11 +77,11 @@ status: new === "<4>"  -图 12-12 规模为 3 问题的解
+图 12-13 规模为 3 问题的解
本质上看，**我们将问题 $f(3)$ 划分为两个子问题 $f(2)$ 和子问题 $f(1)$** 。按顺序解决这三个子问题之后，原问题随之得到解决。这说明子问题是独立的，而且解是可以合并的。 -至此，我们可总结出图 12-13 所示的汉诺塔问题的分治策略：将原问题 $f(n)$ 划分为两个子问题 $f(n-1)$ 和一个子问题 $f(1)$ ，并按照以下顺序解决这三个子问题。 +至此，我们可总结出图 12-14 所示的汉诺塔问题的分治策略：将原问题 $f(n)$ 划分为两个子问题 $f(n-1)$ 和一个子问题 $f(1)$ ，并按照以下顺序解决这三个子问题。 1. 将 $n-1$ 个圆盘借助 `C` 从 `A` 移至 `B` 。 2. 将剩余 $1$ 个圆盘从 `A` 直接移至 `C` 。 @@ -91,7 +91,7 @@ status: new  -图 12-13 汉诺塔问题的分治策略
+图 12-14 汉诺塔问题的分治策略
### 3. 代码实现 @@ -433,11 +433,11 @@ status: new } ``` -如图 12-14 所示，汉诺塔问题形成一个高度为 $n$ 的递归树，每个节点代表一个子问题、对应一个开启的 `dfs()` 函数，**因此时间复杂度为 $O(2^n)$ ，空间复杂度为 $O(n)$** 。 +如图 12-15 所示，汉诺塔问题形成一个高度为 $n$ 的递归树，每个节点代表一个子问题、对应一个开启的 `dfs()` 函数，**因此时间复杂度为 $O(2^n)$ ，空间复杂度为 $O(n)$** 。  -图 12-14 汉诺塔问题的递归树
+图 12-15 汉诺塔问题的递归树
!!! quote diff --git a/chapter_greedy/max_product_cutting_problem.md b/chapter_greedy/max_product_cutting_problem.md index 8c31e771b..e53fdd988 100644 --- a/chapter_greedy/max_product_cutting_problem.md +++ b/chapter_greedy/max_product_cutting_problem.md @@ -53,7 +53,7 @@ $$ **贪心策略二**：在切分方案中，最多只应存在两个 $2$ 。因为三个 $2$ 总是可以被替换为两个 $3$ ，从而获得更大乘积。 - +图 15-15 最优切分因子
diff --git a/chapter_introduction/algorithms_are_everywhere.md b/chapter_introduction/algorithms_are_everywhere.md index 235b2d976..59401608f 100644 --- a/chapter_introduction/algorithms_are_everywhere.md +++ b/chapter_introduction/algorithms_are_everywhere.md @@ -15,19 +15,19 @@ comments: true 3. 不断重复步骤 `1.` 和 步骤 `2.` ，直至找到拼音首字母为 $r$ 的页码为止。 === "<1>" -  +  === "<2>" -  +  === "<3>" -  +  === "<4>" -  +  === "<5>" -  + 图 1-1 查字典步骤