build

chapter_array_and_linkedlist/array.md

@@ -149,7 +149,7 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
 === "Python"
 
     ```python title="array.py"
-    def random_access(nums: List[int]) -> int:
+    def random_access(nums: list[int]) -> int:
         """ 随机访问元素 """
         # 在区间 [0, len(nums)-1] 中随机抽取一个数字
         random_index = random.randint(0, len(nums) - 1)
@@ -285,7 +285,7 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
 === "Python"
 
     ```python title="array.py"
-    def extend(nums: List[int], enlarge: int) -> List[int]:
+    def extend(nums: list[int], enlarge: int) -> list[int]:
         """ 扩展数组长度 """
         # 初始化一个扩展长度后的数组
         res = [0] * (len(nums) + enlarge)
@@ -440,7 +440,7 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
 === "Python"
 
     ```python title="array.py"
-    def insert(nums: List[int], num: int, index: int) -> None:
+    def insert(nums: list[int], num: int, index: int) -> None:
         """ 在数组的索引 index 处插入元素 num """
         # 把索引 index 以及之后的所有元素向后移动一位
         for i in range(len(nums) - 1, index, -1):
@@ -560,7 +560,7 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
 === "Python"
 
     ```python title="array.py"
-    def remove(nums: List[int], index: int) -> None:
+    def remove(nums: list[int], index: int) -> None:
         """ 删除索引 index 处元素 """
         # 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
         for i in range(index, len(nums) - 1):
@@ -692,7 +692,7 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
 === "Python"
 
     ```python title="array.py"
-    def traverse(nums: List[int]) -> None:
+    def traverse(nums: list[int]) -> None:
         """ 遍历数组 """
         count = 0
         # 通过索引遍历数组
@@ -848,7 +848,7 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
 === "Python"
 
     ```python title="array.py"
-    def find(nums: List[int], target: int) -> int:
+    def find(nums: list[int], target: int) -> int:
         """ 在数组中查找指定元素 """
         for i in range(len(nums)):
             if nums[i] == target:

chapter_array_and_linkedlist/linked_list.md

@@ -632,7 +632,7 @@ comments: true
 === "Python"
 
     ```python title="linked_list.py"
-    def access(head: ListNode, index: int) -> Optional[ListNode]:
+    def access(head: ListNode, index: int) -> ListNode | None:
         """ 访问链表中索引为 index 的结点 """
         for _ in range(index):
             if not head:

chapter_array_and_linkedlist/list.md

@@ -938,7 +938,7 @@ comments: true
         def __init__(self):
             """ 构造方法 """
             self.__capacity: int = 10                       # 列表容量
-            self.__nums: List[int] = [0] * self.__capacity  # 数组（存储列表元素）
+            self.__nums: my_list[int] = [0] * self.__capacity  # 数组（存储列表元素）
             self.__size: int = 0                            # 列表长度（即当前元素数量）
             self.__extend_ratio: int = 2                    # 每次列表扩容的倍数
 
@@ -1001,7 +1001,7 @@ comments: true
             # 更新列表容量
             self.__capacity = len(self.__nums)
         
-        def to_array(self) -> List[int]:
+        def to_array(self) -> list[int]:
             """ 返回有效长度的列表 """
             return self.__nums[:self.__size]
     ```

chapter_computational_complexity/space_complexity.md

@@ -629,7 +629,7 @@ $$
         """ 常数阶 """
         # 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
         a: int = 0
-        nums: List[int] = [0] * 10000
+        nums: list[int] = [0] * 10000
         node = ListNode(0)
         # 循环中的变量占用 O(1) 空间
         for _ in range(n):
@@ -833,9 +833,9 @@ $$
     def linear(n: int) -> None:
         """ 线性阶 """
         # 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
-        nums: List[int] = [0] * n
+        nums: list[int] = [0] * n
         # 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
-        mapp: Dict = {}
+        mapp = dict[int, str]()
         for i in range(n):
             mapp[i] = str(i)
     ```
@@ -1131,7 +1131,7 @@ $$
     def quadratic(n: int) -> None:
         """ 平方阶 """
         # 二维列表占用 O(n^2) 空间
-        num_matrix: List[List[int]] = [[0] * n for _ in range(n)]
+        num_matrix: list[list[int]] = [[0] * n for _ in range(n)]
     ```
 
 === "Go"
@@ -1280,7 +1280,7 @@ $$
         """ 平方阶（递归实现） """
         if n <= 0: return 0
         # 数组 nums 长度为 n, n-1, ..., 2, 1
-        nums: List[int] = [0] * n
+        nums: list[int] = [0] * n
         return quadratic_recur(n - 1)
     ```
 
