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docs/chapter_backtracking/backtracking_algorithm.md

@@ -2,7 +2,7 @@
 
 「回溯算法 Backtracking Algorithm」是一种通过穷举来解决问题的方法，它的核心思想是从一个初始状态出发，暴力搜索所有可能的解决方案，当遇到正确的解则将其记录，直到找到解或者尝试了所有可能的选择都无法找到解为止。
 
-回溯算法通常采用「深度优先搜索」来遍历解空间。在二叉树章节中，我们提到前序、中序和后序遍历都属于深度优先搜索。下面，我们将从前序遍历入手，逐步了解回溯算法的工作原理。
+回溯算法通常采用「深度优先搜索」来遍历解空间。在二叉树章节中，我们提到前序、中序和后序遍历都属于深度优先搜索。接下来我们先用前序遍历构造一个回溯问题，逐步了解回溯算法的工作原理。
 
 !!! question "例题一"
 
@@ -728,6 +728,20 @@
 
 相较于基于前序遍历的实现代码，基于回溯算法框架的实现代码虽然显得啰嗦，但通用性更好。实际上，**所有回溯问题都可以在该框架下解决**。我们需要根据具体问题来定义 `state` 和 `choices` ，并实现框架中的各个方法。
 
+## 优势与局限性
+
+回溯算法本质上是一种深度优先搜索算法，它尝试所有可能的解决方案直到找到满足条件的解。这种方法的优势在于它能够找到所有可能的解决方案，而且在合理的剪枝操作下，具有很高的效率。
+
+然而，在处理大规模或者复杂问题时，**回溯算法的运行效率可能难以接受**。
+
+- 在最坏的情况下，回溯算法需要遍历解空间的所有可能解，所需时间很长。例如，求解 $n$ 皇后问题的时间复杂度可以达到 $O(n!)$ 。
+- 在每一次递归调用时，都需要保存当前的状态（例如选择路径、用于剪枝的辅助变量等），对于深度很大的递归，空间需求可能会变得非常大。
+
+即便如此，**回溯算法仍然是某些搜索问题和约束满足问题的最佳解决方案**。对于这些问题，由于无法预测哪些选择可生成有效的解，因此我们必须对所有可能的选择进行遍历。在这种情况下，**关键是如何进行效率优化**：
+
+- 上文介绍过的剪枝是一种常用的优化方法。它可以避免搜索那些肯定不会产生有效解的路径，从而节省时间和空间。
+- 另一个常用的优化方法是加入「启发式搜索 Heuristic Search」策略，它在搜索过程中引入一些策略或者估计值，从而优先搜索最有可能产生有效解的路径。
+
 ## 典型例题
 
 **搜索问题**：这类问题的目标是找到满足特定条件的解决方案。
@@ -749,14 +763,3 @@
 - 最大团问题：给定一个无向图，找到最大的完全子图，即子图中的任意两个顶点之间都有边相连。
 
 请注意，回溯算法通常不是解决组合优化问题的最优方法。0-1 背包问题通常使用动态规划解决；旅行商是一个 NP-Hard 问题，常用解决方法有遗传算法和蚁群算法等；最大团问题是图轮中的一个经典 NP-Hard 问题，通常用贪心算法等启发式算法来解决。
-
-## 优势与局限性
-
-回溯算法本质上是一种深度优先搜索算法，它尝试所有可能的解决方案直到找到满足条件的解。这种方法的优势在于它能够找到所有可能的解决方案，而且在合理的剪枝操作下，具有很高的效率。
-
-然而，在处理大规模或者复杂问题时，**回溯算法的运行效率可能难以接受**。这是因为在最坏的情况下，回溯算法需要遍历解空间的所有可能解。例如，求解 $n$ 皇后问题的时间复杂度可以达到 $O(n!)$ 。回溯算法的空间复杂度也可能较高。因为在每一次递归调用时，都需要保存当前的状态（例如选择路径、用于剪枝的辅助变量等），对于深度很大的递归，空间需求可能会变得非常大。
-
-即便如此，**回溯算法仍然是某些搜索问题和约束满足问题的最佳解决方案**。对于这些问题，由于我们无法预测哪些选择可生成有效的解，因此我们必须对所有可能的选择进行遍历。在这种情况下，**关键是如何进行效率优化**：
-
-- 上文介绍过的剪枝是一种常用的优化方法。它可以避免搜索那些肯定不会产生有效解的路径，从而节省时间和空间。
-- 另一个常用的优化方法是加入「启发式搜索 Heuristic Search」策略，它在搜索过程中引入一些策略或者估计值，从而优先搜索最有可能产生有效解的路径。