@@ -1406,7 +1406,7 @@ $$
 === "Python"
 
     ```python title="space_complexity.py"
-    def build_tree(n: int) -> Optional[TreeNode]:
+    def build_tree(n: int) -> TreeNode | None:
         """ 指数阶（建立满二叉树） """
         if n == 0: return None
         root = TreeNode(0)

chapter_computational_complexity/space_time_tradeoff.md

@@ -65,7 +65,7 @@ comments: true
 === "Python"
 
     ```python title="leetcode_two_sum.py"
-    def two_sum_brute_force(nums: List[int], target: int) -> List[int]:
+    def two_sum_brute_force(nums: list[int], target: int) -> list[int]:
         """ 方法一：暴力枚举 """
         # 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
         for i in range(len(nums) - 1):
@@ -242,7 +242,7 @@ comments: true
 === "Python"
 
     ```python title="leetcode_two_sum.py"
-    def two_sum_hash_table(nums: List[int], target: int) -> List[int]:
+    def two_sum_hash_table(nums: list[int], target: int) -> list[int]:
         """ 方法二：辅助哈希表 """
         # 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
         dic = {}

chapter_computational_complexity/time_complexity.md

@@ -1075,7 +1075,7 @@ $$
 === "Python"
 
     ```python title="time_complexity.py"
-    def array_traversal(nums: List[int]) -> int:
+    def array_traversal(nums: list[int]) -> int:
         """ 线性阶（遍历数组）"""
         count: int = 0
         # 循环次数与数组长度成正比
@@ -1391,7 +1391,7 @@ $$
 === "Python"
 
     ```python title="time_complexity.py"
-    def bubble_sort(nums: List[int]) -> int:
+    def bubble_sort(nums: list[int]) -> int:
         """ 平方阶（冒泡排序）"""
         count: int = 0  # 计数器
         # 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
@@ -2481,15 +2481,15 @@ $$
 === "Python"
 
     ```python title="worst_best_time_complexity.py"
-    def random_numbers(n: int) -> List[int]:
+    def random_numbers(n: int) -> list[int]:
         """ 生成一个数组，元素为: 1, 2, ..., n ，顺序被打乱 """
         # 生成数组 nums =: 1, 2, 3, ..., n
-        nums: List[int] = [i for i in range(1, n + 1)]
+        nums: list[int] = [i for i in range(1, n + 1)]
         # 随机打乱数组元素
         random.shuffle(nums)
         return nums
 
-    def find_one(nums: List[int]) -> int:
+    def find_one(nums: list[int]) -> int:
         """ 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 """
         for i in range(len(nums)):
             # 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)

chapter_graph/graph_operations.md

@@ -216,14 +216,14 @@ comments: true
     class GraphAdjMat:
         """ 基于邻接矩阵实现的无向图类 """
         # 顶点列表，元素代表“顶点值”，索引代表“顶点索引”
-        vertices: List[int] = []
+        vertices: list[int] = []
         # 邻接矩阵，行列索引对应“顶点索引”
-        adj_mat: List[List[int]] = []
+        adj_mat: list[list[int]] = []
 
-        def __init__(self, vertices: List[int], edges: List[List[int]]) -> None:
+        def __init__(self, vertices: list[int], edges: list[list[int]]) -> None:
             """ 构造方法 """
-            self.vertices: List[int] = []
+            self.vertices: list[int] = []
-            self.adj_mat: List[List[int]] = []
+            self.adj_mat: list[list[int]] = []
             # 添加顶点
             for val in vertices:
                 self.add_vertex(val)
@@ -967,10 +967,10 @@ comments: true
     ```python title="graph_adjacency_list.py"
     class GraphAdjList:
         """ 基于邻接表实现的无向图类 """
-        def __init__(self, edges: List[List[Vertex]]) -> None:
+        def __init__(self, edges: list[list[Vertex]]) -> None:
             """ 构造方法 """
             # 邻接表，key: 顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
-            self.adj_list: Dict = {}
+            self.adj_list = dict[Vertex, Vertex]()
             # 添加所有顶点和边
             for edge in edges:
                 self.add_vertex(edge[0])

chapter_graph/graph_traversal.md

@@ -93,15 +93,15 @@ BFS 常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质，
 === "Python"
 
     ```python title="graph_bfs.py"
-    def graph_bfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> List[Vertex]:
+    def graph_bfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> list[Vertex]:
         """ 广度优先遍历 BFS """
         # 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
         # 顶点遍历序列
         res = []
         # 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
-        visited = set([start_vet])
+        visited = set[Vertex]([start_vet])
         # 队列用于实现 BFS
-        que = collections.deque([start_vet])
+        que = deque[Vertex]([start_vet])
         # 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
         while len(que) > 0:
             vet = que.popleft()  # 队首顶点出队
@@ -378,7 +378,7 @@ BFS 常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质，
 === "Python"
 
     ```python title="graph_dfs.py"
-    def dfs(graph: GraphAdjList, visited: Set[Vertex], res: List[Vertex], vet: Vertex):
+    def dfs(graph: GraphAdjList, visited: set[Vertex], res: list[Vertex], vet: Vertex):
         """ 深度优先遍历 DFS 辅助函数 """
         res.append(vet)     # 记录访问顶点
         visited.add(vet) # 标记该顶点已被访问
@@ -389,12 +389,12 @@ BFS 常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质，
             # 递归访问邻接顶点
             dfs(graph, visited, res, adjVet)
 
-    def graph_dfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> List[Vertex]:
+    def graph_dfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> list[Vertex]:
         """ 深度优先遍历 DFS """
         # 顶点遍历序列
         res = []
         # 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
-        visited = set()
+        visited = set[Vertex]()
         dfs(graph, visited, res, start_vet)
         return res
     ```

chapter_hashing/hash_map.md

@@ -617,7 +617,7 @@ $$
         def __init__(self):
             """ 构造方法 """
             # 初始化数组，包含 100 个桶
-            self.buckets: List[Optional[Entry]] = [None] * 100
+            self.buckets: list[Entry | None] = [None] * 100
 
         def hash_func(self, key: int) -> int:
             """ 哈希函数 """
@@ -644,25 +644,25 @@ $$
             # 置为 None ，代表删除
             self.buckets[index] = None
 
-        def entry_set(self) -> List[Entry]:
+        def entry_set(self) -> list[Entry]:
             """ 获取所有键值对 """
-            result: List[Entry] = []
+            result: list[Entry] = []
             for pair in self.buckets:
                 if pair is not None:
                     result.append(pair)
             return result
 
-        def key_set(self) -> List[int]:
+        def key_set(self) -> list[int]:
             """ 获取所有键 """
-            result: List[int] = []
+            result: list[int] = []
             for pair in self.buckets:
                 if pair is not None:
                     result.append(pair.key)
             return result
 
-        def value_set(self) -> List[str]:
+        def value_set(self) -> list[str]:
             """ 获取所有值 """
-            result: List[str] = []
+            result: list[str] = []
             for pair in self.buckets:
                 if pair is not None:
                     result.append(pair.val)

chapter_heap/build_heap.md

@@ -49,7 +49,7 @@ comments: true
 === "Python"
 
     ```python title="my_heap.py"
-    def __init__(self, nums: List[int]):
+    def __init__(self, nums: list[int]):
         """ 构造方法 """
         # 将列表元素原封不动添加进堆
         self.max_heap = nums

chapter_searching/binary_search.md

@@ -98,7 +98,7 @@ $$
 === "Python"
 
     ```python title="binary_search.py"
-    def binary_search(nums: List[int], target: int) -> int:
+    def binary_search(nums: list[int], target: int) -> int:
         """ 二分查找（双闭区间） """
         # 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
         i, j = 0, len(nums) - 1
@@ -309,7 +309,7 @@ $$
 === "Python"
 
     ```python title="binary_search.py"
-    def binary_search1(nums: List[int], target: int) -> int:
+    def binary_search1(nums: list[int], target: int) -> int:
         """ 二分查找（左闭右开） """
         # 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
         i, j = 0, len(nums)

chapter_searching/hashing_search.md

@@ -45,7 +45,7 @@ comments: true
 === "Python"
 
     ```python title="hashing_search.py"
-    def hashing_search_array(mapp: Dict[int, int], target: int) -> int:
+    def hashing_search_array(mapp: dict[int, int], target: int) -> int:
         """ 哈希查找（数组） """
         # 哈希表的 key: 目标元素，value: 索引
         # 若哈希表中无此 key ，返回 -1
@@ -163,7 +163,7 @@ comments: true
 === "Python"
 