docs/chapter_backtracking/permutations_problem.md

@@ -2,7 +2,7 @@
 
 全排列问题是回溯算法的一个典型应用。它的定义是在给定一个集合（如一个数组或字符串）的情况下，找出这个集合中元素的所有可能的排列。
 
-如下表所示，列举了几个示例数组和其对应的所有排列。
+下表列举了几个示例数据，包括输入数组和对应的所有排列。
 
 <div class="center-table" markdown>
 
@@ -120,7 +120,7 @@
 
 需要重点关注的是，我们引入了一个布尔型数组 `selected` ，它的长度与输入数组长度相等，其中 `selected[i]` 表示 `choices[i]` 是否已被选择。我们利用 `selected` 避免某个元素被重复选择，从而实现剪枝。
 
-如下图所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。**从本质上理解，此剪枝操作可将搜索空间大小从 $O(n^n)$ 降低至 $O(n!)$** 。
+如下图所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。**此剪枝操作可将搜索空间大小从 $O(n^n)$ 降低至 $O(n!)$** 。
 
 ![全排列剪枝示例](permutations_problem.assets/permutations_i_pruning.png)
 
@@ -134,7 +134,7 @@
 
 ![重复排列](permutations_problem.assets/permutations_ii.png)
 
-那么，如何去除重复的排列呢？最直接地，我们可以借助一个哈希表，直接对排列结果进行去重。然而，这样做不够优雅，因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的，应当被提前识别并剪枝，这样可以提升算法效率。
+那么，如何去除重复的排列呢？最直接地，我们可以借助一个哈希表，直接对排列结果进行去重。然而这样做不够优雅，**因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的，应当被提前识别并剪枝**，这样可以进一步提升算法效率。
 
 观察发现，在第一轮中，选择 $1$ 或选择 $\hat{1}$ 是等价的，因为在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此，我们应该把 $\hat{1}$ 剪枝掉。同理，在第一轮选择 $2$ 后，第二轮选择中的 $1$ 和 $\hat{1}$ 也会产生重复分支，因此也需要将第二轮的 $\hat{1}$ 剪枝。
 

docs/chapter_data_structure/basic_data_types.md

@@ -44,7 +44,7 @@
 === "Java"
 
     ```java title=""
-    /* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
+    // 使用多种基本数据类型来初始化数组
     int[] numbers = new int[5];
     float[] decimals = new float[5];
     char[] characters = new char[5];
@@ -54,7 +54,7 @@
 === "C++"
 
     ```cpp title=""
-    /* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
+    // 使用多种基本数据类型来初始化数组
     int numbers[5];
     float decimals[5];
     char characters[5];
@@ -81,14 +81,14 @@
 === "JavaScript"
 
     ```javascript title=""
-    /* JavaScript 的数组可以自由存储各种基本数据类型和对象 */
+    // JavaScript 的数组可以自由存储各种基本数据类型和对象
     const array = [0, 0.0, 'a', false];
     ```
 
 === "TypeScript"
 
     ```typescript title=""
-    /* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
+    // 使用多种基本数据类型来初始化数组
     const numbers: number[] = [];
     const characters: string[] = [];
     const booleans: boolean[] = [];
@@ -97,7 +97,7 @@
 === "C"
 
     ```c title=""
-    /* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
+    // 使用多种基本数据类型来初始化数组
     int numbers[10];
     float decimals[10];
     char characters[10];
@@ -107,7 +107,7 @@
 === "C#"
 
     ```csharp title=""
-    /* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
+    // 使用多种基本数据类型来初始化数组
     int[] numbers = new int[5];
     float[] decimals = new float[5];
     char[] characters = new char[5];
@@ -117,7 +117,7 @@
 === "Swift"
 