     ```python title="hashing_search.py"
-    def hashing_search_linkedlist(mapp: Dict[int, ListNode], target: int) -> Optional[ListNode]:
+    def hashing_search_linkedlist(mapp: dict[int, ListNode], target: int) -> ListNode | None:
         """ 哈希查找（链表） """
         # 哈希表的 key: 目标元素，value: 结点对象
         # 若哈希表中无此 key ，返回 None

chapter_searching/linear_search.md

@@ -49,7 +49,7 @@ comments: true
 === "Python"
 
     ```python title="linear_search.py"
-    def linear_search_array(nums: List[int], target: int) -> int:
+    def linear_search_array(nums: list[int], target: int) -> int:
         """ 线性查找（数组） """
         # 遍历数组
         for i in range(len(nums)):
@@ -206,7 +206,7 @@ comments: true
 === "Python"
 
     ```python title="linear_search.py"
-    def linear_search_linkedlist(head: ListNode, target: int) -> Optional[ListNode]:
+    def linear_search_linkedlist(head: ListNode, target: int) -> ListNode | None:
         """ 线性查找（链表） """
         # 遍历链表
         while head:

chapter_sorting/bubble_sort.md

@@ -87,7 +87,7 @@ comments: true
 === "Python"
 
     ```python title="bubble_sort.py"
-    def bubble_sort(nums: List[int]) -> None:
+    def bubble_sort(nums: list[int]) -> None:
         """ 冒泡排序 """
         n: int = len(nums)
         # 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
@@ -295,7 +295,7 @@ comments: true
 === "Python"
 
     ```python title="bubble_sort.py"
-    def bubble_sort_with_flag(nums: List[int]) -> None:
+    def bubble_sort_with_flag(nums: list[int]) -> None:
         """ 冒泡排序（标志优化） """
         n: int = len(nums)
         # 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1

chapter_sorting/bucket_sort.md

@@ -1,16 +1,20 @@
-## 拓展到桶排序
+# 桶排序
 
-如果我们把上述 `bucket` 中的每个索引想象成一个桶，那么可以将计数排序理解为把 $n$ 个元素分配到对应的桶中，再根据桶与桶之间天然的有序性来实现排序。
+「桶排序 Bucket Sort」考虑设置 $k$ 个桶，并将 $n$ 个元素根据大小分配到 $k$ 个桶中，**并在每个桶内部分别执行排序**，由于桶之间的大小关系的确定的，因此最后按照桶之间的顺序将元素依次展开即可。
 
-以上解读便是「桶排序 Bucket Sort」的核心思想。具体地，桶排序考虑将 $n$ 个元素根据大小范围均匀地分配到 $k$ 个桶中，由于桶之间是有序的，**因此仅需在每个桶内部执行排序**，最终按照桶之间的大小关系将元素依次排列，即可得到排序结果。
+假设元素平均分布在各个桶内，则每个桶内元素数量为 $\frac{n}{k}$ ；如果使用「快速排序」来实现桶内排序，则排序单个桶使用 $O(\frac{n}{k} \log\frac{n}{k})$ 时间，排序所有桶使用 $O(n \log\frac{n}{k})$ 时间。**当桶数量 $k$ 比较大时，时间复杂度则趋向于 $O(n)$** 。
 
-假设使用「快速排序」来排序各个桶内的元素，每个桶内元素数量为 $\frac{n}{k}$ ，则排序单个桶使用 $O(\frac{n}{k} \log\frac{n}{k})$ 时间，排序所有桶使用 $O(n \log\frac{n}{k})$ 时间。**当桶数量 $k$ 接近 $n$ 时，时间复杂度则趋向于 $O(n)$** 。
+!!! note 计数排序与桶排序的关系
+
+    **计数排序可以看作是桶排序的一种特例**。我们可以把计数排序中 `counter` 的每个索引想象成一个桶，将统计数量的过程想象成把 $n$ 个元素分配到对应的桶中，再根据桶之间的有序性输出结果，从而实现排序。
 
 （图）
 
-理论上桶排序的时间复杂度是 $O(n)$ ，**但前提是需要将元素均匀分配到各个桶中**，而这是不太容易做到的。假设我们要把淘宝中的 $100$ 万件商品根据价格范围平均分配到 $100$ 个桶中，由于商品价格不是均匀分布的，比如 $1$ ~ $100$ 元的商品非常多、$1$ 万元以上的商品非常少等，因此难以简单地设定各个桶的价格分界线。解决方案有：
+理论上桶排序的时间复杂度是 $O(n)$ ，**但前提是需要将元素均匀分配到各个桶中**，而这并不容易做到。假设想要把淘宝的 $100$ 万件商品根据价格范围平均分配到 $100$ 个桶中，而商品价格不是均匀分布的，例如 $100$ 元以下的商品非常多、$1000$ 元以上的商品非常少等。如果我们将价格区间平均划分为 $100$ 份，那么各个桶内的商品数量差距会非常大。为了实现平均分配，我们一般这样做：
 
-- 先初步设置一个分界线，将元素分配完后，**把元素较多的桶继续划分为多个桶**，直至每个桶内元素数量合理为止；该做法一般使用递归实现；
+- 先粗略设置分界线，将元素分配完后，**把元素较多的桶继续划分为多个桶**，直至所有桶内元素数量合理为止；该做法本质上是一个递归树；
-- 如果我们提前知道商品价格的概率分布，**则可以根据已知分布来设置每个桶的价格分界线**；值得说明的是，数据分布不一定需要 case-by-case 地统计，有时可以采用一些常见分布来近似，例如自然界的正态分布；
+- 如果我们提前知道商品价格的概率分布，**则可以根据已知分布来设置每个桶的价格分界线**；值得说明的是，数据分布不一定需要特意统计，也可以根据数据特点采用某种常见概率模型来近似，例如自然界的正态分布等；
 
 （图）
+
+另外，排序桶内元素需要选择一种合适的排序算法，比如快速排序。

chapter_sorting/counting_sort.md

@@ -77,7 +77,7 @@ comments: true
 === "Python"
 
     ```python title="counting_sort.py"
-    def counting_sort_naive(nums: List[int]) -> None:
+    def counting_sort_naive(nums: list[int]) -> None:
         """ 计数排序 """
         # 简单实现，无法用于排序对象
         # 1. 统计数组最大元素 m
@@ -301,7 +301,7 @@ $$
 === "Python"
 
     ```python title="counting_sort.py"
-    def counting_sort(nums: List[int]) -> None:
+    def counting_sort(nums: list[int]) -> None:
         """ 计数排序 """
         # 完整实现，可排序对象，并且是稳定排序
         # 1. 统计数组最大元素 m

chapter_sorting/insertion_sort.md

@@ -63,7 +63,7 @@ comments: true
 === "Python"
 
     ```python title="insertion_sort.py"
-    def insertion_sort(nums: List[int]) -> None:
+    def insertion_sort(nums: list[int]) -> None:
         """ 插入排序 """
         # 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]   
         for i in range(1, len(nums)):

chapter_sorting/merge_sort.md

@@ -146,12 +146,12 @@ comments: true
 === "Python"
 
     ```python title="merge_sort.py"
-    def merge(nums: List[int], left: int, mid: int, right: int) -> None:
+    def merge(nums: list[int], left: int, mid: int, right: int) -> None:
         """ 合并左子数组和右子数组 """
         # 左子数组区间 [left, mid]
         # 右子数组区间 [mid + 1, right]
-        # 初始化辅助数组 借助 copy模块
+        # 初始化辅助数组
-        tmp: List[int] = nums[left:right + 1].copy()
+        tmp: list[int] = list(nums[left:right + 1])
         # 左子数组的起始索引和结束索引
         left_start: int = 0
         left_end: int = mid - left
@@ -176,7 +176,7 @@ comments: true
                 nums[k] = tmp[j]
                 j += 1
 
-    def merge_sort(nums: List[int], left: int, right: int) -> None:
+    def merge_sort(nums: list[int], left: int, right: int) -> None:
         """ 归并排序 """
         # 终止条件
         if left >= right:

chapter_sorting/quick_sort.md

@@ -100,7 +100,7 @@ comments: true
 === "Python"
 
     ```python title="quick_sort.py"
-    def partition(self, nums: List[int], left: int, right: int) -> int:
+    def partition(self, nums: list[int], left: int, right: int) -> int:
         """ 哨兵划分 """
         # 以 nums[left] 作为基准数
         i, j = left, right
@@ -343,7 +343,7 @@ comments: true
 === "Python"
 
     ```python title="quick_sort.py"
-    def quick_sort(self, nums: List[int], left: int, right: int) -> None:
+    def quick_sort(self, nums: list[int], left: int, right: int) -> None:
         """ 快速排序 """
         # 子数组长度为 1 时终止递归
         if left >= right:
@@ -562,7 +562,7 @@ comments: true
 === "Python"
 