     ```swift title=""
-    /* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
+    // 使用多种基本数据类型来初始化数组
     let numbers = Array(repeating: Int(), count: 5)
     let decimals = Array(repeating: Double(), count: 5)
     let characters = Array(repeating: Character("a"), count: 5)
@@ -133,7 +133,7 @@
 === "Dart"
 
     ```dart title=""
-    /* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
+    // 使用多种基本数据类型来初始化数组
     List<int> numbers = List.filled(5, 0);
     List<double> decimals = List.filled(5, 0.0);
     List<String> characters = List.filled(5, 'a');

docs/chapter_data_structure/classification_of_data_structure.md

@@ -6,16 +6,22 @@
 
 **「逻辑结构」揭示了数据元素之间的逻辑关系**。在数组和链表中，数据按照顺序依次排列，体现了数据之间的线性关系；而在树中，数据从顶部向下按层次排列，表现出祖先与后代之间的派生关系；图则由节点和边构成，反映了复杂的网络关系。
 
-逻辑结构通常分为「线性」和「非线性」两类。线性结构比较直观，指数据在逻辑关系上呈线性排列；非线性结构则相反，呈非线性排列，例如网状或树状结构。
+逻辑结构通常分为“线性”和“非线性”两类。线性结构比较直观，指数据在逻辑关系上呈线性排列；非线性结构则相反，呈非线性排列。
 
 - **线性数据结构**：数组、链表、栈、队列、哈希表；
-- **非线性数据结构**：树、图、堆、哈希表；
+- **非线性数据结构**：树、堆、图、哈希表；
 
 ![线性与非线性数据结构](classification_of_data_structure.assets/classification_logic_structure.png)
 
+非线性数据结构可以进一步被划分为树形结构和网状结构。
+
+- **线性结构**：数组、链表、队列、栈、哈希表，元素存在一对一的顺序关系；
+- **树形结构**：树、堆、哈希表，元素存在一对多的关系；
+- **网状结构**：图，元素存在多对多的关系；
+
 ## 物理结构：连续与离散
 
-在计算机中，内存和硬盘是两种主要的存储硬件设备。「硬盘」主要用于长期存储数据，容量较大（通常可达到 TB 级别）、速度较慢。「内存」用于运行程序时暂存数据，速度较快，但容量较小（通常为 GB 级别）。
+在计算机中，内存和硬盘是两种主要的存储硬件设备。硬盘主要用于长期存储数据，容量较大（通常可达到 TB 级别）、速度较慢。内存用于运行程序时暂存数据，速度较快，但容量较小（通常为 GB 级别）。
 
 **在算法运行过程中，相关数据都存储在内存中**。下图展示了一个计算机内存条，其中每个黑色方块都包含一块内存空间。我们可以将内存想象成一个巨大的 Excel 表格，其中每个单元格都可以存储 1 byte 的数据，在算法运行时，所有数据都被存储在这些单元格中。
 
@@ -34,7 +40,7 @@
 - **基于数组可实现**：栈、队列、哈希表、树、堆、图、矩阵、张量（维度 $\geq 3$ 的数组）等；
 - **基于链表可实现**：栈、队列、哈希表、树、堆、图等；
 
-基于数组实现的数据结构也被称为「静态数据结构」，这意味着此类数据结构在初始化后长度不可变。相对应地，基于链表实现的数据结构被称为「动态数据结构」，这类数据结构在初始化后，仍可以在程序运行过程中对其长度进行调整。
+基于数组实现的数据结构也被称为“静态数据结构”，这意味着此类数据结构在初始化后长度不可变。相对应地，基于链表实现的数据结构被称为“动态数据结构”，这类数据结构在初始化后，仍可以在程序运行过程中对其长度进行调整。
 
 !!! tip
 

docs/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features.md

@@ -14,7 +14,7 @@
 
 如下图所示，若第 $1$ , $2$ , $3$ 阶的代价分别为 $1$ , $10$ , $1$ ，则从地面爬到第 $3$ 阶的最小代价为 $2$ 。
 
-![爬到第 3 阶的最小代价](intro_to_dynamic_programming.assets/min_cost_cs_example.png)
+![爬到第 3 阶的最小代价](dp_problem_features.assets/min_cost_cs_example.png)
 
 设 $dp[i]$ 为爬到第 $i$ 阶累计付出的代价，由于第 $i$ 阶只可能从 $i - 1$ 阶或 $i - 2$ 阶走来，因此 $dp[i]$ 只可能等于 $dp[i - 1] + cost[i]$ 或 $dp[i - 2] + cost[i]$ 。为了尽可能减少代价，我们应该选择两者中较小的那一个，即：
 
@@ -96,7 +96,7 @@ $$
     [class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDP}
     ```
 
-![爬楼梯最小代价的动态规划过程](intro_to_dynamic_programming.assets/min_cost_cs_dp.png)
+![爬楼梯最小代价的动态规划过程](dp_problem_features.assets/min_cost_cs_dp.png)
 
 这道题同样也可以进行状态压缩，将一维压缩至零维，使得空间复杂度从 $O(n)$ 降低至 $O(1)$ 。
 
@@ -180,7 +180,7 @@ $$
 
 例如，爬上第 $3$ 阶仅剩 $2$ 种可行方案，其中连续三次跳 $1$ 阶的方案不满足约束条件，因此被舍弃。
 
-![带约束爬到第 3 阶的方案数量](intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_constraint_example.png)
+![带约束爬到第 3 阶的方案数量](dp_problem_features.assets/climbing_stairs_constraint_example.png)
 
 在该问题中，**下一步选择不能由当前状态（当前楼梯阶数）独立决定，还和前一个状态（上轮楼梯阶数）有关**。如果上一轮是跳 $1$ 阶上来的，那么下一轮就必须跳 $2$ 阶。
 
@@ -200,7 +200,7 @@ dp[i, 2] = dp[i-2, 1] + dp[i-2, 2]
 \end{cases}
 $$
 
-![考虑约束下的递推关系](intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_constraint_state_transfer.png)
+![考虑约束下的递推关系](dp_problem_features.assets/climbing_stairs_constraint_state_transfer.png)
 
 最终，返回 $dp[n, 1] + dp[n, 2]$ 即可，两者之和代表爬到第 $n$ 阶的方案总数。
 

docs/chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline.md

@@ -85,14 +85,14 @@ $$
 
     边界条件即初始状态，在搜索中用于剪枝，在动态规划中用于初始化 $dp$ 表。状态转移顺序的核心是要保证在计算当前问题时，所有它依赖的更小子问题都已经被正确地计算出来。
 
-最后，我们基于以上结果实现解法即可。熟练度较高同学可以直接写出动态规划解法，初学者可以按照“暴力搜索 $\rightarrow$ 记忆化搜索 $\rightarrow$ 动态规划” 的顺序实现。
+接下来，我们就可以实现动态规划代码了。然而，由于子问题分解是一种从顶至底的思想，因此按照“暴力搜索 $\rightarrow$ 记忆化搜索 $\rightarrow$ 动态规划”的顺序实现更加符合思维习惯。
 
 ## 方法一：暴力搜索
 
 从状态 $[i, j]$ 开始搜索，不断分解为更小的状态 $[i-1, j]$ 和 $[i, j-1]$ ，包括以下递归要素：
 
 - **递归参数**：状态 $[i, j]$ ；**返回值**：从 $[0, 0]$ 到 $[i, j]$ 的最小路径和 $dp[i, j]$ ；
-- **终止条件**：当 $i = 0$ 且 $j = 0$ 时，返回代价 $grid[0][0]$ ；
+- **终止条件**：当 $i = 0$ 且 $j = 0$ 时，返回代价 $grid[0, 0]$ ；
 - **剪枝**：当 $i < 0$ 时或 $j < 0$ 时索引越界，此时返回代价 $+\infty$ ，代表不可行；
 
 === "Java"
@@ -250,7 +250,7 @@ $$
 === "Java"
 
     ```java title="min_path_sum.java"
-    [class]{min}-[func]{minPathSumDP}
+    [class]{min_path_sum}-[func]{minPathSumDP}
     ```
 
 === "C++"
@@ -358,7 +358,7 @@ $$
 === "Java"
 