     ```python title="quick_sort.py"
-    def median_three(self, nums: List[int], left: int, mid: int, right: int) -> int:
+    def median_three(self, nums: list[int], left: int, mid: int, right: int) -> int:
         """ 选取三个元素的中位数 """
         # 此处使用异或运算来简化代码
         # 异或规则为 0 ^ 0 = 1 ^ 1 = 0, 0 ^ 1 = 1 ^ 0 = 1
@@ -572,7 +572,7 @@ comments: true
             return mid
         return right
 
-    def partition(self, nums: List[int], left: int, right: int) -> int:
+    def partition(self, nums: list[int], left: int, right: int) -> int:
         """ 哨兵划分（三数取中值） """
         # 以 nums[left] 作为基准数
         med: int = self.median_three(nums, left, (left + right) // 2, right)
@@ -855,7 +855,7 @@ comments: true
 === "Python"
 
     ```python title="quick_sort.py"
-    def quick_sort(self, nums: List[int], left: int, right: int) -> None:
+    def quick_sort(self, nums: list[int], left: int, right: int) -> None:
         """ 快速排序（尾递归优化） """
         # 子数组长度为 1 时终止
         while left < right:

chapter_stack_and_queue/deque.md

@@ -595,15 +595,15 @@ comments: true
         def __init__(self, val: int) -> None:
             """ 构造方法 """
             self.val: int = val
-            self.next: Optional[ListNode] = None  # 后继结点引用（指针）
+            self.next: ListNode | None = None  # 后继结点引用（指针）
-            self.prev: Optional[ListNode] = None  # 前驱结点引用（指针）
+            self.prev: ListNode | None = None  # 前驱结点引用（指针）
 
     class LinkedListDeque:
         """ 基于双向链表实现的双向队列 """
         def __init__(self) -> None:
             """ 构造方法 """
-            self.front: Optional[ListNode] = None # 头结点 front
+            self.front: ListNode | None = None # 头结点 front
-            self.rear: Optional[ListNode] = None  # 尾结点 rear
+            self.rear: ListNode | None = None  # 尾结点 rear
             self.__size: int = 0        # 双向队列的长度
 
         def size(self) -> int:
@@ -651,7 +651,7 @@ comments: true
             if is_front:
                 val: int = self.front.val  # 暂存头结点值
                 # 删除头结点
-                fnext: Optional[ListNode] = self.front.next
+                fnext: ListNode | None = self.front.next
                 if fnext != None:
                     fnext.prev = None
                     self.front.next = None
@@ -660,7 +660,7 @@ comments: true
             else:
                 val: int = self.rear.val  # 暂存尾结点值
                 # 删除尾结点
-                rprev: Optional[ListNode] = self.rear.prev
+                rprev: ListNode | None = self.rear.prev
                 if rprev != None:
                     rprev.next = None
                     self.rear.prev = None
@@ -684,10 +684,10 @@ comments: true
             """ 访问队尾元素 """
             return None if self.is_empty() else self.rear.val
 
-        def to_array(self) -> List[int]:
+        def to_array(self) -> list[int]:
             """ 返回数组用于打印 """
-            node: Optional[ListNode] = self.front
+            node: ListNode | None = self.front
-            res: List[int] = [0] * self.size()
+            res: list[int] = [0] * self.size()
             for i in range(self.size()):
                 res[i] = node.val
                 node = node.next
@@ -1584,10 +1584,9 @@ comments: true
     ```python title="array_deque.py"
     class ArrayDeque:
         """ 基于环形数组实现的双向队列 """
-
         def __init__(self, capacity: int) -> None:
             """ 构造方法 """
-            self.__nums: List[int] = [0] * capacity
+            self.__nums: list[int] = [0] * capacity
             self.__front: int = 0
             self.__size: int = 0
 
@@ -1659,7 +1658,7 @@ comments: true
             last = self.index(self.__front + self.__size - 1)
             return self.__nums[last]
 
-        def to_array(self) -> List[int]:
+        def to_array(self) -> list[int]:
             """ 返回数组用于打印 """
             # 仅转换有效长度范围内的列表元素
             res = []

chapter_stack_and_queue/queue.md

@@ -431,8 +431,8 @@ comments: true
         """ 基于链表实现的队列 """
         def __init__(self):
             """ 构造方法 """
-            self.__front: Optional[ListNode] = None  # 头结点 front
+            self.__front: ListNode | None = None  # 头结点 front
-            self.__rear: Optional[ListNode] = None   # 尾结点 rear
+            self.__rear: ListNode | None = None   # 尾结点 rear
             self.__size: int = 0
 
         def size(self) -> int:
@@ -472,7 +472,7 @@ comments: true
                 return False
             return self.__front.val
 