     ```java title="min_path_sum.java"
-    [class]{min}-[func]{minPathSumDPComp}
+    [class]{min_path_sum}-[func]{minPathSumDPComp}
     ```
 
 === "C++"

docs/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md

@@ -22,7 +22,7 @@
 
 状态 $[i, c]$ 对应的子问题为：**前 $i$ 个物品在剩余容量为 $c$ 的背包中的最大价值**，记为 $dp[i, c]$ 。
 
-至此，我们得到一个尺寸为 $n \times cap$ 的二维 $dp$ 矩阵。
+需要求解的是 $dp[n, cap]$ ，因此需要一个尺寸为 $(n+1) \times (cap+1)$ 的二维 $dp$ 表。
 
 **第二步：找出最优子结构，进而推导出状态转移方程**
 
@@ -45,6 +45,10 @@ $$
 
 当前状态 $[i, c]$ 从上方的状态 $[i-1, c]$ 和左上方的状态 $[i-1, c-wgt[i-1]]$ 转移而来，因此通过两层循环正序遍历整个 $dp$ 表即可。
 
+!!! tip
+
+    完成以上三步后，我们可以直接实现从底至顶的动态规划解法。而为了展示本题包含的重叠子问题，本文也同时给出从顶至底的暴力搜索和记忆化搜索解法。
+
 ## 方法一：暴力搜索
 
 搜索代码包含以下要素：
@@ -201,7 +205,7 @@ $$
 
 ## 方法三：动态规划
 
-动态规划解法本质上就是在状态转移中填充 `dp` 矩阵的过程，代码如下所示。
+动态规划解法本质上就是在状态转移中填充 $dp$ 表的过程，代码如下所示。
 
 === "Java"
 
@@ -269,7 +273,7 @@ $$
     [class]{}-[func]{knapsackDP}
     ```
 
-如下图所示，时间复杂度由 `dp` 矩阵大小决定，为 $O(n \times cap)$ 。
+如下图所示，时间复杂度由数组 `dp` 大小决定，为 $O(n \times cap)$ 。
 
 === "<1>"
     ![0-1 背包的动态规划过程](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step1.png)
@@ -313,9 +317,9 @@ $$
 === "<14>"
     ![knapsack_dp_step14](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step14.png)
 
-**最后考虑状态压缩**。以上代码中的 `dp` 矩阵占用 $O(n \times cap)$ 空间。由于每个状态都只与其上一行的状态有关，因此我们可以使用两个数组滚动前进，将空间复杂度从 $O(n^2)$ 将低至 $O(n)$ 。代码省略，有兴趣的同学可以自行实现。
+**最后考虑状态压缩**。以上代码中的数组 `dp` 占用 $O(n \times cap)$ 空间。由于每个状态都只与其上一行的状态有关，因此我们可以使用两个数组滚动前进，将空间复杂度从 $O(n^2)$ 将低至 $O(n)$ 。代码省略，有兴趣的同学可以自行实现。
 
-那么，我们是否可以仅用一个数组实现状态压缩呢？观察可知，每个状态都是由左上方或正上方的格子转移过来的。假设只有一个数组，当遍历到第 $i$ 行时，该数组存储的仍然是第 $i-1$ 行的状态，为了避免左边区域的格子在状态转移中被覆盖，我们应采取倒序遍历。
+那么，我们是否可以仅用一个数组实现状态压缩呢？观察可知，每个状态都是由左上方或正上方的格子转移过来的。假设只有一个数组，当遍历到第 $i$ 行时，该数组存储的仍然是第 $i-1$ 行的状态，**为了避免左方区域的格子在状态转移中被覆盖，应该采取倒序遍历**。
 
 以下动画展示了在单个数组下从第 $i=1$ 行转换至第 $i=2$ 行的过程。建议你思考一下正序遍历和倒序遍历的区别。
 
@@ -337,7 +341,7 @@ $$
 === "<6>"
     ![knapsack_dp_comp_step6](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step6.png)
 
-如以下代码所示，我们仅需将 `dp` 矩阵的第一维 $i$ 直接删除，并且将内循环修改为倒序遍历即可。
+如以下代码所示，我们仅需将数组 `dp` 的第一维 $i$ 直接删除，并且将内循环修改为倒序遍历即可。
 
 === "Java"