-        def to_list(self) -> List[int]:
+        def to_list(self) -> list[int]:
             """ 转化为列表用于打印 """
             queue = []
             temp = self.__front
@@ -1106,7 +1106,7 @@ comments: true
         """ 基于环形数组实现的队列 """
         def __init__(self, size: int) -> None:
             """ 构造方法 """
-            self.__nums: List[int] = [0] * size  # 用于存储队列元素的数组
+            self.__nums: list[int] = [0] * size  # 用于存储队列元素的数组
             self.__front: int = 0          # 队首指针，指向队首元素
             self.__size: int = 0           # 队列长度
 
@@ -1145,9 +1145,9 @@ comments: true
             assert not self.is_empty(), "队列为空"
             return self.__nums[self.__front]
 
-        def to_list(self) -> List[int]:
+        def to_list(self) -> list[int]:
             """ 返回列表用于打印 """
-            res: List[int] = [0] * self.size()
+            res: list[int] = [0] * self.size()
             j: int = self.__front
             for i in range(self.size()):
                 res[i] = self.__nums[(j % self.capacity())]

chapter_stack_and_queue/stack.md

@@ -412,7 +412,7 @@ comments: true
         """ 基于链表实现的栈 """
         def __init__(self):
             """ 构造方法 """
-            self.__peek: Optional[ListNode] = None
+            self.__peek: ListNode | None = None
             self.__size: int = 0
 
         def size(self) -> int:
@@ -443,9 +443,9 @@ comments: true
             if not self.__peek: return None
             return self.__peek.val
 
-        def to_list(self) -> List[int]:
+        def to_list(self) -> list[int]:
             """ 转化为列表用于打印 """
-            arr: List[int] = []
+            arr: list[int] = []
             node = self.__peek
             while node:
                 arr.append(node.val)
@@ -954,7 +954,7 @@ comments: true
         """ 基于数组实现的栈 """
         def __init__(self) -> None:
             """ 构造方法 """
-            self.__stack: List[int] = []
+            self.__stack: list[int] = []
 
         def size(self) -> int:
             """ 获取栈的长度 """
@@ -978,7 +978,7 @@ comments: true
             assert not self.is_empty(), "栈为空"
             return self.__stack[-1]
         
-        def to_list(self) -> List[int]:
+        def to_list(self) -> list[int]:
             """ 返回列表用于打印 """
             return self.__stack
     ```

chapter_tree/avl_tree.md

@@ -194,14 +194,14 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
 === "Python"
 
     ```python title="avl_tree.py"
-    def height(self, node: Optional[TreeNode]) -> int:
+    def height(self, node: TreeNode | None) -> int:
         """ 获取结点高度 """
         # 空结点高度为 -1 ，叶结点高度为 0
         if node is not None:
             return node.height
         return -1
 
-    def __update_height(self, node: Optional[TreeNode]):
+    def __update_height(self, node: TreeNode | None):
         """ 更新结点高度 """
         # 结点高度等于最高子树高度 + 1
         node.height = max([self.height(node.left), self.height(node.right)]) + 1
@@ -354,7 +354,7 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
 === "Python"
 
     ```python title="avl_tree.py"
-    def balance_factor(self, node: Optional[TreeNode]) -> int:
+    def balance_factor(self, node: TreeNode | None) -> int:
         """ 获取平衡因子 """
         # 空结点平衡因子为 0
         if node is None:
@@ -517,7 +517,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 === "Python"
 
     ```python title="avl_tree.py"
-    def __right_rotate(self, node: Optional[TreeNode]) -> Optional[TreeNode]:
+    def __right_rotate(self, node: TreeNode | None) -> TreeNode | None:
         """ 右旋操作 """
         child = node.left
         grand_child = child.right
@@ -701,7 +701,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 === "Python"
 
     ```python title="avl_tree.py"
-    def __left_rotate(self, node: Optional[TreeNode]) -> Optional[TreeNode]:
+    def __left_rotate(self, node: TreeNode | None) -> TreeNode | None:
         """ 左旋操作 """
         child = node.right
         grand_child = child.left
@@ -940,7 +940,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 === "Python"
 
     ```python title="avl_tree.py"
-    def __rotate(self, node: Optional[TreeNode]) -> Optional[TreeNode]:
+    def __rotate(self, node: TreeNode | None) -> TreeNode | None:
         """ 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 """
         # 获取结点 node 的平衡因子
         balance_factor = self.balance_factor(node)
@@ -1255,7 +1255,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         self.__root = self.__insert_helper(self.__root, val)
         return self.__root
 
-    def __insert_helper(self, node: Optional[TreeNode], val: int) -> TreeNode:
+    def __insert_helper(self, node: TreeNode | None, val: int) -> TreeNode:
         """ 递归插入结点（辅助方法）"""
         if node is None:
             return TreeNode(val)
@@ -1575,12 +1575,12 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 === "Python"
 
     ```python title="avl_tree.py"
-    def remove(self, val: int) -> Optional[TreeNode]:
+    def remove(self, val: int) -> TreeNode | None:
         """ 删除结点 """
         self.__root = self.__remove_helper(self.__root, val)
         return self.__root 
 
-    def __remove_helper(self, node: Optional[TreeNode], val: int) -> Optional[TreeNode]:
+    def __remove_helper(self, node: TreeNode | None, val: int) -> TreeNode | None:
         """ 递归删除结点（辅助方法） """
         if node is None:
             return None
@@ -1607,7 +1607,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         # 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡
         return self.__rotate(node)
 
-    def __get_inorder_next(self, node: Optional[TreeNode]) -> Optional[TreeNode]:
+    def __get_inorder_next(self, node: TreeNode | None) -> TreeNode | None:
         """ 获取中序遍历中的下一个结点（仅适用于 root 有左子结点的情况） """
         if node is None:
             return None

chapter_tree/binary_search_tree.md

@@ -80,9 +80,9 @@ comments: true
 === "Python"
 
     ```python title="binary_search_tree.py"
-    def search(self, num: int) -> Optional[TreeNode]:
+    def search(self, num: int) -> TreeNode | None:
         """ 查找结点 """
-        cur: Optional[TreeNode] = self.__root
+        cur: TreeNode | None = self.__root
         # 循环查找，越过叶结点后跳出
         while cur is not None:
             # 目标结点在 cur 的右子树中
@@ -308,7 +308,7 @@ comments: true
 === "Python"
 
     ```python title="binary_search_tree.py"
-    def insert(self, num: int) -> Optional[TreeNode]:
+    def insert(self, num: int) -> TreeNode | None:
         """ 插入结点 """
         # 若树为空，直接提前返回
         if self.__root is None:
@@ -691,7 +691,7 @@ comments: true
 === "Python"
 
     ```python title="binary_search_tree.py"
-    def remove(self, num: int) -> Optional[TreeNode]:
+    def remove(self, num: int) -> TreeNode | None:
         """ 删除结点 """
         # 若树为空，直接提前返回
         if self.__root is None:
@@ -732,7 +732,7 @@ comments: true
             cur.val = tmp
         return cur
 
-    def get_inorder_next(self, root: Optional[TreeNode]) -> Optional[TreeNode]:
+    def get_inorder_next(self, root: TreeNode | None) -> TreeNode | None:
         """ 获取中序遍历中的下一个结点（仅适用于 root 有左子结点的情况） """
         if root is None:
             return root

chapter_tree/binary_tree_traversal.md

@@ -69,13 +69,13 @@ comments: true
 === "Python"
 
     ```python title="binary_tree_bfs.py"
-    def level_order(root: Optional[TreeNode]) -> List[int]:
+    def level_order(root: TreeNode | None) -> list[int]:
         """ 层序遍历 """
         # 初始化队列，加入根结点
-        queue: Deque[TreeNode] = collections.deque()
+        queue: deque[TreeNode] = deque()
         queue.append(root)
         # 初始化一个列表，用于保存遍历序列
-        res: List[int] = []
+        res: list[int] = []
         while queue:
             node: TreeNode = queue.popleft() # 队列出队
             res.append(node.val)             # 保存结点值
@@ -337,7 +337,7 @@ comments: true
 === "Python"
 
     ```python title="binary_tree_dfs.py"
-    def pre_order(root: Optional[TreeNode]) -> None:
+    def pre_order(root: TreeNode | None) -> None:
         """ 前序遍历 """
         if root is None:
             return
@@ -346,7 +346,7 @@ comments: true
         pre_order(root=root.left)
         pre_order(root=root.right)
 
-    def in_order(root: Optional[TreeNode]) -> None:
+    def in_order(root: TreeNode | None) -> None:
         """ 中序遍历 """
         if root is None:
             return
@@ -355,7 +355,7 @@ comments: true
         res.append(root.val)
         in_order(root=root.right)
 
-    def post_order(root: Optional[TreeNode]) -> None:
+    def post_order(root: TreeNode | None) -> None:
         """ 后序遍历 """
         if root is None:
             return